MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frgrwopreglem5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frgrwopreglem5 29307
Description: Lemma 5 for frgrwopreg 29309. If 𝐴 as well as 𝐡 contain at least two vertices, there is a 4-cycle in a friendship graph. This corresponds to statement 6 in [Huneke] p. 2: "... otherwise, there are two different vertices in A, and they have two common neighbors in B, ...". (Contributed by Alexander van der Vekens, 31-Dec-2017.) (Proof shortened by AV, 5-Feb-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
frgrwopreg.v 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
frgrwopreg.d 𝐷 = (VtxDegβ€˜πΊ)
frgrwopreg.a 𝐴 = {π‘₯ ∈ 𝑉 ∣ (π·β€˜π‘₯) = 𝐾}
frgrwopreg.b 𝐡 = (𝑉 βˆ– 𝐴)
frgrwopreg.e 𝐸 = (Edgβ€˜πΊ)
Assertion
Ref Expression
frgrwopreglem5 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 1 < (β™―β€˜π΄) ∧ 1 < (β™―β€˜π΅)) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝐴 βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐡 ((π‘Ž β‰  π‘₯ ∧ 𝑏 β‰  𝑦) ∧ ({π‘Ž, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, π‘₯} ∈ 𝐸) ∧ ({π‘₯, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, π‘Ž} ∈ 𝐸)))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑉   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝐺   π‘₯,𝐾   π‘₯,𝐷   𝐴,𝑏   π‘₯,𝐡   𝑦,𝐷   𝐺,π‘Ž,𝑏,𝑦,π‘₯   𝑦,𝑉   𝐴,π‘Ž,𝑦   𝐡,π‘Ž,𝑏,𝑦   π‘₯,𝐸
Allowed substitution hints:   𝐷(π‘Ž,𝑏)   𝐸(𝑦,π‘Ž,𝑏)   𝐾(𝑦,π‘Ž,𝑏)   𝑉(π‘Ž,𝑏)

Proof of Theorem frgrwopreglem5
StepHypRef Expression
1 simpllr 775 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ π‘Ž β‰  π‘₯) ∧ (π‘Ž ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ π‘Ž β‰  π‘₯)
21anim1i 616 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ π‘Ž β‰  π‘₯) ∧ (π‘Ž ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑏 β‰  𝑦) β†’ (π‘Ž β‰  π‘₯ ∧ 𝑏 β‰  𝑦))
3 simplll 774 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ π‘Ž β‰  π‘₯) ∧ (π‘Ž ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ 𝐺 ∈ FriendGraph )
4 fveqeq2 6856 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (π‘₯ = π‘Ž β†’ ((π·β€˜π‘₯) = 𝐾 ↔ (π·β€˜π‘Ž) = 𝐾))
5 frgrwopreg.a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝐴 = {π‘₯ ∈ 𝑉 ∣ (π·β€˜π‘₯) = 𝐾}
64, 5elrab2 3653 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘Ž ∈ 𝐴 ↔ (π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ (π·β€˜π‘Ž) = 𝐾))
76simplbi 499 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘Ž ∈ 𝐴 β†’ π‘Ž ∈ 𝑉)
8 rabidim1 3431 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝑉 ∣ (π·β€˜π‘₯) = 𝐾} β†’ π‘₯ ∈ 𝑉)
98, 5eleq2s 2856 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ π‘₯ ∈ 𝑉)
107, 9anim12i 614 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((π‘Ž ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ ∈ 𝑉))
1110adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ π‘Ž β‰  π‘₯) ∧ (π‘Ž ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝐴)) β†’ (π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ ∈ 𝑉))
12 eldifi 4091 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑏 ∈ (𝑉 βˆ– 𝐴) β†’ 𝑏 ∈ 𝑉)
13 frgrwopreg.b . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝐡 = (𝑉 βˆ– 𝐴)
1412, 13eleq2s 2856 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑏 ∈ 𝐡 β†’ 𝑏 ∈ 𝑉)
15 eldifi 4091 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 ∈ (𝑉 βˆ– 𝐴) β†’ 𝑦 ∈ 𝑉)
1615, 13eleq2s 2856 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 ∈ 𝐡 β†’ 𝑦 ∈ 𝑉)
