Theorem fzo0pmtrlast 33171

Description: Reorder a half-open integer range based at 0, so that the given index 𝐼 is at the end. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
fzo0pmtrlast.j	⊢ 𝐽 = (0..^𝑁)
fzo0pmtrlast.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝐽)

Assertion

Ref	Expression
fzo0pmtrlast	⊢ (𝜑 → ∃𝑠(𝑠:𝐽–1-1-onto→𝐽 ∧ (𝑠‘(𝑁 − 1)) = 𝐼))

Distinct variable groups:   𝐼,𝑠   𝐽,𝑠   𝑁,𝑠

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑠)

Proof of Theorem fzo0pmtrlast

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzo0pmtrlast.j	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = (0..^𝑁)
2	1	ovexi 7395	. . . . 5 ⊢ 𝐽 ∈ V
3	2	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = (𝑁 − 1)) → 𝐽 ∈ V)
4	3	resiexd 7165	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = (𝑁 − 1)) → ( I ↾ 𝐽) ∈ V)
5		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = (𝑁 − 1)) → 𝐼 = (𝑁 − 1))
6		fzo0pmtrlast.i	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝐽)
7	6	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = (𝑁 − 1)) → 𝐼 ∈ 𝐽)
8	5, 7	eqeltrrd 2838	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = (𝑁 − 1)) → (𝑁 − 1) ∈ 𝐽)
9		fvresi 7122	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 − 1) ∈ 𝐽 → (( I ↾ 𝐽)‘(𝑁 − 1)) = (𝑁 − 1))
10	8, 9	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = (𝑁 − 1)) → (( I ↾ 𝐽)‘(𝑁 − 1)) = (𝑁 − 1))
11	10, 5	eqtr4d 2775	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = (𝑁 − 1)) → (( I ↾ 𝐽)‘(𝑁 − 1)) = 𝐼)
12		f1oi 6813	. . . 4 ⊢ ( I ↾ 𝐽):𝐽–1-1-onto→𝐽
13	11, 12	jctil 519	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = (𝑁 − 1)) → (( I ↾ 𝐽):𝐽–1-1-onto→𝐽 ∧ (( I ↾ 𝐽)‘(𝑁 − 1)) = 𝐼))
14		f1oeq1 6763	. . . 4 ⊢ (𝑠 = ( I ↾ 𝐽) → (𝑠:𝐽–1-1-onto→𝐽 ↔ ( I ↾ 𝐽):𝐽–1-1-onto→𝐽))
15		fveq1 6834	. . . . 5 ⊢ (𝑠 = ( I ↾ 𝐽) → (𝑠‘(𝑁 − 1)) = (( I ↾ 𝐽)‘(𝑁 − 1)))
16	15	eqeq1d 2739	. . . 4 ⊢ (𝑠 = ( I ↾ 𝐽) → ((𝑠‘(𝑁 − 1)) = 𝐼 ↔ (( I ↾ 𝐽)‘(𝑁 − 1)) = 𝐼))
17	14, 16	anbi12d 633	. . 3 ⊢ (𝑠 = ( I ↾ 𝐽) → ((𝑠:𝐽–1-1-onto→𝐽 ∧ (𝑠‘(𝑁 − 1)) = 𝐼) ↔ (( I ↾ 𝐽):𝐽–1-1-onto→𝐽 ∧ (( I ↾ 𝐽)‘(𝑁 − 1)) = 𝐼)))
18	4, 13, 17	spcedv 3541	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = (𝑁 − 1)) → ∃𝑠(𝑠:𝐽–1-1-onto→𝐽 ∧ (𝑠‘(𝑁 − 1)) = 𝐼))
19		fvexd 6850	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ≠ (𝑁 − 1)) → ((pmTrsp‘𝐽)‘{𝐼, (𝑁 − 1)}) ∈ V)
20	2	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ≠ (𝑁 − 1)) → 𝐽 ∈ V)
21	6	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ≠ (𝑁 − 1)) → 𝐼 ∈ 𝐽)
22	6, 1	eleqtrdi 2847	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (0..^𝑁))
23		elfzo0 13649	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^𝑁) ↔ (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁))
24	23	simp2bi 1147	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ)
25		fzo0end 13707	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ (0..^𝑁))
26	22, 24, 25	3syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ (0..^𝑁))
27	26, 1	eleqtrrdi 2848	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ 𝐽)
28	27	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ≠ (𝑁 − 1)) → (𝑁 − 1) ∈ 𝐽)
29	21, 28	prssd 4766	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ≠ (𝑁 − 1)) → {𝐼, (𝑁 − 1)} ⊆ 𝐽)
