MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frgrwopregbsn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frgrwopregbsn 29303
Description: According to statement 5 in [Huneke] p. 2: "If ... B is a singleton, then that singleton is a universal friend". This version of frgrwopreg2 29305 is stricter (claiming that the singleton itself is a universal friend instead of claiming the existence of a universal friend only) and therefore closer to Huneke's statement. This strict variant, however, is not required for the proof of the friendship theorem. (Contributed by AV, 4-Feb-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
frgrwopreg.v 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
frgrwopreg.d 𝐷 = (VtxDegβ€˜πΊ)
frgrwopreg.a 𝐴 = {π‘₯ ∈ 𝑉 ∣ (π·β€˜π‘₯) = 𝐾}
frgrwopreg.b 𝐡 = (𝑉 βˆ– 𝐴)
frgrwopreg.e 𝐸 = (Edgβ€˜πΊ)
Assertion
Ref Expression
frgrwopregbsn ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 = {𝑋}) β†’ βˆ€π‘€ ∈ (𝑉 βˆ– {𝑋}){𝑋, 𝑀} ∈ 𝐸)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑉   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝐺   π‘₯,𝐾   π‘₯,𝐷   π‘₯,𝑋   π‘₯,𝐡   𝑀,𝐴   𝑀,𝐡   𝑀,𝐺,π‘₯   𝑀,𝑉   𝑀,𝑋
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑀)   𝐸(π‘₯,𝑀)   𝐾(𝑀)

Proof of Theorem frgrwopregbsn
Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frgrwopreg.v . . . 4 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
2 frgrwopreg.d . . . 4 𝐷 = (VtxDegβ€˜πΊ)
3 frgrwopreg.a . . . 4 𝐴 = {π‘₯ ∈ 𝑉 ∣ (π·β€˜π‘₯) = 𝐾}
4 frgrwopreg.b . . . 4 𝐡 = (𝑉 βˆ– 𝐴)
5 frgrwopreg.e . . . 4 𝐸 = (Edgβ€˜πΊ)
61, 2, 3, 4, 5frgrwopreglem4 29301 . . 3 (𝐺 ∈ FriendGraph β†’ βˆ€π‘€ ∈ 𝐴 βˆ€π‘£ ∈ 𝐡 {𝑀, 𝑣} ∈ 𝐸)
7 ralcom 3275 . . . 4 (βˆ€π‘€ ∈ 𝐴 βˆ€π‘£ ∈ 𝐡 {𝑀, 𝑣} ∈ 𝐸 ↔ βˆ€π‘£ ∈ 𝐡 βˆ€π‘€ ∈ 𝐴 {𝑀, 𝑣} ∈ 𝐸)
8 snidg 4625 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ 𝑉 β†’ 𝑋 ∈ {𝑋})
98adantr 482 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 = {𝑋}) β†’ 𝑋 ∈ {𝑋})
10 eleq2 2827 . . . . . . . 8 (𝐡 = {𝑋} β†’ (𝑋 ∈ 𝐡 ↔ 𝑋 ∈ {𝑋}))
1110adantl 483 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 = {𝑋}) β†’ (𝑋 ∈ 𝐡 ↔ 𝑋 ∈ {𝑋}))
129, 11mpbird 257 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 = {𝑋}) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
13 preq2 4700 . . . . . . . . . 10 (𝑣 = 𝑋 β†’ {𝑀, 𝑣} = {𝑀, 𝑋})
14 prcom 4698 . . . . . . . . . 10 {𝑀, 𝑋} = {𝑋, 𝑀}
1513, 14eqtrdi 2793 . . . . . . . . 9 (𝑣 = 𝑋 β†’ {𝑀, 𝑣} = {𝑋, 𝑀})