1714, 16anim12i 614 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑏 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ (𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉))
1811, 17anim12i 614 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ π‘Ž β‰  π‘₯) ∧ (π‘Ž ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ ((π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) ∧ (𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)))
19 frgrwopreg.v . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
20 frgrwopreg.d . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝐷 = (VtxDegβ€˜πΊ)
21 frgrwopreg.e . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝐸 = (Edgβ€˜πΊ)
2219, 20, 5, 13, 21frgrwopreglem5lem 29306 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((π‘Ž ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ (𝑏 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ ((π·β€˜π‘Ž) = (π·β€˜π‘₯) ∧ (π·β€˜π‘Ž) β‰  (π·β€˜π‘) ∧ (π·β€˜π‘₯) β‰  (π·β€˜π‘¦)))
2322adantll 713 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ π‘Ž β‰  π‘₯) ∧ (π‘Ž ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ ((π·β€˜π‘Ž) = (π·β€˜π‘₯) ∧ (π·β€˜π‘Ž) β‰  (π·β€˜π‘) ∧ (π·β€˜π‘₯) β‰  (π·β€˜π‘¦)))
243, 18, 233jca 1129 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ π‘Ž β‰  π‘₯) ∧ (π‘Ž ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ ((π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) ∧ (𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) ∧ ((π·β€˜π‘Ž) = (π·β€˜π‘₯) ∧ (π·β€˜π‘Ž) β‰  (π·β€˜π‘) ∧ (π·β€˜π‘₯) β‰  (π·β€˜π‘¦))))
2524adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ π‘Ž β‰  π‘₯) ∧ (π‘Ž ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑏 β‰  𝑦) β†’ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ ((π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) ∧ (𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) ∧ ((π·β€˜π‘Ž) = (π·β€˜π‘₯) ∧ (π·β€˜π‘Ž) β‰  (π·β€˜π‘) ∧ (π·β€˜π‘₯) β‰  (π·β€˜π‘¦))))
2619, 20, 21frgrwopreglem5a 29297 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ ((π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) ∧ (𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) ∧ ((π·β€˜π‘Ž) = (π·β€˜π‘₯) ∧ (π·β€˜π‘Ž) β‰  (π·β€˜π‘) ∧ (π·β€˜π‘₯) β‰  (π·β€˜π‘¦))) β†’ (({π‘Ž, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, π‘₯} ∈ 𝐸) ∧ ({π‘₯, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, π‘Ž} ∈ 𝐸)))
2725, 26syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ π‘Ž β‰  π‘₯) ∧ (π‘Ž ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑏 β‰  𝑦) β†’ (({π‘Ž, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, π‘₯} ∈ 𝐸) ∧ ({π‘₯, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, π‘Ž} ∈ 𝐸)))
28 3anass 1096 . . . . . . . . . . . . 13 (((π‘Ž β‰  π‘₯ ∧ 𝑏 β‰  𝑦) ∧ ({π‘Ž, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, π‘₯} ∈ 𝐸) ∧ ({π‘₯, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, π‘Ž} ∈ 𝐸)) ↔ ((π‘Ž β‰  π‘₯ ∧ 𝑏 β‰  𝑦) ∧ (({π‘Ž, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, π‘₯} ∈ 𝐸) ∧ ({π‘₯, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, π‘Ž} ∈ 𝐸))))
292, 27, 28sylanbrc 584 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ π‘Ž β‰  π‘₯) ∧ (π‘Ž ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑏 β‰  𝑦) β†’ ((π‘Ž β‰  π‘₯ ∧ 𝑏 β‰  𝑦) ∧ ({π‘Ž, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, π‘₯} ∈ 𝐸) ∧ ({π‘₯, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, π‘Ž} ∈ 𝐸)))
