Theorem gausslemma2dlem0f 27697

Description: Auxiliary lemma 6 for gausslemma2d 27710. (Contributed by AV, 9-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
gausslemma2dlem0.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
gausslemma2dlem0.m	⊢ 𝑀 = (⌊‘(𝑃 / 4))
gausslemma2dlem0.h	⊢ 𝐻 = ((𝑃 − 1) / 2)

Assertion

Ref	Expression
gausslemma2dlem0f	⊢ (𝜑 → (𝑀 + 1) ≤ 𝐻)

Proof of Theorem gausslemma2dlem0f

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gausslemma2dlem0.p	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
2		eldifsn 4744	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ↔ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ≠ 2))
3		prm23ge5 17002	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3 ∨ 𝑃 ∈ (ℤ≥‘5)))
4		eqneqall 2966	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 = 2 → (𝑃 ≠ 2 → (𝑃 = 3 ∨ 𝑃 ∈ (ℤ≥‘5))))
5		orc 881	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 = 3 → (𝑃 = 3 ∨ 𝑃 ∈ (ℤ≥‘5)))
6	5	a1d 26	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 = 3 → (𝑃 ≠ 2 → (𝑃 = 3 ∨ 𝑃 ∈ (ℤ≥‘5))))
7		olc 882	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘5) → (𝑃 = 3 ∨ 𝑃 ∈ (ℤ≥‘5)))
8	7	a1d 26	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘5) → (𝑃 ≠ 2 → (𝑃 = 3 ∨ 𝑃 ∈ (ℤ≥‘5))))
9	4, 6, 8	3jaoi 1454	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3 ∨ 𝑃 ∈ (ℤ≥‘5)) → (𝑃 ≠ 2 → (𝑃 = 3 ∨ 𝑃 ∈ (ℤ≥‘5))))
10	3, 9	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 ≠ 2 → (𝑃 = 3 ∨ 𝑃 ∈ (ℤ≥‘5))))
11	10	imp 412	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ≠ 2) → (𝑃 = 3 ∨ 𝑃 ∈ (ℤ≥‘5)))
12	2, 11	sylbi 220	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝑃 = 3 ∨ 𝑃 ∈ (ℤ≥‘5)))
13		fldiv4p1lem1div2 13982	. . 3 ⊢ ((𝑃 = 3 ∨ 𝑃 ∈ (ℤ≥‘5)) → ((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1) ≤ ((𝑃 − 1) / 2))
14	1, 12, 13	3syl 19	. 2 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1) ≤ ((𝑃 − 1) / 2))
15		gausslemma2dlem0.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = (⌊‘(𝑃 / 4))
16	15	oveq1i 7434	. 2 ⊢ (𝑀 + 1) = ((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1)
17		gausslemma2dlem0.h	. 2 ⊢ 𝐻 = ((𝑃 − 1) / 2)
18	14, 16, 17	3brtr4g 5138	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + 1) ≤ 𝐻)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∨ w3o 1102   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955   ∖ cdif 4044  {csn 4584   class class class wbr 5102  ‘cfv 6543  (class class class)co 7424  1c1 11208   + caddc 11210   ≤ cle 11351   − cmin 11548   / cdiv 11980  2c2 12404  3c3 12405  4c4 12406  5c5 12407  ℤ_≥cuz 12972  ⌊cfl 13937  ℙcprime 16855

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-cnex 11263  ax-resscn 11264  ax-1cn 11265  ax-icn 11266  ax-addcl 11267  ax-addrcl 11268  ax-mulcl 11269  ax-mulrcl 11270  ax-mulcom 11271  ax-addass 11272  ax-mulass 11273  ax-distr 11274  ax-i2m1 11275  ax-1ne0 11276  ax-1rid 11277  ax-rnegex 11278  ax-rrecex 11279  ax-cnre 11280  ax-pre-lttri 11281  ax-pre-lttrn 11282  ax-pre-ltadd 11283  ax-pre-mulgt0 11284  ax-pre-sup 11285

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7882  df-1st 8005  df-2nd 8006  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8387  df-rdg 8426  df-1o 8484  df-2o 8485  df-er 8725  df-en 8982  df-dom 8983  df-sdom 8984  df-fin 8985  df-sup 9441  df-inf 9442  df-pnf 11352  df-mnf 11353  df-xr 11354  df-ltxr 11355  df-le 11356  df-sub 11550  df-neg 11551  df-div 11981  df-nn 12343  df-2 12412  df-3 12413  df-4 12414  df-5 12415  df-6 12416  df-n0 12614  df-z 12701  df-uz 12973  df-rp 13128  df-fz 13647  df-fl 13939  df-seq 14152  df-exp 14212  df-cj 15275  df-re 15276  df-im 15277  df-sqrt 15411  df-abs 15412  df-dvds 16432  df-prm 16856

This theorem is used by:  gausslemma2dlem5  27707