MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frgrwopregbsn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frgrwopregbsn 30101
Description: According to statement 5 in [Huneke] p. 2: "If ... B is a singleton, then that singleton is a universal friend". This version of frgrwopreg2 30103 is stricter (claiming that the singleton itself is a universal friend instead of claiming the existence of a universal friend only) and therefore closer to Huneke's statement. This strict variant, however, is not required for the proof of the friendship theorem. (Contributed by AV, 4-Feb-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
frgrwopreg.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
frgrwopreg.d 𝐷 = (VtxDeg‘𝐺)
frgrwopreg.a 𝐴 = {𝑥𝑉 ∣ (𝐷𝑥) = 𝐾}
frgrwopreg.b 𝐵 = (𝑉𝐴)
frgrwopreg.e 𝐸 = (Edg‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
frgrwopregbsn ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋𝑉𝐵 = {𝑋}) → ∀𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑋}){𝑋, 𝑤} ∈ 𝐸)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑉   𝑥,𝐴   𝑥,𝐺   𝑥,𝐾   𝑥,𝐷   𝑥,𝑋   𝑥,𝐵   𝑤,𝐴   𝑤,𝐵   𝑤,𝐺,𝑥   𝑤,𝑉   𝑤,𝑋
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑤)   𝐸(𝑥,𝑤)   𝐾(𝑤)

Proof of Theorem frgrwopregbsn
Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frgrwopreg.v . . . 4 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2 frgrwopreg.d . . . 4 𝐷 = (VtxDeg‘𝐺)
3 frgrwopreg.a . . . 4 𝐴 = {𝑥𝑉 ∣ (𝐷𝑥) = 𝐾}
4 frgrwopreg.b . . . 4 𝐵 = (𝑉𝐴)
5 frgrwopreg.e . . . 4 𝐸 = (Edg‘𝐺)
61, 2, 3, 4, 5frgrwopreglem4 30099 . . 3 (𝐺 ∈ FriendGraph → ∀𝑤𝐴𝑣𝐵 {𝑤, 𝑣} ∈ 𝐸)
7 ralcom 3281 . . . 4 (∀𝑤𝐴𝑣𝐵 {𝑤, 𝑣} ∈ 𝐸 ↔ ∀𝑣𝐵𝑤𝐴 {𝑤, 𝑣} ∈ 𝐸)
8 snidg 4658 . . . . . . . 8 (𝑋𝑉𝑋 ∈ {𝑋})
98adantr 480 . . . . . . 7 ((𝑋𝑉𝐵 = {𝑋}) → 𝑋 ∈ {𝑋})
10 eleq2 2817 . . . . . . . 8 (𝐵 = {𝑋} → (𝑋𝐵𝑋 ∈ {𝑋}))
1110adantl 481 . . . . . . 7 ((𝑋𝑉𝐵 = {𝑋}) → (𝑋𝐵𝑋 ∈ {𝑋}))
129, 11mpbird 257 . . . . . 6 ((𝑋𝑉𝐵 = {𝑋}) → 𝑋𝐵)
13 preq2 4734 . . . . . . . . . 10 (𝑣 = 𝑋 → {𝑤, 𝑣} = {𝑤, 𝑋})
14 prcom 4732 . . . . . . . . . 10 {𝑤, 𝑋} = {𝑋, 𝑤}
1513, 14eqtrdi 2783 . . . . . . . . 9 (𝑣 = 𝑋 → {𝑤, 𝑣} = {𝑋, 𝑤})
1615eleq1d 2813 . . . . . . . 8 (𝑣 = 𝑋 → ({𝑤, 𝑣} ∈ 𝐸 ↔ {𝑋, 𝑤} ∈ 𝐸))
1716ralbidv 3172 . . . . . . 7 (𝑣 = 𝑋 → (∀𝑤𝐴 {𝑤, 𝑣} ∈ 𝐸 ↔ ∀𝑤𝐴 {𝑋, 𝑤} ∈ 𝐸))
1817rspcv 3603 . . . . . 6 (𝑋𝐵 → (∀𝑣𝐵𝑤𝐴 {𝑤, 𝑣} ∈ 𝐸 → ∀𝑤𝐴 {𝑋, 𝑤} ∈ 𝐸))
1912, 18syl 17 . . . . 5 ((𝑋𝑉𝐵 = {𝑋}) → (∀𝑣𝐵𝑤𝐴 {𝑤, 𝑣} ∈ 𝐸 → ∀𝑤𝐴 {𝑋, 𝑤} ∈ 𝐸))
203ssrab3 4076 . . . . . . . 8 𝐴𝑉
21 ssdifim 4258 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑉𝐵 = (𝑉𝐴)) → 𝐴 = (𝑉𝐵))
2220, 4, 21mp2an 691 . . . . . . 7 𝐴 = (𝑉𝐵)
23 difeq2 4112 . . . . . . . 8 (𝐵 = {𝑋} → (𝑉𝐵) = (𝑉 ∖ {𝑋}))
2423adantl 481 . . . . . . 7 ((𝑋𝑉𝐵 = {𝑋}) → (𝑉𝐵) = (𝑉 ∖ {𝑋}))
2522, 24eqtrid 2779 . . . . . 6 ((𝑋𝑉𝐵 = {𝑋}) → 𝐴 = (𝑉 ∖ {𝑋}))
2625raleqdv 3320 . . . . 5 ((𝑋𝑉𝐵 = {𝑋}) → (∀𝑤𝐴 {𝑋, 𝑤} ∈ 𝐸 ↔ ∀𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑋}){𝑋, 𝑤} ∈ 𝐸))
2719, 26sylibd 238 . . . 4 ((𝑋𝑉𝐵 = {𝑋}) → (∀𝑣𝐵𝑤𝐴 {𝑤, 𝑣} ∈ 𝐸 → ∀𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑋}){𝑋, 𝑤} ∈ 𝐸))
287, 27biimtrid 241 . . 3 ((𝑋𝑉𝐵 = {𝑋}) → (∀𝑤𝐴𝑣𝐵 {𝑤, 𝑣} ∈ 𝐸 → ∀𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑋}){𝑋, 𝑤} ∈ 𝐸))
296, 28syl5com 31 . 2 (𝐺 ∈ FriendGraph → ((𝑋𝑉𝐵 = {𝑋}) → ∀𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑋}){𝑋, 𝑤} ∈ 𝐸))
30293impib 1114 1 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋𝑉𝐵 = {𝑋}) → ∀𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑋}){𝑋, 𝑤} ∈ 𝐸)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395  w3a 1085   = wceq 1534  wcel 2099  wral 3056  {crab 3427  cdif 3941  wss 3944  {csn 4624  {cpr 4626  cfv 6542  Vtxcvtx 28783  Edgcedg 28834  VtxDegcvtxdg 29253   FriendGraph cfrgr 30042
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7863  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-2o 8479  df-oadd 8482  df-er 8716  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-dju 9910  df-card 9948  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-xr 11268  df-ltxr 11269  df-le 11270  df-sub 11462  df-neg 11463  df-nn 12229  df-2 12291  df-n0 12489  df-xnn0 12561  df-z 12575  df-uz 12839  df-xadd 13111  df-fz 13503  df-hash 14308  df-edg 28835  df-uhgr 28845  df-ushgr 28846  df-upgr 28869  df-umgr 28870  df-uspgr 28937  df-usgr 28938  df-nbgr 29120  df-vtxdg 29254  df-frgr 30043
This theorem is referenced by:  frgrwopreg2  30103
  Copyright terms: Public domain W3C validator