Theorem frgrregorufr 30174

Description: If there is a vertex having degree 𝐾 for each (nonnegative integer) 𝐾 in a friendship graph, then either all vertices have degree 𝐾 or there is a universal friend. This corresponds to claim 2 in [Huneke] p. 2: "Suppose there is a vertex of degree k > 1. ... all vertices have degree k, unless there is a universal friend. ... It follows that G is k-regular, i.e., the degree of every vertex is k". (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Jan-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
frgrregorufr0.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
frgrregorufr0.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
frgrregorufr0.d	⊢ 𝐷 = (VtxDeg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
frgrregorufr	⊢ (𝐺 ∈ FriendGraph → (∃𝑎 ∈ 𝑉 (𝐷‘𝑎) = 𝐾 → (∀𝑣 ∈ 𝑉 (𝐷‘𝑣) = 𝐾 ∨ ∃𝑣 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸)))

Distinct variable groups:   𝑣,𝐷,𝑤   𝑣,𝐸   𝑣,𝐺,𝑤   𝑣,𝐾,𝑤   𝑣,𝑉,𝑤   𝐷,𝑎,𝑣   𝐸,𝑎   𝐾,𝑎   𝑉,𝑎,𝑤

Allowed substitution hints:   𝐸(𝑤)   𝐺(𝑎)

Proof of Theorem frgrregorufr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frgrregorufr0.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2		frgrregorufr0.e	. . 3 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
3		frgrregorufr0.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (VtxDeg‘𝐺)
4	1, 2, 3	frgrregorufr0 30173	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ FriendGraph → (∀𝑣 ∈ 𝑉 (𝐷‘𝑣) = 𝐾 ∨ ∀𝑣 ∈ 𝑉 (𝐷‘𝑣) ≠ 𝐾 ∨ ∃𝑣 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸))
5		orc 865	. . . 4 ⊢ (∀𝑣 ∈ 𝑉 (𝐷‘𝑣) = 𝐾 → (∀𝑣 ∈ 𝑉 (𝐷‘𝑣) = 𝐾 ∨ ∃𝑣 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸))
6	5	a1d 25	. . 3 ⊢ (∀𝑣 ∈ 𝑉 (𝐷‘𝑣) = 𝐾 → (∃𝑎 ∈ 𝑉 (𝐷‘𝑎) = 𝐾 → (∀𝑣 ∈ 𝑉 (𝐷‘𝑣) = 𝐾 ∨ ∃𝑣 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸)))
7		fveq2 6890	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑣 = 𝑎 → (𝐷‘𝑣) = (𝐷‘𝑎))
8	7	neeq1d 2990	. . . . . . 7 ⊢ (𝑣 = 𝑎 → ((𝐷‘𝑣) ≠ 𝐾 ↔ (𝐷‘𝑎) ≠ 𝐾))
9	8	rspcva 3601	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑣 ∈ 𝑉 (𝐷‘𝑣) ≠ 𝐾) → (𝐷‘𝑎) ≠ 𝐾)
10		df-ne 2931	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷‘𝑎) ≠ 𝐾 ↔ ¬ (𝐷‘𝑎) = 𝐾)
11		pm2.21 123	. . . . . . 7 ⊢ (¬ (𝐷‘𝑎) = 𝐾 → ((𝐷‘𝑎) = 𝐾 → (∀𝑣 ∈ 𝑉 (𝐷‘𝑣) = 𝐾 ∨ ∃𝑣 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸)))
12	10, 11	sylbi 216	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷‘𝑎) ≠ 𝐾 → ((𝐷‘𝑎) = 𝐾 → (∀𝑣 ∈ 𝑉 (𝐷‘𝑣) = 𝐾 ∨ ∃𝑣 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸)))
13	9, 12	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑣 ∈ 𝑉 (𝐷‘𝑣) ≠ 𝐾) → ((𝐷‘𝑎) = 𝐾 → (∀𝑣 ∈ 𝑉 (𝐷‘𝑣) = 𝐾 ∨ ∃𝑣 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸)))
14	13	ancoms 457	. . . 4 ⊢ ((∀𝑣 ∈ 𝑉 (𝐷‘𝑣) ≠ 𝐾 ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) → ((𝐷‘𝑎) = 𝐾 → (∀𝑣 ∈ 𝑉 (𝐷‘𝑣) = 𝐾 ∨ ∃𝑣 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸)))
15	14	rexlimdva 3145	. . 3 ⊢ (∀𝑣 ∈ 𝑉 (𝐷‘𝑣) ≠ 𝐾 → (∃𝑎 ∈ 𝑉 (𝐷‘𝑎) = 𝐾 → (∀𝑣 ∈ 𝑉 (𝐷‘𝑣) = 𝐾 ∨ ∃𝑣 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸)))
16		olc 866	. . . 4 ⊢ (∃𝑣 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸 → (∀𝑣 ∈ 𝑉 (𝐷‘𝑣) = 𝐾 ∨ ∃𝑣 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸))
17	16	a1d 25	. . 3 ⊢ (∃𝑣 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸 → (∃𝑎 ∈ 𝑉 (𝐷‘𝑎) = 𝐾 → (∀𝑣 ∈ 𝑉 (𝐷‘𝑣) = 𝐾 ∨ ∃𝑣 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸)))
18	6, 15, 17	3jaoi 1424	. 2 ⊢ ((∀𝑣 ∈ 𝑉 (𝐷‘𝑣) = 𝐾 ∨ ∀𝑣 ∈ 𝑉 (𝐷‘𝑣) ≠ 𝐾 ∨ ∃𝑣 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸) → (∃𝑎 ∈ 𝑉 (𝐷‘𝑎) = 𝐾 → (∀𝑣 ∈ 𝑉 (𝐷‘𝑣) = 𝐾 ∨ ∃𝑣 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸)))
19	4, 18	syl 17	1 ⊢ (𝐺 ∈ FriendGraph → (∃𝑎 ∈ 𝑉 (𝐷‘𝑎) = 𝐾 → (∀𝑣 ∈ 𝑉 (𝐷‘𝑣) = 𝐾 ∨ ∃𝑣 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 394   ∨ wo 845   ∨ w3o 1083   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2930  ∀wral 3051  ∃wrex 3060   ∖ cdif 3938  {csn 4625  {cpr 4627  ‘cfv 6543  Vtxcvtx 28848  Edgcedg 28899  VtxDegcvtxdg 29318   FriendGraph cfrgr 30107

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3961  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-int 4946  df-iun 4994  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7866  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-oadd 8484  df-er 8718  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-dju 9919  df-card 9957  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12238  df-2 12300  df-n0 12498  df-xnn0 12570  df-z 12584  df-uz 12848  df-xadd 13120  df-fz 13512  df-hash 14317  df-edg 28900  df-uhgr 28910  df-ushgr 28911  df-upgr 28934  df-umgr 28935  df-uspgr 29002  df-usgr 29003  df-nbgr 29185  df-vtxdg 29319  df-frgr 30108

This theorem is referenced by:  frgrregorufrg  30175