Theorem fzo0pmtrlast 33034

Description: Reorder a half-open integer range based at 0, so that the given index 𝐼 is at the end. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
fzo0pmtrlast.j	⊢ 𝐽 = (0..^𝑁)
fzo0pmtrlast.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝐽)

Assertion

Ref	Expression
fzo0pmtrlast	⊢ (𝜑 → ∃𝑠(𝑠:𝐽–1-1-onto→𝐽 ∧ (𝑠‘(𝑁 − 1)) = 𝐼))

Distinct variable groups:   𝐼,𝑠   𝐽,𝑠   𝑁,𝑠

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑠)

Proof of Theorem fzo0pmtrlast

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzo0pmtrlast.j	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = (0..^𝑁)
2	1	ovexi 7383	. . . . 5 ⊢ 𝐽 ∈ V
3	2	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = (𝑁 − 1)) → 𝐽 ∈ V)
4	3	resiexd 7152	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = (𝑁 − 1)) → ( I ↾ 𝐽) ∈ V)
5		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = (𝑁 − 1)) → 𝐼 = (𝑁 − 1))
6		fzo0pmtrlast.i	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝐽)
7	6	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = (𝑁 − 1)) → 𝐼 ∈ 𝐽)
8	5, 7	eqeltrrd 2829	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = (𝑁 − 1)) → (𝑁 − 1) ∈ 𝐽)
9		fvresi 7109	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 − 1) ∈ 𝐽 → (( I ↾ 𝐽)‘(𝑁 − 1)) = (𝑁 − 1))
10	8, 9	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = (𝑁 − 1)) → (( I ↾ 𝐽)‘(𝑁 − 1)) = (𝑁 − 1))
11	10, 5	eqtr4d 2767	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = (𝑁 − 1)) → (( I ↾ 𝐽)‘(𝑁 − 1)) = 𝐼)
12		f1oi 6802	. . . 4 ⊢ ( I ↾ 𝐽):𝐽–1-1-onto→𝐽
13	11, 12	jctil 519	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = (𝑁 − 1)) → (( I ↾ 𝐽):𝐽–1-1-onto→𝐽 ∧ (( I ↾ 𝐽)‘(𝑁 − 1)) = 𝐼))
14		f1oeq1 6752	. . . 4 ⊢ (𝑠 = ( I ↾ 𝐽) → (𝑠:𝐽–1-1-onto→𝐽 ↔ ( I ↾ 𝐽):𝐽–1-1-onto→𝐽))
15		fveq1 6821	. . . . 5 ⊢ (𝑠 = ( I ↾ 𝐽) → (𝑠‘(𝑁 − 1)) = (( I ↾ 𝐽)‘(𝑁 − 1)))
16	15	eqeq1d 2731	. . . 4 ⊢ (𝑠 = ( I ↾ 𝐽) → ((𝑠‘(𝑁 − 1)) = 𝐼 ↔ (( I ↾ 𝐽)‘(𝑁 − 1)) = 𝐼))
17	14, 16	anbi12d 632	. . 3 ⊢ (𝑠 = ( I ↾ 𝐽) → ((𝑠:𝐽–1-1-onto→𝐽 ∧ (𝑠‘(𝑁 − 1)) = 𝐼) ↔ (( I ↾ 𝐽):𝐽–1-1-onto→𝐽 ∧ (( I ↾ 𝐽)‘(𝑁 − 1)) = 𝐼)))
18	4, 13, 17	spcedv 3553	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = (𝑁 − 1)) → ∃𝑠(𝑠:𝐽–1-1-onto→𝐽 ∧ (𝑠‘(𝑁 − 1)) = 𝐼))
19		fvexd 6837	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ≠ (𝑁 − 1)) → ((pmTrsp‘𝐽)‘{𝐼, (𝑁 − 1)}) ∈ V)
20	2	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ≠ (𝑁 − 1)) → 𝐽 ∈ V)
21	6	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ≠ (𝑁 − 1)) → 𝐼 ∈ 𝐽)
22	6, 1	eleqtrdi 2838	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (0..^𝑁))
23		elfzo0 13603	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^𝑁) ↔ (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁))
24	23	simp2bi 1146	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ)
25		fzo0end 13661	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ (0..^𝑁))
26	22, 24, 25	3syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ (0..^𝑁))
27	26, 1	eleqtrrdi 2839	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ 𝐽)
28	27	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ≠ (𝑁 − 1)) → (𝑁 − 1) ∈ 𝐽)
