MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frgrwopreglem5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frgrwopreglem5 30350
Description: Lemma 5 for frgrwopreg 30352. If 𝐴 as well as 𝐵 contain at least two vertices, there is a 4-cycle in a friendship graph. This corresponds to statement 6 in [Huneke] p. 2: "... otherwise, there are two different vertices in A, and they have two common neighbors in B, ...". (Contributed by Alexander van der Vekens, 31-Dec-2017.) (Proof shortened by AV, 5-Feb-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
frgrwopreg.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
frgrwopreg.d 𝐷 = (VtxDeg‘𝐺)
frgrwopreg.a 𝐴 = {𝑥𝑉 ∣ (𝐷𝑥) = 𝐾}
frgrwopreg.b 𝐵 = (𝑉𝐴)
frgrwopreg.e 𝐸 = (Edg‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
frgrwopreglem5 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 1 < (♯‘𝐴) ∧ 1 < (♯‘𝐵)) → ∃𝑎𝐴𝑥𝐴𝑏𝐵𝑦𝐵 ((𝑎𝑥𝑏𝑦) ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑥} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑎} ∈ 𝐸)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑉   𝑥,𝐴   𝑥,𝐺   𝑥,𝐾   𝑥,𝐷   𝐴,𝑏   𝑥,𝐵   𝑦,𝐷   𝐺,𝑎,𝑏,𝑦,𝑥   𝑦,𝑉   𝐴,𝑎,𝑦   𝐵,𝑎,𝑏,𝑦   𝑥,𝐸
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑎,𝑏)   𝐸(𝑦,𝑎,𝑏)   𝐾(𝑦,𝑎,𝑏)   𝑉(𝑎,𝑏)

Proof of Theorem frgrwopreglem5
StepHypRef Expression
1 simpllr 776 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑎𝑥) ∧ (𝑎𝐴𝑥𝐴)) ∧ (𝑏𝐵𝑦𝐵)) → 𝑎𝑥)
21anim1i 615 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑎𝑥) ∧ (𝑎𝐴𝑥𝐴)) ∧ (𝑏𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑏𝑦) → (𝑎𝑥𝑏𝑦))
3 simplll 775 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑎𝑥) ∧ (𝑎𝐴𝑥𝐴)) ∧ (𝑏𝐵𝑦𝐵)) → 𝐺 ∈ FriendGraph )
4 fveqeq2 6916 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 = 𝑎 → ((𝐷𝑥) = 𝐾 ↔ (𝐷𝑎) = 𝐾))
5 frgrwopreg.a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝐴 = {𝑥𝑉 ∣ (𝐷𝑥) = 𝐾}
64, 5elrab2 3698 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑎𝐴 ↔ (𝑎𝑉 ∧ (𝐷𝑎) = 𝐾))
76simplbi 497 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑎𝐴𝑎𝑉)
8 rabidim1 3456 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 ∈ {𝑥𝑉 ∣ (𝐷𝑥) = 𝐾} → 𝑥𝑉)
98, 5eleq2s 2857 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥𝐴𝑥𝑉)
107, 9anim12i 613 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑎𝐴𝑥𝐴) → (𝑎𝑉𝑥𝑉))
1110adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑎𝑥) ∧ (𝑎𝐴𝑥𝐴)) → (𝑎𝑉𝑥𝑉))
12 eldifi 4141 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑏 ∈ (𝑉𝐴) → 𝑏𝑉)
13 frgrwopreg.b . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝐵 = (𝑉𝐴)
1412, 13eleq2s 2857 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑏𝐵𝑏𝑉)
15 eldifi 4141 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 ∈ (𝑉𝐴) → 𝑦𝑉)
1615, 13eleq2s 2857 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦𝐵𝑦𝑉)
1714, 16anim12i 613 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑏𝐵𝑦𝐵) → (𝑏𝑉𝑦𝑉))
1811, 17anim12i 613 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑎𝑥) ∧ (𝑎𝐴𝑥𝐴)) ∧ (𝑏𝐵𝑦𝐵)) → ((𝑎𝑉𝑥𝑉) ∧ (𝑏𝑉𝑦𝑉)))
19 frgrwopreg.v . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
