MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnoddn2prm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nnoddn2prm 15736
Description: A prime not equal to 2 is an odd positive integer. (Contributed by AV, 28-Jun-2021.)
Assertion
Ref Expression
nnoddn2prm (𝑁 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁))

Proof of Theorem nnoddn2prm
StepHypRef Expression
1 eldifi 3938 . . 3 (𝑁 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑁 ∈ ℙ)
2 prmnn 15609 . . 3 (𝑁 ∈ ℙ → 𝑁 ∈ ℕ)
31, 2syl 17 . 2 (𝑁 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑁 ∈ ℕ)
4 oddprm 15735 . . 3 (𝑁 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ)
5 nnz 11668 . . . 4 (((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℤ)
6 nnz 11668 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
7 oddm1d2 15307 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝑁 ↔ ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℤ))
86, 7syl 17 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (¬ 2 ∥ 𝑁 ↔ ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℤ))
95, 8syl5ibrcom 238 . . 3 (((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ → (𝑁 ∈ ℕ → ¬ 2 ∥ 𝑁))
104, 9syl 17 . 2 (𝑁 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝑁 ∈ ℕ → ¬ 2 ∥ 𝑁))
113, 10jcai 508 1 (𝑁 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 197  wa 384  wcel 2157  cdif 3773  {csn 4377   class class class wbr 4851  (class class class)co 6877  1c1 10225  cmin 10554   / cdiv 10972  cn 11308  2c2 11359  cz 11646  cdvds 15206  cprime 15606
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2186  ax-11 2202  ax-12 2215  ax-13 2422  ax-ext 2791  ax-sep 4982  ax-nul 4990  ax-pow 5042  ax-pr 5103  ax-un 7182  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301  ax-pre-sup 10302
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2062  df-mo 2635  df-eu 2638  df-clab 2800  df-cleq 2806  df-clel 2809  df-nfc 2944  df-ne 2986  df-nel 3089  df-ral 3108  df-rex 3109  df-reu 3110  df-rmo 3111  df-rab 3112  df-v 3400  df-sbc 3641  df-csb 3736  df-dif 3779  df-un 3781  df-in 3783  df-ss 3790  df-pss 3792  df-nul 4124  df-if 4287  df-pw 4360  df-sn 4378  df-pr 4380  df-tp 4382  df-op 4384  df-uni 4638  df-iun 4721  df-br 4852  df-opab 4914  df-mpt 4931  df-tr 4954  df-id 5226  df-eprel 5231  df-po 5239  df-so 5240  df-fr 5277  df-we 5279  df-xp 5324  df-rel 5325  df-cnv 5326  df-co 5327  df-dm 5328  df-rn 5329  df-res 5330  df-ima 5331  df-pred 5900  df-ord 5946  df-on 5947  df-lim 5948  df-suc 5949  df-iota 6067  df-fun 6106  df-fn 6107  df-f 6108  df-f1 6109  df-fo 6110  df-f1o 6111  df-fv 6112  df-riota 6838  df-ov 6880  df-oprab 6881  df-mpt2 6882  df-om 7299  df-2nd 7402  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-1o 7799  df-2o 7800  df-er 7982  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-fin 8199  df-sup 8590  df-pnf 10364  df-mnf 10365  df-xr 10366  df-ltxr 10367  df-le 10368  df-sub 10556  df-neg 10557  df-div 10973  df-nn 11309  df-2 11367  df-3 11368  df-n0 11563  df-z 11647  df-uz 11908  df-rp 12050  df-seq 13028  df-exp 13087  df-cj 14065  df-re 14066  df-im 14067  df-sqrt 14201  df-abs 14202  df-dvds 15207  df-prm 15607
This theorem is referenced by:  oddn2prm  15737  gausslemma2dlem0a  25301  gausslemma2dlem0b  25302  gausslemma2dlem0e  25305  gausslemma2dlem1a  25310  gausslemma2dlem5  25316  gausslemma2dlem6  25317  2lgsoddprm  25361
  Copyright terms: Public domain W3C validator