Theorem frgrwopregbsn 28681

Description: According to statement 5 in [Huneke] p. 2: "If ... B is a singleton, then that singleton is a universal friend". This version of frgrwopreg2 28683 is stricter (claiming that the singleton itself is a universal friend instead of claiming the existence of a universal friend only) and therefore closer to Huneke's statement. This strict variant, however, is not required for the proof of the friendship theorem. (Contributed by AV, 4-Feb-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
frgrwopreg.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
frgrwopreg.d	⊢ 𝐷 = (VtxDeg‘𝐺)
frgrwopreg.a	⊢ 𝐴 = {𝑥 ∈ 𝑉 ∣ (𝐷‘𝑥) = 𝐾}
frgrwopreg.b	⊢ 𝐵 = (𝑉 ∖ 𝐴)
frgrwopreg.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
frgrwopregbsn	⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 = {𝑋}) → ∀𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑋}){𝑋, 𝑤} ∈ 𝐸)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑉   𝑥,𝐴   𝑥,𝐺   𝑥,𝐾   𝑥,𝐷   𝑥,𝑋   𝑥,𝐵   𝑤,𝐴   𝑤,𝐵   𝑤,𝐺,𝑥   𝑤,𝑉   𝑤,𝑋

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑤)   𝐸(𝑥,𝑤)   𝐾(𝑤)

Proof of Theorem frgrwopregbsn

Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frgrwopreg.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2		frgrwopreg.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (VtxDeg‘𝐺)
3		frgrwopreg.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = {𝑥 ∈ 𝑉 ∣ (𝐷‘𝑥) = 𝐾}
4		frgrwopreg.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (𝑉 ∖ 𝐴)
5		frgrwopreg.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
6	1, 2, 3, 4, 5	frgrwopreglem4 28679	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ FriendGraph → ∀𝑤 ∈ 𝐴 ∀𝑣 ∈ 𝐵 {𝑤, 𝑣} ∈ 𝐸)
7		ralcom 3166	. . . 4 ⊢ (∀𝑤 ∈ 𝐴 ∀𝑣 ∈ 𝐵 {𝑤, 𝑣} ∈ 𝐸 ↔ ∀𝑣 ∈ 𝐵 ∀𝑤 ∈ 𝐴 {𝑤, 𝑣} ∈ 𝐸)
8		snidg 4595	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → 𝑋 ∈ {𝑋})
9	8	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 = {𝑋}) → 𝑋 ∈ {𝑋})
10		eleq2 2827	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 = {𝑋} → (𝑋 ∈ 𝐵 ↔ 𝑋 ∈ {𝑋}))
11	10	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 = {𝑋}) → (𝑋 ∈ 𝐵 ↔ 𝑋 ∈ {𝑋}))
12	9, 11	mpbird 256	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 = {𝑋}) → 𝑋 ∈ 𝐵)
13		preq2 4670	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑣 = 𝑋 → {𝑤, 𝑣} = {𝑤, 𝑋})
14		prcom 4668	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑤, 𝑋} = {𝑋, 𝑤}
15	13, 14	eqtrdi 2794	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑣 = 𝑋 → {𝑤, 𝑣} = {𝑋, 𝑤})
16	15	eleq1d 2823	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑣 = 𝑋 → ({𝑤, 𝑣} ∈ 𝐸 ↔ {𝑋, 𝑤} ∈ 𝐸))
17	16	ralbidv 3112	. . . . . . 7 ⊢ (𝑣 = 𝑋 → (∀𝑤 ∈ 𝐴 {𝑤, 𝑣} ∈ 𝐸 ↔ ∀𝑤 ∈ 𝐴 {𝑋, 𝑤} ∈ 𝐸))
18	17	rspcv 3557	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (∀𝑣 ∈ 𝐵 ∀𝑤 ∈ 𝐴 {𝑤, 𝑣} ∈ 𝐸 → ∀𝑤 ∈ 𝐴 {𝑋, 𝑤} ∈ 𝐸))
19	12, 18	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 = {𝑋}) → (∀𝑣 ∈ 𝐵 ∀𝑤 ∈ 𝐴 {𝑤, 𝑣} ∈ 𝐸 → ∀𝑤 ∈ 𝐴 {𝑋, 𝑤} ∈ 𝐸))
20	3	ssrab3 4015	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 ⊆ 𝑉
21		ssdifim 4196	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝑉 ∧ 𝐵 = (𝑉 ∖ 𝐴)) → 𝐴 = (𝑉 ∖ 𝐵))
22	20, 4, 21	mp2an 689	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 = (𝑉 ∖ 𝐵)
23		difeq2 4051	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 = {𝑋} → (𝑉 ∖ 𝐵) = (𝑉 ∖ {𝑋}))
24	23	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 = {𝑋}) → (𝑉 ∖ 𝐵) = (𝑉 ∖ {𝑋}))
25	22, 24	eqtrid 2790	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 = {𝑋}) → 𝐴 = (𝑉 ∖ {𝑋}))
26	25	raleqdv 3348	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 = {𝑋}) → (∀𝑤 ∈ 𝐴 {𝑋, 𝑤} ∈ 𝐸 ↔ ∀𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑋}){𝑋, 𝑤} ∈ 𝐸))
27	19, 26	sylibd 238	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 = {𝑋}) → (∀𝑣 ∈ 𝐵 ∀𝑤 ∈ 𝐴 {𝑤, 𝑣} ∈ 𝐸 → ∀𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑋}){𝑋, 𝑤} ∈ 𝐸))
28	7, 27	syl5bi 241	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 = {𝑋}) → (∀𝑤 ∈ 𝐴 ∀𝑣 ∈ 𝐵 {𝑤, 𝑣} ∈ 𝐸 → ∀𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑋}){𝑋, 𝑤} ∈ 𝐸))
29	6, 28	syl5com 31	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ FriendGraph → ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 = {𝑋}) → ∀𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑋}){𝑋, 𝑤} ∈ 𝐸))
30	29	3impib 1115	1 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 = {𝑋}) → ∀𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑋}){𝑋, 𝑤} ∈ 𝐸)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064  {crab 3068   ∖ cdif 3884   ⊆ wss 3887  {csn 4561  {cpr 4563  ‘cfv 6433  Vtxcvtx 27366  Edgcedg 27417  VtxDegcvtxdg 27832   FriendGraph cfrgr 28622

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-2o 8298  df-oadd 8301  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-dju 9659  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-n0 12234  df-xnn0 12306  df-z 12320  df-uz 12583  df-xadd 12849  df-fz 13240  df-hash 14045  df-edg 27418  df-uhgr 27428  df-ushgr 27429  df-upgr 27452  df-umgr 27453  df-uspgr 27520  df-usgr 27521  df-nbgr 27700  df-vtxdg 27833  df-frgr 28623

This theorem is referenced by:  frgrwopreg2  28683