Theorem gpg3nbgrvtxlem 47996

Description: Lemma for gpg3nbgrvtx0ALT 48006 and gpg3nbgrvtx1 48007. For this theorem, it is essential that 2 < 𝑁 and 𝐾 < (𝑁 / 2)! (Contributed by AV, 3-Sep-2025.) (Proof shortened by AV, 9-Sep-2025.)

Assertion

Ref	Expression
gpg3nbgrvtxlem	⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2))) ∧ 𝐴 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝐴 + 𝐾) mod 𝑁) ≠ ((𝐴 − 𝐾) mod 𝑁))

Proof of Theorem gpg3nbgrvtxlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzge3nn 12914	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑁 ∈ ℕ)
2	1	3ad2ant1 1133	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2))) ∧ 𝐴 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ)
3		elfzoelz 13681	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0..^𝑁) → 𝐴 ∈ ℤ)
4	3	3ad2ant3 1135	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2))) ∧ 𝐴 ∈ (0..^𝑁)) → 𝐴 ∈ ℤ)
5		elfzoelz 13681	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2))) → 𝐾 ∈ ℤ)
6	5	3ad2ant2 1134	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2))) ∧ 𝐴 ∈ (0..^𝑁)) → 𝐾 ∈ ℤ)
7	5	zcnd 12706	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2))) → 𝐾 ∈ ℂ)
8		2times 12384	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℂ → (2 · 𝐾) = (𝐾 + 𝐾))
9	8	eqcomd 2740	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℂ → (