Theorem frgrwopreglem5a 30404

Description: If a friendship graph has two vertices with the same degree and two other vertices with different degrees, then there is a 4-cycle in the graph. Alternate version of frgrwopreglem5 30414 without a fixed degree and without using the sets 𝐴 and 𝐵. (Contributed by Alexander van der Vekens, 31-Dec-2017.) (Revised by AV, 4-Feb-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
frgrncvvdeq.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
frgrncvvdeq.d	⊢ 𝐷 = (VtxDeg‘𝐺)
frgrwopreglem4a.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
frgrwopreglem5a	⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) ∧ ((𝐷‘𝐴) = (𝐷‘𝑋) ∧ (𝐷‘𝐴) ≠ (𝐷‘𝐵) ∧ (𝐷‘𝑋) ≠ (𝐷‘𝑌))) → (({𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝑋} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸 ∧ {𝑌, 𝐴} ∈ 𝐸)))

Proof of Theorem frgrwopreglem5a

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ FriendGraph → 𝐺 ∈ FriendGraph )
2		simpl 482	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝐴 ∈ 𝑉)
3		simpl 482	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → 𝐵 ∈ 𝑉)
4	2, 3	anim12i 614	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉))
5		simp2 1138	. . 3 ⊢ (((𝐷‘𝐴) = (𝐷‘𝑋) ∧ (𝐷‘𝐴) ≠ (𝐷‘𝐵) ∧ (𝐷‘𝑋) ≠ (𝐷‘𝑌)) → (𝐷‘𝐴) ≠ (𝐷‘𝐵))
6		frgrncvvdeq.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
7		frgrncvvdeq.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (VtxDeg‘𝐺)
8		frgrwopreglem4a.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
9	6, 7, 8	frgrwopreglem4a 30403	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝐷‘𝐴) ≠ (𝐷‘𝐵)) → {𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸)
10	1, 4, 5, 9	syl3an 1161	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) ∧ ((𝐷‘𝐴) = (𝐷‘𝑋) ∧ (𝐷‘𝐴) ≠ (𝐷‘𝐵) ∧ (𝐷‘𝑋) ≠ (𝐷‘𝑌))) → {𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸)
11		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝑋 ∈ 𝑉)
12	11, 3	anim12ci 615	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉))
13		pm13.18 3014	. . . . 5 ⊢ (((𝐷‘𝐴) = (𝐷‘𝑋) ∧ (𝐷‘𝐴) ≠ (𝐷‘𝐵)) → (𝐷‘𝑋) ≠ (𝐷‘𝐵))
14	13	3adant3 1133	. . . 4 ⊢ (((𝐷‘𝐴) = (𝐷‘𝑋) ∧ (𝐷‘𝐴) ≠ (𝐷‘𝐵) ∧ (𝐷‘𝑋) ≠ (𝐷‘𝑌)) → (𝐷‘𝑋) ≠ (𝐷‘𝐵))
15	14	necomd 2988	. . 3 ⊢ (((𝐷‘𝐴) = (𝐷‘𝑋) ∧ (𝐷‘𝐴) ≠ (𝐷‘𝐵) ∧ (𝐷‘𝑋) ≠ (𝐷‘𝑌)) → (𝐷‘𝐵) ≠ (𝐷‘𝑋))
16	6, 7, 8	frgrwopreglem4a 30403	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝐷‘𝐵) ≠ (𝐷‘𝑋)) → {𝐵, 𝑋} ∈ 𝐸)
17	1, 12, 15, 16	syl3an 1161	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) ∧ ((𝐷‘𝐴) = (𝐷‘𝑋) ∧ (𝐷‘𝐴) ≠ (𝐷‘𝐵) ∧ (𝐷‘𝑋) ≠ (𝐷‘𝑌))) → {𝐵, 𝑋} ∈ 𝐸)
18		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → 𝑌 ∈ 𝑉)
19	11, 18	anim12i 614	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉))
20		simp3 1139	. . . 4 ⊢ (((𝐷‘𝐴) = (𝐷‘𝑋) ∧ (𝐷‘𝐴) ≠ (𝐷‘𝐵) ∧ (𝐷‘𝑋) ≠ (𝐷‘𝑌)) → (𝐷‘𝑋) ≠ (𝐷‘𝑌))
21	6, 7, 8	frgrwopreglem4a 30403	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ (𝐷‘𝑋) ≠ (𝐷‘𝑌)) → {𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸)
22	1, 19, 20, 21	syl3an 1161	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) ∧ ((𝐷‘𝐴) = (𝐷‘𝑋) ∧ (𝐷‘𝐴) ≠ (𝐷‘𝐵) ∧ (𝐷‘𝑋) ≠ (𝐷‘𝑌))) → {𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸)
23	2, 18	anim12ci 615	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉))
24		pm13.181 3015	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷‘𝐴) = (𝐷‘𝑋) ∧ (𝐷‘𝑋) ≠ (𝐷‘𝑌)) → (𝐷‘𝐴) ≠ (𝐷‘𝑌))
25	24	3adant2 1132	. . . . 5 ⊢ (((𝐷‘𝐴) = (𝐷‘𝑋) ∧ (𝐷‘𝐴) ≠ (𝐷‘𝐵) ∧ (𝐷‘𝑋) ≠ (𝐷‘𝑌)) → (𝐷‘𝐴) ≠ (𝐷‘𝑌))
26	25	necomd 2988	. . . 4 ⊢ (((𝐷‘𝐴) = (𝐷‘𝑋) ∧ (𝐷‘𝐴) ≠ (𝐷‘𝐵) ∧ (𝐷‘𝑋) ≠ (𝐷‘𝑌)) → (𝐷‘𝑌) ≠ (𝐷‘𝐴))
27	6, 7, 8	frgrwopreglem4a 30403	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (𝐷‘𝑌) ≠ (𝐷‘𝐴)) → {𝑌, 𝐴} ∈ 𝐸)
28	1, 23, 26, 27	syl3an 1161	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) ∧ ((𝐷‘𝐴) = (𝐷‘𝑋) ∧ (𝐷‘𝐴) ≠ (𝐷‘𝐵) ∧ (𝐷‘𝑋) ≠ (𝐷‘𝑌))) → {𝑌, 𝐴} ∈ 𝐸)
29	22, 28	jca 511	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) ∧ ((𝐷‘𝐴) = (𝐷‘𝑋) ∧ (𝐷‘𝐴) ≠ (𝐷‘𝐵) ∧ (𝐷‘𝑋) ≠ (𝐷‘𝑌))) → ({𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸 ∧ {𝑌, 𝐴} ∈ 𝐸))
30	10, 17, 29	jca31 514	1 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) ∧ ((𝐷‘𝐴) = (𝐷‘𝑋) ∧ (𝐷‘𝐴) ≠ (𝐷‘𝐵) ∧ (𝐷‘𝑋) ≠ (𝐷‘𝑌))) → (({𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝑋} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸 ∧ {𝑌, 𝐴} ∈ 𝐸)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  {cpr 4584  ‘cfv 6502  Vtxcvtx 29087  Edgcedg 29138  VtxDegcvtxdg 29557   FriendGraph cfrgr 30351

