Theorem frgrwopregbsn 30519

Description: According to statement 5 in [Huneke] p. 2: "If ... B is a singleton, then that singleton is a universal friend". This version of frgrwopreg2 30521 is stricter (claiming that the singleton itself is a universal friend instead of claiming the existence of a universal friend only) and therefore closer to Huneke's statement. This strict variant, however, is not required for the proof of the friendship theorem. (Contributed by AV, 4-Feb-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
frgrwopreg.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
frgrwopreg.d	⊢ 𝐷 = (VtxDeg‘𝐺)
frgrwopreg.a	⊢ 𝐴 = {𝑥 ∈ 𝑉 ∣ (𝐷‘𝑥) = 𝐾}
frgrwopreg.b	⊢ 𝐵 = (𝑉 ∖ 𝐴)
frgrwopreg.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
frgrwopregbsn	⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 = {𝑋}) → ∀𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑋}){𝑋, 𝑤} ∈ 𝐸)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑉   𝑥,𝐴   𝑥,𝐺   𝑥,𝐾   𝑥,𝐷   𝑥,𝑋   𝑥,𝐵   𝑤,𝐴   𝑤,𝐵   𝑤,𝐺,𝑥   𝑤,𝑉   𝑤,𝑋

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑤)   𝐸(𝑥,𝑤)   𝐾(𝑤)

Proof of Theorem frgrwopregbsn

Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frgrwopreg.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2		frgrwopreg.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (VtxDeg‘𝐺)
3		frgrwopreg.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = {𝑥 ∈ 𝑉 ∣ (𝐷‘𝑥) = 𝐾}
4		frgrwopreg.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (𝑉 ∖ 𝐴)
5		frgrwopreg.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
6	1, 2, 3, 4, 5	frgrwopreglem4 30517	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ FriendGraph → ∀𝑤 ∈ 𝐴 ∀𝑣 ∈ 𝐵 {𝑤, 𝑣} ∈ 𝐸)
7		ralcom 3290	. . . 4 ⊢ (∀𝑤 ∈ 𝐴 ∀𝑣 ∈ 𝐵 {𝑤, 𝑣} ∈ 𝐸 ↔ ∀𝑣 ∈ 𝐵 ∀𝑤 ∈ 𝐴 {𝑤, 𝑣} ∈ 𝐸)
8		snidg 4619	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → 𝑋 ∈ {𝑋})
9	8	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 = {𝑋}) → 𝑋 ∈ {𝑋})
10		eleq2 2851	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 = {𝑋} → (𝑋 ∈ 𝐵 ↔ 𝑋 ∈ {𝑋}))
11	10	adantl 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 = {𝑋}) → (𝑋 ∈ 𝐵 ↔ 𝑋 ∈ {𝑋}))
12	9, 11	mpbird 259	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 = {𝑋}) → 𝑋 ∈ 𝐵)
13		preq2 4693	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑣 = 𝑋 → {𝑤, 𝑣} = {𝑤, 𝑋})
14		prcom 4691	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑤, 𝑋} = {𝑋, 𝑤}
15	13, 14	eqtrdi 2813	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑣 = 𝑋 → {𝑤, 𝑣} = {𝑋, 𝑤})
16	15	eleq1d 2847	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑣 = 𝑋 → ({𝑤, 𝑣} ∈ 𝐸 ↔ {𝑋, 𝑤} ∈ 𝐸))
17	16	ralbidv 3185	. . . . . . 7 ⊢ (𝑣 = 𝑋 → (∀𝑤 ∈ 𝐴 {𝑤, 𝑣} ∈ 𝐸 ↔ ∀𝑤 ∈ 𝐴 {𝑋, 𝑤} ∈ 𝐸))
18	17	rspcv 3577	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (∀𝑣 ∈ 𝐵 ∀𝑤 ∈ 𝐴 {𝑤, 𝑣} ∈ 𝐸 → ∀𝑤 ∈ 𝐴 {𝑋, 𝑤} ∈ 𝐸))
19	12, 18	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 = {𝑋}) → (∀𝑣 ∈ 𝐵 ∀𝑤 ∈ 𝐴 {𝑤, 𝑣} ∈ 𝐸 → ∀𝑤 ∈ 𝐴 {𝑋, 𝑤} ∈ 𝐸))
20	3	ssrab3 4035	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 ⊆ 𝑉
21		ssdifim 4225	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝑉 ∧ 𝐵 = (𝑉 ∖ 𝐴)) → 𝐴 = (𝑉 ∖ 𝐵))
22	20, 4, 21	mp2an 702	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 = (𝑉 ∖ 𝐵)
23		difeq2 4074	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 = {𝑋} → (𝑉 ∖ 𝐵) = (𝑉 ∖ {𝑋}))
24	23	adantl 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 = {𝑋}) → (𝑉 ∖ 𝐵) = (𝑉 ∖ {𝑋}))
25	22, 24	eqtrid 2809	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 = {𝑋}) → 𝐴 = (𝑉 ∖ {𝑋}))
26	25	raleqdv 3320	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 = {𝑋}) → (∀𝑤 ∈ 𝐴 {𝑋, 𝑤} ∈ 𝐸 ↔ ∀𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑋}){𝑋, 𝑤} ∈ 𝐸))
27	19, 26	sylibd 241	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 = {𝑋}) → (∀𝑣 ∈ 𝐵 ∀𝑤 ∈ 𝐴 {𝑤, 𝑣} ∈ 𝐸 → ∀𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑋}){𝑋, 𝑤} ∈ 𝐸))
28	7, 27	biimtrid 244	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 = {𝑋}) → (∀𝑤 ∈ 𝐴 ∀𝑣 ∈ 𝐵 {𝑤, 𝑣} ∈ 𝐸 → ∀𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑋}){𝑋, 𝑤} ∈ 𝐸))
29	6, 28	syl5com 31	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ FriendGraph → ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 = {𝑋}) → ∀𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑋}){𝑋, 𝑤} ∈ 𝐸))
30	29	3impib 1129	1 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 = {𝑋}) → ∀𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑋}){𝑋, 𝑤} ∈ 𝐸)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∧ w3a 1098   = wceq 1560   ∈ wcel 2142  ∀wral 3076  {crab 3414   ∖ cdif 3901   ⊆ wss 3904  {csn 4582  {cpr 4584  ‘cfv 6521  Vtxcvtx 29197  Edgcedg 29248  VtxDegcvtxdg 29666   FriendGraph cfrgr 30460

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5227  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-cnex 11129  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149  ax-pre-mulgt0 11150

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4906  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7847  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-oadd 8441  df-er 8678  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-fin 8931  df-dju 9859  df-card 9897  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222  df-sub 11416  df-neg 11417  df-nn 12211  df-2 12280  df-n0 12482  df-xnn0 12555  df-z 12569  df-uz 12840  df-xadd 13115  df-fz 13513  df-hash 14344  df-edg 29249  df-uhgr 29259  df-ushgr 29260  df-upgr 29283  df-umgr 29284  df-uspgr 29351  df-usgr 29352  df-nbgr 29534  df-vtxdg 29667  df-frgr 30461

This theorem is referenced by:  frgrwopreg2  30521