Theorem frgrwopreglem5a 30134

Description: If a friendship graph has two vertices with the same degree and two other vertices with different degrees, then there is a 4-cycle in the graph. Alternate version of frgrwopreglem5 30144 without a fixed degree and without using the sets 𝐴 and 𝐵. (Contributed by Alexander van der Vekens, 31-Dec-2017.) (Revised by AV, 4-Feb-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
frgrncvvdeq.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
frgrncvvdeq.d	⊢ 𝐷 = (VtxDeg‘𝐺)
frgrwopreglem4a.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
frgrwopreglem5a	⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) ∧ ((𝐷‘𝐴) = (𝐷‘𝑋) ∧ (𝐷‘𝐴) ≠ (𝐷‘𝐵) ∧ (𝐷‘𝑋) ≠ (𝐷‘𝑌))) → (({𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝑋} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸 ∧ {𝑌, 𝐴} ∈ 𝐸)))

Proof of Theorem frgrwopreglem5a

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ FriendGraph → 𝐺 ∈ FriendGraph )
2		simpl 482	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝐴 ∈ 𝑉)
3		simpl 482	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → 𝐵 ∈ 𝑉)
4	2, 3	anim12i 612	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉))
5		simp2 1135	. . 3 ⊢ (((𝐷‘𝐴) = (𝐷‘𝑋) ∧ (𝐷‘𝐴) ≠ (𝐷‘𝐵) ∧ (𝐷‘𝑋) ≠ (𝐷‘𝑌)) → (𝐷‘𝐴) ≠ (𝐷‘𝐵))
6		frgrncvvdeq.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
7		frgrncvvdeq.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (VtxDeg‘𝐺)
8		frgrwopreglem4a.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
9	6, 7, 8	frgrwopreglem4a 30133	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝐷‘𝐴) ≠ (𝐷‘𝐵)) → {𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸)
10	1, 4, 5, 9	syl3an 1158	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) ∧ ((𝐷‘𝐴) = (𝐷‘𝑋) ∧ (𝐷‘𝐴) ≠ (𝐷‘𝐵) ∧ (𝐷‘𝑋) ≠ (𝐷‘𝑌))) → {𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸)
11		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝑋 ∈ 𝑉)
12	11, 3	anim12ci 613	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉))
13		pm13.18 3019	. . . . 5 ⊢ (((𝐷‘𝐴) = (𝐷‘𝑋) ∧ (𝐷‘𝐴) ≠ (𝐷‘𝐵)) → (𝐷‘𝑋) ≠ (𝐷‘𝐵))
14	13	3adant3 1130	. . . 4 ⊢ (((𝐷‘𝐴) = (𝐷‘𝑋) ∧ (𝐷‘𝐴) ≠ (𝐷‘𝐵) ∧ (𝐷‘𝑋) ≠ (𝐷‘𝑌)) → (𝐷‘𝑋) ≠ (𝐷‘𝐵))
15	14	necomd 2993	. . 3 ⊢ (((𝐷‘𝐴) = (𝐷‘𝑋) ∧ (𝐷‘𝐴) ≠ (𝐷‘𝐵) ∧ (𝐷‘𝑋) ≠ (𝐷‘𝑌)) → (𝐷‘𝐵) ≠ (𝐷‘𝑋))
16	6, 7, 8	frgrwopreglem4a 30133	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝐷‘𝐵) ≠ (𝐷‘𝑋)) → {𝐵, 𝑋} ∈ 𝐸)
17	1, 12, 15, 16	syl3an 1158	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) ∧ ((𝐷‘𝐴) = (𝐷‘𝑋) ∧ (𝐷‘𝐴) ≠ (𝐷‘𝐵) ∧ (𝐷‘𝑋) ≠ (𝐷‘𝑌))) → {𝐵, 𝑋} ∈ 𝐸)
