MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frgrregorufr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frgrregorufr 29311
Description: If there is a vertex having degree 𝐾 for each (nonnegative integer) 𝐾 in a friendship graph, then either all vertices have degree 𝐾 or there is a universal friend. This corresponds to claim 2 in [Huneke] p. 2: "Suppose there is a vertex of degree k > 1. ... all vertices have degree k, unless there is a universal friend. ... It follows that G is k-regular, i.e., the degree of every vertex is k". (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Jan-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
frgrregorufr0.v 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
frgrregorufr0.e 𝐸 = (Edgβ€˜πΊ)
frgrregorufr0.d 𝐷 = (VtxDegβ€˜πΊ)
Assertion
Ref Expression
frgrregorufr (𝐺 ∈ FriendGraph β†’ (βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑉 (π·β€˜π‘Ž) = 𝐾 β†’ (βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 (π·β€˜π‘£) = 𝐾 ∨ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 βˆ€π‘€ ∈ (𝑉 βˆ– {𝑣}){𝑣, 𝑀} ∈ 𝐸)))
Distinct variable groups:   𝑣,𝐷,𝑀   𝑣,𝐸   𝑣,𝐺,𝑀   𝑣,𝐾,𝑀   𝑣,𝑉,𝑀   𝐷,π‘Ž,𝑣   𝐸,π‘Ž   𝐾,π‘Ž   𝑉,π‘Ž,𝑀
Allowed substitution hints:   𝐸(𝑀)   𝐺(π‘Ž)

Proof of Theorem frgrregorufr
StepHypRef Expression
1 frgrregorufr0.v . . 3 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
2 frgrregorufr0.e . . 3 𝐸 = (Edgβ€˜πΊ)
3 frgrregorufr0.d . . 3 𝐷 = (VtxDegβ€˜πΊ)
41, 2, 3frgrregorufr0 29310 . 2 (𝐺 ∈ FriendGraph β†’ (βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 (π·β€˜π‘£) = 𝐾 ∨ βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 (π·β€˜π‘£) β‰  𝐾 ∨ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 βˆ€π‘€ ∈ (𝑉 βˆ– {𝑣}){𝑣, 𝑀} ∈ 𝐸))
5 orc 866 . . . 4 (βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 (π·β€˜π‘£) = 𝐾 β†’ (βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 (π·β€˜π‘£) = 𝐾 ∨ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 βˆ€π‘€ ∈ (𝑉 βˆ– {𝑣}){𝑣, 𝑀} ∈ 𝐸))
65a1d 25 . . 3 (βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 (π·β€˜π‘£) = 𝐾 β†’ (βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑉 (π·β€˜π‘Ž) = 𝐾 β†’ (βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 (π·β€˜π‘£) = 𝐾 ∨ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 βˆ€π‘€ ∈ (𝑉 βˆ– {𝑣}){𝑣, 𝑀} ∈ 𝐸)))
7 fveq2 6847 . . . . . . . 8 (𝑣 = π‘Ž β†’ (π·β€˜π‘£) = (π·β€˜π‘Ž))
87neeq1d 3004 . . . . . . 7 (𝑣 = π‘Ž β†’ ((π·β€˜π‘£) β‰  𝐾 ↔ (π·β€˜π‘Ž) β‰  𝐾))
98rspcva 3582 . . . . . 6 ((π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 (π·β€˜π‘£) β‰  𝐾) β†’ (π·β€˜π‘Ž) β‰  𝐾)
10 df-ne 2945 . . . . . . 7 ((π·β€˜π‘Ž) β‰  𝐾 ↔ Β¬ (π·β€˜π‘Ž) = 𝐾)
11 pm2.21 123 . . . . . . 7 (Β¬ (π·β€˜π‘Ž) = 𝐾 β†’ ((π·β€˜π‘Ž) = 𝐾 β†’ (βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 (π·β€˜π‘£) = 𝐾 ∨ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 βˆ€π‘€ ∈ (𝑉 βˆ– {𝑣}){𝑣, 𝑀} ∈ 𝐸)))
1210, 11sylbi 216 . . . . . 6 ((π·β€˜π‘Ž) β‰  𝐾 β†’ ((π·β€˜π‘Ž) = 𝐾 β†’ (βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 (π·β€˜π‘£) = 𝐾 ∨ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 βˆ€π‘€ ∈ (𝑉 βˆ– {𝑣}){𝑣, 𝑀} ∈ 𝐸)))
