Theorem frgrwopreglem4 30197

Description: Lemma 4 for frgrwopreg 30205. In a friendship graph each vertex with degree 𝐾 is connected with any vertex with degree other than 𝐾. This corresponds to statement 4 in [Huneke] p. 2: "By the first claim, every vertex in A is adjacent to every vertex in B.". (Contributed by Alexander van der Vekens, 30-Dec-2017.) (Revised by AV, 10-May-2021.) (Proof shortened by AV, 4-Feb-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
frgrwopreg.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
frgrwopreg.d	⊢ 𝐷 = (VtxDeg‘𝐺)
frgrwopreg.a	⊢ 𝐴 = {𝑥 ∈ 𝑉 ∣ (𝐷‘𝑥) = 𝐾}
frgrwopreg.b	⊢ 𝐵 = (𝑉 ∖ 𝐴)
frgrwopreg.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
frgrwopreglem4	⊢ (𝐺 ∈ FriendGraph → ∀𝑎 ∈ 𝐴 ∀𝑏 ∈ 𝐵 {𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑉   𝑥,𝐴   𝑥,𝐺   𝑥,𝐾   𝑥,𝐷   𝐴,𝑏   𝑥,𝐵   𝐺,𝑎,𝑏,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑎)   𝐵(𝑎,𝑏)   𝐷(𝑎,𝑏)   𝐸(𝑥,𝑎,𝑏)   𝐾(𝑎,𝑏)   𝑉(𝑎,𝑏)

Proof of Theorem frgrwopreglem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 481	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → 𝐺 ∈ FriendGraph )
2		elrabi 3673	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ {𝑥 ∈ 𝑉 ∣ (𝐷‘𝑥) = 𝐾} → 𝑎 ∈ 𝑉)
3		frgrwopreg.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = {𝑥 ∈ 𝑉 ∣ (𝐷‘𝑥) = 𝐾}
4	2, 3	eleq2s 2843	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ 𝐴 → 𝑎 ∈ 𝑉)
5		eldifi 4123	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 ∈ (𝑉 ∖ 𝐴) → 𝑏 ∈ 𝑉)
6		frgrwopreg.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (𝑉 ∖ 𝐴)
7	5, 6	eleq2s 2843	. . . . 5 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐵 → 𝑏 ∈ 𝑉)
8	4, 7	anim12i 611	. . . 4 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉))
9	8	adantl 480	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉))
10		frgrwopreg.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
11		frgrwopreg.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (VtxDeg‘𝐺)
12	10, 11, 3, 6	frgrwopreglem3 30196	. . . 4 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝐷‘𝑎) ≠ (𝐷‘𝑏))
13	12	adantl 480	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝐷‘𝑎) ≠ (𝐷‘𝑏))
14		frgrwopreg.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
15	10, 11, 14	frgrwopreglem4a 30192	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ (𝐷‘𝑎) ≠ (𝐷‘𝑏)) → {𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸)
16	1, 9, 13, 15	syl3anc 1368	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → {𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸)
17	16	ralrimivva 3190	1 ⊢ (𝐺 ∈ FriendGraph → ∀𝑎 ∈ 𝐴 ∀𝑏 ∈ 𝐵 {𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2929  ∀wral 3050  {crab 3418   ∖ cdif 3941  {cpr 4632  ‘cfv 6549  Vtxcvtx 28881  Edgcedg 28932  VtxDegcvtxdg 29351   FriendGraph cfrgr 30140

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-2o 8488  df-oadd 8491  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-dju 9926  df-card 9964  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-nn 12246  df-2 12308  df-n0 12506  df-xnn0 12578  df-z 12592  df-uz 12856  df-xadd 13128  df-fz 13520  df-hash 14326  df-edg 28933  df-uhgr 28943  df-ushgr 28944  df-upgr 28967  df-umgr 28968  df-uspgr 29035  df-usgr 29036  df-nbgr 29218  df-vtxdg 29352  df-frgr 30141

This theorem is referenced by:  frgrwopregasn  30198  frgrwopregbsn  30199  frgrwopreglem5ALT  30204