MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frgrwopregasn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frgrwopregasn 30335
Description: According to statement 5 in [Huneke] p. 2: "If A ... is a singleton, then that singleton is a universal friend". This version of frgrwopreg1 30337 is stricter (claiming that the singleton itself is a universal friend instead of claiming the existence of a universal friend only) and therefore closer to Huneke's statement. This strict variant, however, is not required for the proof of the friendship theorem. (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Jan-2018.) (Revised by AV, 4-Feb-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
frgrwopreg.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
frgrwopreg.d 𝐷 = (VtxDeg‘𝐺)
frgrwopreg.a 𝐴 = {𝑥𝑉 ∣ (𝐷𝑥) = 𝐾}
frgrwopreg.b 𝐵 = (𝑉𝐴)
frgrwopreg.e 𝐸 = (Edg‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
frgrwopregasn ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋𝑉𝐴 = {𝑋}) → ∀𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑋}){𝑋, 𝑤} ∈ 𝐸)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑉   𝑥,𝐴   𝑥,𝐺   𝑥,𝐾   𝑥,𝐷   𝑥,𝑋   𝑥,𝐵   𝑤,𝐴   𝑤,𝐵   𝑤,𝐺,𝑥   𝑤,𝑉   𝑤,𝑋
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑤)   𝐸(𝑥,𝑤)   𝐾(𝑤)

Proof of Theorem frgrwopregasn
Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frgrwopreg.v . . . 4 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2 frgrwopreg.d . . . 4 𝐷 = (VtxDeg‘𝐺)
3 frgrwopreg.a . . . 4 𝐴 = {𝑥𝑉 ∣ (𝐷𝑥) = 𝐾}
4 frgrwopreg.b . . . 4 𝐵 = (𝑉𝐴)
5 frgrwopreg.e . . . 4 𝐸 = (Edg‘𝐺)
61, 2, 3, 4, 5frgrwopreglem4 30334 . . 3 (𝐺 ∈ FriendGraph → ∀𝑣𝐴𝑤𝐵 {𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸)
7 snidg 4660 . . . . . . 7 (𝑋𝑉𝑋 ∈ {𝑋})
87adantr 480 . . . . . 6 ((𝑋𝑉𝐴 = {𝑋}) → 𝑋 ∈ {𝑋})
9 eleq2 2830 . . . . . . 7 (𝐴 = {𝑋} → (𝑋𝐴𝑋 ∈ {𝑋}))
109adantl 481 . . . . . 6 ((𝑋𝑉𝐴 = {𝑋}) → (𝑋𝐴𝑋 ∈ {𝑋}))
118, 10mpbird 257 . . . . 5 ((𝑋𝑉𝐴 = {𝑋}) → 𝑋𝐴)
12 preq1 4733 . . . . . . . 8 (𝑣 = 𝑋 → {𝑣, 𝑤} = {𝑋, 𝑤})
1312eleq1d 2826 . . . . . . 7 (𝑣 = 𝑋 → ({𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸 ↔ {𝑋, 𝑤} ∈ 𝐸))
1413ralbidv 3178 . . . . . 6 (𝑣 = 𝑋 → (∀𝑤𝐵 {𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸 ↔ ∀𝑤𝐵 {𝑋, 𝑤} ∈ 𝐸))
1514rspcv 3618 . . . . 5 (𝑋𝐴 → (∀𝑣𝐴𝑤𝐵 {𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸 → ∀𝑤𝐵 {𝑋, 𝑤} ∈ 𝐸))
1611, 15syl 17 . . . 4 ((𝑋𝑉𝐴 = {𝑋}) → (∀𝑣𝐴𝑤𝐵 {𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸 → ∀𝑤𝐵 {𝑋, 𝑤} ∈ 𝐸))
17 difeq2 4120 . . . . . . 7 (𝐴 = {𝑋} → (𝑉𝐴) = (𝑉 ∖ {𝑋}))
184, 17eqtrid 2789 . . . . . 6 (𝐴 = {𝑋} → 𝐵 = (𝑉 ∖ {𝑋}))
1918adantl 481 . . . . 5 ((𝑋𝑉𝐴 = {𝑋}) → 𝐵 = (𝑉 ∖ {𝑋}))
2019raleqdv 3326 . . . 4 ((𝑋𝑉𝐴 = {𝑋}) → (∀𝑤𝐵 {𝑋, 𝑤} ∈ 𝐸 ↔ ∀𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑋}){𝑋, 𝑤} ∈ 𝐸))
2116, 20sylibd 239 . . 3 ((𝑋𝑉𝐴 = {𝑋}) → (∀𝑣𝐴𝑤𝐵 {𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸 → ∀𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑋}){𝑋, 𝑤} ∈ 𝐸))
226, 21syl5com 31 . 2 (𝐺 ∈ FriendGraph → ((𝑋𝑉𝐴 = {𝑋}) → ∀𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑋}){𝑋, 𝑤} ∈ 𝐸))
23223impib 1117 1 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋𝑉𝐴 = {𝑋}) → ∀𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑋}){𝑋, 𝑤} ∈ 𝐸)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wral 3061  {crab 3436  cdif 3948  {csn 4626  {cpr 4628  cfv 6561  Vtxcvtx 29013  Edgcedg 29064  VtxDegcvtxdg 29483   FriendGraph cfrgr 30277
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-oadd 8510  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-dju 9941  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-n0 12527  df-xnn0 12600  df-z 12614  df-uz 12879  df-xadd 13155  df-fz 13548  df-hash 14370  df-edg 29065  df-uhgr 29075  df-ushgr 29076  df-upgr 29099  df-umgr 29100  df-uspgr 29167  df-usgr 29168  df-nbgr 29350  df-vtxdg 29484  df-frgr 30278
This theorem is referenced by:  frgrwopreg1  30337
  Copyright terms: Public domain W3C validator