20 frgrwopreg.d . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝐷 = (VtxDeg‘𝐺)
21 frgrwopreg.e . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝐸 = (Edg‘𝐺)
2219, 20, 5, 13, 21frgrwopreglem5lem 30349 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑎𝐴𝑥𝐴) ∧ (𝑏𝐵𝑦𝐵)) → ((𝐷𝑎) = (𝐷𝑥) ∧ (𝐷𝑎) ≠ (𝐷𝑏) ∧ (𝐷𝑥) ≠ (𝐷𝑦)))
2322adantll 714 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑎𝑥) ∧ (𝑎𝐴𝑥𝐴)) ∧ (𝑏𝐵𝑦𝐵)) → ((𝐷𝑎) = (𝐷𝑥) ∧ (𝐷𝑎) ≠ (𝐷𝑏) ∧ (𝐷𝑥) ≠ (𝐷𝑦)))
243, 18, 233jca 1127 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑎𝑥) ∧ (𝑎𝐴𝑥𝐴)) ∧ (𝑏𝐵𝑦𝐵)) → (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ ((𝑎𝑉𝑥𝑉) ∧ (𝑏𝑉𝑦𝑉)) ∧ ((𝐷𝑎) = (𝐷𝑥) ∧ (𝐷𝑎) ≠ (𝐷𝑏) ∧ (𝐷𝑥) ≠ (𝐷𝑦))))
2524adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑎𝑥) ∧ (𝑎𝐴𝑥𝐴)) ∧ (𝑏𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑏𝑦) → (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ ((𝑎𝑉𝑥𝑉) ∧ (𝑏𝑉𝑦𝑉)) ∧ ((𝐷𝑎) = (𝐷𝑥) ∧ (𝐷𝑎) ≠ (𝐷𝑏) ∧ (𝐷𝑥) ≠ (𝐷𝑦))))
2619, 20, 21frgrwopreglem5a 30340 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ ((𝑎𝑉𝑥𝑉) ∧ (𝑏𝑉𝑦𝑉)) ∧ ((𝐷𝑎) = (𝐷𝑥) ∧ (𝐷𝑎) ≠ (𝐷𝑏) ∧ (𝐷𝑥) ≠ (𝐷𝑦))) → (({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑥} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑎} ∈ 𝐸)))
2725, 26syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑎𝑥) ∧ (𝑎𝐴𝑥𝐴)) ∧ (𝑏𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑏𝑦) → (({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑥} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑎} ∈ 𝐸)))
28 3anass 1094 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑎𝑥𝑏𝑦) ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑥} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑎} ∈ 𝐸)) ↔ ((𝑎𝑥𝑏𝑦) ∧ (({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑥} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑎} ∈ 𝐸))))
292, 27, 28sylanbrc 583 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑎𝑥) ∧ (𝑎𝐴𝑥𝐴)) ∧ (𝑏𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑏𝑦) → ((𝑎𝑥𝑏𝑦) ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑥} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑎} ∈ 𝐸)))
3029ex 412 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑎𝑥) ∧ (𝑎𝐴𝑥𝐴)) ∧ (𝑏𝐵𝑦𝐵)) → (𝑏𝑦 → ((𝑎𝑥𝑏𝑦) ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑥} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑎} ∈ 𝐸))))
3130reximdvva 3205 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑎𝑥) ∧ (𝑎𝐴𝑥𝐴)) → (∃𝑏𝐵𝑦𝐵 𝑏𝑦 → ∃𝑏𝐵𝑦𝐵 ((𝑎𝑥𝑏𝑦) ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑥} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑎} ∈ 𝐸))))
3231exp31 419 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∈ FriendGraph → (𝑎𝑥 → ((𝑎𝐴𝑥𝐴) → (∃𝑏𝐵𝑦𝐵 𝑏𝑦 → ∃𝑏𝐵𝑦𝐵 ((𝑎𝑥𝑏𝑦) ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑥} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑎} ∈ 𝐸))))))
3332com24 95 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ FriendGraph → (∃𝑏𝐵𝑦𝐵 𝑏𝑦 → ((𝑎𝐴𝑥𝐴) → (𝑎𝑥 → ∃𝑏𝐵𝑦𝐵 ((𝑎𝑥𝑏𝑦) ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑥} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑎} ∈ 𝐸))))))
