Theorem frgrwopreglem5 30525

Description: Lemma 5 for frgrwopreg 30527. If 𝐴 as well as 𝐵 contain at least two vertices, there is a 4-cycle in a friendship graph. This corresponds to statement 6 in [Huneke] p. 2: "... otherwise, there are two different vertices in A, and they have two common neighbors in B, ...". (Contributed by Alexander van der Vekens, 31-Dec-2017.) (Proof shortened by AV, 5-Feb-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
frgrwopreg.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
frgrwopreg.d	⊢ 𝐷 = (VtxDeg‘𝐺)
frgrwopreg.a	⊢ 𝐴 = {𝑥 ∈ 𝑉 ∣ (𝐷‘𝑥) = 𝐾}
frgrwopreg.b	⊢ 𝐵 = (𝑉 ∖ 𝐴)
frgrwopreg.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
frgrwopreglem5	⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 1 < (♯‘𝐴) ∧ 1 < (♯‘𝐵)) → ∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑎 ≠ 𝑥 ∧ 𝑏 ≠ 𝑦) ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑥} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑎} ∈ 𝐸)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑉   𝑥,𝐴   𝑥,𝐺   𝑥,𝐾   𝑥,𝐷   𝐴,𝑏   𝑥,𝐵   𝑦,𝐷   𝐺,𝑎,𝑏,𝑦,𝑥   𝑦,𝑉   𝐴,𝑎,𝑦   𝐵,𝑎,𝑏,𝑦   𝑥,𝐸

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑎,𝑏)   𝐸(𝑦,𝑎,𝑏)   𝐾(𝑦,𝑎,𝑏)   𝑉(𝑎,𝑏)

