Theorem frgrwopreg1 30852

Description: According to statement 5 in [Huneke] p. 2: "If A ... is a singleton, then that singleton is a universal friend". (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Jan-2018.) (Proof shortened by AV, 4-Feb-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
frgrwopreg.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
frgrwopreg.d	⊢ 𝐷 = (VtxDeg‘𝐺)
frgrwopreg.a	⊢ 𝐴 = {𝑥 ∈ 𝑉 ∣ (𝐷‘𝑥) = 𝐾}
frgrwopreg.b	⊢ 𝐵 = (𝑉 ∖ 𝐴)
frgrwopreg.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
frgrwopreg1	⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (♯‘𝐴) = 1) → ∃𝑣 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑉   𝑥,𝐴   𝑥,𝐺   𝑥,𝐾   𝑥,𝐷   𝑥,𝐵   𝑣,𝐴,𝑤   𝑣,𝐵,𝑤   𝑣,𝐸   𝑣,𝐺,𝑤,𝑥   𝑤,𝑉,𝑣

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑤, 𝑣)   𝐸(𝑥, 𝑤)   𝐾(𝑤, 𝑣)

Proof of Theorem frgrwopreg1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frgrwopreg.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = {𝑥 ∈ 𝑉 ∣ (𝐷‘𝑥) = 𝐾}
2		frgrwopreg.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
3	2	fvexi 6887	. . . . 5 ⊢ 𝑉 ∈ V
4	1, 3	rabex2 5301	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ V
5		hash1snb 14531	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ V → ((♯‘𝐴) = 1 ↔ ∃𝑣 𝐴 = {𝑣}))
6	4, 5	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ((♯‘𝐴) = 1 ↔ ∃𝑣 𝐴 = {𝑣})
7		exsnrex 4640	. . . . 5 ⊢ (∃𝑣 𝐴 = {𝑣} ↔ ∃𝑣 ∈ 𝐴 𝐴 = {𝑣})
8	1	ssrab3 4029	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 ⊆ 𝑉
9		ssrexv 4000	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝑉 → (∃𝑣 ∈ 𝐴 𝐴 = {𝑣} → ∃𝑣 ∈ 𝑉 𝐴 = {𝑣}))
10	8, 9	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑣 ∈ 𝐴 𝐴 = {𝑣} → ∃𝑣 ∈ 𝑉 𝐴 = {𝑣})
11		frgrwopreg.d	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐷 = (VtxDeg‘𝐺)
12		frgrwopreg.b	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = (𝑉 ∖ 𝐴)
13		frgrwopreg.e	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
14	2, 11, 1, 12, 13	frgrwopregasn 30850	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 = {𝑣}) → ∀𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸)
15	14	3expia 1139	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → (𝐴 = {𝑣} → ∀𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸))
16	15	reximdva 3175	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ FriendGraph → (∃𝑣 ∈ 𝑉 𝐴 = {𝑣} → ∃𝑣 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸))
17	10, 16	syl5com 32	. . . . 5 ⊢ (∃𝑣 ∈ 𝐴 𝐴 = {𝑣} → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃𝑣 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸))
18	7, 17	sylbi 220	. . . 4 ⊢ (∃𝑣 𝐴 = {𝑣} → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃𝑣 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸))
19	18	com12 33	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ FriendGraph → (∃𝑣 𝐴 = {𝑣} → ∃𝑣 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸))
20	6, 19	biimtrid 245	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ FriendGraph → ((♯‘𝐴) = 1 → ∃𝑣 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸))
21	20	imp 412	1 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (♯‘𝐴) = 1) → ∃𝑣 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570  ∃wex 1812   ∈ wcel 2145  ∀wral 3076  ∃wrex 3086  {crab 3412  Vcvv 3450   ∖ cdif 3895   ⊆ wss 3898  {csn 4583  {cpr 4585  ‘cfv 6527  1c1 11172  ♯chash 14441  Vtxcvtx 29507  Edgcedg 29558  VtxDegcvtxdg 29979   FriendGraph cfrgr 30792

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734  ax-cnex 11227  ax-resscn 11228  ax-1cn 11229  ax-icn 11230  ax-addcl 11231  ax-addrcl 11232  ax-mulcl 11233  ax-mulrcl 11234  ax-mulcom 11235  ax-addass 11236  ax-mulass 11237  ax-distr 11238  ax-i2m1 11239  ax-1ne0 11240  ax-1rid 11241  ax-rnegex 11242  ax-rrecex 11243  ax-cnre 11244  ax-pre-lttri 11245  ax-pre-lttrn 11246  ax-pre-ltadd 11247  ax-pre-mulgt0 11248

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6293  df-ord 6354  df-on 6355  df-lim 6356  df-suc 6357  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8454  df-2o 8455  df-oadd 8458  df-er 8695  df-en 8952  df-dom 8953  df-sdom 8954  df-fin 8955  df-dju 9953  df-card 9991  df-pnf 11316  df-mnf 11317  df-xr 11318  df-ltxr 11319  df-le 11320  df-sub 11514  df-neg 11515  df-nn 12305  df-2 12374  df-n0 12576  df-xnn0 12649  df-z 12663  df-uz 12935  df-xadd 13211  df-fz 13609  df-hash 14442  df-edg 29559  df-uhgr 29569  df-ushgr 29570  df-upgr 29593  df-umgr 29594  df-uspgr 29664  df-usgr 29665  df-nbgr 29847  df-vtxdg 29980  df-frgr 30793

This theorem is used by:  frgrregorufr0  30858