Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frgrwopregasn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frgrwopregasn 28107
 Description: According to statement 5 in [Huneke] p. 2: "If A ... is a singleton, then that singleton is a universal friend". This version of frgrwopreg1 28109 is stricter (claiming that the singleton itself is a universal friend instead of claiming the existence of a universal friend only) and therefore closer to Huneke's statement. This strict variant, however, is not required for the proof of the friendship theorem. (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Jan-2018.) (Revised by AV, 4-Feb-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
frgrwopreg.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
frgrwopreg.d 𝐷 = (VtxDeg‘𝐺)
frgrwopreg.a 𝐴 = {𝑥𝑉 ∣ (𝐷𝑥) = 𝐾}
frgrwopreg.b 𝐵 = (𝑉𝐴)
frgrwopreg.e 𝐸 = (Edg‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
frgrwopregasn ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋𝑉𝐴 = {𝑋}) → ∀𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑋}){𝑋, 𝑤} ∈ 𝐸)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑉   𝑥,𝐴   𝑥,𝐺   𝑥,𝐾   𝑥,𝐷   𝑥,𝑋   𝑥,𝐵   𝑤,𝐴   𝑤,𝐵   𝑤,𝐺,𝑥   𝑤,𝑉   𝑤,𝑋
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑤)   𝐸(𝑥,𝑤)   𝐾(𝑤)

Proof of Theorem frgrwopregasn
Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frgrwopreg.v . . . 4 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2 frgrwopreg.d . . . 4 𝐷 = (VtxDeg‘𝐺)
3 frgrwopreg.a . . . 4 𝐴 = {𝑥𝑉 ∣ (𝐷𝑥) = 𝐾}
4 frgrwopreg.b . . . 4 𝐵 = (𝑉𝐴)
5 frgrwopreg.e . . . 4 𝐸 = (Edg‘𝐺)
61, 2, 3, 4, 5frgrwopreglem4 28106 . . 3 (𝐺 ∈ FriendGraph → ∀𝑣𝐴𝑤𝐵 {𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸)
7 snidg 4584 . . . . . . 7 (𝑋𝑉𝑋 ∈ {𝑋})
87adantr 484 . . . . . 6 ((𝑋𝑉𝐴 = {𝑋}) → 𝑋 ∈ {𝑋})
9 eleq2 2904 . . . . . . 7 (𝐴 = {𝑋} → (𝑋𝐴𝑋 ∈ {𝑋}))
109adantl 485 . . . . . 6 ((𝑋𝑉𝐴 = {𝑋}) → (𝑋𝐴𝑋 ∈ {𝑋}))
118, 10mpbird 260 . . . . 5 ((𝑋𝑉𝐴 = {𝑋}) → 𝑋𝐴)
12 preq1 4654 . . . . . . . 8 (𝑣 = 𝑋 → {𝑣, 𝑤} = {𝑋, 𝑤})
1312eleq1d 2900 . . . . . . 7 (𝑣 = 𝑋 → ({𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸 ↔ {𝑋, 𝑤} ∈ 𝐸))
1413ralbidv 3192 . . . . . 6 (𝑣 = 𝑋 → (∀𝑤𝐵 {𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸 ↔ ∀𝑤𝐵 {𝑋, 𝑤} ∈ 𝐸))
1514rspcv 3604 . . . . 5 (𝑋𝐴 → (∀𝑣𝐴𝑤𝐵 {𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸 → ∀𝑤𝐵 {𝑋, 𝑤} ∈ 𝐸))
1611, 15syl 17 . . . 4 ((𝑋𝑉𝐴 = {𝑋}) → (∀𝑣𝐴𝑤𝐵 {𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸 → ∀𝑤𝐵 {𝑋, 𝑤} ∈ 𝐸))
17 difeq2 4079 . . . . . . 7 (𝐴 = {𝑋} → (𝑉𝐴) = (𝑉 ∖ {𝑋}))
184, 17syl5eq 2871 . . . . . 6 (𝐴 = {𝑋} → 𝐵 = (𝑉 ∖ {𝑋}))
1918adantl 485 . . . . 5 ((𝑋𝑉𝐴 = {𝑋}) → 𝐵 = (𝑉 ∖ {𝑋}))
2019raleqdv 3402 . . . 4 ((𝑋𝑉𝐴 = {𝑋}) → (∀𝑤𝐵 {𝑋, 𝑤} ∈ 𝐸 ↔ ∀𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑋}){𝑋, 𝑤} ∈ 𝐸))
2116, 20sylibd 242 . . 3 ((𝑋𝑉𝐴 = {𝑋}) → (∀𝑣𝐴𝑤𝐵 {𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸 → ∀𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑋}){𝑋, 𝑤} ∈ 𝐸))
226, 21syl5com 31 . 2 (𝐺 ∈ FriendGraph → ((𝑋𝑉𝐴 = {𝑋}) → ∀𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑋}){𝑋, 𝑤} ∈ 𝐸))
23223impib 1113 1 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋𝑉𝐴 = {𝑋}) → ∀𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑋}){𝑋, 𝑤} ∈ 𝐸)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2115  ∀wral 3133  {crab 3137   ∖ cdif 3916  {csn 4550  {cpr 4552  ‘cfv 6343  Vtxcvtx 26795  Edgcedg 26846  VtxDegcvtxdg 27261   FriendGraph cfrgr 28049 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-cnex 10591  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611  ax-pre-mulgt0 10612 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-om 7575  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-1o 8098  df-2o 8099  df-oadd 8102  df-er 8285  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-fin 8509  df-dju 9327  df-card 9365  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-le 10679  df-sub 10870  df-neg 10871  df-nn 11635  df-2 11697  df-n0 11895  df-xnn0 11965  df-z 11979  df-uz 12241  df-xadd 12505  df-fz 12895  df-hash 13696  df-edg 26847  df-uhgr 26857  df-ushgr 26858  df-upgr 26881  df-umgr 26882  df-uspgr 26949  df-usgr 26950  df-nbgr 27129  df-vtxdg 27262  df-frgr 28050 This theorem is referenced by:  frgrwopreg1  28109
 Copyright terms: Public domain W3C validator