Theorem fzo0pmtrlast 33173

Description: Reorder a half-open integer range based at 0, so that the given index 𝐼 is at the end. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
fzo0pmtrlast.j	⊢ 𝐽 = (0..^𝑁)
fzo0pmtrlast.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝐽)

Assertion

Ref	Expression
fzo0pmtrlast	⊢ (𝜑 → ∃𝑠(𝑠:𝐽–1-1-onto→𝐽 ∧ (𝑠‘(𝑁 − 1)) = 𝐼))

Distinct variable groups:   𝐼,𝑠   𝐽,𝑠   𝑁,𝑠

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑠)

Proof of Theorem fzo0pmtrlast

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzo0pmtrlast.j	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = (0..^𝑁)
2	1	ovexi 7390	. . . . 5 ⊢ 𝐽 ∈ V
3	2	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = (𝑁 − 1)) → 𝐽 ∈ V)
4	3	resiexd 7160	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = (𝑁 − 1)) → ( I ↾ 𝐽) ∈ V)
5		simpr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = (𝑁 − 1)) → 𝐼 = (𝑁 − 1))
6		fzo0pmtrlast.i	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝐽)
7	6	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = (𝑁 − 1)) → 𝐼 ∈ 𝐽)
8	5, 7	eqeltrrd 2840	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = (𝑁 − 1)) → (𝑁 − 1) ∈ 𝐽)
9		fvresi 7117	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 − 1) ∈ 𝐽 → (( I ↾ 𝐽)‘(𝑁 − 1)) = (𝑁 − 1))
10	8, 9	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = (𝑁 − 1)) → (( I ↾ 𝐽)‘(𝑁 − 1)) = (𝑁 − 1))
11	10, 5	eqtr4d 2777	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = (𝑁 − 1)) → (( I ↾ 𝐽)‘(𝑁 − 1)) = 𝐼)
12		f1oi 6805	. . . 4 ⊢ ( I ↾ 𝐽):𝐽–1-1-onto→𝐽
13	11, 12	jctil 524	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = (𝑁 − 1)) → (( I ↾ 𝐽):𝐽–1-1-onto→𝐽 ∧ (( I ↾ 𝐽)‘(𝑁 − 1)) = 𝐼))
14		f1oeq1 6755	. . . 4 ⊢ (𝑠 = ( I ↾ 𝐽) → (𝑠:𝐽–1-1-onto→𝐽 ↔ ( I ↾ 𝐽):𝐽–1-1-onto→𝐽))
15		fveq1 6826	. . . . 5 ⊢ (𝑠 = ( I ↾ 𝐽) → (𝑠‘(𝑁 − 1)) = (( I ↾ 𝐽)‘(𝑁 − 1)))
16	15	eqeq1d 2741	. . . 4 ⊢ (𝑠 = ( I ↾ 𝐽) → ((𝑠‘(𝑁 − 1)) = 𝐼 ↔ (( I ↾ 𝐽)‘(𝑁 − 1)) = 𝐼))
17	14, 16	anbi12d 638	. . 3 ⊢ (𝑠 = ( I ↾ 𝐽) → ((𝑠:𝐽–1-1-onto→𝐽 ∧ (𝑠‘(𝑁 − 1)) = 𝐼) ↔ (( I ↾ 𝐽):𝐽–1-1-onto→𝐽 ∧ (( I ↾ 𝐽)‘(𝑁 − 1)) = 𝐼)))
18	4, 13, 17	spcedv 3536	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = (𝑁 − 1)) → ∃𝑠(𝑠:𝐽–1-1-onto→𝐽 ∧ (𝑠‘(𝑁 − 1)) = 𝐼))
19		fvexd 6842	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ≠ (𝑁 − 1)) → ((pmTrsp‘𝐽)‘{𝐼, (𝑁 − 1)}) ∈ V)
20	2	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ≠ (𝑁 − 1)) → 𝐽 ∈ V)
21	6	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ≠ (𝑁 − 1)) → 𝐼 ∈ 𝐽)
22	6, 1	eleqtrdi 2849	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (0..^𝑁))
23		elfzo0 13646	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^𝑁) ↔ (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁))
24	23	simp2bi 1152	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ)
25		fzo0end 13704	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ (0..^𝑁))
26	22, 24, 25	3syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ (0..^𝑁))
27	26, 1	eleqtrrdi 2850	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ 𝐽)
