Theorem frgrwopregasn 30782

Description: According to statement 5 in [Huneke] p. 2: "If A ... is a singleton, then that singleton is a universal friend". This version of frgrwopreg1 30784 is stricter (claiming that the singleton itself is a universal friend instead of claiming the existence of a universal friend only) and therefore closer to Huneke's statement. This strict variant, however, is not required for the proof of the friendship theorem. (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Jan-2018.) (Revised by AV, 4-Feb-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
frgrwopreg.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
frgrwopreg.d	⊢ 𝐷 = (VtxDeg‘𝐺)
frgrwopreg.a	⊢ 𝐴 = {𝑥 ∈ 𝑉 ∣ (𝐷‘𝑥) = 𝐾}
frgrwopreg.b	⊢ 𝐵 = (𝑉 ∖ 𝐴)
frgrwopreg.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
frgrwopregasn	⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 = {𝑋}) → ∀𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑋}){𝑋, 𝑤} ∈ 𝐸)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑉   𝑥,𝐴   𝑥,𝐺   𝑥,𝐾   𝑥,𝐷   𝑥,𝑋   𝑥,𝐵   𝑤,𝐴   𝑤,𝐵   𝑤,𝐺,𝑥   𝑤,𝑉   𝑤,𝑋

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑤)   𝐸(𝑥, 𝑤)   𝐾(𝑤)

Proof of Theorem frgrwopregasn

Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frgrwopreg.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2		frgrwopreg.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (VtxDeg‘𝐺)
3		frgrwopreg.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = {𝑥 ∈ 𝑉 ∣ (𝐷‘𝑥) = 𝐾}
4		frgrwopreg.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (𝑉 ∖ 𝐴)
5		frgrwopreg.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
6	1, 2, 3, 4, 5	frgrwopreglem4 30781	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ FriendGraph → ∀𝑣 ∈ 𝐴 ∀𝑤 ∈ 𝐵 {𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸)
7		snidg 4624	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → 𝑋 ∈ {𝑋})
8	7	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 = {𝑋}) → 𝑋 ∈ {𝑋})
9		eleq2 2851	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = {𝑋} → (𝑋 ∈ 𝐴 ↔ 𝑋 ∈ {𝑋}))
10	9	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 = {𝑋}) → (𝑋 ∈ 𝐴 ↔ 𝑋 ∈ {𝑋}))
11	8, 10	mpbird 260	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 = {𝑋}) → 𝑋 ∈ 𝐴)
12		preq1 4697	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑣 = 𝑋 → {𝑣, 𝑤} = {𝑋, 𝑤})
13	12	eleq1d 2847	. . . . . . 7 ⊢ (𝑣 = 𝑋 → ({𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸 ↔ {𝑋, 𝑤} ∈ 𝐸))
14	13	ralbidv 3187	. . . . . 6 ⊢ (𝑣 = 𝑋 → (∀𝑤 ∈ 𝐵 {𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸 ↔ ∀𝑤 ∈ 𝐵 {𝑋, 𝑤} ∈ 𝐸))
15	14	rspcv 3575	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐴 → (∀𝑣 ∈ 𝐴 ∀𝑤 ∈ 𝐵 {𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸 → ∀𝑤 ∈ 𝐵 {𝑋, 𝑤} ∈ 𝐸))
16	11, 15	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 = {𝑋}) → (∀𝑣 ∈ 𝐴 ∀𝑤 ∈ 𝐵 {𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸 → ∀𝑤 ∈ 𝐵 {𝑋, 𝑤} ∈ 𝐸))
17		difeq2 4071	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = {𝑋} → (𝑉 ∖ 𝐴) = (𝑉 ∖ {𝑋}))
18	4, 17	eqtrid 2809	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = {𝑋} → 𝐵 = (𝑉 ∖ {𝑋}))
19	18	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 = {𝑋}) → 𝐵 = (𝑉 ∖ {𝑋}))
20	19	raleqdv 3321	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 = {𝑋}) → (∀𝑤 ∈ 𝐵 {𝑋, 𝑤} ∈ 𝐸 ↔ ∀𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑋}){𝑋, 𝑤} ∈ 𝐸))
21	16, 20	sylibd 242	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 = {𝑋}) → (∀𝑣 ∈ 𝐴 ∀𝑤 ∈ 𝐵 {𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸 → ∀𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑋}){𝑋, 𝑤} ∈ 𝐸))
22	6, 21	syl5com 32	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ FriendGraph → ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 = {𝑋}) → ∀𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑋}){𝑋, 𝑤} ∈ 𝐸))
23	22	3impib 1134	1 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 = {𝑋}) → ∀𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑋}){𝑋, 𝑤} ∈ 𝐸)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3078  {crab 3414   ∖ cdif 3899  {csn 4587  {cpr 4589  ‘cfv 6537  Vtxcvtx 29439  Edgcedg 29490  VtxDegcvtxdg 29911   FriendGraph cfrgr 30724

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8458  df-2o 8459  df-oadd 8462  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-dju 9909  df-card 9947  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12261  df-2 12330  df-n0 12532  df-xnn0 12605  df-z 12619  df-uz 12891  df-xadd 13166  df-fz 13564  df-hash 14397  df-edg 29491  df-uhgr 29501  df-ushgr 29502  df-upgr 29525  df-umgr 29526  df-uspgr 29596  df-usgr 29597  df-nbgr 29779  df-vtxdg 29912  df-frgr 30725

This theorem is used by:  frgrwopreg1  30784