Theorem gexdvds3 19556

Description: The exponent of a finite group divides the order (cardinality) of the group. Corollary of Lagrange's theorem for the order of a subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
gexcl2.1	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
gexcl2.2	⊢ 𝐸 = (gEx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
gexdvds3	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) → 𝐸 ∥ (♯‘𝑋))

Proof of Theorem gexdvds3

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gexcl2.1	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
2		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (od‘𝐺) = (od‘𝐺)
3	1, 2	oddvds2 19532	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ (♯‘𝑋))
4	3	3expa 1119	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ (♯‘𝑋))
5	4	ralrimiva 3130	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) → ∀𝑥 ∈ 𝑋 ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ (♯‘𝑋))
6		hashcl 14309	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ Fin → (♯‘𝑋) ∈ ℕ0)
7	6	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) → (♯‘𝑋) ∈ ℕ0)
8	7	nn0zd 12540	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) → (♯‘𝑋) ∈ ℤ)
9		gexcl2.2	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (gEx‘𝐺)
10	1, 9, 2	gexdvds2 19551	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝑋) ∈ ℤ) → (𝐸 ∥ (♯‘𝑋) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ (♯‘𝑋)))
11	8, 10	syldan 592	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) → (𝐸 ∥ (♯‘𝑋) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ (♯‘𝑋)))
12	5, 11	mpbird 257	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) → 𝐸 ∥ (♯‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052   class class class wbr 5086  ‘cfv 6492  Fincfn 8886  ℕ₀cn0 12428  ℤcz 12515  ♯chash 14283   ∥ cdvds 16212  Basecbs 17170  Grpcgrp 18900  odcod 19490  gExcgex 19491

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-inf2 9553  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-disj 5054  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-oadd 8402  df-omul 8403  df-er 8636  df-ec 8638  df-qs 8642  df-map 8768  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-sup 9348  df-inf 9349  df-oi 9418  df-card 9854  df-acn 9857  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-rp 12934  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-fl 13742  df-mod 13820  df-seq 13955  df-exp 14015  df-hash 14284  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-clim 15441  df-sum 15640  df-dvds 16213  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-ress 17192  df-plusg 17224  df-0g 17395  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-grp 18903  df-minusg 18904  df-sbg 18905  df-mulg 19035  df-subg 19090  df-eqg 19092  df-od 19494  df-gex 19495

This theorem is referenced by:  cyggex2  19863  pgpfac1lem3a  20044