Theorem gausslemma2dlem0d 27380

Description: Auxiliary lemma 4 for gausslemma2d 27395. (Contributed by AV, 9-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
gausslemma2dlem0.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
gausslemma2dlem0.m	⊢ 𝑀 = (⌊‘(𝑃 / 4))

Assertion

Ref	Expression
gausslemma2dlem0d	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)

Proof of Theorem gausslemma2dlem0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gausslemma2dlem0.m	. 2 ⊢ 𝑀 = (⌊‘(𝑃 / 4))
2		gausslemma2dlem0.p	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
3	2	gausslemma2dlem0a 27377	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
4		nnre 12266	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℝ)
5		4re 12343	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℝ
6	5	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → 4 ∈ ℝ)
7		4ne0 12367	. . . . . 6 ⊢ 4 ≠ 0
8	7	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → 4 ≠ 0)
9	4, 6, 8	redivcld 12089	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → (𝑃 / 4) ∈ ℝ)
10		nnnn0 12526	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℕ0)
11	10	nn0ge0d 12582	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → 0 ≤ 𝑃)
12		4pos 12366	. . . . . . 7 ⊢ 0 < 4
13	5, 12	pm3.2i 469	. . . . . 6 ⊢ (4 ∈ ℝ ∧ 0 < 4)
14	13	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → (4 ∈ ℝ ∧ 0 < 4))
15		divge0 12130	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑃) ∧ (4 ∈ ℝ ∧ 0 < 4)) → 0 ≤ (𝑃 / 4))
16	4, 11, 14, 15	syl21anc 836	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → 0 ≤ (𝑃 / 4))
17	9, 16	jca 510	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → ((𝑃 / 4) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑃 / 4)))
18		flge0nn0 13835	. . 3 ⊢ (((𝑃 / 4) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑃 / 4)) → (⌊‘(𝑃 / 4)) ∈ ℕ0)
19	3, 17, 18	3syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝑃 / 4)) ∈ ℕ0)
20	1, 19	eqeltrid 2829	1 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2929   ∖ cdif 3943  {csn 4632   class class class wbr 5152  ‘cfv 6553  (class class class)co 7423  ℝcr 11153  0cc0 11154   < clt 11294   ≤ cle 11295   / cdiv 11917  ℕcn 12259  2c2 12314  4c4 12316  ℕ₀cn0 12519  ⌊cfl 13805  ℙcprime 16667

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5368  ax-pr 5432  ax-un 7745  ax-cnex 11210  ax-resscn 11211  ax-1cn 11212  ax-icn 11213  ax-addcl 11214  ax-addrcl 11215  ax-mulcl 11216  ax-mulrcl 11217  ax-mulcom 11218  ax-addass 11219  ax-mulass 11220  ax-distr 11221  ax-i2m1 11222  ax-1ne0 11223  ax-1rid 11224  ax-rnegex 11225  ax-rrecex 11226  ax-cnre 11227  ax-pre-lttri 11228  ax-pre-lttrn 11229  ax-pre-ltadd 11230  ax-pre-mulgt0 11231  ax-pre-sup 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3966  df-nul 4325  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5579  df-eprel 5585  df-po 5593  df-so 5594  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5687  df-rel 5688  df-cnv 5689  df-co 5690  df-dm 5691  df-rn 5692  df-res 5693  df-ima 5694  df-pred 6311  df-ord 6378  df-on 6379  df-lim 6380  df-suc 6381  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7379  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7876  df-2nd 8003  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-1o 8495  df-2o 8496  df-er 8733  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-sup 9481  df-inf 9482  df-pnf 11296  df-mnf 11297  df-xr 11298  df-ltxr 11299  df-le 11300  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11918  df-nn 12260  df-2 12322  df-3 12323  df-4 12324  df-n0 12520  df-z 12606  df-uz 12870  df-rp 13024  df-fl 13807  df-seq 14017  df-exp 14077  df-cj 15099  df-re 15100  df-im 15101  df-sqrt 15235  df-abs 15236  df-dvds 16252  df-prm 16668

This theorem is referenced by:  gausslemma2dlem0h  27384  gausslemma2dlem2  27388  gausslemma2dlem3  27389  gausslemma2dlem4  27390  gausslemma2dlem6  27393