Theorem frgrwopreglem4 30181

Description: Lemma 4 for frgrwopreg 30189. In a friendship graph each vertex with degree 𝐾 is connected with any vertex with degree other than 𝐾. This corresponds to statement 4 in [Huneke] p. 2: "By the first claim, every vertex in A is adjacent to every vertex in B.". (Contributed by Alexander van der Vekens, 30-Dec-2017.) (Revised by AV, 10-May-2021.) (Proof shortened by AV, 4-Feb-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
frgrwopreg.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
frgrwopreg.d	⊢ 𝐷 = (VtxDeg‘𝐺)
frgrwopreg.a	⊢ 𝐴 = {𝑥 ∈ 𝑉 ∣ (𝐷‘𝑥) = 𝐾}
frgrwopreg.b	⊢ 𝐵 = (𝑉 ∖ 𝐴)
frgrwopreg.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
frgrwopreglem4	⊢ (𝐺 ∈ FriendGraph → ∀𝑎 ∈ 𝐴 ∀𝑏 ∈ 𝐵 {𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑉   𝑥,𝐴   𝑥,𝐺   𝑥,𝐾   𝑥,𝐷   𝐴,𝑏   𝑥,𝐵   𝐺,𝑎,𝑏,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑎)   𝐵(𝑎,𝑏)   𝐷(𝑎,𝑏)   𝐸(𝑥,𝑎,𝑏)   𝐾(𝑎,𝑏)   𝑉(𝑎,𝑏)

Proof of Theorem frgrwopreglem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 481	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → 𝐺 ∈ FriendGraph )
2		elrabi 3674	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ {𝑥 ∈ 𝑉 ∣ (𝐷‘𝑥) = 𝐾} → 𝑎 ∈ 𝑉)
3		frgrwopreg.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = {𝑥 ∈ 𝑉 ∣ (𝐷‘𝑥) = 𝐾}
4	2, 3	eleq2s 2843	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ 𝐴 → 𝑎 ∈ 𝑉)
5		eldifi 4124	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 ∈ (𝑉 ∖ 𝐴) → 𝑏 ∈ 𝑉)
6		frgrwopreg.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (𝑉 ∖ 𝐴)
7	5, 6	eleq2s 2843	. . . . 5 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐵 → 𝑏 ∈ 𝑉)
8	4, 7	anim12i 611	. . . 4 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉))
9	8	adantl 480	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉))
10		frgrwopreg.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
11		frgrwopreg.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (VtxDeg‘𝐺)
12	10, 11, 3, 6	frgrwopreglem3 30180	. . . 4 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝐷‘𝑎) ≠ (𝐷‘𝑏))
13	12	adantl 480	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝐷‘𝑎) ≠ (𝐷‘𝑏))
14		frgrwopreg.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
15	10, 11, 14	frgrwopreglem4a 30176	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ (𝐷‘𝑎) ≠ (𝐷‘𝑏)) → {𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸)
16	1, 9, 13, 15	syl3anc 1368	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → {𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸)
17	16	ralrimivva 3191	1 ⊢ (𝐺 ∈ FriendGraph → ∀𝑎 ∈ 𝐴 ∀𝑏 ∈ 𝐵 {𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2930  ∀wral 3051  {crab 3419   ∖ cdif 3942  {cpr 4631  ‘cfv 6547  Vtxcvtx 28865  Edgcedg 28916  VtxDegcvtxdg 29335   FriendGraph cfrgr 30124

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7739  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3775  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3965  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6499  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-f1 6552  df-fo 6553  df-f1o 6554  df-fv 6555  df-riota 7373  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7870  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-2o 8486  df-oadd 8489  df-er 8723  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-dju 9924  df-card 9962  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-n0 12503  df-xnn0 12575  df-z 12589  df-uz 12853  df-xadd 13125  df-fz 13517  df-hash 14322  df-edg 28917  df-uhgr 28927  df-ushgr 28928  df-upgr 28951  df-umgr 28952  df-uspgr 29019  df-usgr 29020  df-nbgr 29202  df-vtxdg 29336  df-frgr 30125

This theorem is referenced by:  frgrwopregasn  30182  frgrwopregbsn  30183  frgrwopreglem5ALT  30188