30		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ≠ (𝑁 − 1)) → 𝐼 ≠ (𝑁 − 1))
31		enpr2 9920	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝐽 ∧ (𝑁 − 1) ∈ 𝐽 ∧ 𝐼 ≠ (𝑁 − 1)) → {𝐼, (𝑁 − 1)} ≈ 2o)
32	21, 28, 30, 31	syl3anc 1374	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ≠ (𝑁 − 1)) → {𝐼, (𝑁 − 1)} ≈ 2o)
33		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (pmTrsp‘𝐽) = (pmTrsp‘𝐽)
34		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ ran (pmTrsp‘𝐽) = ran (pmTrsp‘𝐽)
35	33, 34	pmtrrn 19426	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ V ∧ {𝐼, (𝑁 − 1)} ⊆ 𝐽 ∧ {𝐼, (𝑁 − 1)} ≈ 2o) → ((pmTrsp‘𝐽)‘{𝐼, (𝑁 − 1)}) ∈ ran (pmTrsp‘𝐽))
36	20, 29, 32, 35	syl3anc 1374	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ≠ (𝑁 − 1)) → ((pmTrsp‘𝐽)‘{𝐼, (𝑁 − 1)}) ∈ ran (pmTrsp‘𝐽))
37	33, 34	pmtrff1o 19432	. . . . 5 ⊢ (((pmTrsp‘𝐽)‘{𝐼, (𝑁 − 1)}) ∈ ran (pmTrsp‘𝐽) → ((pmTrsp‘𝐽)‘{𝐼, (𝑁 − 1)}):𝐽–1-1-onto→𝐽)
38	36, 37	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ≠ (𝑁 − 1)) → ((pmTrsp‘𝐽)‘{𝐼, (𝑁 − 1)}):𝐽–1-1-onto→𝐽)
39	33	pmtrprfv2 33167	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ V ∧ (𝐼 ∈ 𝐽 ∧ (𝑁 − 1) ∈ 𝐽 ∧ 𝐼 ≠ (𝑁 − 1))) → (((pmTrsp‘𝐽)‘{𝐼, (𝑁 − 1)})‘(𝑁 − 1)) = 𝐼)
40	20, 21, 28, 30, 39	syl13anc 1375	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ≠ (𝑁 − 1)) → (((pmTrsp‘𝐽)‘{𝐼, (𝑁 − 1)})‘(𝑁 − 1)) = 𝐼)
41	38, 40	jca 511	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ≠ (𝑁 − 1)) → (((pmTrsp‘𝐽)‘{𝐼, (𝑁 − 1)}):𝐽–1-1-onto→𝐽 ∧ (((pmTrsp‘𝐽)‘{𝐼, (𝑁 − 1)})‘(𝑁 − 1)) = 𝐼))
42		f1oeq1 6763	. . . 4 ⊢ (𝑠 = ((pmTrsp‘𝐽)‘{𝐼, (𝑁 − 1)}) → (𝑠:𝐽–1-1-onto→𝐽 ↔ ((pmTrsp‘𝐽)‘{𝐼, (𝑁 − 1)}):𝐽–1-1-onto→𝐽))
43		fveq1 6834	. . . . 5 ⊢ (𝑠 = ((pmTrsp‘𝐽)‘{𝐼, (𝑁 − 1)}) → (𝑠‘(𝑁 − 1)) = (((pmTrsp‘𝐽)‘{𝐼, (𝑁 − 1)})‘(𝑁 − 1)))
44	43	eqeq1d 2739	. . . 4 ⊢ (𝑠 = ((pmTrsp‘𝐽)‘{𝐼, (𝑁 − 1)}) → ((𝑠‘(𝑁 − 1)) = 𝐼 ↔ (((pmTrsp‘𝐽)‘{𝐼, (𝑁 − 1)})‘(𝑁 − 1)) = 𝐼))
45	42, 44	anbi12d 633	. . 3 ⊢ (𝑠 = ((pmTrsp‘𝐽)‘{𝐼, (𝑁 − 1)}) → ((𝑠:𝐽–1-1-onto→𝐽 ∧ (𝑠‘(𝑁 − 1)) = 𝐼) ↔ (((pmTrsp‘𝐽)‘{𝐼, (𝑁 − 1)}):𝐽–1-1-onto→𝐽 ∧ (((pmTrsp‘𝐽)‘{𝐼, (𝑁 − 1)})‘(𝑁 − 1)) = 𝐼)))
46	19, 41, 45	spcedv 3541	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ≠ (𝑁 − 1)) → ∃𝑠(𝑠:𝐽–1-1-onto→𝐽 ∧ (𝑠‘(𝑁 − 1)) = 𝐼))
47	18, 46	pm2.61dane 3020	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑠(𝑠:𝐽–1-1-onto→𝐽 ∧ (𝑠‘(𝑁 − 1)) = 𝐼))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542  ∃wex 1781   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  Vcvv 3430   ⊆ wss 3890  {cpr 4570   class class class wbr 5086   I cid 5519  ran crn 5626   ↾ cres 5627  –1-1-onto→wf1o 6492  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361  2_oc2o 8393   ≈ cen 8884  0cc0 11032  1c1 11033   < clt 11173   − cmin 11371  ℕcn 12168  ℕ₀cn0 12431  ..^cfzo 13602  pmTrspcpmtr 19410

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-cnex 11088  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108  ax-pre-mulgt0 11109

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7812  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-2o 8400  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-sub 11373  df-neg 11374  df-nn 12169  df-n0 12432  df-z 12519  df-uz 12783  df-fz 13456  df-fzo 13603  df-pmtr 19411

This theorem is referenced by:  wrdpmtrlast  33172