Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fzo0pmtrlast Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fzo0pmtrlast 33113
Description: Reorder a half-open integer range based at 0, so that the given index 𝐼 is at the end. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-May-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
fzo0pmtrlast.j 𝐽 = (0..^𝑁)
fzo0pmtrlast.i (𝜑𝐼𝐽)
Assertion
Ref Expression
fzo0pmtrlast (𝜑 → ∃𝑠(𝑠:𝐽1-1-onto𝐽 ∧ (𝑠‘(𝑁 − 1)) = 𝐼))
Distinct variable groups:   𝐼,𝑠   𝐽,𝑠   𝑁,𝑠
Allowed substitution hint:   𝜑(𝑠)

Proof of Theorem fzo0pmtrlast
StepHypRef Expression
1 fzo0pmtrlast.j . . . . . 6 𝐽 = (0..^𝑁)
21ovexi 7466 . . . . 5 𝐽 ∈ V
32a1i 11 . . . 4 ((𝜑𝐼 = (𝑁 − 1)) → 𝐽 ∈ V)
43resiexd 7237 . . 3 ((𝜑𝐼 = (𝑁 − 1)) → ( I ↾ 𝐽) ∈ V)
5 simpr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝐼 = (𝑁 − 1)) → 𝐼 = (𝑁 − 1))
6 fzo0pmtrlast.i . . . . . . . 8 (𝜑𝐼𝐽)
76adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝐼 = (𝑁 − 1)) → 𝐼𝐽)
85, 7eqeltrrd 2841 . . . . . 6 ((𝜑𝐼 = (𝑁 − 1)) → (𝑁 − 1) ∈ 𝐽)
9 fvresi 7194 . . . . . 6 ((𝑁 − 1) ∈ 𝐽 → (( I ↾ 𝐽)‘(𝑁 − 1)) = (𝑁 − 1))
108, 9syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝐼 = (𝑁 − 1)) → (( I ↾ 𝐽)‘(𝑁 − 1)) = (𝑁 − 1))
1110, 5eqtr4d 2779 . . . 4 ((𝜑𝐼 = (𝑁 − 1)) → (( I ↾ 𝐽)‘(𝑁 − 1)) = 𝐼)
12 f1oi 6885 . . . 4 ( I ↾ 𝐽):𝐽1-1-onto𝐽
1311, 12jctil 519 . . 3 ((𝜑𝐼 = (𝑁 − 1)) → (( I ↾ 𝐽):𝐽1-1-onto𝐽 ∧ (( I ↾ 𝐽)‘(𝑁 − 1)) = 𝐼))
14 f1oeq1 6835 . . . 4 (𝑠 = ( I ↾ 𝐽) → (𝑠:𝐽1-1-onto𝐽 ↔ ( I ↾ 𝐽):𝐽1-1-onto𝐽))
15 fveq1 6904 . . . . 5 (𝑠 = ( I ↾ 𝐽) → (𝑠‘(𝑁 − 1)) = (( I ↾ 𝐽)‘(𝑁 − 1)))
1615eqeq1d 2738 . . . 4 (𝑠 = ( I ↾ 𝐽) → ((𝑠‘(𝑁 − 1)) = 𝐼 ↔ (( I ↾ 𝐽)‘(𝑁 − 1)) = 𝐼))
1714, 16anbi12d 632 . . 3 (𝑠 = ( I ↾ 𝐽) → ((𝑠:𝐽1-1-onto𝐽 ∧ (𝑠‘(𝑁 − 1)) = 𝐼) ↔ (( I ↾ 𝐽):𝐽1-1-onto𝐽 ∧ (( I ↾ 𝐽)‘(𝑁 − 1)) = 𝐼)))
184, 13, 17spcedv 3597 . 2 ((𝜑𝐼 = (𝑁 − 1)) → ∃𝑠(𝑠:𝐽1-1-onto𝐽 ∧ (𝑠‘(𝑁 − 1)) = 𝐼))
19 fvexd 6920 . . 3 ((𝜑𝐼 ≠ (𝑁 − 1)) → ((pmTrsp‘𝐽)‘{𝐼, (𝑁 − 1)}) ∈ V)
202a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝐼 ≠ (𝑁 − 1)) → 𝐽 ∈ V)
216adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝐼 ≠ (𝑁 − 1)) → 𝐼𝐽)
226, 1eleqtrdi 2850 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐼 ∈ (0..^𝑁))
23 elfzo0 13741 . . . . . . . . . . 11 (𝐼 ∈ (0..^𝑁) ↔ (𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁))
2423simp2bi 1146 . . . . . . . . . 10 (𝐼 ∈ (0..^𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ)
25 fzo0end 13798 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ (0..^𝑁))
2622, 24, 253syl 18 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ (0..^𝑁))
2726, 1eleqtrrdi 2851 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ 𝐽)