Proof of Theorem frgrwopreglem5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpllr 785	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑎 ≠ 𝑥) ∧ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝑎 ≠ 𝑥)
2	1	anim1i 624	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑎 ≠ 𝑥) ∧ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑏 ≠ 𝑦) → (𝑎 ≠ 𝑥 ∧ 𝑏 ≠ 𝑦))
3		simplll 784	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑎 ≠ 𝑥) ∧ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝐺 ∈ FriendGraph )
4		fveqeq2 6878	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → ((𝐷‘𝑥) = 𝐾 ↔ (𝐷‘𝑎) = 𝐾))
5		frgrwopreg.a	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 𝐴 = {𝑥 ∈ 𝑉 ∣ (𝐷‘𝑥) = 𝐾}
6	4, 5	elrab2 3656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑎 ∈ 𝐴 ↔ (𝑎 ∈ 𝑉 ∧ (𝐷‘𝑎) = 𝐾))
7	6	simplbi 500	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑎 ∈ 𝐴 → 𝑎 ∈ 𝑉)
8		rabidim1 3438	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝑉 ∣ (𝐷‘𝑥) = 𝐾} → 𝑥 ∈ 𝑉)
9	8, 5	eleq2s 2882	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝑉)
10	7, 9	anim12i 622	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉))
11	10	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑎 ≠ 𝑥) ∧ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)) → (𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉))
12		eldifi 4086	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑏 ∈ (𝑉 ∖ 𝐴) → 𝑏 ∈ 𝑉)
13		frgrwopreg.b	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 𝐵 = (𝑉 ∖ 𝐴)
14	12, 13	eleq2s 2882	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐵 → 𝑏 ∈ 𝑉)
15		eldifi 4086	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑦 ∈ (𝑉 ∖ 𝐴) → 𝑦 ∈ 𝑉)
16	15, 13	eleq2s 2882	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → 𝑦 ∈ 𝑉)
17	14, 16	anim12i 622	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉))
18	11, 17	anim12i 622	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑎 ≠ 𝑥) ∧ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) ∧ (𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)))
19		frgrwopreg.v	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
20		frgrwopreg.d	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 𝐷 = (VtxDeg‘𝐺)
21		frgrwopreg.e	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
22	19, 20, 5, 13, 21	frgrwopreglem5lem 30524	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → ((𝐷‘𝑎) = (𝐷‘𝑥) ∧ (𝐷‘𝑎) ≠ (𝐷‘𝑏) ∧ (𝐷‘𝑥) ≠ (𝐷‘𝑦)))
23	22	adantll 724	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑎 ≠ 𝑥) ∧ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → ((𝐷‘𝑎) = (𝐷‘𝑥) ∧ (𝐷‘𝑎) ≠ (𝐷‘𝑏) ∧ (𝐷‘𝑥) ≠ (𝐷‘𝑦)))
24	3, 18, 23	3jca 1142	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑎 ≠ 𝑥) ∧ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) ∧ (𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) ∧ ((𝐷‘𝑎) = (𝐷‘𝑥) ∧ (𝐷‘𝑎) ≠ (𝐷‘𝑏) ∧ (𝐷‘𝑥) ≠ (𝐷‘𝑦))))
25	24	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑎 ≠ 𝑥) ∧ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑏 ≠ 𝑦) → (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) ∧ (𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) ∧ ((𝐷‘𝑎) = (𝐷‘𝑥) ∧ (𝐷‘𝑎) ≠ (𝐷‘𝑏) ∧ (𝐷‘𝑥) ≠ (𝐷‘𝑦))))
26	19, 20, 21	frgrwopreglem5a 30515	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) ∧ (𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) ∧ ((𝐷‘𝑎) = (𝐷‘𝑥) ∧ (𝐷‘𝑎) ≠ (𝐷‘𝑏) ∧ (𝐷‘𝑥) ≠ (𝐷‘𝑦))) → (({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑥} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑎} ∈ 𝐸)))
27	25, 26	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑎 ≠ 𝑥) ∧ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑏 ≠ 𝑦) → (({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑥} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑎} ∈ 𝐸)))
28		3anass 1107	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑎 ≠ 𝑥 ∧ 𝑏 ≠ 𝑦) ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑥} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑎} ∈ 𝐸)) ↔ ((𝑎 ≠ 𝑥 ∧ 𝑏 ≠ 𝑦) ∧ (({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑥} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑎} ∈ 𝐸))))
29	2, 27, 28	sylanbrc 592	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑎 ≠ 𝑥) ∧ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑏 ≠ 𝑦) → ((𝑎 ≠ 𝑥 ∧ 𝑏 ≠ 𝑦) ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑥} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑎} ∈ 𝐸)))
30	29	ex 416	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑎 ≠ 𝑥) ∧ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑏 ≠ 𝑦 → ((𝑎 ≠ 𝑥 ∧ 𝑏 ≠ 𝑦) ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑥} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑎} ∈ 𝐸))))
31	30	reximdvva 3212	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑎 ≠ 𝑥) ∧ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)) → (∃𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑏 ≠ 𝑦 → ∃𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑎 ≠ 𝑥 ∧ 𝑏 ≠ 𝑦) ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑥} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑎} ∈ 𝐸))))
32	31	exp31 423	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ∈ FriendGraph → (𝑎 ≠ 𝑥 → ((𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (∃𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑏 ≠ 𝑦 → ∃𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑎 ≠ 𝑥 ∧ 𝑏 ≠ 𝑦) ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑥} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑎} ∈ 𝐸))))))
33	32	com24 95	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ FriendGraph → (∃𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑏 ≠ 𝑦 → ((𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑎 ≠ 𝑥 → ∃𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑎 ≠ 𝑥 ∧ 𝑏 ≠ 𝑦) ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑥} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑎} ∈ 𝐸))))))
34	33	imp31 421	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ ∃𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑏 ≠ 𝑦) ∧ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)) → (𝑎 ≠ 𝑥 → ∃𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑎 ≠ 𝑥 ∧ 𝑏 ≠ 𝑦) ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑥} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑎} ∈ 𝐸))))
35	34	reximdvva 3212	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ ∃𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑏 ≠ 𝑦) → (∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑎 ≠ 𝑥 → ∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑎 ≠ 𝑥 ∧ 𝑏 ≠ 𝑦) ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑥} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑎} ∈ 𝐸))))
36	35	ex 416	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ FriendGraph → (∃𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑏 ≠ 𝑦 → (∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑎 ≠ 𝑥 → ∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑎 ≠ 𝑥 ∧ 𝑏 ≠ 𝑦) ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑥} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑎} ∈ 𝐸)))))
37	36	com13 88	. . . 4 ⊢ (∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑎 ≠ 𝑥 → (∃𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑏 ≠ 𝑦 → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑎 ≠ 𝑥 ∧ 𝑏 ≠ 𝑦) ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑥} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑎} ∈ 𝐸)))))
38	37	imp 410	. . 3 ⊢ ((∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑎 ≠ 𝑥 ∧ ∃𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑏 ≠ 𝑦) → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑎 ≠ 𝑥 ∧ 𝑏 ≠ 𝑦) ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑥} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑎} ∈ 𝐸))))
39	19, 20, 5, 13	frgrwopreglem1 30516	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V)
40		hashgt12el 14437	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 1 < (♯‘𝐴)) → ∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑎 ≠ 𝑥)
41	40	ex 416	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ V → (1 < (♯‘𝐴) → ∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑎 ≠ 𝑥))
42		hashgt12el 14437	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ 1 < (♯‘𝐵)) → ∃𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑏 ≠ 𝑦)
43	42	ex 416	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ V → (1 < (♯‘𝐵) → ∃𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑏 ≠ 𝑦))
44	41, 43	im2anan9 629	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → ((1 < (♯‘𝐴) ∧ 1 < (♯‘𝐵)) → (∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑎 ≠ 𝑥 ∧ ∃𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑏 ≠ 𝑦)))
45	39, 44	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ((1 < (♯‘𝐴) ∧ 1 < (♯‘𝐵)) → (∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑎 ≠ 𝑥 ∧ ∃𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑏 ≠ 𝑦))
46	38, 45	syl11 33	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ FriendGraph → ((1 < (♯‘𝐴) ∧ 1 < (♯‘𝐵)) → ∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑎 ≠ 𝑥 ∧ 𝑏 ≠ 𝑦) ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑥} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑎} ∈ 𝐸))))
47	46	3impib 1130	1 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 1 < (♯‘𝐴) ∧ 1 < (♯‘𝐵)) → ∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑎 ≠ 𝑥 ∧ 𝑏 ≠ 𝑦) ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑥} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑎} ∈ 𝐸)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1099   = wceq 1562   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2959  ∃wrex 3088  {crab 3416  Vcvv 3456   ∖ cdif 3903  {cpr 4586   class class class wbr 5102  ‘cfv 6523  1c1 11076   < clt 11218  ♯chash 14345  Vtxcvtx 29199  Edgcedg 29250  VtxDegcvtxdg 29668   FriendGraph cfrgr 30462

