MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gausslemma2dlem0d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gausslemma2dlem0d 27380
Description: Auxiliary lemma 4 for gausslemma2d 27395. (Contributed by AV, 9-Jul-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
gausslemma2dlem0.p (𝜑𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
gausslemma2dlem0.m 𝑀 = (⌊‘(𝑃 / 4))
Assertion
Ref Expression
gausslemma2dlem0d (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)

Proof of Theorem gausslemma2dlem0d
StepHypRef Expression
1 gausslemma2dlem0.m . 2 𝑀 = (⌊‘(𝑃 / 4))
2 gausslemma2dlem0.p . . . 4 (𝜑𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
32gausslemma2dlem0a 27377 . . 3 (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
4 nnre 12266 . . . . 5 (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℝ)
5 4re 12343 . . . . . 6 4 ∈ ℝ
65a1i 11 . . . . 5 (𝑃 ∈ ℕ → 4 ∈ ℝ)
7 4ne0 12367 . . . . . 6 4 ≠ 0
87a1i 11 . . . . 5 (𝑃 ∈ ℕ → 4 ≠ 0)
94, 6, 8redivcld 12089 . . . 4 (𝑃 ∈ ℕ → (𝑃 / 4) ∈ ℝ)
10 nnnn0 12526 . . . . . 6 (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℕ0)
1110nn0ge0d 12582 . . . . 5 (𝑃 ∈ ℕ → 0 ≤ 𝑃)
12 4pos 12366 . . . . . . 7 0 < 4
135, 12pm3.2i 469 . . . . . 6 (4 ∈ ℝ ∧ 0 < 4)
1413a1i 11 . . . . 5 (𝑃 ∈ ℕ → (4 ∈ ℝ ∧ 0 < 4))
15 divge0 12130 . . . . 5 (((𝑃 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑃) ∧ (4 ∈ ℝ ∧ 0 < 4)) → 0 ≤ (𝑃 / 4))
164, 11, 14, 15syl21anc 836 . . . 4 (𝑃 ∈ ℕ → 0 ≤ (𝑃 / 4))
179, 16jca 510 . . 3 (𝑃 ∈ ℕ → ((𝑃 / 4) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑃 / 4)))
18 flge0nn0 13835 . . 3 (((𝑃 / 4) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑃 / 4)) → (⌊‘(𝑃 / 4)) ∈ ℕ0)
193, 17, 183syl 18 . 2 (𝜑 → (⌊‘(𝑃 / 4)) ∈ ℕ0)
201, 19eqeltrid 2829 1 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2929  cdif 3943  {csn 4632   class class class wbr 5152  cfv 6553  (class class class)co 7423  cr 11153  0cc0 11154   < clt 11294  cle 11295   / cdiv 11917  cn 12259  2c2 12314  4c4 12316  0cn0 12519  cfl 13805  cprime 16667
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5368  ax-pr 5432  ax-un 7745  ax-cnex 11210  ax-resscn 11211  ax-1cn 11212  ax-icn 11213  ax-addcl 11214  ax-addrcl 11215  ax-mulcl 11216  ax-mulrcl 11217  ax-mulcom 11218  ax-addass 11219  ax-mulass 11220  ax-distr 11221  ax-i2m1 11222  ax-1ne0 11223  ax-1rid 11224  ax-rnegex 11225  ax-rrecex 11226  ax-cnre 11227  ax-pre-lttri 11228  ax-pre-lttrn 11229  ax-pre-ltadd 11230  ax-pre-mulgt0 11231  ax-pre-sup 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3966  df-nul 4325  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5579  df-eprel 5585  df-po 5593  df-so 5594  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5687  df-rel 5688  df-cnv 5689  df-co 5690  df-dm 5691  df-rn 5692  df-res 5693  df-ima 5694  df-pred 6311  df-ord 6378  df-on 6379  df-lim 6380  df-suc 6381  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7379  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7876  df-2nd 8003  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-1o 8495  df-2o 8496  df-er 8733  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-sup 9481  df-inf 9482  df-pnf 11296  df-mnf 11297  df-xr 11298  df-ltxr 11299  df-le 11300  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11918  df-nn 12260  df-2 12322  df-3 12323  df-4 12324  df-n0 12520  df-z 12606  df-uz 12870  df-rp 13024  df-fl 13807  df-seq 14017  df-exp 14077  df-cj 15099  df-re 15100  df-im 15101  df-sqrt 15235  df-abs 15236  df-dvds 16252  df-prm 16668
This theorem is referenced by:  gausslemma2dlem0h  27384  gausslemma2dlem2  27388  gausslemma2dlem3  27389  gausslemma2dlem4  27390  gausslemma2dlem6  27393
  Copyright terms: Public domain W3C validator