Theorem frgrwopreglem5a 30291

Description: If a friendship graph has two vertices with the same degree and two other vertices with different degrees, then there is a 4-cycle in the graph. Alternate version of frgrwopreglem5 30301 without a fixed degree and without using the sets 𝐴 and 𝐵. (Contributed by Alexander van der Vekens, 31-Dec-2017.) (Revised by AV, 4-Feb-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
frgrncvvdeq.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
frgrncvvdeq.d	⊢ 𝐷 = (VtxDeg‘𝐺)
frgrwopreglem4a.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
frgrwopreglem5a	⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) ∧ ((𝐷‘𝐴) = (𝐷‘𝑋) ∧ (𝐷‘𝐴) ≠ (𝐷‘𝐵) ∧ (𝐷‘𝑋) ≠ (𝐷‘𝑌))) → (({𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝑋} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸 ∧ {𝑌, 𝐴} ∈ 𝐸)))

Proof of Theorem frgrwopreglem5a

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ FriendGraph → 𝐺 ∈ FriendGraph )
2		simpl 482	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝐴 ∈ 𝑉)
3		simpl 482	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → 𝐵 ∈ 𝑉)
4	2, 3	anim12i 613	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉))
5		simp2 1137	. . 3 ⊢ (((𝐷‘𝐴) = (𝐷‘𝑋) ∧ (𝐷‘𝐴) ≠ (𝐷‘𝐵) ∧ (𝐷‘𝑋) ≠ (𝐷‘𝑌)) → (𝐷‘𝐴) ≠ (𝐷‘𝐵))
6		frgrncvvdeq.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
7		frgrncvvdeq.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (VtxDeg‘𝐺)
8		frgrwopreglem4a.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
9	6, 7, 8	frgrwopreglem4a 30290	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝐷‘𝐴) ≠ (𝐷‘𝐵)) → {𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸)
10	1, 4, 5, 9	syl3an 1160	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) ∧ ((𝐷‘𝐴) = (𝐷‘𝑋) ∧ (𝐷‘𝐴) ≠ (𝐷‘𝐵) ∧ (𝐷‘𝑋) ≠ (𝐷‘𝑌))) → {𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸)
11		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝑋 ∈ 𝑉)
12	11, 3	anim12ci 614	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉))
13		pm13.18 3009	. . . . 5 ⊢ (((𝐷‘𝐴) = (𝐷‘𝑋) ∧ (𝐷‘𝐴) ≠ (𝐷‘𝐵)) → (𝐷‘𝑋) ≠ (𝐷‘𝐵))
14	13	3adant3 1132	. . . 4 ⊢ (((𝐷‘𝐴) = (𝐷‘𝑋) ∧ (𝐷‘𝐴) ≠ (𝐷‘𝐵) ∧ (𝐷‘𝑋) ≠ (𝐷‘𝑌)) → (𝐷‘𝑋) ≠ (𝐷‘𝐵))
15	14	necomd 2983	. . 3 ⊢ (((𝐷‘𝐴) = (𝐷‘𝑋) ∧ (𝐷‘𝐴) ≠ (𝐷‘𝐵) ∧ (𝐷‘𝑋) ≠ (𝐷‘𝑌)) → (𝐷‘𝐵) ≠ (𝐷‘𝑋))
16	6, 7, 8	frgrwopreglem4a 30290	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝐷‘𝐵) ≠ (𝐷‘𝑋)) → {𝐵, 𝑋} ∈ 𝐸)
17	1, 12, 15, 16	syl3an 1160	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) ∧ ((𝐷‘𝐴) = (𝐷‘𝑋) ∧ (𝐷‘𝐴) ≠ (𝐷‘𝐵) ∧ (𝐷‘𝑋) ≠ (𝐷‘𝑌))) → {𝐵, 𝑋} ∈ 𝐸)
