Theorem frgrwopreglem5a 30515

Description: If a friendship graph has two vertices with the same degree and two other vertices with different degrees, then there is a 4-cycle in the graph. Alternate version of frgrwopreglem5 30525 without a fixed degree and without using the sets 𝐴 and 𝐵. (Contributed by Alexander van der Vekens, 31-Dec-2017.) (Revised by AV, 4-Feb-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
frgrncvvdeq.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
frgrncvvdeq.d	⊢ 𝐷 = (VtxDeg‘𝐺)
frgrwopreglem4a.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
frgrwopreglem5a	⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) ∧ ((𝐷‘𝐴) = (𝐷‘𝑋) ∧ (𝐷‘𝐴) ≠ (𝐷‘𝐵) ∧ (𝐷‘𝑋) ≠ (𝐷‘𝑌))) → (({𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝑋} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸 ∧ {𝑌, 𝐴} ∈ 𝐸)))

Proof of Theorem frgrwopreglem5a

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ FriendGraph → 𝐺 ∈ FriendGraph )
2		simpl 486	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝐴 ∈ 𝑉)
3		simpl 486	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → 𝐵 ∈ 𝑉)
4	2, 3	anim12i 622	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉))
5		simp2 1151	. . 3 ⊢ (((𝐷‘𝐴) = (𝐷‘𝑋) ∧ (𝐷‘𝐴) ≠ (𝐷‘𝐵) ∧ (𝐷‘𝑋) ≠ (𝐷‘𝑌)) → (𝐷‘𝐴) ≠ (𝐷‘𝐵))
6		frgrncvvdeq.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
7		frgrncvvdeq.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (VtxDeg‘𝐺)
8		frgrwopreglem4a.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
9	6, 7, 8	frgrwopreglem4a 30514	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝐷‘𝐴) ≠ (𝐷‘𝐵)) → {𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸)
10	1, 4, 5, 9	syl3an 1174	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) ∧ ((𝐷‘𝐴) = (𝐷‘𝑋) ∧ (𝐷‘𝐴) ≠ (𝐷‘𝐵) ∧ (𝐷‘𝑋) ≠ (𝐷‘𝑌))) → {𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸)
11		simpr 488	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝑋 ∈ 𝑉)
12	11, 3	anim12ci 623	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉))
13		pm13.18 3040	. . . . 5 ⊢ (((𝐷‘𝐴) = (𝐷‘𝑋) ∧ (𝐷‘𝐴) ≠ (𝐷‘𝐵)) → (𝐷‘𝑋) ≠ (𝐷‘𝐵))
14	13	3adant3 1146	. . . 4 ⊢ (((𝐷‘𝐴) = (𝐷‘𝑋) ∧ (𝐷‘𝐴) ≠ (𝐷‘𝐵) ∧ (𝐷‘𝑋) ≠ (𝐷‘𝑌)) → (𝐷‘𝑋) ≠ (𝐷‘𝐵))
15	14	necomd 3014	. . 3 ⊢ (((𝐷‘𝐴) = (𝐷‘𝑋) ∧ (𝐷‘𝐴) ≠ (𝐷‘𝐵) ∧ (𝐷‘𝑋) ≠ (𝐷‘𝑌)) → (𝐷‘𝐵) ≠ (𝐷‘𝑋))
16	6, 7, 8	frgrwopreglem4a 30514	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝐷‘𝐵) ≠ (𝐷‘𝑋)) → {𝐵, 𝑋} ∈ 𝐸)
17	1, 12, 15, 16	syl3an 1174	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) ∧ ((𝐷‘𝐴) = (𝐷‘𝑋) ∧ (𝐷‘𝐴) ≠ (𝐷‘𝐵) ∧ (𝐷‘𝑋) ≠ (𝐷‘𝑌))) → {𝐵, 𝑋} ∈ 𝐸)
18		simpr 488	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → 𝑌 ∈ 𝑉)
19	11, 18	anim12i 622	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉))
20		simp3 1152	. . . 4 ⊢ (((𝐷‘𝐴) = (𝐷‘𝑋) ∧ (𝐷‘𝐴) ≠ (𝐷‘𝐵) ∧ (𝐷‘𝑋) ≠ (𝐷‘𝑌)) → (𝐷‘𝑋) ≠ (𝐷‘𝑌))
21	6, 7, 8	frgrwopreglem4a 30514	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ (𝐷‘𝑋) ≠ (𝐷‘𝑌)) → {𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸)
22	1, 19, 20, 21	syl3an 1174	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) ∧ ((𝐷‘𝐴) = (𝐷‘𝑋) ∧ (𝐷‘𝐴) ≠ (𝐷‘𝐵) ∧ (𝐷‘𝑋) ≠ (𝐷‘𝑌))) → {𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸)
23	2, 18	anim12ci 623	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉))
24		pm13.181 3041	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷‘𝐴) = (𝐷‘𝑋) ∧ (𝐷‘𝑋) ≠ (𝐷‘𝑌)) → (𝐷‘𝐴) ≠ (𝐷‘𝑌))
25	24	3adant2 1145	. . . . 5 ⊢ (((𝐷‘𝐴) = (𝐷‘𝑋) ∧ (𝐷‘𝐴) ≠ (𝐷‘𝐵) ∧ (𝐷‘𝑋) ≠ (𝐷‘𝑌)) → (𝐷‘𝐴) ≠ (𝐷‘𝑌))
26	25	necomd 3014	. . . 4 ⊢ (((𝐷‘𝐴) = (𝐷‘𝑋) ∧ (𝐷‘𝐴) ≠ (𝐷‘𝐵) ∧ (𝐷‘𝑋) ≠ (𝐷‘𝑌)) → (𝐷‘𝑌) ≠ (𝐷‘𝐴))
27	6, 7, 8	frgrwopreglem4a 30514	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (𝐷‘𝑌) ≠ (𝐷‘𝐴)) → {𝑌, 𝐴} ∈ 𝐸)
28	1, 23, 26, 27	syl3an 1174	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) ∧ ((𝐷‘𝐴) = (𝐷‘𝑋) ∧ (𝐷‘𝐴) ≠ (𝐷‘𝐵) ∧ (𝐷‘𝑋) ≠ (𝐷‘𝑌))) → {𝑌, 𝐴} ∈ 𝐸)
29	22, 28	jca 519	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) ∧ ((𝐷‘𝐴) = (𝐷‘𝑋) ∧ (𝐷‘𝐴) ≠ (𝐷‘𝐵) ∧ (𝐷‘𝑋) ≠ (𝐷‘𝑌))) → ({𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸 ∧ {𝑌, 𝐴} ∈ 𝐸))
30	10, 17, 29	jca31 522	1 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) ∧ ((𝐷‘𝐴) = (𝐷‘𝑋) ∧ (𝐷‘𝐴) ≠ (𝐷‘𝐵) ∧ (𝐷‘𝑋) ≠ (𝐷‘𝑌))) → (({𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝑋} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸 ∧ {𝑌, 𝐴} ∈ 𝐸)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1099   = wceq 1562   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2959  {cpr 4586  ‘cfv 6523  Vtxcvtx 29199  Edgcedg 29250  VtxDegcvtxdg 29668   FriendGraph cfrgr 30462

