Theorem nnoddn2prm 15977

Description: A prime not equal to 2 is an odd positive integer. (Contributed by AV, 28-Jun-2021.)

Assertion

Ref	Expression
nnoddn2prm	⊢ (𝑁 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁))

Proof of Theorem nnoddn2prm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldifi 4024	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑁 ∈ ℙ)
2		prmnn 15847	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℙ → 𝑁 ∈ ℕ)
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑁 ∈ ℕ)
4		oddprm 15976	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ)
5		nnz 11853	. . . 4 ⊢ (((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℤ)
6		nnz 11853	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
7		oddm1d2 15542	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝑁 ↔ ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℤ))
8	6, 7	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (¬ 2 ∥ 𝑁 ↔ ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℤ))
9	5, 8	syl5ibrcom 248	. . 3 ⊢ (((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ → (𝑁 ∈ ℕ → ¬ 2 ∥ 𝑁))
10	4, 9	syl 17	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝑁 ∈ ℕ → ¬ 2 ∥ 𝑁))
11	3, 10	jcai 517	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∈ wcel 2081   ∖ cdif 3856  {csn 4472   class class class wbr 4962  (class class class)co 7016  1c1 10384   − cmin 10717   / cdiv 11145  ℕcn 11486  2c2 11540  ℤcz 11829   ∥ cdvds 15440  ℙcprime 15844

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pow 5157  ax-pr 5221  ax-un 7319  ax-cnex 10439  ax-resscn 10440  ax-1cn 10441  ax-icn 10442  ax-addcl 10443  ax-addrcl 10444  ax-mulcl 10445  ax-mulrcl 10446  ax-mulcom 10447  ax-addass 10448  ax-mulass 10449  ax-distr 10450  ax-i2m1 10451  ax-1ne0 10452  ax-1rid 10453  ax-rnegex 10454  ax-rrecex 10455  ax-cnre 10456  ax-pre-lttri 10457  ax-pre-lttrn 10458  ax-pre-ltadd 10459  ax-pre-mulgt0 10460  ax-pre-sup 10461

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rmo 3113  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-csb 3812  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4212  df-if 4382  df-pw 4455  df-sn 4473  df-pr 4475  df-tp 4477  df-op 4479  df-uni 4746  df-iun 4827  df-br 4963  df-opab 5025  df-mpt 5042  df-tr 5064  df-id 5348  df-eprel 5353  df-po 5362  df-so 5363  df-fr 5402  df-we 5404  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-co 5452  df-dm 5453  df-rn 5454  df-res 5455  df-ima 5456  df-pred 6023  df-ord 6069  df-on 6070  df-lim 6071  df-suc 6072  df-iota 6189  df-fun 6227  df-fn 6228  df-f 6229  df-f1 6230  df-fo 6231  df-f1o 6232  df-fv 6233  df-riota 6977  df-ov 7019  df-oprab 7020  df-mpo 7021  df-om 7437  df-2nd 7546  df-wrecs 7798  df-recs 7860  df-rdg 7898  df-1o 7953  df-2o 7954  df-er 8139  df-en 8358  df-dom 8359  df-sdom 8360  df-fin 8361  df-sup 8752  df-pnf 10523  df-mnf 10524  df-xr 10525  df-ltxr 10526  df-le 10527  df-sub 10719  df-neg 10720  df-div 11146  df-nn 11487  df-2 11548  df-3 11549  df-n0 11746  df-z 11830  df-uz 12094  df-rp 12240  df-seq 13220  df-exp 13280  df-cj 14292  df-re 14293  df-im 14294  df-sqrt 14428  df-abs 14429  df-dvds 15441  df-prm 15845

This theorem is referenced by:  oddn2prm  15978  gausslemma2dlem0a  25614  gausslemma2dlem0b  25615  gausslemma2dlem0e  25618  gausslemma2dlem1a  25623  gausslemma2dlem5  25629  gausslemma2dlem6  25630  2lgsoddprm  25674