Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cvmliftlem11 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cvmliftlem11 32550
Description: Lemma for cvmlift 32554. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cvmliftlem.1 𝑆 = (𝑘𝐽 ↦ {𝑠 ∈ (𝒫 𝐶 ∖ {∅}) ∣ ( 𝑠 = (𝐹𝑘) ∧ ∀𝑢𝑠 (∀𝑣 ∈ (𝑠 ∖ {𝑢})(𝑢𝑣) = ∅ ∧ (𝐹𝑢) ∈ ((𝐶t 𝑢)Homeo(𝐽t 𝑘))))})
cvmliftlem.b 𝐵 = 𝐶
cvmliftlem.x 𝑋 = 𝐽
cvmliftlem.f (𝜑𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽))
cvmliftlem.g (𝜑𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
cvmliftlem.p (𝜑𝑃𝐵)
cvmliftlem.e (𝜑 → (𝐹𝑃) = (𝐺‘0))
cvmliftlem.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
cvmliftlem.t (𝜑𝑇:(1...𝑁)⟶ 𝑗𝐽 ({𝑗} × (𝑆𝑗)))
cvmliftlem.a (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐺 “ (((𝑘 − 1) / 𝑁)[,](𝑘 / 𝑁))) ⊆ (1st ‘(𝑇𝑘)))
cvmliftlem.l 𝐿 = (topGen‘ran (,))
cvmliftlem.q 𝑄 = seq0((𝑥 ∈ V, 𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑧 ∈ (((𝑚 − 1) / 𝑁)[,](𝑚 / 𝑁)) ↦ ((𝐹 ↾ (𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇𝑚))(𝑥‘((𝑚 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏))‘(𝐺𝑧)))), (( I ↾ ℕ) ∪ {⟨0, {⟨0, 𝑃⟩}⟩}))
cvmliftlem.k 𝐾 = 𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝑄𝑘)
Assertion
Ref Expression
cvmliftlem11 (𝜑 → (𝐾 ∈ (II Cn 𝐶) ∧ (𝐹𝐾) = 𝐺))
Distinct variable groups:   𝑣,𝑏,𝑧,𝐵   𝑗,𝑏,𝑘,𝑚,𝑠,𝑢,𝑥,𝐹,𝑣,𝑧   𝑧,𝐿   𝑃,𝑏,𝑘,𝑚,𝑢,𝑣,𝑥,𝑧   𝐶,𝑏,𝑗,𝑘,𝑠,𝑢,𝑣,𝑧   𝜑,𝑗,𝑠,𝑥,𝑧   𝑁,𝑏,𝑘,𝑚,𝑢,𝑣,𝑥,𝑧   𝑆,𝑏,𝑗,𝑘,𝑠,𝑢,𝑣,𝑥,𝑧   𝑗,𝑋   𝐺,𝑏,𝑗,𝑘,𝑚,𝑠,𝑢,𝑣,𝑥,𝑧   𝑇,𝑏,𝑗,𝑘,𝑚,𝑠,𝑢,𝑣,𝑥,𝑧   𝐽,𝑏,𝑗,𝑘,𝑠,𝑢,𝑣,𝑥,𝑧   𝑄,𝑏,𝑘,𝑚,𝑢,𝑣,𝑥,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑣,𝑢,𝑘,𝑚,𝑏)   𝐵(𝑥,𝑢,𝑗,𝑘,𝑚,𝑠)   𝐶(𝑥,𝑚)   𝑃(𝑗,𝑠)   𝑄(𝑗,𝑠)   𝑆(𝑚)   𝐽(𝑚)   𝐾(𝑥,𝑧,𝑣,𝑢,𝑗,𝑘,𝑚,𝑠,𝑏)   𝐿(𝑥,𝑣,𝑢,𝑗,𝑘,𝑚,𝑠,𝑏)   𝑁(𝑗,𝑠)   𝑋(𝑥,𝑧,𝑣,𝑢,𝑘,𝑚,𝑠,𝑏)

Proof of Theorem cvmliftlem11
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cvmliftlem.1 . . . . 5 𝑆 = (𝑘𝐽 ↦ {𝑠 ∈ (𝒫 𝐶 ∖ {∅}) ∣ ( 𝑠 = (𝐹𝑘) ∧ ∀𝑢𝑠 (∀𝑣 ∈ (𝑠 ∖ {𝑢})(𝑢𝑣) = ∅ ∧ (𝐹𝑢) ∈ ((𝐶t 𝑢)Homeo(𝐽t 𝑘))))})
2 cvmliftlem.b . . . . 5 𝐵 = 𝐶
3 cvmliftlem.x . . . . 5 𝑋 = 𝐽
4 cvmliftlem.f . . . . 5 (𝜑𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽))
5 cvmliftlem.g . . . . 5 (𝜑𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
6 cvmliftlem.p . . . . 5 (𝜑𝑃𝐵)
7 cvmliftlem.e . . . . 5 (𝜑 → (𝐹𝑃) = (𝐺‘0))
8 cvmliftlem.n . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
9 cvmliftlem.t . . . . 5 (𝜑𝑇:(1...𝑁)⟶ 𝑗𝐽 ({𝑗} × (𝑆𝑗)))
10 cvmliftlem.a . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐺 “ (((𝑘 − 1) / 𝑁)[,](𝑘 / 𝑁))) ⊆ (1st ‘(𝑇𝑘)))
11 cvmliftlem.l . . . . 5 𝐿 = (topGen‘ran (,))