139, 12syl 17 . . . . 5 ((π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 (π·β€˜π‘£) β‰  𝐾) β†’ ((π·β€˜π‘Ž) = 𝐾 β†’ (βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 (π·β€˜π‘£) = 𝐾 ∨ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 βˆ€π‘€ ∈ (𝑉 βˆ– {𝑣}){𝑣, 𝑀} ∈ 𝐸)))
1413ancoms 460 . . . 4 ((βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 (π·β€˜π‘£) β‰  𝐾 ∧ π‘Ž ∈ 𝑉) β†’ ((π·β€˜π‘Ž) = 𝐾 β†’ (βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 (π·β€˜π‘£) = 𝐾 ∨ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 βˆ€π‘€ ∈ (𝑉 βˆ– {𝑣}){𝑣, 𝑀} ∈ 𝐸)))
1514rexlimdva 3153 . . 3 (βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 (π·β€˜π‘£) β‰  𝐾 β†’ (βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑉 (π·β€˜π‘Ž) = 𝐾 β†’ (βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 (π·β€˜π‘£) = 𝐾 ∨ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 βˆ€π‘€ ∈ (𝑉 βˆ– {𝑣}){𝑣, 𝑀} ∈ 𝐸)))
16 olc 867 . . . 4 (βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 βˆ€π‘€ ∈ (𝑉 βˆ– {𝑣}){𝑣, 𝑀} ∈ 𝐸 β†’ (βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 (π·β€˜π‘£) = 𝐾 ∨ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 βˆ€π‘€ ∈ (𝑉 βˆ– {𝑣}){𝑣, 𝑀} ∈ 𝐸))
1716a1d 25 . . 3 (βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 βˆ€π‘€ ∈ (𝑉 βˆ– {𝑣}){𝑣, 𝑀} ∈ 𝐸 β†’ (βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑉 (π·β€˜π‘Ž) = 𝐾 β†’ (βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 (π·β€˜π‘£) = 𝐾 ∨ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 βˆ€π‘€ ∈ (𝑉 βˆ– {𝑣}){𝑣, 𝑀} ∈ 𝐸)))
186, 15, 173jaoi 1428 . 2 ((βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 (π·β€˜π‘£) = 𝐾 ∨ βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 (π·β€˜π‘£) β‰  𝐾 ∨ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 βˆ€π‘€ ∈ (𝑉 βˆ– {𝑣}){𝑣, 𝑀} ∈ 𝐸) β†’ (βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑉 (π·β€˜π‘Ž) = 𝐾 β†’ (βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 (π·β€˜π‘£) = 𝐾 ∨ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 βˆ€π‘€ ∈ (𝑉 βˆ– {𝑣}){𝑣, 𝑀} ∈ 𝐸)))
194, 18syl 17 1 (𝐺 ∈ FriendGraph β†’ (βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑉 (π·β€˜π‘Ž) = 𝐾 β†’ (βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 (π·β€˜π‘£) = 𝐾 ∨ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 βˆ€π‘€ ∈ (𝑉 βˆ– {𝑣}){𝑣, 𝑀} ∈ 𝐸)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∨ wo 846   ∨ w3o 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2944  βˆ€wral 3065  βˆƒwrex 3074   βˆ– cdif 3912  {csn 4591  {cpr 4593  β€˜cfv 6501  Vtxcvtx 27989  Edgcedg 28040  VtxDegcvtxdg 28455   FriendGraph cfrgr 29244
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-oadd 8421  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-dju 9844  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-nn 12161  df-2 12223  df-n0 12421  df-xnn0 12493  df-z 12507  df-uz 12771  df-xadd 13041  df-fz 13432  df-hash 14238  df-edg 28041  df-uhgr 28051  df-ushgr 28052  df-upgr 28075  df-umgr 28076  df-uspgr 28143  df-usgr 28144  df-nbgr 28323  df-vtxdg 28456  df-frgr 29245
This theorem is referenced by:  frgrregorufrg  29312
  Copyright terms: Public domain W3C validator