Theorem fzo0pmtrlast 33123

Description: Reorder a half-open integer range based at 0, so that the given index 𝐼 is at the end. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
fzo0pmtrlast.j	⊢ 𝐽 = (0..^𝑁)
fzo0pmtrlast.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝐽)

Assertion

Ref	Expression
fzo0pmtrlast	⊢ (𝜑 → ∃𝑠(𝑠:𝐽–1-1-onto→𝐽 ∧ (𝑠‘(𝑁 − 1)) = 𝐼))

Distinct variable groups:   𝐼,𝑠   𝐽,𝑠   𝑁,𝑠

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑠)

Proof of Theorem fzo0pmtrlast

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzo0pmtrlast.j	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = (0..^𝑁)
2	1	ovexi 7390	. . . . 5 ⊢ 𝐽 ∈ V
3	2	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = (𝑁 − 1)) → 𝐽 ∈ V)
4	3	resiexd 7160	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = (𝑁 − 1)) → ( I ↾ 𝐽) ∈ V)
5		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = (𝑁 − 1)) → 𝐼 = (𝑁 − 1))
6		fzo0pmtrlast.i	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝐽)
7	6	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = (𝑁 − 1)) → 𝐼 ∈ 𝐽)
8	5, 7	eqeltrrd 2835	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = (𝑁 − 1)) → (𝑁 − 1) ∈ 𝐽)
9		fvresi 7117	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 − 1) ∈ 𝐽 → (( I ↾ 𝐽)‘(𝑁 − 1)) = (𝑁 − 1))
10	8, 9	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = (𝑁 − 1)) → (( I ↾ 𝐽)‘(𝑁 − 1)) = (𝑁 − 1))
11	10, 5	eqtr4d 2772	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = (𝑁 − 1)) → (( I ↾ 𝐽)‘(𝑁 − 1)) = 𝐼)
12		f1oi 6810	. . . 4 ⊢ ( I ↾ 𝐽):𝐽–1-1-onto→𝐽
13	11, 12	jctil 519	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = (𝑁 − 1)) → (( I ↾ 𝐽):𝐽–1-1-onto→𝐽 ∧ (( I ↾ 𝐽)‘(𝑁 − 1)) = 𝐼))
14		f1oeq1 6760	. . . 4 ⊢ (𝑠 = ( I ↾ 𝐽) → (𝑠:𝐽–1-1-onto→𝐽 ↔ ( I ↾ 𝐽):𝐽–1-1-onto→𝐽))
15		fveq1 6831	. . . . 5 ⊢ (𝑠 = ( I ↾ 𝐽) → (𝑠‘(𝑁 − 1)) = (( I ↾ 𝐽)‘(𝑁 − 1)))
16	15	eqeq1d 2736	. . . 4 ⊢ (𝑠 = ( I ↾ 𝐽) → ((𝑠‘(𝑁 − 1)) = 𝐼 ↔ (( I ↾ 𝐽)‘(𝑁 − 1)) = 𝐼))
17	14, 16	anbi12d 632	. . 3 ⊢ (𝑠 = ( I ↾ 𝐽) → ((𝑠:𝐽–1-1-onto→𝐽 ∧ (𝑠‘(𝑁 − 1)) = 𝐼) ↔ (( I ↾ 𝐽):𝐽–1-1-onto→𝐽 ∧ (( I ↾ 𝐽)‘(𝑁 − 1)) = 𝐼)))
18	4, 13, 17	spcedv 3550	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = (𝑁 − 1)) → ∃𝑠(𝑠:𝐽–1-1-onto→𝐽 ∧ (𝑠‘(𝑁 − 1)) = 𝐼))
19		fvexd 6847	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ≠ (𝑁 − 1)) → ((pmTrsp‘𝐽)‘{𝐼, (𝑁 − 1)}) ∈ V)
20	2	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ≠ (𝑁 − 1)) → 𝐽 ∈ V)
21	6	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ≠ (𝑁 − 1)) → 𝐼 ∈ 𝐽)
22	6, 1	eleqtrdi 2844	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (0..^𝑁))
23		elfzo0 13614	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^𝑁) ↔ (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁))
24	23	simp2bi 1146	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ)
25		fzo0end 13672	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ (0..^𝑁))
26	22, 24, 25	3syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ (0..^𝑁))
27	26, 1	eleqtrrdi 2845	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ 𝐽)
28	27	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ≠ (𝑁 − 1)) → (𝑁 − 1) ∈ 𝐽)
