Theorem frgrwopregasn 30113

Description: According to statement 5 in [Huneke] p. 2: "If A ... is a singleton, then that singleton is a universal friend". This version of frgrwopreg1 30115 is stricter (claiming that the singleton itself is a universal friend instead of claiming the existence of a universal friend only) and therefore closer to Huneke's statement. This strict variant, however, is not required for the proof of the friendship theorem. (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Jan-2018.) (Revised by AV, 4-Feb-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
frgrwopreg.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
frgrwopreg.d	⊢ 𝐷 = (VtxDeg‘𝐺)
frgrwopreg.a	⊢ 𝐴 = {𝑥 ∈ 𝑉 ∣ (𝐷‘𝑥) = 𝐾}
frgrwopreg.b	⊢ 𝐵 = (𝑉 ∖ 𝐴)
frgrwopreg.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
frgrwopregasn	⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 = {𝑋}) → ∀𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑋}){𝑋, 𝑤} ∈ 𝐸)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑉   𝑥,𝐴   𝑥,𝐺   𝑥,𝐾   𝑥,𝐷   𝑥,𝑋   𝑥,𝐵   𝑤,𝐴   𝑤,𝐵   𝑤,𝐺,𝑥   𝑤,𝑉   𝑤,𝑋

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑤)   𝐸(𝑥,𝑤)   𝐾(𝑤)

Proof of Theorem frgrwopregasn

Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frgrwopreg.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2		frgrwopreg.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (VtxDeg‘𝐺)
3		frgrwopreg.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = {𝑥 ∈ 𝑉 ∣ (𝐷‘𝑥) = 𝐾}
4		frgrwopreg.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (𝑉 ∖ 𝐴)
5		frgrwopreg.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
6	1, 2, 3, 4, 5	frgrwopreglem4 30112	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ FriendGraph → ∀𝑣 ∈ 𝐴 ∀𝑤 ∈ 𝐵 {𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸)
7		snidg 4658	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → 𝑋 ∈ {𝑋})
8	7	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 = {𝑋}) → 𝑋 ∈ {𝑋})
9		eleq2 2817	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = {𝑋} → (𝑋 ∈ 𝐴 ↔ 𝑋 ∈ {𝑋}))
10	9	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 = {𝑋}) → (𝑋 ∈ 𝐴 ↔ 𝑋 ∈ {𝑋}))
11	8, 10	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 = {𝑋}) → 𝑋 ∈ 𝐴)
12		preq1 4733	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑣 = 𝑋 → {𝑣, 𝑤} = {𝑋, 𝑤})
13	12	eleq1d 2813	. . . . . . 7 ⊢ (𝑣 = 𝑋 → ({𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸 ↔ {𝑋, 𝑤} ∈ 𝐸))
14	13	ralbidv 3172	. . . . . 6 ⊢ (𝑣 = 𝑋 → (∀𝑤 ∈ 𝐵 {𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸 ↔ ∀𝑤 ∈ 𝐵 {𝑋, 𝑤} ∈ 𝐸))
15	14	rspcv 3603	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐴 → (∀𝑣 ∈ 𝐴 ∀𝑤 ∈ 𝐵 {𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸 → ∀𝑤 ∈ 𝐵 {𝑋, 𝑤} ∈ 𝐸))
16	11, 15	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 = {𝑋}) → (∀𝑣 ∈ 𝐴 ∀𝑤 ∈ 𝐵 {𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸 → ∀𝑤 ∈ 𝐵 {𝑋, 𝑤} ∈ 𝐸))
17		difeq2 4112	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = {𝑋} → (𝑉 ∖ 𝐴) = (𝑉 ∖ {𝑋}))
18	4, 17	eqtrid 2779	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = {𝑋} → 𝐵 = (𝑉 ∖ {𝑋}))
19	18	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 = {𝑋}) → 𝐵 = (𝑉 ∖ {𝑋}))
20	19	raleqdv 3320	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 = {𝑋}) → (∀𝑤 ∈ 𝐵 {𝑋, 𝑤} ∈ 𝐸 ↔ ∀𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑋}){𝑋, 𝑤} ∈ 𝐸))
21	16, 20	sylibd 238	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 = {𝑋}) → (∀𝑣 ∈ 𝐴 ∀𝑤 ∈ 𝐵 {𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸 → ∀𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑋}){𝑋, 𝑤} ∈ 𝐸))
22	6, 21	syl5com 31	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ FriendGraph → ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 = {𝑋}) → ∀𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑋}){𝑋, 𝑤} ∈ 𝐸))
23	22	3impib 1114	1 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 = {𝑋}) → ∀𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑋}){𝑋, 𝑤} ∈ 𝐸)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  ∀wral 3056  {crab 3427   ∖ cdif 3941  {csn 4624  {cpr 4626  ‘cfv 6542  Vtxcvtx 28796  Edgcedg 28847  VtxDegcvtxdg 29266   FriendGraph cfrgr 30055

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-oadd 8484  df-er 8718  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-dju 9916  df-card 9954  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12235  df-2 12297  df-n0 12495  df-xnn0 12567  df-z 12581  df-uz 12845  df-xadd 13117  df-fz 13509  df-hash 14314  df-edg 28848  df-uhgr 28858  df-ushgr 28859  df-upgr 28882  df-umgr 28883  df-uspgr 28950  df-usgr 28951  df-nbgr 29133  df-vtxdg 29267  df-frgr 30056

This theorem is referenced by:  frgrwopreg1  30115