2827adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝐼 ≠ (𝑁 − 1)) → (𝑁 − 1) ∈ 𝐽)
2921, 28prssd 4821 . . . . . 6 ((𝜑𝐼 ≠ (𝑁 − 1)) → {𝐼, (𝑁 − 1)} ⊆ 𝐽)
30 simpr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝐼 ≠ (𝑁 − 1)) → 𝐼 ≠ (𝑁 − 1))
31 enpr2 10043 . . . . . . 7 ((𝐼𝐽 ∧ (𝑁 − 1) ∈ 𝐽𝐼 ≠ (𝑁 − 1)) → {𝐼, (𝑁 − 1)} ≈ 2o)
3221, 28, 30, 31syl3anc 1372 . . . . . 6 ((𝜑𝐼 ≠ (𝑁 − 1)) → {𝐼, (𝑁 − 1)} ≈ 2o)
33 eqid 2736 . . . . . . 7 (pmTrsp‘𝐽) = (pmTrsp‘𝐽)
34 eqid 2736 . . . . . . 7 ran (pmTrsp‘𝐽) = ran (pmTrsp‘𝐽)
3533, 34pmtrrn 19476 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ V ∧ {𝐼, (𝑁 − 1)} ⊆ 𝐽 ∧ {𝐼, (𝑁 − 1)} ≈ 2o) → ((pmTrsp‘𝐽)‘{𝐼, (𝑁 − 1)}) ∈ ran (pmTrsp‘𝐽))
3620, 29, 32, 35syl3anc 1372 . . . . 5 ((𝜑𝐼 ≠ (𝑁 − 1)) → ((pmTrsp‘𝐽)‘{𝐼, (𝑁 − 1)}) ∈ ran (pmTrsp‘𝐽))
3733, 34pmtrff1o 19482 . . . . 5 (((pmTrsp‘𝐽)‘{𝐼, (𝑁 − 1)}) ∈ ran (pmTrsp‘𝐽) → ((pmTrsp‘𝐽)‘{𝐼, (𝑁 − 1)}):𝐽1-1-onto𝐽)
3836, 37syl 17 . . . 4 ((𝜑𝐼 ≠ (𝑁 − 1)) → ((pmTrsp‘𝐽)‘{𝐼, (𝑁 − 1)}):𝐽1-1-onto𝐽)
3933pmtrprfv2 33109 . . . . 5 ((𝐽 ∈ V ∧ (𝐼𝐽 ∧ (𝑁 − 1) ∈ 𝐽𝐼 ≠ (𝑁 − 1))) → (((pmTrsp‘𝐽)‘{𝐼, (𝑁 − 1)})‘(𝑁 − 1)) = 𝐼)
4020, 21, 28, 30, 39syl13anc 1373 . . . 4 ((𝜑𝐼 ≠ (𝑁 − 1)) → (((pmTrsp‘𝐽)‘{𝐼, (𝑁 − 1)})‘(𝑁 − 1)) = 𝐼)
4138, 40jca 511 . . 3 ((𝜑𝐼 ≠ (𝑁 − 1)) → (((pmTrsp‘𝐽)‘{𝐼, (𝑁 − 1)}):𝐽1-1-onto𝐽 ∧ (((pmTrsp‘𝐽)‘{𝐼, (𝑁 − 1)})‘(𝑁 − 1)) = 𝐼))
42 f1oeq1 6835 . . . 4 (𝑠 = ((pmTrsp‘𝐽)‘{𝐼, (𝑁 − 1)}) → (𝑠:𝐽1-1-onto𝐽 ↔ ((pmTrsp‘𝐽)‘{𝐼, (𝑁 − 1)}):𝐽1-1-onto𝐽))
43 fveq1 6904 . . . . 5 (𝑠 = ((pmTrsp‘𝐽)‘{𝐼, (𝑁 − 1)}) → (𝑠‘(𝑁 − 1)) = (((pmTrsp‘𝐽)‘{𝐼, (𝑁 − 1)})‘(𝑁 − 1)))
4443eqeq1d 2738 . . . 4 (𝑠 = ((pmTrsp‘𝐽)‘{𝐼, (𝑁 − 1)}) → ((𝑠‘(𝑁 − 1)) = 𝐼 ↔ (((pmTrsp‘𝐽)‘{𝐼, (𝑁 − 1)})‘(𝑁 − 1)) = 𝐼))
4542, 44anbi12d 632 . . 3 (𝑠 = ((pmTrsp‘𝐽)‘{𝐼, (𝑁 − 1)}) → ((𝑠:𝐽1-1-onto𝐽 ∧ (𝑠‘(𝑁 − 1)) = 𝐼) ↔ (((pmTrsp‘𝐽)‘{𝐼, (𝑁 − 1)}):𝐽1-1-onto𝐽 ∧ (((pmTrsp‘𝐽)‘{𝐼, (𝑁 − 1)})‘(𝑁 − 1)) = 𝐼)))
4619, 41, 45spcedv 3597 . 2 ((𝜑𝐼 ≠ (𝑁 − 1)) → ∃𝑠(𝑠:𝐽1-1-onto𝐽 ∧ (𝑠‘(𝑁 − 1)) = 𝐼))
4718, 46pm2.61dane 3028 1 (𝜑 → ∃𝑠(𝑠:𝐽1-1-onto𝐽 ∧ (𝑠‘(𝑁 − 1)) = 𝐼))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1539  wex 1778  wcel 2107  wne 2939  Vcvv 3479  wss 3950  {cpr 4627   class class class wbr 5142   I cid 5576  ran crn 5685  cres 5686  1-1-ontowf1o 6559  cfv 6560  (class class class)co 7432  2oc2o 8501  cen 8983  0cc0 11156  1c1 11157   < clt 11296  cmin 11493  cn 12267  0cn0 12528  ..^cfzo 13695  pmTrspcpmtr 19460
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-2o 8508  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-nn 12268  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12880  df-fz 13549  df-fzo 13696  df-pmtr 19461
This theorem is referenced by:  wrdpmtrlast  33114
  Copyright terms: Public domain W3C validator