Theorem frgrwopreglem5 30341

Description: Lemma 5 for frgrwopreg 30343. If 𝐴 as well as 𝐵 contain at least two vertices, there is a 4-cycle in a friendship graph. This corresponds to statement 6 in [Huneke] p. 2: "... otherwise, there are two different vertices in A, and they have two common neighbors in B, ...". (Contributed by Alexander van der Vekens, 31-Dec-2017.) (Proof shortened by AV, 5-Feb-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
frgrwopreg.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
frgrwopreg.d	⊢ 𝐷 = (VtxDeg‘𝐺)
frgrwopreg.a	⊢ 𝐴 = {𝑥 ∈ 𝑉 ∣ (𝐷‘𝑥) = 𝐾}
frgrwopreg.b	⊢ 𝐵 = (𝑉 ∖ 𝐴)
frgrwopreg.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
frgrwopreglem5	⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 1 < (♯‘𝐴) ∧ 1 < (♯‘𝐵)) → ∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑎 ≠ 𝑥 ∧ 𝑏 ≠ 𝑦) ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑥} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑎} ∈ 𝐸)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑉   𝑥,𝐴   𝑥,𝐺   𝑥,𝐾   𝑥,𝐷   𝐴,𝑏   𝑥,𝐵   𝑦,𝐷   𝐺,𝑎,𝑏,𝑦,𝑥   𝑦,𝑉   𝐴,𝑎,𝑦   𝐵,𝑎,𝑏,𝑦   𝑥,𝐸

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑎,𝑏)   𝐸(𝑦,𝑎,𝑏)   𝐾(𝑦,𝑎,𝑏)   𝑉(𝑎,𝑏)

