Theorem gexdvds3 19651

Description: The exponent of a finite group divides the order (cardinality) of the group. Corollary of Lagrange's theorem for the order of a subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
gexcl2.1	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
gexcl2.2	⊢ 𝐸 = (gEx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
gexdvds3	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) → 𝐸 ∥ (♯‘𝑋))

Proof of Theorem gexdvds3

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gexcl2.1	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
2		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ (od‘𝐺) = (od‘𝐺)
3	1, 2	oddvds2 19627	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ (♯‘𝑋))
4	3	3expa 1134	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ (♯‘𝑋))
5	4	ralrimiva 3157	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) → ∀𝑥 ∈ 𝑋 ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ (♯‘𝑋))
6		hashcl 14383	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ Fin → (♯‘𝑋) ∈ ℕ0)
7	6	adantl 486	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) → (♯‘𝑋) ∈ ℕ0)
8	7	nn0zd 12607	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) → (♯‘𝑋) ∈ ℤ)
9		gexcl2.2	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (gEx‘𝐺)
10	1, 9, 2	gexdvds2 19646	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝑋) ∈ ℤ) → (𝐸 ∥ (♯‘𝑋) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ (♯‘𝑋)))
11	8, 10	syldan 602	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) → (𝐸 ∥ (♯‘𝑋) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ (♯‘𝑋)))
12	5, 11	mpbird 260	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) → 𝐸 ∥ (♯‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  ∀wral 3079   class class class wbr 5105  ‘cfv 6525  Fincfn 8931  ℕ₀cn0 12495  ℤcz 12582  ♯chash 14357   ∥ cdvds 16300  Basecbs 17259  Grpcgrp 18990  odcod 19585  gExcgex 19586

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-inf2 9598  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165  ax-pre-sup 11166

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-int 4909  df-iun 4954  df-disj 5073  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-se 5606  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-isom 6534  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-1o 8441  df-oadd 8445  df-omul 8446  df-er 8682  df-ec 8684  df-qs 8688  df-map 8814  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-fin 8935  df-sup 9390  df-inf 9391  df-oi 9460  df-card 9913  df-acn 9916  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-div 11860  df-nn 12225  df-2 12294  df-3 12295  df-n0 12496  df-z 12583  df-uz 12854  df-rp 13008  df-fz 13527  df-fzo 13674  df-fl 13816  df-mod 13894  df-seq 14029  df-exp 14089  df-hash 14358  df-cj 15140  df-re 15141  df-im 15142  df-sqrt 15276  df-abs 15277  df-clim 15529  df-sum 15728  df-dvds 16301  df-sets 17214  df-slot 17232  df-ndx 17244  df-base 17260  df-ress 17281  df-plusg 17313  df-0g 17484  df-mgm 18688  df-sgrp 18767  df-mnd 18783  df-grp 18993  df-minusg 18994  df-sbg 18995  df-mulg 19125  df-subg 19180  df-eqg 19182  df-od 19589  df-gex 19590

This theorem is referenced by:  cyggex2  19958  pgpfac1lem3a  20139