Theorem fzo0pmtrlast 33478

Description: Reorder a half-open integer range based at 0, so that the given index 𝐼 is at the end. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
fzo0pmtrlast.j	⊢ 𝐽 = (0..^𝑁)
fzo0pmtrlast.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝐽)

Assertion

Ref	Expression
fzo0pmtrlast	⊢ (𝜑 → ∃𝑠(𝑠:𝐽–1-1-onto→𝐽 ∧ (𝑠‘(𝑁 − 1)) = 𝐼))

Distinct variable groups:   𝐼,𝑠   𝐽,𝑠   𝑁,𝑠

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑠)

Proof of Theorem fzo0pmtrlast

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzo0pmtrlast.j	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = (0..^𝑁)
2	1	ovexi 7453	. . . . 5 ⊢ 𝐽 ∈ V
3	2	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = (𝑁 − 1)) → 𝐽 ∈ V)
4	3	resiexd 7221	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = (𝑁 − 1)) → ( I ↾ 𝐽) ∈ V)
5		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = (𝑁 − 1)) → 𝐼 = (𝑁 − 1))
6		fzo0pmtrlast.i	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝐽)
7	6	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = (𝑁 − 1)) → 𝐼 ∈ 𝐽)
8	5, 7	eqeltrrd 2866	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = (𝑁 − 1)) → (𝑁 − 1) ∈ 𝐽)
9		fvresi 7177	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 − 1) ∈ 𝐽 → (( I ↾ 𝐽)‘(𝑁 − 1)) = (𝑁 − 1))
10	8, 9	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = (𝑁 − 1)) → (( I ↾ 𝐽)‘(𝑁 − 1)) = (𝑁 − 1))
11	10, 5	eqtr4d 2803	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = (𝑁 − 1)) → (( I ↾ 𝐽)‘(𝑁 − 1)) = 𝐼)
12		f1oi 6863	. . . 4 ⊢ ( I ↾ 𝐽):𝐽–1-1-onto→𝐽
13	11, 12	jctil 529	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = (𝑁 − 1)) → (( I ↾ 𝐽):𝐽–1-1-onto→𝐽 ∧ (( I ↾ 𝐽)‘(𝑁 − 1)) = 𝐼))
14		f1oeq1 6812	. . . 4 ⊢ (𝑠 = ( I ↾ 𝐽) → (𝑠:𝐽–1-1-onto→𝐽 ↔ ( I ↾ 𝐽):𝐽–1-1-onto→𝐽))
15		fveq1 6884	. . . . 5 ⊢ (𝑠 = ( I ↾ 𝐽) → (𝑠‘(𝑁 − 1)) = (( I ↾ 𝐽)‘(𝑁 − 1)))
16	15	eqeq1d 2767	. . . 4 ⊢ (𝑠 = ( I ↾ 𝐽) → ((𝑠‘(𝑁 − 1)) = 𝐼 ↔ (( I ↾ 𝐽)‘(𝑁 − 1)) = 𝐼))
17	14, 16	anbi12d 644	. . 3 ⊢ (𝑠 = ( I ↾ 𝐽) → ((𝑠:𝐽–1-1-onto→𝐽 ∧ (𝑠‘(𝑁 − 1)) = 𝐼) ↔ (( I ↾ 𝐽):𝐽–1-1-onto→𝐽 ∧ (( I ↾ 𝐽)‘(𝑁 − 1)) = 𝐼)))
18	4, 13, 17	spcedv 3559	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = (𝑁 − 1)) → ∃𝑠(𝑠:𝐽–1-1-onto→𝐽 ∧ (𝑠‘(𝑁 − 1)) = 𝐼))
19		fvexd 6900	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ≠ (𝑁 − 1)) → ((pmTrsp‘𝐽)‘{𝐼, (𝑁 − 1)}) ∈ V)
20	2	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ≠ (𝑁 − 1)) → 𝐽 ∈ V)
21	6	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ≠ (𝑁 − 1)) → 𝐼 ∈ 𝐽)
22	6, 1	eleqtrdi 2875	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (0..^𝑁))
23		elfzo0 13748	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^𝑁) ↔ (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁))
24	23	simp2bi 1164	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ)
25		fzo0end 13806	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ (0..^𝑁))
26	22, 24, 25	3syl 19	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ (0..^𝑁))
27	26, 1	eleqtrrdi 2876	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ 𝐽)
28	27	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ≠ (𝑁 − 1)) → (𝑁 − 1) ∈ 𝐽)
29	21, 28	prssd 4790	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ≠ (𝑁 − 1)) → {𝐼, (𝑁 − 1)} ⊆ 𝐽)
30		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ≠ (𝑁 − 1)) → 𝐼 ≠ (𝑁 − 1))
