MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frgrwopreglem5a Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frgrwopreglem5a 28075
Description: If a friendship graph has two vertices with the same degree and two other vertices with different degrees, then there is a 4-cycle in the graph. Alternate version of frgrwopreglem5 28085 without a fixed degree and without using the sets 𝐴 and 𝐵. (Contributed by Alexander van der Vekens, 31-Dec-2017.) (Revised by AV, 4-Feb-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
frgrncvvdeq.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
frgrncvvdeq.d 𝐷 = (VtxDeg‘𝐺)
frgrwopreglem4a.e 𝐸 = (Edg‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
frgrwopreglem5a ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ ((𝐴𝑉𝑋𝑉) ∧ (𝐵𝑉𝑌𝑉)) ∧ ((𝐷𝐴) = (𝐷𝑋) ∧ (𝐷𝐴) ≠ (𝐷𝐵) ∧ (𝐷𝑋) ≠ (𝐷𝑌))) → (({𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝑋} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸 ∧ {𝑌, 𝐴} ∈ 𝐸)))

Proof of Theorem frgrwopreglem5a
StepHypRef Expression
1 id 22 . . 3 (𝐺 ∈ FriendGraph → 𝐺 ∈ FriendGraph )
2 simpl 485 . . . 4 ((𝐴𝑉𝑋𝑉) → 𝐴𝑉)
3 simpl 485 . . . 4 ((𝐵𝑉𝑌𝑉) → 𝐵𝑉)
42, 3anim12i 614 . . 3 (((𝐴𝑉𝑋𝑉) ∧ (𝐵𝑉𝑌𝑉)) → (𝐴𝑉𝐵𝑉))
5 simp2 1133 . . 3 (((𝐷𝐴) = (𝐷𝑋) ∧ (𝐷𝐴) ≠ (𝐷𝐵) ∧ (𝐷𝑋) ≠ (𝐷𝑌)) → (𝐷𝐴) ≠ (𝐷𝐵))
6 frgrncvvdeq.v . . . 4 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
7 frgrncvvdeq.d . . . 4 𝐷 = (VtxDeg‘𝐺)
8 frgrwopreglem4a.e . . . 4 𝐸 = (Edg‘𝐺)
96, 7, 8frgrwopreglem4a 28074 . . 3 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ (𝐷𝐴) ≠ (𝐷𝐵)) → {𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸)
101, 4, 5, 9syl3an 1156 . 2 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ ((𝐴𝑉𝑋𝑉) ∧ (𝐵𝑉𝑌𝑉)) ∧ ((𝐷𝐴) = (𝐷𝑋) ∧ (𝐷𝐴) ≠ (𝐷𝐵) ∧ (𝐷𝑋) ≠ (𝐷𝑌))) → {𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸)
11 simpr 487 . . . 4 ((𝐴𝑉𝑋𝑉) → 𝑋𝑉)
1211, 3anim12ci 615 . . 3 (((𝐴𝑉𝑋𝑉) ∧ (𝐵𝑉𝑌𝑉)) → (𝐵𝑉𝑋𝑉))
13 pm13.18 3087 . . . . 5 (((𝐷𝐴) = (𝐷𝑋) ∧ (𝐷𝐴) ≠ (𝐷𝐵)) → (𝐷𝑋) ≠ (𝐷𝐵))
14133adant3 1128 . . . 4 (((𝐷𝐴) = (𝐷𝑋) ∧ (𝐷𝐴) ≠ (𝐷𝐵) ∧ (𝐷𝑋) ≠ (𝐷𝑌)) → (𝐷𝑋) ≠ (𝐷𝐵))
1514necomd 3061 . . 3 (((𝐷𝐴) = (𝐷𝑋) ∧ (𝐷𝐴) ≠ (𝐷𝐵) ∧ (𝐷𝑋) ≠ (𝐷𝑌)) → (𝐷𝐵) ≠ (𝐷𝑋))
166, 7, 8frgrwopreglem4a 28074 . . 3 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (𝐵𝑉𝑋𝑉) ∧ (𝐷𝐵) ≠ (𝐷𝑋)) → {𝐵, 𝑋} ∈ 𝐸)
171, 12, 15, 16syl3an 1156 . 2 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ ((𝐴𝑉𝑋𝑉) ∧ (𝐵𝑉𝑌𝑉)) ∧ ((𝐷𝐴) = (𝐷𝑋) ∧ (𝐷𝐴) ≠ (𝐷𝐵) ∧ (𝐷𝑋) ≠ (𝐷𝑌))) → {𝐵, 𝑋} ∈ 𝐸)
18 simpr 487 . . . . 5 ((𝐵𝑉𝑌𝑉) → 𝑌𝑉)
1911, 18anim12i 614 . . . 4 (((𝐴𝑉𝑋𝑉) ∧ (𝐵𝑉𝑌𝑉)) → (𝑋𝑉𝑌𝑉))
20 simp3 1134 . . . 4 (((𝐷𝐴) = (𝐷𝑋) ∧ (𝐷𝐴) ≠ (𝐷𝐵) ∧ (𝐷𝑋) ≠ (𝐷𝑌)) → (𝐷𝑋) ≠ (𝐷𝑌))
216, 7, 8frgrwopreglem4a 28074 . . . 4 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉) ∧ (𝐷𝑋) ≠ (𝐷𝑌)) → {𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸)
221, 19, 20, 21syl3an 1156 . . 3 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ ((𝐴𝑉𝑋𝑉) ∧ (𝐵𝑉𝑌𝑉)) ∧ ((𝐷𝐴) = (𝐷𝑋) ∧ (𝐷𝐴) ≠ (𝐷𝐵) ∧ (𝐷𝑋) ≠ (𝐷𝑌))) → {𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸)
232, 18anim12ci 615 . . . 4 (((𝐴𝑉𝑋𝑉) ∧ (𝐵𝑉𝑌𝑉)) → (𝑌𝑉𝐴𝑉))
24 pm13.181 3088 . . . . . 6 (((𝐷𝐴) = (𝐷𝑋) ∧ (𝐷𝑋) ≠ (𝐷𝑌)) → (𝐷𝐴) ≠ (𝐷𝑌))
