MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frgrwopreglem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frgrwopreglem4 30197
Description: Lemma 4 for frgrwopreg 30205. In a friendship graph each vertex with degree 𝐾 is connected with any vertex with degree other than 𝐾. This corresponds to statement 4 in [Huneke] p. 2: "By the first claim, every vertex in A is adjacent to every vertex in B.". (Contributed by Alexander van der Vekens, 30-Dec-2017.) (Revised by AV, 10-May-2021.) (Proof shortened by AV, 4-Feb-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
frgrwopreg.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
frgrwopreg.d 𝐷 = (VtxDeg‘𝐺)
frgrwopreg.a 𝐴 = {𝑥𝑉 ∣ (𝐷𝑥) = 𝐾}
frgrwopreg.b 𝐵 = (𝑉𝐴)
frgrwopreg.e 𝐸 = (Edg‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
frgrwopreglem4 (𝐺 ∈ FriendGraph → ∀𝑎𝐴𝑏𝐵 {𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑉   𝑥,𝐴   𝑥,𝐺   𝑥,𝐾   𝑥,𝐷   𝐴,𝑏   𝑥,𝐵   𝐺,𝑎,𝑏,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑎)   𝐵(𝑎,𝑏)   𝐷(𝑎,𝑏)   𝐸(𝑥,𝑎,𝑏)   𝐾(𝑎,𝑏)   𝑉(𝑎,𝑏)

Proof of Theorem frgrwopreglem4
StepHypRef Expression
1 simpl 481 . . 3 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (𝑎𝐴𝑏𝐵)) → 𝐺 ∈ FriendGraph )
2 elrabi 3673 . . . . . 6 (𝑎 ∈ {𝑥𝑉 ∣ (𝐷𝑥) = 𝐾} → 𝑎𝑉)
3 frgrwopreg.a . . . . . 6 𝐴 = {𝑥𝑉 ∣ (𝐷𝑥) = 𝐾}
42, 3eleq2s 2843 . . . . 5 (𝑎𝐴𝑎𝑉)
5 eldifi 4123 . . . . . 6 (𝑏 ∈ (𝑉𝐴) → 𝑏𝑉)
6 frgrwopreg.b . . . . . 6 𝐵 = (𝑉𝐴)
75, 6eleq2s 2843 . . . . 5 (𝑏𝐵𝑏𝑉)
84, 7anim12i 611 . . . 4 ((𝑎𝐴𝑏𝐵) → (𝑎𝑉𝑏𝑉))
98adantl 480 . . 3 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (𝑎𝐴𝑏𝐵)) → (𝑎𝑉𝑏𝑉))
10 frgrwopreg.v . . . . 5 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
11 frgrwopreg.d . . . . 5 𝐷 = (VtxDeg‘𝐺)
1210, 11, 3, 6frgrwopreglem3 30196 . . . 4 ((𝑎𝐴𝑏𝐵) → (𝐷𝑎) ≠ (𝐷𝑏))
1312adantl 480 . . 3 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (𝑎𝐴𝑏𝐵)) → (𝐷𝑎) ≠ (𝐷𝑏))
14 frgrwopreg.e . . . 4 𝐸 = (Edg‘𝐺)
1510, 11, 14frgrwopreglem4a 30192 . . 3 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉) ∧ (𝐷𝑎) ≠ (𝐷𝑏)) → {𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸)
161, 9, 13, 15syl3anc 1368 . 2 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (𝑎𝐴𝑏𝐵)) → {𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸)
1716ralrimivva 3190 1 (𝐺 ∈ FriendGraph → ∀𝑎𝐴𝑏𝐵 {𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2929  wral 3050  {crab 3418  cdif 3941  {cpr 4632  cfv 6549  Vtxcvtx 28881  Edgcedg 28932  VtxDegcvtxdg 29351   FriendGraph cfrgr 30140
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-2o 8488  df-oadd 8491  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-dju 9926  df-card 9964  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-nn 12246  df-2 12308  df-n0 12506  df-xnn0 12578  df-z 12592  df-uz 12856  df-xadd 13128  df-fz 13520  df-hash 14326  df-edg 28933  df-uhgr 28943  df-ushgr 28944  df-upgr 28967  df-umgr 28968  df-uspgr 29035  df-usgr 29036  df-nbgr 29218  df-vtxdg 29352  df-frgr 30141
This theorem is referenced by:  frgrwopregasn  30198  frgrwopregbsn  30199  frgrwopreglem5ALT  30204
  Copyright terms: Public domain W3C validator