31		enpr2 10004	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝐽 ∧ (𝑁 − 1) ∈ 𝐽 ∧ 𝐼 ≠ (𝑁 − 1)) → {𝐼, (𝑁 − 1)} ≈ 2o)
32	21, 28, 30, 31	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ≠ (𝑁 − 1)) → {𝐼, (𝑁 − 1)} ≈ 2o)
33		eqid 2765	. . . . . . 7 ⊢ (pmTrsp‘𝐽) = (pmTrsp‘𝐽)
34		eqid 2765	. . . . . . 7 ⊢ ran (pmTrsp‘𝐽) = ran (pmTrsp‘𝐽)
35	33, 34	pmtrrn 19573	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ V ∧ {𝐼, (𝑁 − 1)} ⊆ 𝐽 ∧ {𝐼, (𝑁 − 1)} ≈ 2o) → ((pmTrsp‘𝐽)‘{𝐼, (𝑁 − 1)}) ∈ ran (pmTrsp‘𝐽))
36	20, 29, 32, 35	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ≠ (𝑁 − 1)) → ((pmTrsp‘𝐽)‘{𝐼, (𝑁 − 1)}) ∈ ran (pmTrsp‘𝐽))
37	33, 34	pmtrff1o 19579	. . . . 5 ⊢ (((pmTrsp‘𝐽)‘{𝐼, (𝑁 − 1)}) ∈ ran (pmTrsp‘𝐽) → ((pmTrsp‘𝐽)‘{𝐼, (𝑁 − 1)}):𝐽–1-1-onto→𝐽)
38	36, 37	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ≠ (𝑁 − 1)) → ((pmTrsp‘𝐽)‘{𝐼, (𝑁 − 1)}):𝐽–1-1-onto→𝐽)
39	33	pmtrprfv2 33474	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ V ∧ (𝐼 ∈ 𝐽 ∧ (𝑁 − 1) ∈ 𝐽 ∧ 𝐼 ≠ (𝑁 − 1))) → (((pmTrsp‘𝐽)‘{𝐼, (𝑁 − 1)})‘(𝑁 − 1)) = 𝐼)
40	20, 21, 28, 30, 39	syl13anc 1399	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ≠ (𝑁 − 1)) → (((pmTrsp‘𝐽)‘{𝐼, (𝑁 − 1)})‘(𝑁 − 1)) = 𝐼)
41	38, 40	jca 521	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ≠ (𝑁 − 1)) → (((pmTrsp‘𝐽)‘{𝐼, (𝑁 − 1)}):𝐽–1-1-onto→𝐽 ∧ (((pmTrsp‘𝐽)‘{𝐼, (𝑁 − 1)})‘(𝑁 − 1)) = 𝐼))
42		f1oeq1 6812	. . . 4 ⊢ (𝑠 = ((pmTrsp‘𝐽)‘{𝐼, (𝑁 − 1)}) → (𝑠:𝐽–1-1-onto→𝐽 ↔ ((pmTrsp‘𝐽)‘{𝐼, (𝑁 − 1)}):𝐽–1-1-onto→𝐽))
43		fveq1 6884	. . . . 5 ⊢ (𝑠 = ((pmTrsp‘𝐽)‘{𝐼, (𝑁 − 1)}) → (𝑠‘(𝑁 − 1)) = (((pmTrsp‘𝐽)‘{𝐼, (𝑁 − 1)})‘(𝑁 − 1)))
44	43	eqeq1d 2767	. . . 4 ⊢ (𝑠 = ((pmTrsp‘𝐽)‘{𝐼, (𝑁 − 1)}) → ((𝑠‘(𝑁 − 1)) = 𝐼 ↔ (((pmTrsp‘𝐽)‘{𝐼, (𝑁 − 1)})‘(𝑁 − 1)) = 𝐼))
45	42, 44	anbi12d 644	. . 3 ⊢ (𝑠 = ((pmTrsp‘𝐽)‘{𝐼, (𝑁 − 1)}) → ((𝑠:𝐽–1-1-onto→𝐽 ∧ (𝑠‘(𝑁 − 1)) = 𝐼) ↔ (((pmTrsp‘𝐽)‘{𝐼, (𝑁 − 1)}):𝐽–1-1-onto→𝐽 ∧ (((pmTrsp‘𝐽)‘{𝐼, (𝑁 − 1)})‘(𝑁 − 1)) = 𝐼)))
46	19, 41, 45	spcedv 3559	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ≠ (𝑁 − 1)) → ∃𝑠(𝑠:𝐽–1-1-onto→𝐽 ∧ (𝑠‘(𝑁 − 1)) = 𝐼))
47	18, 46	pm2.61dane 3047	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑠(𝑠:𝐽–1-1-onto→𝐽 ∧ (𝑠‘(𝑁 − 1)) = 𝐼))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570  ∃wex 1812   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2960  Vcvv 3457   ⊆ wss 3906  {cpr 4593   class class class wbr 5111   I cid 5557  ran crn 5664   ↾ cres 5665  –1-1-onto→wf1o 6539  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  2_oc2o 8453   ≈ cen 8946  0cc0 11117  1c1 11118   < clt 11260   − cmin 11458  ℕcn 12250  ℕ₀cn0 12521  ..^cfzo 13701  pmTrspcpmtr 19557

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11173  ax-resscn 11174  ax-1cn 11175  ax-icn 11176  ax-addcl 11177  ax-addrcl 11178  ax-mulcl 11179  ax-mulrcl 11180  ax-mulcom 11181  ax-addass 11182  ax-mulass 11183  ax-distr 11184  ax-i2m1 11185  ax-1ne0 11186  ax-1rid 11187  ax-rnegex 11188  ax-rrecex 11189  ax-cnre 11190  ax-pre-lttri 11191  ax-pre-lttrn 11192  ax-pre-ltadd 11193  ax-pre-mulgt0 11194

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-2o 8460  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-pnf 11262  df-mnf 11263  df-xr 11264  df-ltxr 11265  df-le 11266  df-sub 11460  df-neg 11461  df-nn 12251  df-n0 12522  df-z 12609  df-uz 12881  df-fz 13554  df-fzo 13702  df-pmtr 19558

This theorem is used by:  wrdpmtrlast  33479