Theorem absrdbnd 15265

Description: Bound on the absolute value of a real number rounded to the nearest integer. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 14-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
absrdbnd	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (abs‘(⌊‘(𝐴 + (1 / 2)))) ≤ ((⌊‘(abs‘𝐴)) + 1))

Proof of Theorem absrdbnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		halfre 12354	. . . . . . . 8 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ
2		readdcl 11109	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ) → (𝐴 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
3	1, 2	mpan2 691	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
4		reflcl 13716	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 + (1 / 2)) ∈ ℝ → (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ∈ ℝ)
5	3, 4	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ∈ ℝ)
6	5	recnd 11160	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ∈ ℂ)
7		abscl 15201	. . . . 5 ⊢ ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ∈ ℂ → (abs‘(⌊‘(𝐴 + (1 / 2)))) ∈ ℝ)
8	6, 7	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (abs‘(⌊‘(𝐴 + (1 / 2)))) ∈ ℝ)
9		recn 11116	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
10		abscl 15201	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
11	9, 10	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
12		1re 11132	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ
13	12	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 1 ∈ ℝ)
14	8, 11	resubcld 11565	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((abs‘(⌊‘(𝐴 + (1 / 2)))) − (abs‘𝐴)) ∈ ℝ)
15		resubcl 11445	. . . . . . . 8 ⊢ (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴) ∈ ℝ)
16	5, 15	mpancom 688	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴) ∈ ℝ)
17	16	recnd 11160	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴) ∈ ℂ)
18		abscl 15201	. . . . . 6 ⊢ (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴) ∈ ℂ → (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)) ∈ ℝ)
19	17, 18	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)) ∈ ℝ)
20		abs2dif 15256	. . . . . 6 ⊢ (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((abs‘(⌊‘(𝐴 + (1 / 2)))) − (abs‘𝐴)) ≤ (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)))
21	6, 9, 20	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((abs‘(⌊‘(𝐴 + (1 / 2)))) − (abs‘𝐴)) ≤ (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)))
22	1	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (1 / 2) ∈ ℝ)
23		rddif 15264	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)) ≤ (1 / 2))
24		halflt1 12358	. . . . . . . 8 ⊢ (1 / 2) < 1
25	1, 12, 24	ltleii 11256	. . . . . . 7 ⊢ (1 / 2) ≤ 1
26	25	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (1 / 2) ≤ 1)
27	19, 22, 13, 23, 26	letrd 11290	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)) ≤ 1)
28	14, 19, 13, 21, 27	letrd 11290	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((abs‘(⌊‘(𝐴 + (1 / 2)))) − (abs‘𝐴)) ≤ 1)
29	8, 11, 13, 28	subled 11740	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((abs‘(⌊‘(𝐴 + (1 / 2)))) − 1) ≤ (abs‘𝐴))
30	3	flcld 13718	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ∈ ℤ)
31		nn0abscl 15235	. . . . . . 7 ⊢ ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ∈ ℤ → (abs‘(⌊‘(𝐴 + (1 / 2)))) ∈ ℕ0)
32	30, 31	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (abs‘(⌊‘(𝐴 + (1 / 2)))) ∈ ℕ0)
33	32	nn0zd 12513	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (abs‘(⌊‘(𝐴 + (1 / 2)))) ∈ ℤ)
34		peano2zm 12534	. . . . 5 ⊢ ((abs‘(⌊‘(𝐴 + (1 / 2)))) ∈ ℤ → ((abs‘(⌊‘(𝐴 + (1 / 2)))) − 1) ∈ ℤ)
35	33, 34	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((abs‘(⌊‘(𝐴 + (1 / 2)))) − 1) ∈ ℤ)
36		flge 13725	. . . 4 ⊢ (((abs‘𝐴) ∈ ℝ ∧ ((abs‘(⌊‘(𝐴 + (1 / 2)))) − 1) ∈ ℤ) → (((abs‘(⌊‘(𝐴 + (1 / 2)))) − 1) ≤ (abs‘𝐴) ↔ ((abs‘(⌊‘(𝐴 + (1 / 2)))) − 1) ≤ (⌊‘(abs‘𝐴))))
37	11, 35, 36	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (((abs‘(⌊‘(𝐴 + (1 / 2)))) − 1) ≤ (abs‘𝐴) ↔ ((abs‘(⌊‘(𝐴 + (1 / 2)))) − 1) ≤ (⌊‘(abs‘𝐴))))
38	29, 37	mpbid 232	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((abs‘(⌊‘(𝐴 + (1 / 2)))) − 1) ≤ (⌊‘(abs‘𝐴)))
39		reflcl 13716	. . . 4 ⊢ ((abs‘𝐴) ∈ ℝ → (⌊‘(abs‘𝐴)) ∈ ℝ)
40	11, 39	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘(abs‘𝐴)) ∈ ℝ)
41	8, 13, 40	lesubaddd 11734	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (((abs‘(⌊‘(𝐴 + (1 / 2)))) − 1) ≤ (⌊‘(abs‘𝐴)) ↔ (abs‘(⌊‘(𝐴 + (1 / 2)))) ≤ ((⌊‘(abs‘𝐴)) + 1)))
42	38, 41	mpbid 232	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (abs‘(⌊‘(𝐴 + (1 / 2)))) ≤ ((⌊‘(abs‘𝐴)) + 1))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5098  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  ℂcc 11024  ℝcr 11025  1c1 11027   + caddc 11029   ≤ cle 11167   − cmin 11364   / cdiv 11794  2c2 12200  ℕ₀cn0 12401  ℤcz 12488  ⌊cfl 13710  abscabs 15157

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103  ax-pre-sup 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-sup 9345  df-inf 9346  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-div 11795  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-n0 12402  df-z 12489  df-uz 12752  df-rp 12906  df-fl 13712  df-seq 13925  df-exp 13985  df-cj 15022  df-re 15023  df-im 15024  df-sqrt 15158  df-abs 15159

This theorem is referenced by: (None)