Theorem frgrwopregasn 30407

Description: According to statement 5 in [Huneke] p. 2: "If A ... is a singleton, then that singleton is a universal friend". This version of frgrwopreg1 30409 is stricter (claiming that the singleton itself is a universal friend instead of claiming the existence of a universal friend only) and therefore closer to Huneke's statement. This strict variant, however, is not required for the proof of the friendship theorem. (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Jan-2018.) (Revised by AV, 4-Feb-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
frgrwopreg.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
frgrwopreg.d	⊢ 𝐷 = (VtxDeg‘𝐺)
frgrwopreg.a	⊢ 𝐴 = {𝑥 ∈ 𝑉 ∣ (𝐷‘𝑥) = 𝐾}
frgrwopreg.b	⊢ 𝐵 = (𝑉 ∖ 𝐴)
frgrwopreg.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
frgrwopregasn	⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 = {𝑋}) → ∀𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑋}){𝑋, 𝑤} ∈ 𝐸)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑉   𝑥,𝐴   𝑥,𝐺   𝑥,𝐾   𝑥,𝐷   𝑥,𝑋   𝑥,𝐵   𝑤,𝐴   𝑤,𝐵   𝑤,𝐺,𝑥   𝑤,𝑉   𝑤,𝑋

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑤)   𝐸(𝑥,𝑤)   𝐾(𝑤)

Proof of Theorem frgrwopregasn

Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frgrwopreg.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2		frgrwopreg.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (VtxDeg‘𝐺)
3		frgrwopreg.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = {𝑥 ∈ 𝑉 ∣ (𝐷‘𝑥) = 𝐾}
4		frgrwopreg.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (𝑉 ∖ 𝐴)
5		frgrwopreg.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
6	1, 2, 3, 4, 5	frgrwopreglem4 30406	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ FriendGraph → ∀𝑣 ∈ 𝐴 ∀𝑤 ∈ 𝐵 {𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸)
7		snidg 4605	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → 𝑋 ∈ {𝑋})
8	7	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 = {𝑋}) → 𝑋 ∈ {𝑋})
9		eleq2 2826	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = {𝑋} → (𝑋 ∈ 𝐴 ↔ 𝑋 ∈ {𝑋}))
10	9	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 = {𝑋}) → (𝑋 ∈ 𝐴 ↔ 𝑋 ∈ {𝑋}))
11	8, 10	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 = {𝑋}) → 𝑋 ∈ 𝐴)
12		preq1 4678	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑣 = 𝑋 → {𝑣, 𝑤} = {𝑋, 𝑤})
13	12	eleq1d 2822	. . . . . . 7 ⊢ (𝑣 = 𝑋 → ({𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸 ↔ {𝑋, 𝑤} ∈ 𝐸))
14	13	ralbidv 3161	. . . . . 6 ⊢ (𝑣 = 𝑋 → (∀𝑤 ∈ 𝐵 {𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸 ↔ ∀𝑤 ∈ 𝐵 {𝑋, 𝑤} ∈ 𝐸))
15	14	rspcv 3561	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐴 → (∀𝑣 ∈ 𝐴 ∀𝑤 ∈ 𝐵 {𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸 → ∀𝑤 ∈ 𝐵 {𝑋, 𝑤} ∈ 𝐸))
16	11, 15	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 = {𝑋}) → (∀𝑣 ∈ 𝐴 ∀𝑤 ∈ 𝐵 {𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸 → ∀𝑤 ∈ 𝐵 {𝑋, 𝑤} ∈ 𝐸))
17		difeq2 4061	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = {𝑋} → (𝑉 ∖ 𝐴) = (𝑉 ∖ {𝑋}))
18	4, 17	eqtrid 2784	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = {𝑋} → 𝐵 = (𝑉 ∖ {𝑋}))
19	18	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 = {𝑋}) → 𝐵 = (𝑉 ∖ {𝑋}))
20	19	raleqdv 3296	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 = {𝑋}) → (∀𝑤 ∈ 𝐵 {𝑋, 𝑤} ∈ 𝐸 ↔ ∀𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑋}){𝑋, 𝑤} ∈ 𝐸))
21	16, 20	sylibd 239	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 = {𝑋}) → (∀𝑣 ∈ 𝐴 ∀𝑤 ∈ 𝐵 {𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸 → ∀𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑋}){𝑋, 𝑤} ∈ 𝐸))
22	6, 21	syl5com 31	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ FriendGraph → ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 = {𝑋}) → ∀𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑋}){𝑋, 𝑤} ∈ 𝐸))
23	22	3impib 1117	1 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 = {𝑋}) → ∀𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑋}){𝑋, 𝑤} ∈ 𝐸)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  {crab 3390   ∖ cdif 3887  {csn 4568  {cpr 4570  ‘cfv 6496  Vtxcvtx 29085  Edgcedg 29136  VtxDegcvtxdg 29555   FriendGraph cfrgr 30349

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5306  ax-pr 5374  ax-un 7686  ax-cnex 11091  ax-resscn 11092  ax-1cn 11093  ax-icn 11094  ax-addcl 11095  ax-addrcl 11096  ax-mulcl 11097  ax-mulrcl 11098  ax-mulcom 11099  ax-addass 11100  ax-mulass 11101  ax-distr 11102  ax-i2m1 11103  ax-1ne0 11104  ax-1rid 11105  ax-rnegex 11106  ax-rrecex 11107  ax-cnre 11108  ax-pre-lttri 11109  ax-pre-lttrn 11110  ax-pre-ltadd 11111  ax-pre-mulgt0 11112

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5523  df-eprel 5528  df-po 5536  df-so 5537  df-fr 5581  df-we 5583  df-xp 5634  df-rel 5635  df-cnv 5636  df-co 5637  df-dm 5638  df-rn 5639  df-res 5640  df-ima 5641  df-pred 6263  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7321  df-ov 7367  df-oprab 7368  df-mpo 7369  df-om 7815  df-1st 7939  df-2nd 7940  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-1o 8402  df-2o 8403  df-oadd 8406  df-er 8640  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-dju 9822  df-card 9860  df-pnf 11178  df-mnf 11179  df-xr 11180  df-ltxr 11181  df-le 11182  df-sub 11376  df-neg 11377  df-nn 12172  df-2 12241  df-n0 12435  df-xnn0 12508  df-z 12522  df-uz 12786  df-xadd 13061  df-fz 13459  df-hash 14290  df-edg 29137  df-uhgr 29147  df-ushgr 29148  df-upgr 29171  df-umgr 29172  df-uspgr 29239  df-usgr 29240  df-nbgr 29422  df-vtxdg 29556  df-frgr 30350

This theorem is referenced by:  frgrwopreg1  30409