3029ex 414 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ π‘Ž β‰  π‘₯) ∧ (π‘Ž ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑏 β‰  𝑦 β†’ ((π‘Ž β‰  π‘₯ ∧ 𝑏 β‰  𝑦) ∧ ({π‘Ž, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, π‘₯} ∈ 𝐸) ∧ ({π‘₯, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, π‘Ž} ∈ 𝐸))))
3130reximdvva 3203 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ π‘Ž β‰  π‘₯) ∧ (π‘Ž ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝐴)) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐡 𝑏 β‰  𝑦 β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐡 ((π‘Ž β‰  π‘₯ ∧ 𝑏 β‰  𝑦) ∧ ({π‘Ž, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, π‘₯} ∈ 𝐸) ∧ ({π‘₯, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, π‘Ž} ∈ 𝐸))))
3231exp31 421 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∈ FriendGraph β†’ (π‘Ž β‰  π‘₯ β†’ ((π‘Ž ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐡 𝑏 β‰  𝑦 β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐡 ((π‘Ž β‰  π‘₯ ∧ 𝑏 β‰  𝑦) ∧ ({π‘Ž, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, π‘₯} ∈ 𝐸) ∧ ({π‘₯, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, π‘Ž} ∈ 𝐸))))))
3332com24 95 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ FriendGraph β†’ (βˆƒπ‘ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐡 𝑏 β‰  𝑦 β†’ ((π‘Ž ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (π‘Ž β‰  π‘₯ β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐡 ((π‘Ž β‰  π‘₯ ∧ 𝑏 β‰  𝑦) ∧ ({π‘Ž, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, π‘₯} ∈ 𝐸) ∧ ({π‘₯, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, π‘Ž} ∈ 𝐸))))))
3433imp31 419 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ βˆƒπ‘ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐡 𝑏 β‰  𝑦) ∧ (π‘Ž ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝐴)) β†’ (π‘Ž β‰  π‘₯ β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐡 ((π‘Ž β‰  π‘₯ ∧ 𝑏 β‰  𝑦) ∧ ({π‘Ž, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, π‘₯} ∈ 𝐸) ∧ ({π‘₯, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, π‘Ž} ∈ 𝐸))))
3534reximdvva 3203 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ βˆƒπ‘ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐡 𝑏 β‰  𝑦) β†’ (βˆƒπ‘Ž ∈ 𝐴 βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 π‘Ž β‰  π‘₯ β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝐴 βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐡 ((π‘Ž β‰  π‘₯ ∧ 𝑏 β‰  𝑦) ∧ ({π‘Ž, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, π‘₯} ∈ 𝐸) ∧ ({π‘₯, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, π‘Ž} ∈ 𝐸))))
3635ex 414 . . . . 5 (𝐺 ∈ FriendGraph β†’ (βˆƒπ‘ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐡 𝑏 β‰  𝑦 β†’ (βˆƒπ‘Ž ∈ 𝐴 βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 π‘Ž β‰  π‘₯ β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝐴 βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐡 ((π‘Ž β‰  π‘₯ ∧ 𝑏 β‰  𝑦) ∧ ({π‘Ž, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, π‘₯} ∈ 𝐸) ∧ ({π‘₯, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, π‘Ž} ∈ 𝐸)))))
3736com13 88 . . . 4 (βˆƒπ‘Ž ∈ 𝐴 βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 π‘Ž β‰  π‘₯ β†’ (βˆƒπ‘ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐡 𝑏 β‰  𝑦 β†’ (𝐺 ∈ FriendGraph β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝐴 βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐡 ((π‘Ž β‰  π‘₯ ∧ 𝑏 β‰  𝑦) ∧ ({π‘Ž, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, π‘₯} ∈ 𝐸) ∧ ({π‘₯, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, π‘Ž} ∈ 𝐸)))))
