MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frgrwopregbsn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frgrwopregbsn 27699
Description: According to statement 5 in [Huneke] p. 2: "If ... B is a singleton, then that singleton is a universal friend". This version of frgrwopreg2 27701 is stricter (claiming that the singleton itself is a universal friend instead of claiming the existence of a universal friend only) and therefore closer to Huneke's statement. This strict variant, however, is not required for the proof of the friendship theorem. (Contributed by AV, 4-Feb-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
frgrwopreg.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
frgrwopreg.d 𝐷 = (VtxDeg‘𝐺)
frgrwopreg.a 𝐴 = {𝑥𝑉 ∣ (𝐷𝑥) = 𝐾}
frgrwopreg.b 𝐵 = (𝑉𝐴)
frgrwopreg.e 𝐸 = (Edg‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
frgrwopregbsn ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋𝑉𝐵 = {𝑋}) → ∀𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑋}){𝑋, 𝑤} ∈ 𝐸)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑉   𝑥,𝐴   𝑥,𝐺   𝑥,𝐾   𝑥,𝐷   𝑥,𝑋   𝑥,𝐵   𝑤,𝐴   𝑤,𝐵   𝑤,𝐺,𝑥   𝑤,𝑉   𝑤,𝑋
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑤)   𝐸(𝑥,𝑤)   𝐾(𝑤)

Proof of Theorem frgrwopregbsn
Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frgrwopreg.v . . . 4 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2 frgrwopreg.d . . . 4 𝐷 = (VtxDeg‘𝐺)
3 frgrwopreg.a . . . 4 𝐴 = {𝑥𝑉 ∣ (𝐷𝑥) = 𝐾}
4 frgrwopreg.b . . . 4 𝐵 = (𝑉𝐴)
5 frgrwopreg.e . . . 4 𝐸 = (Edg‘𝐺)
61, 2, 3, 4, 5frgrwopreglem4 27697 . . 3 (𝐺 ∈ FriendGraph → ∀𝑤𝐴𝑣𝐵 {𝑤, 𝑣} ∈ 𝐸)
7 ralcom 3309 . . . 4 (∀𝑤𝐴𝑣𝐵 {𝑤, 𝑣} ∈ 𝐸 ↔ ∀𝑣𝐵𝑤𝐴 {𝑤, 𝑣} ∈ 𝐸)
8 snidg 4428 . . . . . . . 8 (𝑋𝑉𝑋 ∈ {𝑋})
98adantr 474 . . . . . . 7 ((𝑋𝑉𝐵 = {𝑋}) → 𝑋 ∈ {𝑋})
10 eleq2 2896 . . . . . . . 8 (𝐵 = {𝑋} → (𝑋𝐵𝑋 ∈ {𝑋}))
1110adantl 475 . . . . . . 7 ((𝑋𝑉𝐵 = {𝑋}) → (𝑋𝐵𝑋 ∈ {𝑋}))
129, 11mpbird 249 . . . . . 6 ((𝑋𝑉𝐵 = {𝑋}) → 𝑋𝐵)
13 preq2 4488 . . . . . . . . . 10 (𝑣 = 𝑋 → {𝑤, 𝑣} = {𝑤, 𝑋})
14 prcom 4486 . . . . . . . . . 10 {𝑤, 𝑋} = {𝑋, 𝑤}
1513, 14syl6eq 2878 . . . . . . . . 9 (𝑣 = 𝑋 → {𝑤, 𝑣} = {𝑋, 𝑤})
1615eleq1d 2892 . . . . . . . 8 (𝑣 = 𝑋 → ({𝑤, 𝑣} ∈ 𝐸 ↔ {𝑋, 𝑤} ∈ 𝐸))
1716ralbidv 3196 . . . . . . 7 (𝑣 = 𝑋 → (∀𝑤𝐴 {𝑤, 𝑣} ∈ 𝐸 ↔ ∀𝑤𝐴 {𝑋, 𝑤} ∈ 𝐸))
1817rspcv 3523 . . . . . 6 (𝑋𝐵 → (∀𝑣𝐵𝑤𝐴 {𝑤, 𝑣} ∈ 𝐸 → ∀𝑤𝐴 {𝑋, 𝑤} ∈ 𝐸))
1912, 18syl 17 . . . . 5 ((𝑋𝑉𝐵 = {𝑋}) → (∀𝑣𝐵𝑤𝐴 {𝑤, 𝑣} ∈ 𝐸 → ∀𝑤𝐴 {𝑋, 𝑤} ∈ 𝐸))
203ssrab3 3914 . . . . . . . 8 𝐴𝑉
21 ssdifim 4093 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑉𝐵 = (𝑉𝐴)) → 𝐴 = (𝑉𝐵))
2220, 4, 21mp2an 685 . . . . . . 7 𝐴 = (𝑉𝐵)
23 difeq2 3950 . . . . . . . 8 (𝐵 = {𝑋} → (𝑉𝐵) = (𝑉 ∖ {𝑋}))
2423adantl 475 . . . . . . 7 ((𝑋𝑉𝐵 = {𝑋}) → (𝑉𝐵) = (𝑉 ∖ {𝑋}))
2522, 24syl5eq 2874 . . . . . 6 ((𝑋𝑉𝐵 = {𝑋}) → 𝐴 = (𝑉 ∖ {𝑋}))
2625raleqdv 3357 . . . . 5 ((𝑋𝑉𝐵 = {𝑋}) → (∀𝑤𝐴 {𝑋, 𝑤} ∈ 𝐸 ↔ ∀𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑋}){𝑋, 𝑤} ∈ 𝐸))