28	27	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ≠ (𝑁 − 1)) → (𝑁 − 1) ∈ 𝐽)
29	21, 28	prssd 4753	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ≠ (𝑁 − 1)) → {𝐼, (𝑁 − 1)} ⊆ 𝐽)
30		simpr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ≠ (𝑁 − 1)) → 𝐼 ≠ (𝑁 − 1))
31		enpr2 9917	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝐽 ∧ (𝑁 − 1) ∈ 𝐽 ∧ 𝐼 ≠ (𝑁 − 1)) → {𝐼, (𝑁 − 1)} ≈ 2o)
32	21, 28, 30, 31	syl3anc 1379	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ≠ (𝑁 − 1)) → {𝐼, (𝑁 − 1)} ≈ 2o)
33		eqid 2739	. . . . . . 7 ⊢ (pmTrsp‘𝐽) = (pmTrsp‘𝐽)
34		eqid 2739	. . . . . . 7 ⊢ ran (pmTrsp‘𝐽) = ran (pmTrsp‘𝐽)
35	33, 34	pmtrrn 19423	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ V ∧ {𝐼, (𝑁 − 1)} ⊆ 𝐽 ∧ {𝐼, (𝑁 − 1)} ≈ 2o) → ((pmTrsp‘𝐽)‘{𝐼, (𝑁 − 1)}) ∈ ran (pmTrsp‘𝐽))
36	20, 29, 32, 35	syl3anc 1379	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ≠ (𝑁 − 1)) → ((pmTrsp‘𝐽)‘{𝐼, (𝑁 − 1)}) ∈ ran (pmTrsp‘𝐽))
37	33, 34	pmtrff1o 19429	. . . . 5 ⊢ (((pmTrsp‘𝐽)‘{𝐼, (𝑁 − 1)}) ∈ ran (pmTrsp‘𝐽) → ((pmTrsp‘𝐽)‘{𝐼, (𝑁 − 1)}):𝐽–1-1-onto→𝐽)
38	36, 37	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ≠ (𝑁 − 1)) → ((pmTrsp‘𝐽)‘{𝐼, (𝑁 − 1)}):𝐽–1-1-onto→𝐽)
39	33	pmtrprfv2 33169	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ V ∧ (𝐼 ∈ 𝐽 ∧ (𝑁 − 1) ∈ 𝐽 ∧ 𝐼 ≠ (𝑁 − 1))) → (((pmTrsp‘𝐽)‘{𝐼, (𝑁 − 1)})‘(𝑁 − 1)) = 𝐼)
40	20, 21, 28, 30, 39	syl13anc 1380	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ≠ (𝑁 − 1)) → (((pmTrsp‘𝐽)‘{𝐼, (𝑁 − 1)})‘(𝑁 − 1)) = 𝐼)
41	38, 40	jca 516	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ≠ (𝑁 − 1)) → (((pmTrsp‘𝐽)‘{𝐼, (𝑁 − 1)}):𝐽–1-1-onto→𝐽 ∧ (((pmTrsp‘𝐽)‘{𝐼, (𝑁 − 1)})‘(𝑁 − 1)) = 𝐼))
42		f1oeq1 6755	. . . 4 ⊢ (𝑠 = ((pmTrsp‘𝐽)‘{𝐼, (𝑁 − 1)}) → (𝑠:𝐽–1-1-onto→𝐽 ↔ ((pmTrsp‘𝐽)‘{𝐼, (𝑁 − 1)}):𝐽–1-1-onto→𝐽))
43		fveq1 6826	. . . . 5 ⊢ (𝑠 = ((pmTrsp‘𝐽)‘{𝐼, (𝑁 − 1)}) → (𝑠‘(𝑁 − 1)) = (((pmTrsp‘𝐽)‘{𝐼, (𝑁 − 1)})‘(𝑁 − 1)))
44	43	eqeq1d 2741	. . . 4 ⊢ (𝑠 = ((pmTrsp‘𝐽)‘{𝐼, (𝑁 − 1)}) → ((𝑠‘(𝑁 − 1)) = 𝐼 ↔ (((pmTrsp‘𝐽)‘{𝐼, (𝑁 − 1)})‘(𝑁 − 1)) = 𝐼))
45	42, 44	anbi12d 638	. . 3 ⊢ (𝑠 = ((pmTrsp‘𝐽)‘{𝐼, (𝑁 − 1)}) → ((𝑠:𝐽–1-1-onto→𝐽 ∧ (𝑠‘(𝑁 − 1)) = 𝐼) ↔ (((pmTrsp‘𝐽)‘{𝐼, (𝑁 − 1)}):𝐽–1-1-onto→𝐽 ∧ (((pmTrsp‘𝐽)‘{𝐼, (𝑁 − 1)})‘(𝑁 − 1)) = 𝐼)))
46	19, 41, 45	spcedv 3536	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ≠ (𝑁 − 1)) → ∃𝑠(𝑠:𝐽–1-1-onto→𝐽 ∧ (𝑠‘(𝑁 − 1)) = 𝐼))
47	18, 46	pm2.61dane 3021	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑠(𝑠:𝐽–1-1-onto→𝐽 ∧ (𝑠‘(𝑁 − 1)) = 𝐼))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1547  ∃wex 1786   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2934  Vcvv 3431   ⊆ wss 3883  {cpr 4557   class class class wbr 5072   I cid 5512  ran crn 5619   ↾ cres 5620  –1-1-onto→wf1o 6484  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356  2_oc2o 8389   ≈ cen 8880  0cc0 11029  1c1 11030   < clt 11170   − cmin 11368  ℕcn 12165  ℕ₀cn0 12428  ..^cfzo 13599  pmTrspcpmtr 19407

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-er 8633  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-pmtr 19408

This theorem is referenced by:  wrdpmtrlast  33174