MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  absrdbnd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem absrdbnd 15377
Description: Bound on the absolute value of a real number rounded to the nearest integer. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 14-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
absrdbnd (𝐴 ∈ ℝ → (abs‘(⌊‘(𝐴 + (1 / 2)))) ≤ ((⌊‘(abs‘𝐴)) + 1))

Proof of Theorem absrdbnd
StepHypRef Expression
1 halfre 12478 . . . . . . . 8 (1 / 2) ∈ ℝ
2 readdcl 11236 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ) → (𝐴 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
31, 2mpan2 691 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
4 reflcl 13833 . . . . . . 7 ((𝐴 + (1 / 2)) ∈ ℝ → (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ∈ ℝ)
53, 4syl 17 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ∈ ℝ)
65recnd 11287 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ∈ ℂ)
7 abscl 15314 . . . . 5 ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ∈ ℂ → (abs‘(⌊‘(𝐴 + (1 / 2)))) ∈ ℝ)
86, 7syl 17 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → (abs‘(⌊‘(𝐴 + (1 / 2)))) ∈ ℝ)
9 recn 11243 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
10 abscl 15314 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
119, 10syl 17 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
12 1re 11259 . . . . 5 1 ∈ ℝ
1312a1i 11 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → 1 ∈ ℝ)
148, 11resubcld 11689 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → ((abs‘(⌊‘(𝐴 + (1 / 2)))) − (abs‘𝐴)) ∈ ℝ)
15 resubcl 11571 . . . . . . . 8 (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴) ∈ ℝ)
165, 15mpancom 688 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴) ∈ ℝ)
1716recnd 11287 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴) ∈ ℂ)
18 abscl 15314 . . . . . 6 (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴) ∈ ℂ → (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)) ∈ ℝ)
1917, 18syl 17 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)) ∈ ℝ)
20 abs2dif 15368 . . . . . 6 (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((abs‘(⌊‘(𝐴 + (1 / 2)))) − (abs‘𝐴)) ≤ (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)))
216, 9, 20syl2anc 584 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → ((abs‘(⌊‘(𝐴 + (1 / 2)))) − (abs‘𝐴)) ≤ (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)))
221a1i 11 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → (1 / 2) ∈ ℝ)
23 rddif 15376 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)) ≤ (1 / 2))
24 halflt1 12482 . . . . . . . 8 (1 / 2) < 1
251, 12, 24ltleii 11382 . . . . . . 7 (1 / 2) ≤ 1
2625a1i 11 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → (1 / 2) ≤ 1)
2719, 22, 13, 23, 26letrd 11416 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)) ≤ 1)
2814, 19, 13, 21, 27letrd 11416 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → ((abs‘(⌊‘(𝐴 + (1 / 2)))) − (abs‘𝐴)) ≤ 1)
298, 11, 13, 28subled 11864 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → ((abs‘(⌊‘(𝐴 + (1 / 2)))) − 1) ≤ (abs‘𝐴))
303flcld 13835 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ∈ ℤ)
31 nn0abscl 15348 . . . . . . 7 ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ∈ ℤ → (abs‘(⌊‘(𝐴 + (1 / 2)))) ∈ ℕ0)
3230, 31syl 17 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → (abs‘(⌊‘(𝐴 + (1 / 2)))) ∈ ℕ0)
3332nn0zd 12637 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → (abs‘(⌊‘(𝐴 + (1 / 2)))) ∈ ℤ)
34 peano2zm 12658 . . . . 5 ((abs‘(⌊‘(𝐴 + (1 / 2)))) ∈ ℤ → ((abs‘(⌊‘(𝐴 + (1 / 2)))) − 1) ∈ ℤ)
3533, 34syl 17 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → ((abs‘(⌊‘(𝐴 + (1 / 2)))) − 1) ∈ ℤ)
36 flge 13842 . . . 4 (((abs‘𝐴) ∈ ℝ ∧ ((abs‘(⌊‘(𝐴 + (1 / 2)))) − 1) ∈ ℤ) → (((abs‘(⌊‘(𝐴 + (1 / 2)))) − 1) ≤ (abs‘𝐴) ↔ ((abs‘(⌊‘(𝐴 + (1 / 2)))) − 1) ≤ (⌊‘(abs‘𝐴))))
3711, 35, 36syl2anc 584 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → (((abs‘(⌊‘(𝐴 + (1 / 2)))) − 1) ≤ (abs‘𝐴) ↔ ((abs‘(⌊‘(𝐴 + (1 / 2)))) − 1) ≤ (⌊‘(abs‘𝐴))))
3829, 37mpbid 232 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → ((abs‘(⌊‘(𝐴 + (1 / 2)))) − 1) ≤ (⌊‘(abs‘𝐴)))
39 reflcl 13833 . . . 4 ((abs‘𝐴) ∈ ℝ → (⌊‘(abs‘𝐴)) ∈ ℝ)
4011, 39syl 17 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘(abs‘𝐴)) ∈ ℝ)
418, 13, 40lesubaddd 11858 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → (((abs‘(⌊‘(𝐴 + (1 / 2)))) − 1) ≤ (⌊‘(abs‘𝐴)) ↔ (abs‘(⌊‘(𝐴 + (1 / 2)))) ≤ ((⌊‘(abs‘𝐴)) + 1)))
4238, 41mpbid 232 1 (𝐴 ∈ ℝ → (abs‘(⌊‘(𝐴 + (1 / 2)))) ≤ ((⌊‘(abs‘𝐴)) + 1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wcel 2106   class class class wbr 5148  cfv 6563  (class class class)co 7431  cc 11151  cr 11152  1c1 11154   + caddc 11156  cle 11294  cmin 11490   / cdiv 11918  2c2 12319  0cn0 12524  cz 12611  cfl 13827  abscabs 15270
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-sup 9480  df-inf 9481  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-fl 13829  df-seq 14040  df-exp 14100  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator