MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frgrwopreglem5a Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frgrwopreglem5a 27736
Description: If a friendship graph has two vertices with the same degree and two other vertices with different degrees, then there is a 4-cycle in the graph. Alternate version of frgrwopreglem5 27746 without a fixed degree and without using the sets 𝐴 and 𝐵. (Contributed by Alexander van der Vekens, 31-Dec-2017.) (Revised by AV, 4-Feb-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
frgrncvvdeq.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
frgrncvvdeq.d 𝐷 = (VtxDeg‘𝐺)
frgrwopreglem4a.e 𝐸 = (Edg‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
frgrwopreglem5a ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ ((𝐴𝑉𝑋𝑉) ∧ (𝐵𝑉𝑌𝑉)) ∧ ((𝐷𝐴) = (𝐷𝑋) ∧ (𝐷𝐴) ≠ (𝐷𝐵) ∧ (𝐷𝑋) ≠ (𝐷𝑌))) → (({𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝑋} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸 ∧ {𝑌, 𝐴} ∈ 𝐸)))

Proof of Theorem frgrwopreglem5a
StepHypRef Expression
1 id 22 . . 3 (𝐺 ∈ FriendGraph → 𝐺 ∈ FriendGraph )
2 simpl 476 . . . 4 ((𝐴𝑉𝑋𝑉) → 𝐴𝑉)
3 simpl 476 . . . 4 ((𝐵𝑉𝑌𝑉) → 𝐵𝑉)
42, 3anim12i 606 . . 3 (((𝐴𝑉𝑋𝑉) ∧ (𝐵𝑉𝑌𝑉)) → (𝐴𝑉𝐵𝑉))
5 simp2 1128 . . 3 (((𝐷𝐴) = (𝐷𝑋) ∧ (𝐷𝐴) ≠ (𝐷𝐵) ∧ (𝐷𝑋) ≠ (𝐷𝑌)) → (𝐷𝐴) ≠ (𝐷𝐵))
6 frgrncvvdeq.v . . . 4 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
7 frgrncvvdeq.d . . . 4 𝐷 = (VtxDeg‘𝐺)
8 frgrwopreglem4a.e . . . 4 𝐸 = (Edg‘𝐺)
96, 7, 8frgrwopreglem4a 27735 . . 3 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ (𝐷𝐴) ≠ (𝐷𝐵)) → {𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸)
101, 4, 5, 9syl3an 1160 . 2 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ ((𝐴𝑉𝑋𝑉) ∧ (𝐵𝑉𝑌𝑉)) ∧ ((𝐷𝐴) = (𝐷𝑋) ∧ (𝐷𝐴) ≠ (𝐷𝐵) ∧ (𝐷𝑋) ≠ (𝐷𝑌))) → {𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸)
11 simpr 479 . . . 4 ((𝐴𝑉𝑋𝑉) → 𝑋𝑉)
1211, 3anim12ci 607 . . 3 (((𝐴𝑉𝑋𝑉) ∧ (𝐵𝑉𝑌𝑉)) → (𝐵𝑉𝑋𝑉))
13 pm13.18 3050 . . . . 5 (((𝐷𝐴) = (𝐷𝑋) ∧ (𝐷𝐴) ≠ (𝐷𝐵)) → (𝐷𝑋) ≠ (𝐷𝐵))
14133adant3 1123 . . . 4 (((𝐷𝐴) = (𝐷𝑋) ∧ (𝐷𝐴) ≠ (𝐷𝐵) ∧ (𝐷𝑋) ≠ (𝐷𝑌)) → (𝐷𝑋) ≠ (𝐷𝐵))
1514necomd 3024 . . 3 (((𝐷𝐴) = (𝐷𝑋) ∧ (𝐷𝐴) ≠ (𝐷𝐵) ∧ (𝐷𝑋) ≠ (𝐷𝑌)) → (𝐷𝐵) ≠ (𝐷𝑋))
166, 7, 8frgrwopreglem4a 27735 . . 3 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (𝐵𝑉𝑋𝑉) ∧ (𝐷𝐵) ≠ (𝐷𝑋)) → {𝐵, 𝑋} ∈ 𝐸)
171, 12, 15, 16syl3an 1160 . 2 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ ((𝐴𝑉𝑋𝑉) ∧ (𝐵𝑉𝑌𝑉)) ∧ ((𝐷𝐴) = (𝐷𝑋) ∧ (𝐷𝐴) ≠ (𝐷𝐵) ∧ (𝐷𝑋) ≠ (𝐷𝑌))) → {𝐵, 𝑋} ∈ 𝐸)
18 simpr 479 . . . . 5 ((𝐵𝑉𝑌𝑉) → 𝑌𝑉)
1911, 18anim12i 606 . . . 4 (((𝐴𝑉𝑋𝑉) ∧ (𝐵𝑉𝑌𝑉)) → (𝑋𝑉𝑌𝑉))
20 simp3 1129 . . . 4 (((𝐷𝐴) = (𝐷𝑋) ∧ (𝐷𝐴) ≠ (𝐷𝐵) ∧ (𝐷𝑋) ≠ (𝐷𝑌)) → (𝐷𝑋) ≠ (𝐷𝑌))
216, 7, 8frgrwopreglem4a 27735 . . . 4 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉) ∧ (𝐷𝑋) ≠ (𝐷𝑌)) → {𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸)
221, 19, 20, 21syl3an 1160 . . 3 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ ((𝐴𝑉𝑋𝑉) ∧ (𝐵𝑉𝑌𝑉)) ∧ ((𝐷𝐴) = (𝐷𝑋) ∧ (𝐷𝐴) ≠ (𝐷𝐵) ∧ (𝐷𝑋) ≠ (𝐷𝑌))) → {𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸)