Proof of Theorem frgrwopreglem5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpllr 775	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑎 ≠ 𝑥) ∧ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝑎 ≠ 𝑥)
2	1	anim1i 615	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑎 ≠ 𝑥) ∧ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑏 ≠ 𝑦) → (𝑎 ≠ 𝑥 ∧ 𝑏 ≠ 𝑦))
3		simplll 774	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑎 ≠ 𝑥) ∧ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝐺 ∈ FriendGraph )
4		fveqeq2 6914	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → ((𝐷‘𝑥) = 𝐾 ↔ (𝐷‘𝑎) = 𝐾))
5		frgrwopreg.a	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 𝐴 = {𝑥 ∈ 𝑉 ∣ (𝐷‘𝑥) = 𝐾}
6	4, 5	elrab2 3694	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑎 ∈ 𝐴 ↔ (𝑎 ∈ 𝑉 ∧ (𝐷‘𝑎) = 𝐾))
7	6	simplbi 497	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑎 ∈ 𝐴 → 𝑎 ∈ 𝑉)
8		rabidim1 3458	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝑉 ∣ (𝐷‘𝑥) = 𝐾} → 𝑥 ∈ 𝑉)
9	8, 5	eleq2s 2858	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝑉)
10	7, 9	anim12i 613	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉))
11	10	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑎 ≠ 𝑥) ∧ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)) → (𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉))
12		eldifi 4130	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑏 ∈ (𝑉 ∖ 𝐴) → 𝑏 ∈ 𝑉)
13		frgrwopreg.b	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 𝐵 = (𝑉 ∖ 𝐴)
14	12, 13	eleq2s 2858	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐵 → 𝑏 ∈ 𝑉)
15		eldifi 4130	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑦 ∈ (𝑉 ∖ 𝐴) → 𝑦 ∈ 𝑉)
16	15, 13	eleq2s 2858	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → 𝑦 ∈ 𝑉)
17	14, 16	anim12i 613	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉))
18	11, 17	anim12i 613	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑎 ≠ 𝑥) ∧ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) ∧ (𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)))
19		frgrwopreg.v	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
20		frgrwopreg.d	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 𝐷 = (VtxDeg‘𝐺)
21		frgrwopreg.e	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
22	19, 20, 5, 13, 21	frgrwopreglem5lem 30340	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → ((𝐷‘𝑎) = (𝐷‘𝑥) ∧ (𝐷‘𝑎) ≠ (𝐷‘𝑏) ∧ (𝐷‘𝑥) ≠ (𝐷‘𝑦)))
23	22	adantll 714	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑎 ≠ 𝑥) ∧ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → ((𝐷‘𝑎) = (𝐷‘𝑥) ∧ (𝐷‘𝑎) ≠ (𝐷‘𝑏) ∧ (𝐷‘𝑥) ≠ (𝐷‘𝑦)))
24	3, 18, 23	3jca 1128	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑎 ≠ 𝑥) ∧ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) ∧ (𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) ∧ ((𝐷‘𝑎) = (𝐷‘𝑥) ∧ (𝐷‘𝑎) ≠ (𝐷‘𝑏) ∧ (𝐷‘𝑥) ≠ (𝐷‘𝑦))))
25	24	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑎 ≠ 𝑥) ∧ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑏 ≠ 𝑦) → (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) ∧ (𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) ∧ ((𝐷‘𝑎) = (𝐷‘𝑥) ∧ (𝐷‘𝑎) ≠ (𝐷‘𝑏) ∧ (𝐷‘𝑥) ≠ (𝐷‘𝑦))))
26	19, 20, 21	frgrwopreglem5a 30331	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) ∧ (𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) ∧ ((𝐷‘𝑎) = (𝐷‘𝑥) ∧ (𝐷‘𝑎) ≠ (𝐷‘𝑏) ∧ (𝐷‘𝑥) ≠ (𝐷‘𝑦))) → (({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑥} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑎} ∈ 𝐸)))
27	25, 26	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑎 ≠ 𝑥) ∧ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑏 ≠ 𝑦) → (({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑥} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑎} ∈ 𝐸)))
28		3anass 1094	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑎 ≠ 𝑥 ∧ 𝑏 ≠ 𝑦) ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑥} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑎} ∈ 𝐸)) ↔ ((𝑎 ≠ 𝑥 ∧ 𝑏 ≠ 𝑦) ∧ (({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑥} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑎} ∈ 𝐸))))
29	2, 27, 28	sylanbrc 583	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑎 ≠ 𝑥) ∧ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑏 ≠ 𝑦) → ((𝑎 ≠ 𝑥 ∧ 𝑏 ≠ 𝑦) ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑥} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑎} ∈ 𝐸)))
30	29	ex 412	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑎 ≠ 𝑥) ∧ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑏 ≠ 𝑦 → ((𝑎 ≠ 𝑥 ∧ 𝑏 ≠ 𝑦) ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑥} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑎} ∈ 𝐸))))
31	30	reximdvva 3206	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑎 ≠ 𝑥) ∧ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)) → (∃𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑏 ≠ 𝑦 → ∃𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑎 ≠ 𝑥 ∧ 𝑏 ≠ 𝑦) ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑥} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑎} ∈ 𝐸))))
32	31	exp31 419	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ∈ FriendGraph → (𝑎 ≠ 𝑥 → ((𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (∃𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑏 ≠ 𝑦 → ∃𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑎 ≠ 𝑥 ∧ 𝑏 ≠ 𝑦) ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑥} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑎} ∈ 𝐸))))))
33	32	com24 95	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ FriendGraph → (∃𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑏 ≠ 𝑦 → ((𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑎 ≠ 𝑥 → ∃𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑎 ≠ 𝑥 ∧ 𝑏 ≠ 𝑦) ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑥} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑎} ∈ 𝐸))))))
34	33	imp31 417	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ ∃𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑏 ≠ 𝑦) ∧ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)) → (𝑎 ≠ 𝑥 → ∃𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑎 ≠ 𝑥 ∧ 𝑏 ≠ 𝑦) ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑥} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑎} ∈ 𝐸))))
35	34	reximdvva 3206	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ ∃𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑏 ≠ 𝑦) → (∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑎 ≠ 𝑥 → ∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑎 ≠ 𝑥 ∧ 𝑏 ≠ 𝑦) ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑥} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑎} ∈ 𝐸))))
36	35	ex 412	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ FriendGraph → (∃𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑏 ≠ 𝑦 → (∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑎 ≠ 𝑥 → ∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑎 ≠ 𝑥 ∧ 𝑏 ≠ 𝑦) ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑥} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑎} ∈ 𝐸)))))
37	36	com13 88	. . . 4 ⊢ (∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑎 ≠ 𝑥 → (∃𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑏 ≠ 𝑦 → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑎 ≠ 𝑥 ∧ 𝑏 ≠ 𝑦) ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑥} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑎} ∈ 𝐸)))))
38	37	imp 406	. . 3 ⊢ ((∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑎 ≠ 𝑥 ∧ ∃𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑏 ≠ 𝑦) → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑎 ≠ 𝑥 ∧ 𝑏 ≠ 𝑦) ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑥} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑎} ∈ 𝐸))))
39	19, 20, 5, 13	frgrwopreglem1 30332	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V)
40		hashgt12el 14462	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 1 < (♯‘𝐴)) → ∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑎 ≠ 𝑥)
41	40	ex 412	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ V → (1 < (♯‘𝐴) → ∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑎 ≠ 𝑥))
42		hashgt12el 14462	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ 1 < (♯‘𝐵)) → ∃𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑏 ≠ 𝑦)
43	42	ex 412	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ V → (1 < (♯‘𝐵) → ∃𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑏 ≠ 𝑦))
44	41, 43	im2anan9 620	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → ((1 < (♯‘𝐴) ∧ 1 < (♯‘𝐵)) → (∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑎 ≠ 𝑥 ∧ ∃𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑏 ≠ 𝑦)))
45	39, 44	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ((1 < (♯‘𝐴) ∧ 1 < (♯‘𝐵)) → (∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑎 ≠ 𝑥 ∧ ∃𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑏 ≠ 𝑦))
46	38, 45	syl11 33	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ FriendGraph → ((1 < (♯‘𝐴) ∧ 1 < (♯‘𝐵)) → ∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑎 ≠ 𝑥 ∧ 𝑏 ≠ 𝑦) ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑥} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑎} ∈ 𝐸))))
47	46	3impib 1116	1 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 1 < (♯‘𝐴) ∧ 1 < (♯‘𝐵)) → ∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑎 ≠ 𝑥 ∧ 𝑏 ≠ 𝑦) ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑥} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑎} ∈ 𝐸)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2939  ∃wrex 3069  {crab 3435  Vcvv 3479   ∖ cdif 3947  {cpr 4627   class class class wbr 5142  ‘cfv 6560  1c1 11157   < clt 11296  ♯chash 14370  Vtxcvtx 29014  Edgcedg 29065  VtxDegcvtxdg 29484   FriendGraph cfrgr 30278

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-2o 8508  df-oadd 8511  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-dju 9942  df-card 9980  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-nn 12268  df-2 12330  df-n0 12529  df-xnn0 12602  df-z 12616  df-uz 12880  df-xadd 13156  df-fz 13549  df-hash 14371  df-edg 29066  df-uhgr 29076  df-ushgr 29077  df-upgr 29100  df-umgr 29101  df-uspgr 29168  df-usgr 29169  df-nbgr 29351  df-vtxdg 29485  df-frgr 30279

This theorem is referenced by:  frgrwopreg  30343