25243adant2 1127 . . . . 5 (((𝐷𝐴) = (𝐷𝑋) ∧ (𝐷𝐴) ≠ (𝐷𝐵) ∧ (𝐷𝑋) ≠ (𝐷𝑌)) → (𝐷𝐴) ≠ (𝐷𝑌))
2625necomd 3061 . . . 4 (((𝐷𝐴) = (𝐷𝑋) ∧ (𝐷𝐴) ≠ (𝐷𝐵) ∧ (𝐷𝑋) ≠ (𝐷𝑌)) → (𝐷𝑌) ≠ (𝐷𝐴))
276, 7, 8frgrwopreglem4a 28074 . . . 4 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (𝑌𝑉𝐴𝑉) ∧ (𝐷𝑌) ≠ (𝐷𝐴)) → {𝑌, 𝐴} ∈ 𝐸)
281, 23, 26, 27syl3an 1156 . . 3 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ ((𝐴𝑉𝑋𝑉) ∧ (𝐵𝑉𝑌𝑉)) ∧ ((𝐷𝐴) = (𝐷𝑋) ∧ (𝐷𝐴) ≠ (𝐷𝐵) ∧ (𝐷𝑋) ≠ (𝐷𝑌))) → {𝑌, 𝐴} ∈ 𝐸)
2922, 28jca 514 . 2 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ ((𝐴𝑉𝑋𝑉) ∧ (𝐵𝑉𝑌𝑉)) ∧ ((𝐷𝐴) = (𝐷𝑋) ∧ (𝐷𝐴) ≠ (𝐷𝐵) ∧ (𝐷𝑋) ≠ (𝐷𝑌))) → ({𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸 ∧ {𝑌, 𝐴} ∈ 𝐸))
3010, 17, 29jca31 517 1 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ ((𝐴𝑉𝑋𝑉) ∧ (𝐵𝑉𝑌𝑉)) ∧ ((𝐷𝐴) = (𝐷𝑋) ∧ (𝐷𝐴) ≠ (𝐷𝐵) ∧ (𝐷𝑋) ≠ (𝐷𝑌))) → (({𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝑋} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸 ∧ {𝑌, 𝐴} ∈ 𝐸)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 398  w3a 1083   = wceq 1537  wcel 2114  wne 3006  {cpr 4545  cfv 6331  Vtxcvtx 26768  Edgcedg 26819  VtxDegcvtxdg 27234   FriendGraph cfrgr 28022
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2792  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7439  ax-cnex 10571  ax-resscn 10572  ax-1cn 10573  ax-icn 10574  ax-addcl 10575  ax-addrcl 10576  ax-mulcl 10577  ax-mulrcl 10578  ax-mulcom 10579  ax-addass 10580  ax-mulass 10581  ax-distr 10582  ax-i2m1 10583  ax-1ne0 10584  ax-1rid 10585  ax-rnegex 10586  ax-rrecex 10587  ax-cnre 10588  ax-pre-lttri 10589  ax-pre-lttrn 10590  ax-pre-ltadd 10591  ax-pre-mulgt0 10592
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2891  df-nfc 2959  df-ne 3007  df-nel 3111  df-ral 3130  df-rex 3131  df-reu 3132  df-rmo 3133  df-rab 3134  df-v 3475  df-sbc 3753  df-csb 3861  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3932  df-nul 4270  df-if 4444  df-pw 4517  df-sn 4544  df-pr 4546  df-tp 4548  df-op 4550  df-uni 4815  df-int 4853  df-iun 4897  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5436  df-eprel 5441  df-po 5450  df-so 5451  df-fr 5490  df-we 5492  df-xp 5537  df-rel 5538  df-cnv 5539  df-co 5540  df-dm 5541  df-rn 5542  df-res 5543  df-ima 5544  df-pred 6124  df-ord 6170  df-on 6171  df-lim 6172  df-suc 6173  df-iota 6290  df-fun 6333  df-fn 6334  df-f 6335  df-f1 6336  df-fo 6337  df-f1o 6338  df-fv 6339  df-riota 7091  df-ov 7136  df-oprab 7137  df-mpo 7138  df-om 7559  df-1st 7667  df-2nd 7668  df-wrecs 7925  df-recs 7986  df-rdg 8024  df-1o 8080  df-2o 8081  df-oadd 8084  df-er 8267  df-en 8488  df-dom 8489  df-sdom 8490  df-fin 8491  df-dju 9308  df-card 9346  df-pnf 10655  df-mnf 10656  df-xr 10657  df-ltxr 10658  df-le 10659  df-sub 10850  df-neg 10851  df-nn 11617  df-2 11679  df-n0 11877  df-xnn0 11947  df-z 11961  df-uz 12223  df-xadd 12487  df-fz 12877  df-hash 13676  df-edg 26820  df-uhgr 26830  df-ushgr 26831  df-upgr 26854  df-umgr 26855  df-uspgr 26922  df-usgr 26923  df-nbgr 27102  df-vtxdg 27235  df-frgr 28023
This theorem is referenced by:  frgrwopreglem5  28085
  Copyright terms: Public domain W3C validator