12 cvmliftlem.q . . . . 5 𝑄 = seq0((𝑥 ∈ V, 𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑧 ∈ (((𝑚 − 1) / 𝑁)[,](𝑚 / 𝑁)) ↦ ((𝐹 ↾ (𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇𝑚))(𝑥‘((𝑚 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏))‘(𝐺𝑧)))), (( I ↾ ℕ) ∪ {⟨0, {⟨0, 𝑃⟩}⟩}))
13 cvmliftlem.k . . . . 5 𝐾 = 𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝑄𝑘)
14 biid 264 . . . . 5 (((𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑛 + 1) ∈ (1...𝑁)) ∧ ( 𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝑄𝑘) ∈ ((𝐿t (0[,](𝑛 / 𝑁))) Cn 𝐶) ∧ (𝐹 𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝑄𝑘)) = (𝐺 ↾ (0[,](𝑛 / 𝑁))))) ↔ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑛 + 1) ∈ (1...𝑁)) ∧ ( 𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝑄𝑘) ∈ ((𝐿t (0[,](𝑛 / 𝑁))) Cn 𝐶) ∧ (𝐹 𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝑄𝑘)) = (𝐺 ↾ (0[,](𝑛 / 𝑁))))))
151, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14cvmliftlem10 32549 . . . 4 (𝜑 → (𝐾 ∈ ((𝐿t (0[,](𝑁 / 𝑁))) Cn 𝐶) ∧ (𝐹𝐾) = (𝐺 ↾ (0[,](𝑁 / 𝑁)))))
1615simpld 498 . . 3 (𝜑𝐾 ∈ ((𝐿t (0[,](𝑁 / 𝑁))) Cn 𝐶))
1711a1i 11 . . . . . 6 (𝜑𝐿 = (topGen‘ran (,)))
188nncnd 11631 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
198nnne0d 11665 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ≠ 0)
2018, 19dividd 11391 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁 / 𝑁) = 1)
2120oveq2d 7146 . . . . . 6 (𝜑 → (0[,](𝑁 / 𝑁)) = (0[,]1))
2217, 21oveq12d 7148 . . . . 5 (𝜑 → (𝐿t (0[,](𝑁 / 𝑁))) = ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,]1)))
23 dfii2 23466 . . . . 5 II = ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,]1))
2422, 23syl6eqr 2874 . . . 4 (𝜑 → (𝐿t (0[,](𝑁 / 𝑁))) = II)
2524oveq1d 7145 . . 3 (𝜑 → ((𝐿t (0[,](𝑁 / 𝑁))) Cn 𝐶) = (II Cn 𝐶))
2616, 25eleqtrd 2914 . 2 (𝜑𝐾 ∈ (II Cn 𝐶))
2715simprd 499 . . 3 (𝜑 → (𝐹𝐾) = (𝐺 ↾ (0[,](𝑁 / 𝑁))))
2821reseq2d 5826 . . 3 (𝜑 → (𝐺 ↾ (0[,](𝑁 / 𝑁))) = (𝐺 ↾ (0[,]1)))
29 iiuni 23465 . . . . 5 (0[,]1) = II
3029, 3cnf 21830 . . . 4 (𝐺 ∈ (II Cn 𝐽) → 𝐺:(0[,]1)⟶𝑋)
31 ffn 6487 . . . 4 (𝐺:(0[,]1)⟶𝑋𝐺 Fn (0[,]1))
32 fnresdm 6439 . . . 4 (𝐺 Fn (0[,]1) → (𝐺 ↾ (0[,]1)) = 𝐺)
335, 30, 31, 324syl 19 . . 3 (𝜑 → (𝐺 ↾ (0[,]1)) = 𝐺)
3427, 28, 333eqtrd 2860 . 2 (𝜑 → (𝐹𝐾) = 𝐺)
3526, 34jca 515 1 (𝜑 → (𝐾 ∈ (II Cn 𝐶) ∧ (𝐹𝐾) = 𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1538  wcel 2115  wral 3126  {crab 3130  Vcvv 3471  cdif 3907  cun 3908  cin 3909  wss 3910  c0 4266  𝒫 cpw 4512  {csn 4540  cop 4546   cuni 4811   ciun 4892  cmpt 5119   I cid 5432   × cxp 5526  ccnv 5527  ran crn 5529  cres 5530  cima 5531  ccom 5532   Fn wfn 6323  wf 6324  cfv 6328  crio 7087  (class class class)co 7130  cmpo 7132  1st c1st 7662  2nd c2nd 7663  0cc0 10514  1c1 10515   + caddc 10517  cmin 10847   / cdiv 11274  cn 11615  (,)cioo 12716  [,]cicc 12719  ...cfz 12875  seqcseq 13352  t crest 16673  topGenctg 16690   Cn ccn 21808  Homeochmeo 22337  IIcii 23459   CovMap ccvm 32510