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2214  ax-ext 2736  ax-rep 5229  ax-sep 5248  ax-nul 5258  ax-pow 5324  ax-pr 5392  ax-un 7720  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-nf 1806  df-sb 2093  df-mo 2568  df-eu 2598  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3458  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5544  df-eprel 5549  df-po 5557  df-so 5558  df-fr 5602  df-we 5604  df-xp 5655  df-rel 5656  df-cnv 5657  df-co 5658  df-dm 5659  df-rn 5660  df-res 5661  df-ima 5662  df-pred 6290  df-ord 6351  df-on 6352  df-lim 6353  df-suc 6354  df-iota 6479  df-fun 6525  df-fn 6526  df-f 6527  df-f1 6528  df-fo 6529  df-f1o 6530  df-fv 6531  df-riota 7355  df-ov 7401  df-oprab 7402  df-mpo 7403  df-om 7849  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8344  df-rdg 8383  df-1o 8439  df-2o 8440  df-oadd 8443  df-er 8680  df-en 8930  df-dom 8931  df-sdom 8932  df-fin 8933  df-dju 9861  df-card 9899  df-pnf 11220  df-mnf 11221  df-xr 11222  df-ltxr 11223  df-le 11224  df-sub 11418  df-neg 11419  df-nn 12213  df-2 12282  df-n0 12484  df-xnn0 12557  df-z 12571  df-uz 12842  df-xadd 13117  df-fz 13515  df-hash 14346  df-edg 29251  df-uhgr 29261  df-ushgr 29262  df-upgr 29285  df-umgr 29286  df-uspgr 29353  df-usgr 29354  df-nbgr 29536  df-vtxdg 29669  df-frgr 30463

This theorem is referenced by:  frgrwopreglem5  30525