232, 18anim12ci 607 . . . 4 (((𝐴𝑉𝑋𝑉) ∧ (𝐵𝑉𝑌𝑉)) → (𝑌𝑉𝐴𝑉))
24 pm13.181 3052 . . . . . 6 (((𝐷𝐴) = (𝐷𝑋) ∧ (𝐷𝑋) ≠ (𝐷𝑌)) → (𝐷𝐴) ≠ (𝐷𝑌))
25243adant2 1122 . . . . 5 (((𝐷𝐴) = (𝐷𝑋) ∧ (𝐷𝐴) ≠ (𝐷𝐵) ∧ (𝐷𝑋) ≠ (𝐷𝑌)) → (𝐷𝐴) ≠ (𝐷𝑌))
2625necomd 3024 . . . 4 (((𝐷𝐴) = (𝐷𝑋) ∧ (𝐷𝐴) ≠ (𝐷𝐵) ∧ (𝐷𝑋) ≠ (𝐷𝑌)) → (𝐷𝑌) ≠ (𝐷𝐴))
276, 7, 8frgrwopreglem4a 27735 . . . 4 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (𝑌𝑉𝐴𝑉) ∧ (𝐷𝑌) ≠ (𝐷𝐴)) → {𝑌, 𝐴} ∈ 𝐸)
281, 23, 26, 27syl3an 1160 . . 3 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ ((𝐴𝑉𝑋𝑉) ∧ (𝐵𝑉𝑌𝑉)) ∧ ((𝐷𝐴) = (𝐷𝑋) ∧ (𝐷𝐴) ≠ (𝐷𝐵) ∧ (𝐷𝑋) ≠ (𝐷𝑌))) → {𝑌, 𝐴} ∈ 𝐸)
2922, 28jca 507 . 2 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ ((𝐴𝑉𝑋𝑉) ∧ (𝐵𝑉𝑌𝑉)) ∧ ((𝐷𝐴) = (𝐷𝑋) ∧ (𝐷𝐴) ≠ (𝐷𝐵) ∧ (𝐷𝑋) ≠ (𝐷𝑌))) → ({𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸 ∧ {𝑌, 𝐴} ∈ 𝐸))
3010, 17, 29jca31 510 1 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ ((𝐴𝑉𝑋𝑉) ∧ (𝐵𝑉𝑌𝑉)) ∧ ((𝐷𝐴) = (𝐷𝑋) ∧ (𝐷𝐴) ≠ (𝐷𝐵) ∧ (𝐷𝑋) ≠ (𝐷𝑌))) → (({𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝑋} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸 ∧ {𝑌, 𝐴} ∈ 𝐸)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 386  w3a 1071   = wceq 1601  wcel 2107  wne 2969  {cpr 4400  cfv 6137  Vtxcvtx 26361  Edgcedg 26412  VtxDegcvtxdg 26830   FriendGraph cfrgr 27681
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5008  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140  ax-un 7228  ax-cnex 10330  ax-resscn 10331  ax-1cn 10332  ax-icn 10333  ax-addcl 10334  ax-addrcl 10335  ax-mulcl 10336  ax-mulrcl 10337  ax-mulcom 10338  ax-addass 10339  ax-mulass 10340  ax-distr 10341  ax-i2m1 10342  ax-1ne0 10343  ax-1rid 10344  ax-rnegex 10345  ax-rrecex 10346  ax-cnre 10347  ax-pre-lttri 10348  ax-pre-lttrn 10349  ax-pre-ltadd 10350  ax-pre-mulgt0 10351
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-fal 1615  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4674  df-int 4713  df-iun 4757  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-tr 4990  df-id 5263  df-eprel 5268  df-po 5276  df-so 5277  df-fr 5316  df-we 5318  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-pred 5935  df-ord 5981  df-on 5982  df-lim 5983  df-suc 5984  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-riota 6885  df-ov 6927  df-oprab 6928  df-mpt2 6929  df-om 7346  df-1st 7447  df-2nd 7448  df-wrecs 7691  df-recs 7753  df-rdg 7791  df-1o 7845  df-2o 7846  df-oadd 7849  df-er 8028  df-en 8244  df-dom 8245  df-sdom 8246  df-fin 8247  df-card 9100  df-cda 9327  df-pnf 10415  df-mnf 10416  df-xr 10417  df-ltxr 10418  df-le 10419  df-sub 10610  df-neg 10611  df-nn 11380  df-2 11443  df-n0 11648  df-xnn0 11720  df-z 11734  df-uz 11998  df-xadd 12263  df-fz 12649  df-hash 13442  df-edg 26413  df-uhgr 26423  df-ushgr 26424  df-upgr 26447  df-umgr 26448  df-uspgr 26516  df-usgr 26517  df-nbgr 26697  df-vtxdg 26831  df-frgr 27682
This theorem is referenced by:  frgrwopreglem5  27746
  Copyright terms: Public domain W3C validator