18		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → 𝑌 ∈ 𝑉)
19	11, 18	anim12i 612	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉))
20		simp3 1136	. . . 4 ⊢ (((𝐷‘𝐴) = (𝐷‘𝑋) ∧ (𝐷‘𝐴) ≠ (𝐷‘𝐵) ∧ (𝐷‘𝑋) ≠ (𝐷‘𝑌)) → (𝐷‘𝑋) ≠ (𝐷‘𝑌))
21	6, 7, 8	frgrwopreglem4a 30133	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ (𝐷‘𝑋) ≠ (𝐷‘𝑌)) → {𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸)
22	1, 19, 20, 21	syl3an 1158	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) ∧ ((𝐷‘𝐴) = (𝐷‘𝑋) ∧ (𝐷‘𝐴) ≠ (𝐷‘𝐵) ∧ (𝐷‘𝑋) ≠ (𝐷‘𝑌))) → {𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸)
23	2, 18	anim12ci 613	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉))
24		pm13.181 3020	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷‘𝐴) = (𝐷‘𝑋) ∧ (𝐷‘𝑋) ≠ (𝐷‘𝑌)) → (𝐷‘𝐴) ≠ (𝐷‘𝑌))
25	24	3adant2 1129	. . . . 5 ⊢ (((𝐷‘𝐴) = (𝐷‘𝑋) ∧ (𝐷‘𝐴) ≠ (𝐷‘𝐵) ∧ (𝐷‘𝑋) ≠ (𝐷‘𝑌)) → (𝐷‘𝐴) ≠ (𝐷‘𝑌))
26	25	necomd 2993	. . . 4 ⊢ (((𝐷‘𝐴) = (𝐷‘𝑋) ∧ (𝐷‘𝐴) ≠ (𝐷‘𝐵) ∧ (𝐷‘𝑋) ≠ (𝐷‘𝑌)) → (𝐷‘𝑌) ≠ (𝐷‘𝐴))
27	6, 7, 8	frgrwopreglem4a 30133	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (𝐷‘𝑌) ≠ (𝐷‘𝐴)) → {𝑌, 𝐴} ∈ 𝐸)
28	1, 23, 26, 27	syl3an 1158	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) ∧ ((𝐷‘𝐴) = (𝐷‘𝑋) ∧ (𝐷‘𝐴) ≠ (𝐷‘𝐵) ∧ (𝐷‘𝑋) ≠ (𝐷‘𝑌))) → {𝑌, 𝐴} ∈ 𝐸)
29	22, 28	jca 511	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) ∧ ((𝐷‘𝐴) = (𝐷‘𝑋) ∧ (𝐷‘𝐴) ≠ (𝐷‘𝐵) ∧ (𝐷‘𝑋) ≠ (𝐷‘𝑌))) → ({𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸 ∧ {𝑌, 𝐴} ∈ 𝐸))
30	10, 17, 29	jca31 514	1 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) ∧ ((𝐷‘𝐴) = (𝐷‘𝑋) ∧ (𝐷‘𝐴) ≠ (𝐷‘𝐵) ∧ (𝐷‘𝑋) ≠ (𝐷‘𝑌))) → (({𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝑋} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸 ∧ {𝑌, 𝐴} ∈ 𝐸)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ≠ wne 2937  {cpr 4631  ‘cfv 6548  Vtxcvtx 28822  Edgcedg 28873  VtxDegcvtxdg 29292   FriendGraph cfrgr 30081

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-2o 8488  df-oadd 8491  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-dju 9925  df-card 9963  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-nn 12244  df-2 12306  df-n0 12504  df-xnn0 12576  df-z 12590  df-uz 12854  df-xadd 13126  df-fz 13518  df-hash 14323  df-edg 28874  df-uhgr 28884  df-ushgr 28885  df-upgr 28908  df-umgr 28909  df-uspgr 28976  df-usgr 28977  df-nbgr 29159  df-vtxdg 29293  df-frgr 30082

This theorem is referenced by:  frgrwopreglem5  30144