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2178  ax-ext 2793  ax-rep 5163  ax-sep 5176  ax-nul 5183  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7436  ax-cnex 10570  ax-resscn 10571  ax-1cn 10572  ax-icn 10573  ax-addcl 10574  ax-addrcl 10575  ax-mulcl 10576  ax-mulrcl 10577  ax-mulcom 10578  ax-addass 10579  ax-mulass 10580  ax-distr 10581  ax-i2m1 10582  ax-1ne0 10583  ax-1rid 10584  ax-rnegex 10585  ax-rrecex 10586  ax-cnre 10587  ax-pre-lttri 10588  ax-pre-lttrn 10589  ax-pre-ltadd 10590  ax-pre-mulgt0 10591  ax-pre-sup 10592
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2623  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2892  df-nfc 2960  df-ne 3008  df-nel 3112  df-ral 3131  df-rex 3132  df-reu 3133  df-rmo 3134  df-rab 3135  df-v 3473  df-sbc 3750  df-csb 3858  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4267  df-if 4441  df-pw 4514  df-sn 4541  df-pr 4543  df-tp 4545  df-op 4547  df-uni 4812  df-int 4850  df-iun 4894  df-iin 4895  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5120  df-tr 5146  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6121  df-ord 6167  df-on 6168  df-lim 6169  df-suc 6170  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7088  df-ov 7133  df-oprab 7134  df-mpo 7135  df-om 7556  df-1st 7664  df-2nd 7665  df-wrecs 7922  df-recs 7983  df-rdg 8021  df-oadd 8081  df-er 8264  df-map 8383  df-en 8485  df-dom 8486  df-sdom 8487  df-fin 8488  df-fi 8851  df-sup 8882  df-inf 8883  df-pnf 10654  df-mnf 10655  df-xr 10656  df-ltxr 10657  df-le 10658  df-sub 10849  df-neg 10850  df-div 11275  df-nn 11616  df-2 11678  df-3 11679  df-n0 11876  df-z 11960  df-uz 12222  df-q 12327  df-rp 12368  df-xneg 12485  df-xadd 12486  df-xmul 12487  df-ioo 12720  df-icc 12723  df-fz 12876  df-seq 13353  df-exp 13414  df-cj 14437  df-re 14438  df-im 14439  df-sqrt 14573  df-abs 14574  df-rest 16675  df-topgen 16696  df-psmet 20513  df-xmet 20514  df-met 20515  df-bl 20516  df-mopn 20517  df-top 21478  df-topon 21495  df-bases 21530  df-cld 21603  df-cn 21811  df-hmeo 22339  df-ii 23461  df-cvm 32511
This theorem is referenced by:  cvmliftlem13  32551  cvmliftlem14  32552
  Copyright terms: Public domain W3C validator