1615eleq1d 2823 . . . . . . . 8 (𝑣 = 𝑋 β†’ ({𝑀, 𝑣} ∈ 𝐸 ↔ {𝑋, 𝑀} ∈ 𝐸))
1716ralbidv 3175 . . . . . . 7 (𝑣 = 𝑋 β†’ (βˆ€π‘€ ∈ 𝐴 {𝑀, 𝑣} ∈ 𝐸 ↔ βˆ€π‘€ ∈ 𝐴 {𝑋, 𝑀} ∈ 𝐸))
1817rspcv 3580 . . . . . 6 (𝑋 ∈ 𝐡 β†’ (βˆ€π‘£ ∈ 𝐡 βˆ€π‘€ ∈ 𝐴 {𝑀, 𝑣} ∈ 𝐸 β†’ βˆ€π‘€ ∈ 𝐴 {𝑋, 𝑀} ∈ 𝐸))
1912, 18syl 17 . . . . 5 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 = {𝑋}) β†’ (βˆ€π‘£ ∈ 𝐡 βˆ€π‘€ ∈ 𝐴 {𝑀, 𝑣} ∈ 𝐸 β†’ βˆ€π‘€ ∈ 𝐴 {𝑋, 𝑀} ∈ 𝐸))
203ssrab3 4045 . . . . . . . 8 𝐴 βŠ† 𝑉
21 ssdifim 4227 . . . . . . . 8 ((𝐴 βŠ† 𝑉 ∧ 𝐡 = (𝑉 βˆ– 𝐴)) β†’ 𝐴 = (𝑉 βˆ– 𝐡))
2220, 4, 21mp2an 691 . . . . . . 7 𝐴 = (𝑉 βˆ– 𝐡)
23 difeq2 4081 . . . . . . . 8 (𝐡 = {𝑋} β†’ (𝑉 βˆ– 𝐡) = (𝑉 βˆ– {𝑋}))
2423adantl 483 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 = {𝑋}) β†’ (𝑉 βˆ– 𝐡) = (𝑉 βˆ– {𝑋}))
2522, 24eqtrid 2789 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 = {𝑋}) β†’ 𝐴 = (𝑉 βˆ– {𝑋}))
2625raleqdv 3316 . . . . 5 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 = {𝑋}) β†’ (βˆ€π‘€ ∈ 𝐴 {𝑋, 𝑀} ∈ 𝐸 ↔ βˆ€π‘€ ∈ (𝑉 βˆ– {𝑋}){𝑋, 𝑀} ∈ 𝐸))
2719, 26sylibd 238 . . . 4 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 = {𝑋}) β†’ (βˆ€π‘£ ∈ 𝐡 βˆ€π‘€ ∈ 𝐴 {𝑀, 𝑣} ∈ 𝐸 β†’ βˆ€π‘€ ∈ (𝑉 βˆ– {𝑋}){𝑋, 𝑀} ∈ 𝐸))
287, 27biimtrid 241 . . 3 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 = {𝑋}) β†’ (βˆ€π‘€ ∈ 𝐴 βˆ€π‘£ ∈ 𝐡 {𝑀, 𝑣} ∈ 𝐸 β†’ βˆ€π‘€ ∈ (𝑉 βˆ– {𝑋}){𝑋, 𝑀} ∈ 𝐸))
296, 28syl5com 31 . 2 (𝐺 ∈ FriendGraph β†’ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 = {𝑋}) β†’ βˆ€π‘€ ∈ (𝑉 βˆ– {𝑋}){𝑋, 𝑀} ∈ 𝐸))
30293impib 1117 1 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 = {𝑋}) β†’ βˆ€π‘€ ∈ (𝑉 βˆ– {𝑋}){𝑋, 𝑀} ∈ 𝐸)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3065  {crab 3410   βˆ– cdif 3912   βŠ† wss 3915  {csn 4591  {cpr 4593  β€˜cfv 6501  Vtxcvtx 27989  Edgcedg 28040  VtxDegcvtxdg 28455   FriendGraph cfrgr 29244
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-oadd 8421  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-dju 9844  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-nn 12161  df-2 12223  df-n0 12421  df-xnn0 12493  df-z 12507  df-uz 12771  df-xadd 13041  df-fz 13432  df-hash 14238  df-edg 28041  df-uhgr 28051  df-ushgr 28052  df-upgr 28075  df-umgr 28076  df-uspgr 28143  df-usgr 28144  df-nbgr 28323  df-vtxdg 28456  df-frgr 29245
This theorem is referenced by:  frgrwopreg2  29305
  Copyright terms: Public domain W3C validator