MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  absrdbnd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem absrdbnd 15053
Description: Bound on the absolute value of a real number rounded to the nearest integer. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 14-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
absrdbnd (𝐴 ∈ ℝ → (abs‘(⌊‘(𝐴 + (1 / 2)))) ≤ ((⌊‘(abs‘𝐴)) + 1))

Proof of Theorem absrdbnd
StepHypRef Expression
1 halfre 12187 . . . . . . . 8 (1 / 2) ∈ ℝ
2 readdcl 10954 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ) → (𝐴 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
31, 2mpan2 688 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
4 reflcl 13516 . . . . . . 7 ((𝐴 + (1 / 2)) ∈ ℝ → (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ∈ ℝ)
53, 4syl 17 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ∈ ℝ)
65recnd 11003 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ∈ ℂ)
7 abscl 14990 . . . . 5 ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ∈ ℂ → (abs‘(⌊‘(𝐴 + (1 / 2)))) ∈ ℝ)
86, 7syl 17 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → (abs‘(⌊‘(𝐴 + (1 / 2)))) ∈ ℝ)
9 recn 10961 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
10 abscl 14990 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
119, 10syl 17 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
12 1re 10975 . . . . 5 1 ∈ ℝ
1312a1i 11 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → 1 ∈ ℝ)
148, 11resubcld 11403 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → ((abs‘(⌊‘(𝐴 + (1 / 2)))) − (abs‘𝐴)) ∈ ℝ)
15 resubcl 11285 . . . . . . . 8 (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴) ∈ ℝ)
165, 15mpancom 685 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴) ∈ ℝ)
1716recnd 11003 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴) ∈ ℂ)
18 abscl 14990 . . . . . 6 (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴) ∈ ℂ → (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)) ∈ ℝ)
1917, 18syl 17 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)) ∈ ℝ)
20 abs2dif 15044 . . . . . 6 (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((abs‘(⌊‘(𝐴 + (1 / 2)))) − (abs‘𝐴)) ≤ (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)))
216, 9, 20syl2anc 584 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → ((abs‘(⌊‘(𝐴 + (1 / 2)))) − (abs‘𝐴)) ≤ (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)))
221a1i 11 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → (1 / 2) ∈ ℝ)
23 rddif 15052 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)) ≤ (1 / 2))
24 halflt1 12191 . . . . . . . 8 (1 / 2) < 1
251, 12, 24ltleii 11098 . . . . . . 7 (1 / 2) ≤ 1
2625a1i 11 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → (1 / 2) ≤ 1)
2719, 22, 13, 23, 26letrd 11132 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)) ≤ 1)
2814, 19, 13, 21, 27letrd 11132 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → ((abs‘(⌊‘(𝐴 + (1 / 2)))) − (abs‘𝐴)) ≤ 1)
298, 11, 13, 28subled 11578 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → ((abs‘(⌊‘(𝐴 + (1 / 2)))) − 1) ≤ (abs‘𝐴))
303flcld 13518 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ∈ ℤ)
31 nn0abscl 15024 . . . . . . 7 ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ∈ ℤ → (abs‘(⌊‘(𝐴 + (1 / 2)))) ∈ ℕ0)
3230, 31syl 17 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → (abs‘(⌊‘(𝐴 + (1 / 2)))) ∈ ℕ0)
3332nn0zd 12424 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → (abs‘(⌊‘(𝐴 + (1 / 2)))) ∈ ℤ)
34 peano2zm 12363 . . . . 5 ((abs‘(⌊‘(𝐴 + (1 / 2)))) ∈ ℤ → ((abs‘(⌊‘(𝐴 + (1 / 2)))) − 1) ∈ ℤ)
3533, 34syl 17 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → ((abs‘(⌊‘(𝐴 + (1 / 2)))) − 1) ∈ ℤ)
36 flge 13525 . . . 4 (((abs‘𝐴) ∈ ℝ ∧ ((abs‘(⌊‘(𝐴 + (1 / 2)))) − 1) ∈ ℤ) → (((abs‘(⌊‘(𝐴 + (1 / 2)))) − 1) ≤ (abs‘𝐴) ↔ ((abs‘(⌊‘(𝐴 + (1 / 2)))) − 1) ≤ (⌊‘(abs‘𝐴))))
3711, 35, 36syl2anc 584 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → (((abs‘(⌊‘(𝐴 + (1 / 2)))) − 1) ≤ (abs‘𝐴) ↔ ((abs‘(⌊‘(𝐴 + (1 / 2)))) − 1) ≤ (⌊‘(abs‘𝐴))))
3829, 37mpbid 231 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → ((abs‘(⌊‘(𝐴 + (1 / 2)))) − 1) ≤ (⌊‘(abs‘𝐴)))
39 reflcl 13516 . . . 4 ((abs‘𝐴) ∈ ℝ → (⌊‘(abs‘𝐴)) ∈ ℝ)
4011, 39syl 17 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘(abs‘𝐴)) ∈ ℝ)
418, 13, 40lesubaddd 11572 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → (((abs‘(⌊‘(𝐴 + (1 / 2)))) − 1) ≤ (⌊‘(abs‘𝐴)) ↔ (abs‘(⌊‘(𝐴 + (1 / 2)))) ≤ ((⌊‘(abs‘𝐴)) + 1)))
4238, 41mpbid 231 1 (𝐴 ∈ ℝ → (abs‘(⌊‘(𝐴 + (1 / 2)))) ≤ ((⌊‘(abs‘𝐴)) + 1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wcel 2106   class class class wbr 5074  cfv 6433  (class class class)co 7275  cc 10869  cr 10870  1c1 10872   + caddc 10874  cle 11010  cmin 11205   / cdiv 11632  2c2 12028  0cn0 12233  cz 12319  cfl 13510  abscabs 14945
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-sup 9201  df-inf 9202  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-rp 12731  df-fl 13512  df-seq 13722  df-exp 13783  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator