Theorem absrdbnd 15395

Description: Bound on the absolute value of a real number rounded to the nearest integer. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 14-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
absrdbnd	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (abs‘(⌊‘(𝐴 + (1 / 2)))) ≤ ((⌊‘(abs‘𝐴)) + 1))

Proof of Theorem absrdbnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		halfre 12458	. . . . . . . 8 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ
2		readdcl 11184	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ) → (𝐴 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
3	1, 2	mpan2 703	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
4		reflcl 13831	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 + (1 / 2)) ∈ ℝ → (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ∈ ℝ)
5	3, 4	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ∈ ℝ)
6	5	recnd 11238	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ∈ ℂ)
7		abscl 15331	. . . . 5 ⊢ ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ∈ ℂ → (abs‘(⌊‘(𝐴 + (1 / 2)))) ∈ ℝ)
8	6, 7	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (abs‘(⌊‘(𝐴 + (1 / 2)))) ∈ ℝ)
9		recn 11191	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
10		abscl 15331	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
11	9, 10	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
12		1re 11209	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ
13	12	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 1 ∈ ℝ)
14	8, 11	resubcld 11643	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((abs‘(⌊‘(𝐴 + (1 / 2)))) − (abs‘𝐴)) ∈ ℝ)
15		resubcl 11523	. . . . . . . 8 ⊢ (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴) ∈ ℝ)
16	5, 15	mpancom 700	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴) ∈ ℝ)
17	16	recnd 11238	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴) ∈ ℂ)
18		abscl 15331	. . . . . 6 ⊢ (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴) ∈ ℂ → (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)) ∈ ℝ)
19	17, 18	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)) ∈ ℝ)
20		abs2dif 15386	. . . . . 6 ⊢ (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((abs‘(⌊‘(𝐴 + (1 / 2)))) − (abs‘𝐴)) ≤ (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)))
21	6, 9, 20	syl2anc 595	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((abs‘(⌊‘(𝐴 + (1 / 2)))) − (abs‘𝐴)) ≤ (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)))
22	1	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (1 / 2) ∈ ℝ)
23		rddif 15394	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)) ≤ (1 / 2))
24		halflt1 12462	. . . . . . . 8 ⊢ (1 / 2) < 1
25	1, 12, 24	ltleii 11334	. . . . . . 7 ⊢ (1 / 2) ≤ 1
26	25	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (1 / 2) ≤ 1)
27	19, 22, 13, 23, 26	letrd 11368	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)) ≤ 1)
28	14, 19, 13, 21, 27	letrd 11368	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((abs‘(⌊‘(𝐴 + (1 / 2)))) − (abs‘𝐴)) ≤ 1)
29	8, 11, 13, 28	subled 11818	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((abs‘(⌊‘(𝐴 + (1 / 2)))) − 1) ≤ (abs‘𝐴))
30	3	flcld 13833	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ∈ ℤ)
31		nn0abscl 15365	. . . . . . 7 ⊢ ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ∈ ℤ → (abs‘(⌊‘(𝐴 + (1 / 2)))) ∈ ℕ0)
32	30, 31	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (abs‘(⌊‘(𝐴 + (1 / 2)))) ∈ ℕ0)
33	32	nn0zd 12617	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (abs‘(⌊‘(𝐴 + (1 / 2)))) ∈ ℤ)
34		peano2zm 12638	. . . . 5 ⊢ ((abs‘(⌊‘(𝐴 + (1 / 2)))) ∈ ℤ → ((abs‘(⌊‘(𝐴 + (1 / 2)))) − 1) ∈ ℤ)
35	33, 34	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((abs‘(⌊‘(𝐴 + (1 / 2)))) − 1) ∈ ℤ)
36		flge 13840	. . . 4 ⊢ (((abs‘𝐴) ∈ ℝ ∧ ((abs‘(⌊‘(𝐴 + (1 / 2)))) − 1) ∈ ℤ) → (((abs‘(⌊‘(𝐴 + (1 / 2)))) − 1) ≤ (abs‘𝐴) ↔ ((abs‘(⌊‘(𝐴 + (1 / 2)))) − 1) ≤ (⌊‘(abs‘𝐴))))
37	11, 35, 36	syl2anc 595	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (((abs‘(⌊‘(𝐴 + (1 / 2)))) − 1) ≤ (abs‘𝐴) ↔ ((abs‘(⌊‘(𝐴 + (1 / 2)))) − 1) ≤ (⌊‘(abs‘𝐴))))
38	29, 37	mpbid 235	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((abs‘(⌊‘(𝐴 + (1 / 2)))) − 1) ≤ (⌊‘(abs‘𝐴)))
39		reflcl 13831	. . . 4 ⊢ ((abs‘𝐴) ∈ ℝ → (⌊‘(abs‘𝐴)) ∈ ℝ)
40	11, 39	syl 18	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘(abs‘𝐴)) ∈ ℝ)
41	8, 13, 40	lesubaddd 11812	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (((abs‘(⌊‘(𝐴 + (1 / 2)))) − 1) ≤ (⌊‘(abs‘𝐴)) ↔ (abs‘(⌊‘(𝐴 + (1 / 2)))) ≤ ((⌊‘(abs‘𝐴)) + 1)))
42	38, 41	mpbid 235	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (abs‘(⌊‘(𝐴 + (1 / 2)))) ≤ ((⌊‘(abs‘𝐴)) + 1))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∈ wcel 2143   class class class wbr 5110  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412  ℂcc 11099  ℝcr 11100  1c1 11102   + caddc 11104   ≤ cle 11245   − cmin 11442   / cdiv 11872  2c2 12296  ℕ₀cn0 12505  ℤcz 12592  ⌊cfl 13825  abscabs 15287

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178  ax-pre-sup 11179

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-er 8695  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-sup 9403  df-inf 9404  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-div 11873  df-nn 12235  df-2 12304  df-3 12305  df-n0 12506  df-z 12593  df-uz 12864  df-rp 13018  df-fl 13827  df-seq 14040  df-exp 14100  df-cj 15152  df-re 15153  df-im 15154  df-sqrt 15288  df-abs 15289

This theorem is referenced by: (None)