Theorem frgrwopreglem4 30301

Description: Lemma 4 for frgrwopreg 30309. In a friendship graph each vertex with degree 𝐾 is connected with any vertex with degree other than 𝐾. This corresponds to statement 4 in [Huneke] p. 2: "By the first claim, every vertex in A is adjacent to every vertex in B.". (Contributed by Alexander van der Vekens, 30-Dec-2017.) (Revised by AV, 10-May-2021.) (Proof shortened by AV, 4-Feb-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
frgrwopreg.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
frgrwopreg.d	⊢ 𝐷 = (VtxDeg‘𝐺)
frgrwopreg.a	⊢ 𝐴 = {𝑥 ∈ 𝑉 ∣ (𝐷‘𝑥) = 𝐾}
frgrwopreg.b	⊢ 𝐵 = (𝑉 ∖ 𝐴)
frgrwopreg.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
frgrwopreglem4	⊢ (𝐺 ∈ FriendGraph → ∀𝑎 ∈ 𝐴 ∀𝑏 ∈ 𝐵 {𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑉   𝑥,𝐴   𝑥,𝐺   𝑥,𝐾   𝑥,𝐷   𝐴,𝑏   𝑥,𝐵   𝐺,𝑎,𝑏,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑎)   𝐵(𝑎,𝑏)   𝐷(𝑎,𝑏)   𝐸(𝑥,𝑎,𝑏)   𝐾(𝑎,𝑏)   𝑉(𝑎,𝑏)

Proof of Theorem frgrwopreglem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 482	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → 𝐺 ∈ FriendGraph )
2		elrabi 3671	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ {𝑥 ∈ 𝑉 ∣ (𝐷‘𝑥) = 𝐾} → 𝑎 ∈ 𝑉)
3		frgrwopreg.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = {𝑥 ∈ 𝑉 ∣ (𝐷‘𝑥) = 𝐾}
4	2, 3	eleq2s 2853	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ 𝐴 → 𝑎 ∈ 𝑉)
5		eldifi 4111	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 ∈ (𝑉 ∖ 𝐴) → 𝑏 ∈ 𝑉)
6		frgrwopreg.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (𝑉 ∖ 𝐴)
7	5, 6	eleq2s 2853	. . . . 5 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐵 → 𝑏 ∈ 𝑉)
8	4, 7	anim12i 613	. . . 4 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉))
9	8	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉))
10		frgrwopreg.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
11		frgrwopreg.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (VtxDeg‘𝐺)
12	10, 11, 3, 6	frgrwopreglem3 30300	. . . 4 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝐷‘𝑎) ≠ (𝐷‘𝑏))
13	12	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝐷‘𝑎) ≠ (𝐷‘𝑏))
14		frgrwopreg.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
15	10, 11, 14	frgrwopreglem4a 30296	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ (𝐷‘𝑎) ≠ (𝐷‘𝑏)) → {𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸)
16	1, 9, 13, 15	syl3anc 1373	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → {𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸)
17	16	ralrimivva 3188	1 ⊢ (𝐺 ∈ FriendGraph → ∀𝑎 ∈ 𝐴 ∀𝑏 ∈ 𝐵 {𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2933  ∀wral 3052  {crab 3420   ∖ cdif 3928  {cpr 4608  ‘cfv 6536  Vtxcvtx 28980  Edgcedg 29031  VtxDegcvtxdg 29450   FriendGraph cfrgr 30244

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-rep 5254  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-int 4928  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-2o 8486  df-oadd 8489  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-dju 9920  df-card 9958  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-nn 12246  df-2 12308  df-n0 12507  df-xnn0 12580  df-z 12594  df-uz 12858  df-xadd 13134  df-fz 13530  df-hash 14354  df-edg 29032  df-uhgr 29042  df-ushgr 29043  df-upgr 29066  df-umgr 29067  df-uspgr 29134  df-usgr 29135  df-nbgr 29317  df-vtxdg 29451  df-frgr 30245

This theorem is referenced by:  frgrwopregasn  30302  frgrwopregbsn  30303  frgrwopreglem5ALT  30308