29	21, 28	prssd 4773	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ≠ (𝑁 − 1)) → {𝐼, (𝑁 − 1)} ⊆ 𝐽)
30		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ≠ (𝑁 − 1)) → 𝐼 ≠ (𝑁 − 1))
31		enpr2 9898	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝐽 ∧ (𝑁 − 1) ∈ 𝐽 ∧ 𝐼 ≠ (𝑁 − 1)) → {𝐼, (𝑁 − 1)} ≈ 2o)
32	21, 28, 30, 31	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ≠ (𝑁 − 1)) → {𝐼, (𝑁 − 1)} ≈ 2o)
33		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (pmTrsp‘𝐽) = (pmTrsp‘𝐽)
34		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ ran (pmTrsp‘𝐽) = ran (pmTrsp‘𝐽)
35	33, 34	pmtrrn 19336	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ V ∧ {𝐼, (𝑁 − 1)} ⊆ 𝐽 ∧ {𝐼, (𝑁 − 1)} ≈ 2o) → ((pmTrsp‘𝐽)‘{𝐼, (𝑁 − 1)}) ∈ ran (pmTrsp‘𝐽))
36	20, 29, 32, 35	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ≠ (𝑁 − 1)) → ((pmTrsp‘𝐽)‘{𝐼, (𝑁 − 1)}) ∈ ran (pmTrsp‘𝐽))
37	33, 34	pmtrff1o 19342	. . . . 5 ⊢ (((pmTrsp‘𝐽)‘{𝐼, (𝑁 − 1)}) ∈ ran (pmTrsp‘𝐽) → ((pmTrsp‘𝐽)‘{𝐼, (𝑁 − 1)}):𝐽–1-1-onto→𝐽)
38	36, 37	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ≠ (𝑁 − 1)) → ((pmTrsp‘𝐽)‘{𝐼, (𝑁 − 1)}):𝐽–1-1-onto→𝐽)
39	33	pmtrprfv2 33030	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ V ∧ (𝐼 ∈ 𝐽 ∧ (𝑁 − 1) ∈ 𝐽 ∧ 𝐼 ≠ (𝑁 − 1))) → (((pmTrsp‘𝐽)‘{𝐼, (𝑁 − 1)})‘(𝑁 − 1)) = 𝐼)
40	20, 21, 28, 30, 39	syl13anc 1374	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ≠ (𝑁 − 1)) → (((pmTrsp‘𝐽)‘{𝐼, (𝑁 − 1)})‘(𝑁 − 1)) = 𝐼)
41	38, 40	jca 511	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ≠ (𝑁 − 1)) → (((pmTrsp‘𝐽)‘{𝐼, (𝑁 − 1)}):𝐽–1-1-onto→𝐽 ∧ (((pmTrsp‘𝐽)‘{𝐼, (𝑁 − 1)})‘(𝑁 − 1)) = 𝐼))
42		f1oeq1 6752	. . . 4 ⊢ (𝑠 = ((pmTrsp‘𝐽)‘{𝐼, (𝑁 − 1)}) → (𝑠:𝐽–1-1-onto→𝐽 ↔ ((pmTrsp‘𝐽)‘{𝐼, (𝑁 − 1)}):𝐽–1-1-onto→𝐽))
43		fveq1 6821	. . . . 5 ⊢ (𝑠 = ((pmTrsp‘𝐽)‘{𝐼, (𝑁 − 1)}) → (𝑠‘(𝑁 − 1)) = (((pmTrsp‘𝐽)‘{𝐼, (𝑁 − 1)})‘(𝑁 − 1)))
44	43	eqeq1d 2731	. . . 4 ⊢ (𝑠 = ((pmTrsp‘𝐽)‘{𝐼, (𝑁 − 1)}) → ((𝑠‘(𝑁 − 1)) = 𝐼 ↔ (((pmTrsp‘𝐽)‘{𝐼, (𝑁 − 1)})‘(𝑁 − 1)) = 𝐼))
45	42, 44	anbi12d 632	. . 3 ⊢ (𝑠 = ((pmTrsp‘𝐽)‘{𝐼, (𝑁 − 1)}) → ((𝑠:𝐽–1-1-onto→𝐽 ∧ (𝑠‘(𝑁 − 1)) = 𝐼) ↔ (((pmTrsp‘𝐽)‘{𝐼, (𝑁 − 1)}):𝐽–1-1-onto→𝐽 ∧ (((pmTrsp‘𝐽)‘{𝐼, (𝑁 − 1)})‘(𝑁 − 1)) = 𝐼)))
46	19, 41, 45	spcedv 3553	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ≠ (𝑁 − 1)) → ∃𝑠(𝑠:𝐽–1-1-onto→𝐽 ∧ (𝑠‘(𝑁 − 1)) = 𝐼))
47	18, 46	pm2.61dane 3012	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑠(𝑠:𝐽–1-1-onto→𝐽 ∧ (𝑠‘(𝑁 − 1)) = 𝐼))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540  ∃wex 1779   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  Vcvv 3436   ⊆ wss 3903  {cpr 4579   class class class wbr 5092   I cid 5513  ran crn 5620   ↾ cres 5621  –1-1-onto→wf1o 6481  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349  2_oc2o 8382   ≈ cen 8869  0cc0 11009  1c1 11010   < clt 11149   − cmin 11347  ℕcn 12128  ℕ₀cn0 12384  ..^cfzo 13557  pmTrspcpmtr 19320

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-1o 8388  df-2o 8389  df-er 8625  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-fin 8876  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-nn 12129  df-n0 12385  df-z 12472  df-uz 12736  df-fz 13411  df-fzo 13558  df-pmtr 19321

This theorem is referenced by:  wrdpmtrlast  33035