3837imp 408 . . 3 ((βˆƒπ‘Ž ∈ 𝐴 βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 π‘Ž β‰  π‘₯ ∧ βˆƒπ‘ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐡 𝑏 β‰  𝑦) β†’ (𝐺 ∈ FriendGraph β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝐴 βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐡 ((π‘Ž β‰  π‘₯ ∧ 𝑏 β‰  𝑦) ∧ ({π‘Ž, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, π‘₯} ∈ 𝐸) ∧ ({π‘₯, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, π‘Ž} ∈ 𝐸))))
3919, 20, 5, 13frgrwopreglem1 29298 . . . 4 (𝐴 ∈ V ∧ 𝐡 ∈ V)
40 hashgt12el 14329 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ V ∧ 1 < (β™―β€˜π΄)) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝐴 βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 π‘Ž β‰  π‘₯)
4140ex 414 . . . . 5 (𝐴 ∈ V β†’ (1 < (β™―β€˜π΄) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝐴 βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 π‘Ž β‰  π‘₯))
42 hashgt12el 14329 . . . . . 6 ((𝐡 ∈ V ∧ 1 < (β™―β€˜π΅)) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐡 𝑏 β‰  𝑦)
4342ex 414 . . . . 5 (𝐡 ∈ V β†’ (1 < (β™―β€˜π΅) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐡 𝑏 β‰  𝑦))
4441, 43im2anan9 621 . . . 4 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐡 ∈ V) β†’ ((1 < (β™―β€˜π΄) ∧ 1 < (β™―β€˜π΅)) β†’ (βˆƒπ‘Ž ∈ 𝐴 βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 π‘Ž β‰  π‘₯ ∧ βˆƒπ‘ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐡 𝑏 β‰  𝑦)))
4539, 44ax-mp 5 . . 3 ((1 < (β™―β€˜π΄) ∧ 1 < (β™―β€˜π΅)) β†’ (βˆƒπ‘Ž ∈ 𝐴 βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 π‘Ž β‰  π‘₯ ∧ βˆƒπ‘ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐡 𝑏 β‰  𝑦))
4638, 45syl11 33 . 2 (𝐺 ∈ FriendGraph β†’ ((1 < (β™―β€˜π΄) ∧ 1 < (β™―β€˜π΅)) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝐴 βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐡 ((π‘Ž β‰  π‘₯ ∧ 𝑏 β‰  𝑦) ∧ ({π‘Ž, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, π‘₯} ∈ 𝐸) ∧ ({π‘₯, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, π‘Ž} ∈ 𝐸))))
47463impib 1117 1 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 1 < (β™―β€˜π΄) ∧ 1 < (β™―β€˜π΅)) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝐴 βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐡 ((π‘Ž β‰  π‘₯ ∧ 𝑏 β‰  𝑦) ∧ ({π‘Ž, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, π‘₯} ∈ 𝐸) ∧ ({π‘₯, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, π‘Ž} ∈ 𝐸)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2944  βˆƒwrex 3074  {crab 3410  Vcvv 3448   βˆ– cdif 3912  {cpr 4593   class class class wbr 5110  β€˜cfv 6501  1c1 11059   < clt 11196  β™―chash 14237  Vtxcvtx 27989  Edgcedg 28040  VtxDegcvtxdg 28455   FriendGraph cfrgr 29244
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-oadd 8421  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-dju 9844  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-nn 12161  df-2 12223  df-n0 12421  df-xnn0 12493  df-z 12507  df-uz 12771  df-xadd 13041  df-fz 13432  df-hash 14238  df-edg 28041  df-uhgr 28051  df-ushgr 28052  df-upgr 28075  df-umgr 28076  df-uspgr 28143  df-usgr 28144  df-nbgr 28323  df-vtxdg 28456  df-frgr 29245
This theorem is referenced by:  frgrwopreg  29309
  Copyright terms: Public domain W3C validator