Theorem gausslemma2dlem0d 26507

Description: Auxiliary lemma 4 for gausslemma2d 26522. (Contributed by AV, 9-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
gausslemma2dlem0.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
gausslemma2dlem0.m	⊢ 𝑀 = (⌊‘(𝑃 / 4))

Assertion

Ref	Expression
gausslemma2dlem0d	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)

Proof of Theorem gausslemma2dlem0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gausslemma2dlem0.m	. 2 ⊢ 𝑀 = (⌊‘(𝑃 / 4))
2		gausslemma2dlem0.p	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
3	2	gausslemma2dlem0a 26504	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
4		nnre 11980	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℝ)
5		4re 12057	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℝ
6	5	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → 4 ∈ ℝ)
7		4ne0 12081	. . . . . 6 ⊢ 4 ≠ 0
8	7	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → 4 ≠ 0)
9	4, 6, 8	redivcld 11803	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → (𝑃 / 4) ∈ ℝ)
10		nnnn0 12240	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℕ0)
11	10	nn0ge0d 12296	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → 0 ≤ 𝑃)
12		4pos 12080	. . . . . . 7 ⊢ 0 < 4
13	5, 12	pm3.2i 471	. . . . . 6 ⊢ (4 ∈ ℝ ∧ 0 < 4)
14	13	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → (4 ∈ ℝ ∧ 0 < 4))
15		divge0 11844	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑃) ∧ (4 ∈ ℝ ∧ 0 < 4)) → 0 ≤ (𝑃 / 4))
16	4, 11, 14, 15	syl21anc 835	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → 0 ≤ (𝑃 / 4))
17	9, 16	jca 512	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → ((𝑃 / 4) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑃 / 4)))
18		flge0nn0 13540	. . 3 ⊢ (((𝑃 / 4) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑃 / 4)) → (⌊‘(𝑃 / 4)) ∈ ℕ0)
19	3, 17, 18	3syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝑃 / 4)) ∈ ℕ0)
20	1, 19	eqeltrid 2843	1 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943   ∖ cdif 3884  {csn 4561   class class class wbr 5074  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  ℝcr 10870  0cc0 10871   < clt 11009   ≤ cle 11010   / cdiv 11632  ℕcn 11973  2c2 12028  4c4 12030  ℕ₀cn0 12233  ⌊cfl 13510  ℙcprime 16376

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-2o 8298  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-sup 9201  df-inf 9202  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-rp 12731  df-fl 13512  df-seq 13722  df-exp 13783  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-dvds 15964  df-prm 16377

This theorem is referenced by:  gausslemma2dlem0h  26511  gausslemma2dlem2  26515  gausslemma2dlem3  26516  gausslemma2dlem4  26517  gausslemma2dlem6  26520