Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gausslemma2dlem0f Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gausslemma2dlem0f 25619
 Description: Auxiliary lemma 6 for gausslemma2d 25632. (Contributed by AV, 9-Jul-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
gausslemma2dlem0.p (𝜑𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
gausslemma2dlem0.m 𝑀 = (⌊‘(𝑃 / 4))
gausslemma2dlem0.h 𝐻 = ((𝑃 − 1) / 2)
Assertion
Ref Expression
gausslemma2dlem0f (𝜑 → (𝑀 + 1) ≤ 𝐻)

Proof of Theorem gausslemma2dlem0f
StepHypRef Expression
1 gausslemma2dlem0.p . . 3 (𝜑𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
2 eldifsn 4626 . . . 4 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ↔ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ≠ 2))
3 prm23ge5 15981 . . . . . 6 (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3 ∨ 𝑃 ∈ (ℤ‘5)))
4 eqneqall 2995 . . . . . . 7 (𝑃 = 2 → (𝑃 ≠ 2 → (𝑃 = 3 ∨ 𝑃 ∈ (ℤ‘5))))
5 orc 862 . . . . . . . 8 (𝑃 = 3 → (𝑃 = 3 ∨ 𝑃 ∈ (ℤ‘5)))
65a1d 25 . . . . . . 7 (𝑃 = 3 → (𝑃 ≠ 2 → (𝑃 = 3 ∨ 𝑃 ∈ (ℤ‘5))))
7 olc 863 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ (ℤ‘5) → (𝑃 = 3 ∨ 𝑃 ∈ (ℤ‘5)))
87a1d 25 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ (ℤ‘5) → (𝑃 ≠ 2 → (𝑃 = 3 ∨ 𝑃 ∈ (ℤ‘5))))
94, 6, 83jaoi 1420 . . . . . 6 ((𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3 ∨ 𝑃 ∈ (ℤ‘5)) → (𝑃 ≠ 2 → (𝑃 = 3 ∨ 𝑃 ∈ (ℤ‘5))))
103, 9syl 17 . . . . 5 (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 ≠ 2 → (𝑃 = 3 ∨ 𝑃 ∈ (ℤ‘5))))
1110imp 407 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ≠ 2) → (𝑃 = 3 ∨ 𝑃 ∈ (ℤ‘5)))
122, 11sylbi 218 . . 3 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝑃 = 3 ∨ 𝑃 ∈ (ℤ‘5)))
13 fldiv4p1lem1div2 13055 . . 3 ((𝑃 = 3 ∨ 𝑃 ∈ (ℤ‘5)) → ((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1) ≤ ((𝑃 − 1) / 2))
141, 12, 133syl 18 . 2 (𝜑 → ((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1) ≤ ((𝑃 − 1) / 2))
15 gausslemma2dlem0.m . . 3 𝑀 = (⌊‘(𝑃 / 4))
1615oveq1i 7026 . 2 (𝑀 + 1) = ((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1)
17 gausslemma2dlem0.h . 2 𝐻 = ((𝑃 − 1) / 2)
1814, 16, 173brtr4g 4996 1 (𝜑 → (𝑀 + 1) ≤ 𝐻)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∨ wo 842   ∨ w3o 1079   = wceq 1522   ∈ wcel 2081   ≠ wne 2984   ∖ cdif 3856  {csn 4472   class class class wbr 4962  ‘cfv 6225  (class class class)co 7016  1c1 10384   + caddc 10386   ≤ cle 10522   − cmin 10717   / cdiv 11145  2c2 11540  3c3 11541  4c4 11542  5c5 11543  ℤ≥cuz 12093  ⌊cfl 13010  ℙcprime 15844 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pow 5157  ax-pr 5221  ax-un 7319  ax-cnex 10439  ax-resscn 10440  ax-1cn 10441  ax-icn 10442  ax-addcl 10443  ax-addrcl 10444  ax-mulcl 10445  ax-mulrcl 10446  ax-mulcom 10447  ax-addass 10448  ax-mulass 10449  ax-distr 10450  ax-i2m1 10451  ax-1ne0 10452  ax-1rid 10453  ax-rnegex 10454  ax-rrecex 10455  ax-cnre 10456  ax-pre-lttri 10457  ax-pre-lttrn 10458  ax-pre-ltadd 10459  ax-pre-mulgt0 10460  ax-pre-sup 10461 This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rmo 3113  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-csb 3812  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4212  df-if 4382  df-pw 4455  df-sn 4473  df-pr 4475  df-tp 4477  df-op 4479  df-uni 4746  df-iun 4827  df-br 4963  df-opab 5025  df-mpt 5042  df-tr 5064  df-id 5348  df-eprel 5353  df-po 5362  df-so 5363  df-fr 5402  df-we 5404  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-co 5452  df-dm 5453  df-rn 5454  df-res 5455  df-ima 5456  df-pred 6023  df-ord 6069  df-on 6070  df-lim 6071  df-suc 6072  df-iota 6189  df-fun 6227  df-fn 6228  df-f 6229  df-f1 6230  df-fo 6231  df-f1o 6232  df-fv 6233  df-riota 6977  df-ov 7019  df-oprab 7020  df-mpo 7021  df-om 7437  df-1st 7545  df-2nd 7546  df-wrecs 7798  df-recs 7860  df-rdg 7898  df-1o 7953  df-2o 7954  df-er 8139  df-en 8358  df-dom 8359  df-sdom 8360  df-fin 8361  df-sup 8752  df-inf 8753  df-pnf 10523  df-mnf 10524  df-xr 10525  df-ltxr 10526  df-le 10527  df-sub 10719  df-neg 10720  df-div 11146  df-nn 11487  df-2 11548  df-3 11549  df-4 11550  df-5 11551  df-6 11552  df-n0 11746  df-z 11830  df-uz 12094  df-rp 12240  df-fz 12743  df-fl 13012  df-seq 13220  df-exp 13280  df-cj 14292  df-re 14293  df-im 14294  df-sqrt 14428  df-abs 14429  df-dvds 15441  df-prm 15845 This theorem is referenced by:  gausslemma2dlem5  25629
 Copyright terms: Public domain W3C validator