18		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → 𝑌 ∈ 𝑉)
19	11, 18	anim12i 613	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉))
20		simp3 1138	. . . 4 ⊢ (((𝐷‘𝐴) = (𝐷‘𝑋) ∧ (𝐷‘𝐴) ≠ (𝐷‘𝐵) ∧ (𝐷‘𝑋) ≠ (𝐷‘𝑌)) → (𝐷‘𝑋) ≠ (𝐷‘𝑌))
21	6, 7, 8	frgrwopreglem4a 30290	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ (𝐷‘𝑋) ≠ (𝐷‘𝑌)) → {𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸)
22	1, 19, 20, 21	syl3an 1160	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) ∧ ((𝐷‘𝐴) = (𝐷‘𝑋) ∧ (𝐷‘𝐴) ≠ (𝐷‘𝐵) ∧ (𝐷‘𝑋) ≠ (𝐷‘𝑌))) → {𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸)
23	2, 18	anim12ci 614	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉))
24		pm13.181 3010	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷‘𝐴) = (𝐷‘𝑋) ∧ (𝐷‘𝑋) ≠ (𝐷‘𝑌)) → (𝐷‘𝐴) ≠ (𝐷‘𝑌))
25	24	3adant2 1131	. . . . 5 ⊢ (((𝐷‘𝐴) = (𝐷‘𝑋) ∧ (𝐷‘𝐴) ≠ (𝐷‘𝐵) ∧ (𝐷‘𝑋) ≠ (𝐷‘𝑌)) → (𝐷‘𝐴) ≠ (𝐷‘𝑌))
26	25	necomd 2983	. . . 4 ⊢ (((𝐷‘𝐴) = (𝐷‘𝑋) ∧ (𝐷‘𝐴) ≠ (𝐷‘𝐵) ∧ (𝐷‘𝑋) ≠ (𝐷‘𝑌)) → (𝐷‘𝑌) ≠ (𝐷‘𝐴))
27	6, 7, 8	frgrwopreglem4a 30290	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (𝐷‘𝑌) ≠ (𝐷‘𝐴)) → {𝑌, 𝐴} ∈ 𝐸)
28	1, 23, 26, 27	syl3an 1160	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) ∧ ((𝐷‘𝐴) = (𝐷‘𝑋) ∧ (𝐷‘𝐴) ≠ (𝐷‘𝐵) ∧ (𝐷‘𝑋) ≠ (𝐷‘𝑌))) → {𝑌, 𝐴} ∈ 𝐸)
29	22, 28	jca 511	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) ∧ ((𝐷‘𝐴) = (𝐷‘𝑋) ∧ (𝐷‘𝐴) ≠ (𝐷‘𝐵) ∧ (𝐷‘𝑋) ≠ (𝐷‘𝑌))) → ({𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸 ∧ {𝑌, 𝐴} ∈ 𝐸))
30	10, 17, 29	jca31 514	1 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) ∧ ((𝐷‘𝐴) = (𝐷‘𝑋) ∧ (𝐷‘𝐴) ≠ (𝐷‘𝐵) ∧ (𝐷‘𝑋) ≠ (𝐷‘𝑌))) → (({𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝑋} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸 ∧ {𝑌, 𝐴} ∈ 𝐸)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928  {cpr 4575  ‘cfv 6481  Vtxcvtx 28974  Edgcedg 29025  VtxDegcvtxdg 29444   FriendGraph cfrgr 30238

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-int 4896  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-2o 8386  df-oadd 8389  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-dju 9794  df-card 9832  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-2 12188  df-n0 12382  df-xnn0 12455  df-z 12469  df-uz 12733  df-xadd 13012  df-fz 13408  df-hash 14238  df-edg 29026  df-uhgr 29036  df-ushgr 29037  df-upgr 29060  df-umgr 29061  df-uspgr 29128  df-usgr 29129  df-nbgr 29311  df-vtxdg 29445  df-frgr 30239

This theorem is referenced by:  frgrwopreglem5  30301