Theorem frgrwopreg1 30305

Description: According to statement 5 in [Huneke] p. 2: "If A ... is a singleton, then that singleton is a universal friend". (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Jan-2018.) (Proof shortened by AV, 4-Feb-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
frgrwopreg.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
frgrwopreg.d	⊢ 𝐷 = (VtxDeg‘𝐺)
frgrwopreg.a	⊢ 𝐴 = {𝑥 ∈ 𝑉 ∣ (𝐷‘𝑥) = 𝐾}
frgrwopreg.b	⊢ 𝐵 = (𝑉 ∖ 𝐴)
frgrwopreg.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
frgrwopreg1	⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (♯‘𝐴) = 1) → ∃𝑣 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑉   𝑥,𝐴   𝑥,𝐺   𝑥,𝐾   𝑥,𝐷   𝑥,𝐵   𝑣,𝐴,𝑤   𝑣,𝐵,𝑤   𝑣,𝐸   𝑣,𝐺,𝑤,𝑥   𝑤,𝑉,𝑣

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑤,𝑣)   𝐸(𝑥,𝑤)   𝐾(𝑤,𝑣)

Proof of Theorem frgrwopreg1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frgrwopreg.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = {𝑥 ∈ 𝑉 ∣ (𝐷‘𝑥) = 𝐾}
2		frgrwopreg.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
3	2	fvexi 6842	. . . . 5 ⊢ 𝑉 ∈ V
4	1, 3	rabex2 5281	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ V
5		hash1snb 14332	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ V → ((♯‘𝐴) = 1 ↔ ∃𝑣 𝐴 = {𝑣}))
6	4, 5	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ((♯‘𝐴) = 1 ↔ ∃𝑣 𝐴 = {𝑣})
7		exsnrex 4632	. . . . 5 ⊢ (∃𝑣 𝐴 = {𝑣} ↔ ∃𝑣 ∈ 𝐴 𝐴 = {𝑣})
8	1	ssrab3 4031	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 ⊆ 𝑉
9		ssrexv 3999	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝑉 → (∃𝑣 ∈ 𝐴 𝐴 = {𝑣} → ∃𝑣 ∈ 𝑉 𝐴 = {𝑣}))
10	8, 9	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑣 ∈ 𝐴 𝐴 = {𝑣} → ∃𝑣 ∈ 𝑉 𝐴 = {𝑣})
11		frgrwopreg.d	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐷 = (VtxDeg‘𝐺)
12		frgrwopreg.b	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = (𝑉 ∖ 𝐴)
13		frgrwopreg.e	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
14	2, 11, 1, 12, 13	frgrwopregasn 30303	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 = {𝑣}) → ∀𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸)
15	14	3expia 1121	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → (𝐴 = {𝑣} → ∀𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸))
16	15	reximdva 3145	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ FriendGraph → (∃𝑣 ∈ 𝑉 𝐴 = {𝑣} → ∃𝑣 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸))
17	10, 16	syl5com 31	. . . . 5 ⊢ (∃𝑣 ∈ 𝐴 𝐴 = {𝑣} → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃𝑣 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸))
18	7, 17	sylbi 217	. . . 4 ⊢ (∃𝑣 𝐴 = {𝑣} → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃𝑣 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸))
19	18	com12 32	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ FriendGraph → (∃𝑣 𝐴 = {𝑣} → ∃𝑣 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸))
20	6, 19	biimtrid 242	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ FriendGraph → ((♯‘𝐴) = 1 → ∃𝑣 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸))
21	20	imp 406	1 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (♯‘𝐴) = 1) → ∃𝑣 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541  ∃wex 1780   ∈ wcel 2111  ∀wral 3047  ∃wrex 3056  {crab 3395  Vcvv 3436   ∖ cdif 3894   ⊆ wss 3897  {csn 4575  {cpr 4577  ‘cfv 6487  1c1 11013  ♯chash 14243  Vtxcvtx 28981  Edgcedg 29032  VtxDegcvtxdg 29451   FriendGraph cfrgr 30245

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5219  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-cnex 11068  ax-resscn 11069  ax-1cn 11070  ax-icn 11071  ax-addcl 11072  ax-addrcl 11073  ax-mulcl 11074  ax-mulrcl 11075  ax-mulcom 11076  ax-addass 11077  ax-mulass 11078  ax-distr 11079  ax-i2m1 11080  ax-1ne0 11081  ax-1rid 11082  ax-rnegex 11083  ax-rrecex 11084  ax-cnre 11085  ax-pre-lttri 11086  ax-pre-lttrn 11087  ax-pre-ltadd 11088  ax-pre-mulgt0 11089

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-int 4898  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6254  df-ord 6315  df-on 6316  df-lim 6317  df-suc 6318  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-f1 6492  df-fo 6493  df-f1o 6494  df-fv 6495  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-om 7803  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-1o 8391  df-2o 8392  df-oadd 8395  df-er 8628  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-fin 8879  df-dju 9800  df-card 9838  df-pnf 11154  df-mnf 11155  df-xr 11156  df-ltxr 11157  df-le 11158  df-sub 11352  df-neg 11353  df-nn 12132  df-2 12194  df-n0 12388  df-xnn0 12461  df-z 12475  df-uz 12739  df-xadd 13018  df-fz 13414  df-hash 14244  df-edg 29033  df-uhgr 29043  df-ushgr 29044  df-upgr 29067  df-umgr 29068  df-uspgr 29135  df-usgr 29136  df-nbgr 29318  df-vtxdg 29452  df-frgr 30246

This theorem is referenced by:  frgrregorufr0  30311