29	21, 28	prssd 4776	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ≠ (𝑁 − 1)) → {𝐼, (𝑁 − 1)} ⊆ 𝐽)
30		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ≠ (𝑁 − 1)) → 𝐼 ≠ (𝑁 − 1))
31		enpr2 9912	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝐽 ∧ (𝑁 − 1) ∈ 𝐽 ∧ 𝐼 ≠ (𝑁 − 1)) → {𝐼, (𝑁 − 1)} ≈ 2o)
32	21, 28, 30, 31	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ≠ (𝑁 − 1)) → {𝐼, (𝑁 − 1)} ≈ 2o)
33		eqid 2734	. . . . . . 7 ⊢ (pmTrsp‘𝐽) = (pmTrsp‘𝐽)
34		eqid 2734	. . . . . . 7 ⊢ ran (pmTrsp‘𝐽) = ran (pmTrsp‘𝐽)
35	33, 34	pmtrrn 19384	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ V ∧ {𝐼, (𝑁 − 1)} ⊆ 𝐽 ∧ {𝐼, (𝑁 − 1)} ≈ 2o) → ((pmTrsp‘𝐽)‘{𝐼, (𝑁 − 1)}) ∈ ran (pmTrsp‘𝐽))
36	20, 29, 32, 35	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ≠ (𝑁 − 1)) → ((pmTrsp‘𝐽)‘{𝐼, (𝑁 − 1)}) ∈ ran (pmTrsp‘𝐽))
37	33, 34	pmtrff1o 19390	. . . . 5 ⊢ (((pmTrsp‘𝐽)‘{𝐼, (𝑁 − 1)}) ∈ ran (pmTrsp‘𝐽) → ((pmTrsp‘𝐽)‘{𝐼, (𝑁 − 1)}):𝐽–1-1-onto→𝐽)
38	36, 37	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ≠ (𝑁 − 1)) → ((pmTrsp‘𝐽)‘{𝐼, (𝑁 − 1)}):𝐽–1-1-onto→𝐽)
39	33	pmtrprfv2 33119	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ V ∧ (𝐼 ∈ 𝐽 ∧ (𝑁 − 1) ∈ 𝐽 ∧ 𝐼 ≠ (𝑁 − 1))) → (((pmTrsp‘𝐽)‘{𝐼, (𝑁 − 1)})‘(𝑁 − 1)) = 𝐼)
40	20, 21, 28, 30, 39	syl13anc 1374	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ≠ (𝑁 − 1)) → (((pmTrsp‘𝐽)‘{𝐼, (𝑁 − 1)})‘(𝑁 − 1)) = 𝐼)
41	38, 40	jca 511	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ≠ (𝑁 − 1)) → (((pmTrsp‘𝐽)‘{𝐼, (𝑁 − 1)}):𝐽–1-1-onto→𝐽 ∧ (((pmTrsp‘𝐽)‘{𝐼, (𝑁 − 1)})‘(𝑁 − 1)) = 𝐼))
42		f1oeq1 6760	. . . 4 ⊢ (𝑠 = ((pmTrsp‘𝐽)‘{𝐼, (𝑁 − 1)}) → (𝑠:𝐽–1-1-onto→𝐽 ↔ ((pmTrsp‘𝐽)‘{𝐼, (𝑁 − 1)}):𝐽–1-1-onto→𝐽))
43		fveq1 6831	. . . . 5 ⊢ (𝑠 = ((pmTrsp‘𝐽)‘{𝐼, (𝑁 − 1)}) → (𝑠‘(𝑁 − 1)) = (((pmTrsp‘𝐽)‘{𝐼, (𝑁 − 1)})‘(𝑁 − 1)))
44	43	eqeq1d 2736	. . . 4 ⊢ (𝑠 = ((pmTrsp‘𝐽)‘{𝐼, (𝑁 − 1)}) → ((𝑠‘(𝑁 − 1)) = 𝐼 ↔ (((pmTrsp‘𝐽)‘{𝐼, (𝑁 − 1)})‘(𝑁 − 1)) = 𝐼))
45	42, 44	anbi12d 632	. . 3 ⊢ (𝑠 = ((pmTrsp‘𝐽)‘{𝐼, (𝑁 − 1)}) → ((𝑠:𝐽–1-1-onto→𝐽 ∧ (𝑠‘(𝑁 − 1)) = 𝐼) ↔ (((pmTrsp‘𝐽)‘{𝐼, (𝑁 − 1)}):𝐽–1-1-onto→𝐽 ∧ (((pmTrsp‘𝐽)‘{𝐼, (𝑁 − 1)})‘(𝑁 − 1)) = 𝐼)))
46	19, 41, 45	spcedv 3550	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ≠ (𝑁 − 1)) → ∃𝑠(𝑠:𝐽–1-1-onto→𝐽 ∧ (𝑠‘(𝑁 − 1)) = 𝐼))
47	18, 46	pm2.61dane 3017	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑠(𝑠:𝐽–1-1-onto→𝐽 ∧ (𝑠‘(𝑁 − 1)) = 𝐼))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541  ∃wex 1780   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2930  Vcvv 3438   ⊆ wss 3899  {cpr 4580   class class class wbr 5096   I cid 5516  ran crn 5623   ↾ cres 5624  –1-1-onto→wf1o 6489  ‘cfv 6490  (class class class)co 7356  2_oc2o 8389   ≈ cen 8878  0cc0 11024  1c1 11025   < clt 11164   − cmin 11362  ℕcn 12143  ℕ₀cn0 12399  ..^cfzo 13568  pmTrspcpmtr 19368

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-rep 5222  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-er 8633  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-fin 8885  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-nn 12144  df-n0 12400  df-z 12487  df-uz 12750  df-fz 13422  df-fzo 13569  df-pmtr 19369

This theorem is referenced by:  wrdpmtrlast  33124