2719, 26sylibd 231 . . . 4 ((𝑋𝑉𝐵 = {𝑋}) → (∀𝑣𝐵𝑤𝐴 {𝑤, 𝑣} ∈ 𝐸 → ∀𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑋}){𝑋, 𝑤} ∈ 𝐸))
287, 27syl5bi 234 . . 3 ((𝑋𝑉𝐵 = {𝑋}) → (∀𝑤𝐴𝑣𝐵 {𝑤, 𝑣} ∈ 𝐸 → ∀𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑋}){𝑋, 𝑤} ∈ 𝐸))
296, 28syl5com 31 . 2 (𝐺 ∈ FriendGraph → ((𝑋𝑉𝐵 = {𝑋}) → ∀𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑋}){𝑋, 𝑤} ∈ 𝐸))
30293impib 1150 1 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋𝑉𝐵 = {𝑋}) → ∀𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑋}){𝑋, 𝑤} ∈ 𝐸)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 386  w3a 1113   = wceq 1658  wcel 2166  wral 3118  {crab 3122  cdif 3796  wss 3799  {csn 4398  {cpr 4400  cfv 6124  Vtxcvtx 26295  Edgcedg 26346  VtxDegcvtxdg 26764   FriendGraph cfrgr 27638
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2804  ax-rep 4995  ax-sep 5006  ax-nul 5014  ax-pow 5066  ax-pr 5128  ax-un 7210  ax-cnex 10309  ax-resscn 10310  ax-1cn 10311  ax-icn 10312  ax-addcl 10313  ax-addrcl 10314  ax-mulcl 10315  ax-mulrcl 10316  ax-mulcom 10317  ax-addass 10318  ax-mulass 10319  ax-distr 10320  ax-i2m1 10321  ax-1ne0 10322  ax-1rid 10323  ax-rnegex 10324  ax-rrecex 10325  ax-cnre 10326  ax-pre-lttri 10327  ax-pre-lttrn 10328  ax-pre-ltadd 10329  ax-pre-mulgt0 10330
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-fal 1672  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2606  df-eu 2641  df-clab 2813  df-cleq 2819  df-clel 2822  df-nfc 2959  df-ne 3001  df-nel 3104  df-ral 3123  df-rex 3124  df-reu 3125  df-rmo 3126  df-rab 3127  df-v 3417  df-sbc 3664  df-csb 3759  df-dif 3802  df-un 3804  df-in 3806  df-ss 3813  df-pss 3815  df-nul 4146  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4660  df-int 4699  df-iun 4743  df-br 4875  df-opab 4937  df-mpt 4954  df-tr 4977  df-id 5251  df-eprel 5256  df-po 5264  df-so 5265  df-fr 5302  df-we 5304  df-xp 5349  df-rel 5350  df-cnv 5351  df-co 5352  df-dm 5353  df-rn 5354  df-res 5355  df-ima 5356  df-pred 5921  df-ord 5967  df-on 5968  df-lim 5969  df-suc 5970  df-iota 6087  df-fun 6126  df-fn 6127  df-f 6128  df-f1 6129  df-fo 6130  df-f1o 6131  df-fv 6132  df-riota 6867  df-ov 6909  df-oprab 6910  df-mpt2 6911  df-om 7328  df-1st 7429  df-2nd 7430  df-wrecs 7673  df-recs 7735  df-rdg 7773  df-1o 7827  df-2o 7828  df-oadd 7831  df-er 8010  df-en 8224  df-dom 8225  df-sdom 8226  df-fin 8227  df-card 9079  df-cda 9306  df-pnf 10394  df-mnf 10395  df-xr 10396  df-ltxr 10397  df-le 10398  df-sub 10588  df-neg 10589  df-nn 11352  df-2 11415  df-n0 11620  df-xnn0 11692  df-z 11706  df-uz 11970  df-xadd 12234  df-fz 12621  df-hash 13412  df-edg 26347  df-uhgr 26357  df-ushgr 26358  df-upgr 26381  df-umgr 26382  df-uspgr 26450  df-usgr 26451  df-nbgr 26631  df-vtxdg 26765  df-frgr 27639
This theorem is referenced by:  frgrwopreg2  27701
  Copyright terms: Public domain W3C validator