MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frgrwopreg1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frgrwopreg1 29304
Description: According to statement 5 in [Huneke] p. 2: "If A ... is a singleton, then that singleton is a universal friend". (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Jan-2018.) (Proof shortened by AV, 4-Feb-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
frgrwopreg.v 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
frgrwopreg.d 𝐷 = (VtxDegβ€˜πΊ)
frgrwopreg.a 𝐴 = {π‘₯ ∈ 𝑉 ∣ (π·β€˜π‘₯) = 𝐾}
frgrwopreg.b 𝐡 = (𝑉 βˆ– 𝐴)
frgrwopreg.e 𝐸 = (Edgβ€˜πΊ)
Assertion
Ref Expression
frgrwopreg1 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (β™―β€˜π΄) = 1) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 βˆ€π‘€ ∈ (𝑉 βˆ– {𝑣}){𝑣, 𝑀} ∈ 𝐸)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑉   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝐺   π‘₯,𝐾   π‘₯,𝐷   π‘₯,𝐡   𝑣,𝐴,𝑀   𝑣,𝐡,𝑀   𝑣,𝐸   𝑣,𝐺,𝑀,π‘₯   𝑀,𝑉,𝑣
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑀,𝑣)   𝐸(π‘₯,𝑀)   𝐾(𝑀,𝑣)

Proof of Theorem frgrwopreg1
StepHypRef Expression
1 frgrwopreg.a . . . . 5 𝐴 = {π‘₯ ∈ 𝑉 ∣ (π·β€˜π‘₯) = 𝐾}
2 frgrwopreg.v . . . . . 6 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
32fvexi 6861 . . . . 5 𝑉 ∈ V
41, 3rabex2 5296 . . . 4 𝐴 ∈ V
5 hash1snb 14326 . . . 4 (𝐴 ∈ V β†’ ((β™―β€˜π΄) = 1 ↔ βˆƒπ‘£ 𝐴 = {𝑣}))
64, 5ax-mp 5 . . 3 ((β™―β€˜π΄) = 1 ↔ βˆƒπ‘£ 𝐴 = {𝑣})
7 exsnrex 4646 . . . . 5 (βˆƒπ‘£ 𝐴 = {𝑣} ↔ βˆƒπ‘£ ∈ 𝐴 𝐴 = {𝑣})
81ssrab3 4045 . . . . . . 7 𝐴 βŠ† 𝑉
9 ssrexv 4016 . . . . . . 7 (𝐴 βŠ† 𝑉 β†’ (βˆƒπ‘£ ∈ 𝐴 𝐴 = {𝑣} β†’ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 𝐴 = {𝑣}))
108, 9ax-mp 5 . . . . . 6 (βˆƒπ‘£ ∈ 𝐴 𝐴 = {𝑣} β†’ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 𝐴 = {𝑣})
11 frgrwopreg.d . . . . . . . . 9 𝐷 = (VtxDegβ€˜πΊ)
12 frgrwopreg.b . . . . . . . . 9 𝐡 = (𝑉 βˆ– 𝐴)
13 frgrwopreg.e . . . . . . . . 9 𝐸 = (Edgβ€˜πΊ)
142, 11, 1, 12, 13frgrwopregasn 29302 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 = {𝑣}) β†’ βˆ€π‘€ ∈ (𝑉 βˆ– {𝑣}){𝑣, 𝑀} ∈ 𝐸)
15143expia 1122 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) β†’ (𝐴 = {𝑣} β†’ βˆ€π‘€ ∈ (𝑉 βˆ– {𝑣}){𝑣, 𝑀} ∈ 𝐸))
1615reximdva 3166 . . . . . 6 (𝐺 ∈ FriendGraph β†’ (βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 𝐴 = {𝑣} β†’ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 βˆ€π‘€ ∈ (𝑉 βˆ– {𝑣}){𝑣, 𝑀} ∈ 𝐸))
1710, 16syl5com 31 . . . . 5 (βˆƒπ‘£ ∈ 𝐴 𝐴 = {𝑣} β†’ (𝐺 ∈ FriendGraph β†’ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 βˆ€π‘€ ∈ (𝑉 βˆ– {𝑣}){𝑣, 𝑀} ∈ 𝐸))
187, 17sylbi 216 . . . 4 (βˆƒπ‘£ 𝐴 = {𝑣} β†’ (𝐺 ∈ FriendGraph β†’ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 βˆ€π‘€ ∈ (𝑉 βˆ– {𝑣}){𝑣, 𝑀} ∈ 𝐸))
1918com12 32 . . 3 (𝐺 ∈ FriendGraph β†’ (βˆƒπ‘£ 𝐴 = {𝑣} β†’ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 βˆ€π‘€ ∈ (𝑉 βˆ– {𝑣}){𝑣, 𝑀} ∈ 𝐸))
206, 19biimtrid 241 . 2 (𝐺 ∈ FriendGraph β†’ ((β™―β€˜π΄) = 1 β†’ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 βˆ€π‘€ ∈ (𝑉 βˆ– {𝑣}){𝑣, 𝑀} ∈ 𝐸))
2120imp 408 1 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (β™―β€˜π΄) = 1) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 βˆ€π‘€ ∈ (𝑉 βˆ– {𝑣}){𝑣, 𝑀} ∈ 𝐸)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542  βˆƒwex 1782   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3065  βˆƒwrex 3074  {crab 3410  Vcvv 3448   βˆ– cdif 3912   βŠ† wss 3915  {csn 4591  {cpr 4593  β€˜cfv 6501  1c1 11059  β™―chash 14237  Vtxcvtx 27989  Edgcedg 28040  VtxDegcvtxdg 28455   FriendGraph cfrgr 29244
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-oadd 8421  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-dju 9844  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-nn 12161  df-2 12223  df-n0 12421  df-xnn0 12493  df-z 12507  df-uz 12771  df-xadd 13041  df-fz 13432  df-hash 14238  df-edg 28041  df-uhgr 28051  df-ushgr 28052  df-upgr 28075  df-umgr 28076  df-uspgr 28143  df-usgr 28144  df-nbgr 28323  df-vtxdg 28456  df-frgr 29245
This theorem is referenced by:  frgrregorufr0  29310
  Copyright terms: Public domain W3C validator