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2214  ax-ext 2736  ax-rep 5229  ax-sep 5248  ax-nul 5258  ax-pow 5324  ax-pr 5392  ax-un 7720  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-nf 1806  df-sb 2093  df-mo 2568  df-eu 2598  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3458  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5544  df-eprel 5549  df-po 5557  df-so 5558  df-fr 5602  df-we 5604  df-xp 5655  df-rel 5656  df-cnv 5657  df-co 5658  df-dm 5659  df-rn 5660  df-res 5661  df-ima 5662  df-pred 6290  df-ord 6351  df-on 6352  df-lim 6353  df-suc 6354  df-iota 6479  df-fun 6525  df-fn 6526  df-f 6527  df-f1 6528  df-fo 6529  df-f1o 6530  df-fv 6531  df-riota 7355  df-ov 7401  df-oprab 7402  df-mpo 7403  df-om 7849  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8344  df-rdg 8383  df-1o 8439  df-2o 8440  df-oadd 8443  df-er 8680  df-en 8930  df-dom 8931  df-sdom 8932  df-fin 8933  df-dju 9861  df-card 9899  df-pnf 11220  df-mnf 11221  df-xr 11222  df-ltxr 11223  df-le 11224  df-sub 11418  df-neg 11419  df-nn 12213  df-2 12282  df-n0 12484  df-xnn0 12557  df-z 12571  df-uz 12842  df-xadd 13117  df-fz 13515  df-hash 14346  df-edg 29251  df-uhgr 29261  df-ushgr 29262  df-upgr 29285  df-umgr 29286  df-uspgr 29353  df-usgr 29354  df-nbgr 29536  df-vtxdg 29669  df-frgr 30463

This theorem is referenced by:  frgrwopreg  30527