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5314  ax-pr 5381  ax-un 7692  ax-cnex 11096  ax-resscn 11097  ax-1cn 11098  ax-icn 11099  ax-addcl 11100  ax-addrcl 11101  ax-mulcl 11102  ax-mulrcl 11103  ax-mulcom 11104  ax-addass 11105  ax-mulass 11106  ax-distr 11107  ax-i2m1 11108  ax-1ne0 11109  ax-1rid 11110  ax-rnegex 11111  ax-rrecex 11112  ax-cnre 11113  ax-pre-lttri 11114  ax-pre-lttrn 11115  ax-pre-ltadd 11116  ax-pre-mulgt0 11117

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5529  df-eprel 5534  df-po 5542  df-so 5543  df-fr 5587  df-we 5589  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6269  df-ord 6330  df-on 6331  df-lim 6332  df-suc 6333  df-iota 6458  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-f1 6507  df-fo 6508  df-f1o 6509  df-fv 6510  df-riota 7327  df-ov 7373  df-oprab 7374  df-mpo 7375  df-om 7821  df-1st 7945  df-2nd 7946  df-frecs 8235  df-wrecs 8266  df-recs 8315  df-rdg 8353  df-1o 8409  df-2o 8410  df-oadd 8413  df-er 8647  df-en 8898  df-dom 8899  df-sdom 8900  df-fin 8901  df-dju 9827  df-card 9865  df-pnf 11182  df-mnf 11183  df-xr 11184  df-ltxr 11185  df-le 11186  df-sub 11380  df-neg 11381  df-nn 12160  df-2 12222  df-n0 12416  df-xnn0 12489  df-z 12503  df-uz 12766  df-xadd 13041  df-fz 13438  df-hash 14268  df-edg 29139  df-uhgr 29149  df-ushgr 29150  df-upgr 29173  df-umgr 29174  df-uspgr 29241  df-usgr 29242  df-nbgr 29424  df-vtxdg 29558  df-frgr 30352

This theorem is referenced by:  frgrwopreglem5  30414