3433imp31 417 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ ∃𝑏𝐵𝑦𝐵 𝑏𝑦) ∧ (𝑎𝐴𝑥𝐴)) → (𝑎𝑥 → ∃𝑏𝐵𝑦𝐵 ((𝑎𝑥𝑏𝑦) ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑥} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑎} ∈ 𝐸))))
3534reximdvva 3205 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ ∃𝑏𝐵𝑦𝐵 𝑏𝑦) → (∃𝑎𝐴𝑥𝐴 𝑎𝑥 → ∃𝑎𝐴𝑥𝐴𝑏𝐵𝑦𝐵 ((𝑎𝑥𝑏𝑦) ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑥} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑎} ∈ 𝐸))))
3635ex 412 . . . . 5 (𝐺 ∈ FriendGraph → (∃𝑏𝐵𝑦𝐵 𝑏𝑦 → (∃𝑎𝐴𝑥𝐴 𝑎𝑥 → ∃𝑎𝐴𝑥𝐴𝑏𝐵𝑦𝐵 ((𝑎𝑥𝑏𝑦) ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑥} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑎} ∈ 𝐸)))))
3736com13 88 . . . 4 (∃𝑎𝐴𝑥𝐴 𝑎𝑥 → (∃𝑏𝐵𝑦𝐵 𝑏𝑦 → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃𝑎𝐴𝑥𝐴𝑏𝐵𝑦𝐵 ((𝑎𝑥𝑏𝑦) ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑥} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑎} ∈ 𝐸)))))
3837imp 406 . . 3 ((∃𝑎𝐴𝑥𝐴 𝑎𝑥 ∧ ∃𝑏𝐵𝑦𝐵 𝑏𝑦) → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃𝑎𝐴𝑥𝐴𝑏𝐵𝑦𝐵 ((𝑎𝑥𝑏𝑦) ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑥} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑎} ∈ 𝐸))))
3919, 20, 5, 13frgrwopreglem1 30341 . . . 4 (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V)
40 hashgt12el 14458 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ V ∧ 1 < (♯‘𝐴)) → ∃𝑎𝐴𝑥𝐴 𝑎𝑥)
4140ex 412 . . . . 5 (𝐴 ∈ V → (1 < (♯‘𝐴) → ∃𝑎𝐴𝑥𝐴 𝑎𝑥))
42 hashgt12el 14458 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ V ∧ 1 < (♯‘𝐵)) → ∃𝑏𝐵𝑦𝐵 𝑏𝑦)
4342ex 412 . . . . 5 (𝐵 ∈ V → (1 < (♯‘𝐵) → ∃𝑏𝐵𝑦𝐵 𝑏𝑦))
4441, 43im2anan9 620 . . . 4 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → ((1 < (♯‘𝐴) ∧ 1 < (♯‘𝐵)) → (∃𝑎𝐴𝑥𝐴 𝑎𝑥 ∧ ∃𝑏𝐵𝑦𝐵 𝑏𝑦)))
4539, 44ax-mp 5 . . 3 ((1 < (♯‘𝐴) ∧ 1 < (♯‘𝐵)) → (∃𝑎𝐴𝑥𝐴 𝑎𝑥 ∧ ∃𝑏𝐵𝑦𝐵 𝑏𝑦))
4638, 45syl11 33 . 2 (𝐺 ∈ FriendGraph → ((1 < (♯‘𝐴) ∧ 1 < (♯‘𝐵)) → ∃𝑎𝐴𝑥𝐴𝑏𝐵𝑦𝐵 ((𝑎𝑥𝑏𝑦) ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑥} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑎} ∈ 𝐸))))
47463impib 1115 1 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 1 < (♯‘𝐴) ∧ 1 < (♯‘𝐵)) → ∃𝑎𝐴𝑥𝐴𝑏𝐵𝑦𝐵 ((𝑎𝑥𝑏𝑦) ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑥} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑎} ∈ 𝐸)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  wrex 3068  {crab 3433  Vcvv 3478  cdif 3960  {cpr 4633   class class class wbr 5148  cfv 6563  1c1 11154   < clt 11293  chash 14366  Vtxcvtx 29028  Edgcedg 29079  VtxDegcvtxdg 29498   FriendGraph cfrgr 30287
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-oadd 8509  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-dju 9939  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-n0 12525  df-xnn0 12598  df-z 12612  df-uz 12877  df-xadd 13153  df-fz 13545  df-hash 14367  df-edg 29080  df-uhgr 29090  df-ushgr 29091  df-upgr 29114  df-umgr 29115  df-uspgr 29182  df-usgr 29183  df-nbgr 29365  df-vtxdg 29499  df-frgr 30288
This theorem is referenced by:  frgrwopreg  30352
  Copyright terms: Public domain W3C validator