Theorem absrdbnd 15053

Description: Bound on the absolute value of a real number rounded to the nearest integer. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 14-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
absrdbnd	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (abs‘(⌊‘(𝐴 + (1 / 2)))) ≤ ((⌊‘(abs‘𝐴)) + 1))

Proof of Theorem absrdbnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		halfre 12187	. . . . . . . 8 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ
2		readdcl 10954	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ) → (𝐴 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
3	1, 2	mpan2 688	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
4		reflcl 13516	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 + (1 / 2)) ∈ ℝ → (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ∈ ℝ)
5	3, 4	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ∈ ℝ)
6	5	recnd 11003	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ∈ ℂ)
7		abscl 14990	. . . . 5 ⊢ ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ∈ ℂ → (abs‘(⌊‘(𝐴 + (1 / 2)))) ∈ ℝ)
8	6, 7	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (abs‘(⌊‘(𝐴 + (1 / 2)))) ∈ ℝ)
9		recn 10961	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
10		abscl 14990	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
11	9, 10	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
12		1re 10975	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ
13	12	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 1 ∈ ℝ)
14	8, 11	resubcld 11403	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((abs‘(⌊‘(𝐴 + (1 / 2)))) − (abs‘𝐴)) ∈ ℝ)
15		resubcl 11285	. . . . . . . 8 ⊢ (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴) ∈ ℝ)
16	5, 15	mpancom 685	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴) ∈ ℝ)
17	16	recnd 11003	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴) ∈ ℂ)
18		abscl 14990	. . . . . 6 ⊢ (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴) ∈ ℂ → (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)) ∈ ℝ)
19	17, 18	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)) ∈ ℝ)
20		abs2dif 15044	. . . . . 6 ⊢ (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((abs‘(⌊‘(𝐴 + (1 / 2)))) − (abs‘𝐴)) ≤ (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)))
21	6, 9, 20	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((abs‘(⌊‘(𝐴 + (1 / 2)))) − (abs‘𝐴)) ≤ (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)))
22	1	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (1 / 2) ∈ ℝ)
23		rddif 15052	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)) ≤ (1 / 2))
24		halflt1 12191	. . . . . . . 8 ⊢ (1 / 2) < 1
25	1, 12, 24	ltleii 11098	. . . . . . 7 ⊢ (1 / 2) ≤ 1
26	25	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (1 / 2) ≤ 1)
27	19, 22, 13, 23, 26	letrd 11132	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)) ≤ 1)
28	14, 19, 13, 21, 27	letrd 11132	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((abs‘(⌊‘(𝐴 + (1 / 2)))) − (abs‘𝐴)) ≤ 1)
29	8, 11, 13, 28	subled 11578	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((abs‘(⌊‘(𝐴 + (1 / 2)))) − 1) ≤ (abs‘𝐴))
30	3	flcld 13518	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ∈ ℤ)
31		nn0abscl 15024	. . . . . . 7 ⊢ ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ∈ ℤ → (abs‘(⌊‘(𝐴 + (1 / 2)))) ∈ ℕ0)
32	30, 31	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (abs‘(⌊‘(𝐴 + (1 / 2)))) ∈ ℕ0)
33	32	nn0zd 12424	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (abs‘(⌊‘(𝐴 + (1 / 2)))) ∈ ℤ)
34		peano2zm 12363	. . . . 5 ⊢ ((abs‘(⌊‘(𝐴 + (1 / 2)))) ∈ ℤ → ((abs‘(⌊‘(𝐴 + (1 / 2)))) − 1) ∈ ℤ)
35	33, 34	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((abs‘(⌊‘(𝐴 + (1 / 2)))) − 1) ∈ ℤ)
36		flge 13525	. . . 4 ⊢ (((abs‘𝐴) ∈ ℝ ∧ ((abs‘(⌊‘(𝐴 + (1 / 2)))) − 1) ∈ ℤ) → (((abs‘(⌊‘(𝐴 + (1 / 2)))) − 1) ≤ (abs‘𝐴) ↔ ((abs‘(⌊‘(𝐴 + (1 / 2)))) − 1) ≤ (⌊‘(abs‘𝐴))))
37	11, 35, 36	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (((abs‘(⌊‘(𝐴 + (1 / 2)))) − 1) ≤ (abs‘𝐴) ↔ ((abs‘(⌊‘(𝐴 + (1 / 2)))) − 1) ≤ (⌊‘(abs‘𝐴))))
38	29, 37	mpbid 231	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((abs‘(⌊‘(𝐴 + (1 / 2)))) − 1) ≤ (⌊‘(abs‘𝐴)))
39		reflcl 13516	. . . 4 ⊢ ((abs‘𝐴) ∈ ℝ → (⌊‘(abs‘𝐴)) ∈ ℝ)
40	11, 39	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘(abs‘𝐴)) ∈ ℝ)
41	8, 13, 40	lesubaddd 11572	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (((abs‘(⌊‘(𝐴 + (1 / 2)))) − 1) ≤ (⌊‘(abs‘𝐴)) ↔ (abs‘(⌊‘(𝐴 + (1 / 2)))) ≤ ((⌊‘(abs‘𝐴)) + 1)))
42	38, 41	mpbid 231	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (abs‘(⌊‘(𝐴 + (1 / 2)))) ≤ ((⌊‘(abs‘𝐴)) + 1))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5074  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  ℂcc 10869  ℝcr 10870  1c1 10872   + caddc 10874   ≤ cle 11010   − cmin 11205   / cdiv 11632  2c2 12028  ℕ₀cn0 12233  ℤcz 12319  ⌊cfl 13510  abscabs 14945

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-sup 9201  df-inf 9202  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-rp 12731  df-fl 13512  df-seq 13722  df-exp 13783  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947

This theorem is referenced by: (None)