Theorem frgrwopregbsn 30346

Description: According to statement 5 in [Huneke] p. 2: "If ... B is a singleton, then that singleton is a universal friend". This version of frgrwopreg2 30348 is stricter (claiming that the singleton itself is a universal friend instead of claiming the existence of a universal friend only) and therefore closer to Huneke's statement. This strict variant, however, is not required for the proof of the friendship theorem. (Contributed by AV, 4-Feb-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
frgrwopreg.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
frgrwopreg.d	⊢ 𝐷 = (VtxDeg‘𝐺)
frgrwopreg.a	⊢ 𝐴 = {𝑥 ∈ 𝑉 ∣ (𝐷‘𝑥) = 𝐾}
frgrwopreg.b	⊢ 𝐵 = (𝑉 ∖ 𝐴)
frgrwopreg.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
frgrwopregbsn	⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 = {𝑋}) → ∀𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑋}){𝑋, 𝑤} ∈ 𝐸)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑉   𝑥,𝐴   𝑥,𝐺   𝑥,𝐾   𝑥,𝐷   𝑥,𝑋   𝑥,𝐵   𝑤,𝐴   𝑤,𝐵   𝑤,𝐺,𝑥   𝑤,𝑉   𝑤,𝑋

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑤)   𝐸(𝑥,𝑤)   𝐾(𝑤)

Proof of Theorem frgrwopregbsn

Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frgrwopreg.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2		frgrwopreg.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (VtxDeg‘𝐺)
3		frgrwopreg.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = {𝑥 ∈ 𝑉 ∣ (𝐷‘𝑥) = 𝐾}
4		frgrwopreg.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (𝑉 ∖ 𝐴)
5		frgrwopreg.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
6	1, 2, 3, 4, 5	frgrwopreglem4 30344	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ FriendGraph → ∀𝑤 ∈ 𝐴 ∀𝑣 ∈ 𝐵 {𝑤, 𝑣} ∈ 𝐸)
7		ralcom 3287	. . . 4 ⊢ (∀𝑤 ∈ 𝐴 ∀𝑣 ∈ 𝐵 {𝑤, 𝑣} ∈ 𝐸 ↔ ∀𝑣 ∈ 𝐵 ∀𝑤 ∈ 𝐴 {𝑤, 𝑣} ∈ 𝐸)
8		snidg 4665	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → 𝑋 ∈ {𝑋})
9	8	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 = {𝑋}) → 𝑋 ∈ {𝑋})
10		eleq2 2828	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 = {𝑋} → (𝑋 ∈ 𝐵 ↔ 𝑋 ∈ {𝑋}))
11	10	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 = {𝑋}) → (𝑋 ∈ 𝐵 ↔ 𝑋 ∈ {𝑋}))
12	9, 11	mpbird 257	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 = {𝑋}) → 𝑋 ∈ 𝐵)
13		preq2 4739	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑣 = 𝑋 → {𝑤, 𝑣} = {𝑤, 𝑋})
14		prcom 4737	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑤, 𝑋} = {𝑋, 𝑤}
15	13, 14	eqtrdi 2791	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑣 = 𝑋 → {𝑤, 𝑣} = {𝑋, 𝑤})
16	15	eleq1d 2824	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑣 = 𝑋 → ({𝑤, 𝑣} ∈ 𝐸 ↔ {𝑋, 𝑤} ∈ 𝐸))
17	16	ralbidv 3176	. . . . . . 7 ⊢ (𝑣 = 𝑋 → (∀𝑤 ∈ 𝐴 {𝑤, 𝑣} ∈ 𝐸 ↔ ∀𝑤 ∈ 𝐴 {𝑋, 𝑤} ∈ 𝐸))
18	17	rspcv 3618	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (∀𝑣 ∈ 𝐵 ∀𝑤 ∈ 𝐴 {𝑤, 𝑣} ∈ 𝐸 → ∀𝑤 ∈ 𝐴 {𝑋, 𝑤} ∈ 𝐸))
19	12, 18	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 = {𝑋}) → (∀𝑣 ∈ 𝐵 ∀𝑤 ∈ 𝐴 {𝑤, 𝑣} ∈ 𝐸 → ∀𝑤 ∈ 𝐴 {𝑋, 𝑤} ∈ 𝐸))
20	3	ssrab3 4092	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 ⊆ 𝑉
21		ssdifim 4279	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝑉 ∧ 𝐵 = (𝑉 ∖ 𝐴)) → 𝐴 = (𝑉 ∖ 𝐵))
22	20, 4, 21	mp2an 692	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 = (𝑉 ∖ 𝐵)
23		difeq2 4130	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 = {𝑋} → (𝑉 ∖ 𝐵) = (𝑉 ∖ {𝑋}))
24	23	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 = {𝑋}) → (𝑉 ∖ 𝐵) = (𝑉 ∖ {𝑋}))
25	22, 24	eqtrid 2787	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 = {𝑋}) → 𝐴 = (𝑉 ∖ {𝑋}))
26	25	raleqdv 3324	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 = {𝑋}) → (∀𝑤 ∈ 𝐴 {𝑋, 𝑤} ∈ 𝐸 ↔ ∀𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑋}){𝑋, 𝑤} ∈ 𝐸))
27	19, 26	sylibd 239	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 = {𝑋}) → (∀𝑣 ∈ 𝐵 ∀𝑤 ∈ 𝐴 {𝑤, 𝑣} ∈ 𝐸 → ∀𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑋}){𝑋, 𝑤} ∈ 𝐸))
28	7, 27	biimtrid 242	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 = {𝑋}) → (∀𝑤 ∈ 𝐴 ∀𝑣 ∈ 𝐵 {𝑤, 𝑣} ∈ 𝐸 → ∀𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑋}){𝑋, 𝑤} ∈ 𝐸))
29	6, 28	syl5com 31	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ FriendGraph → ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 = {𝑋}) → ∀𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑋}){𝑋, 𝑤} ∈ 𝐸))
30	29	3impib 1115	1 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 = {𝑋}) → ∀𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑋}){𝑋, 𝑤} ∈ 𝐸)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  ∀wral 3059  {crab 3433   ∖ cdif 3960   ⊆ wss 3963  {csn 4631  {cpr 4633  ‘cfv 6563  Vtxcvtx 29028  Edgcedg 29079  VtxDegcvtxdg 29498   FriendGraph cfrgr 30287

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-oadd 8509  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-dju 9939  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-n0 12525  df-xnn0 12598  df-z 12612  df-uz 12877  df-xadd 13153  df-fz 13545  df-hash 14367  df-edg 29080  df-uhgr 29090  df-ushgr 29091  df-upgr 29114  df-umgr 29115  df-uspgr 29182  df-usgr 29183  df-nbgr 29365  df-vtxdg 29499  df-frgr 30288

This theorem is referenced by:  frgrwopreg2  30348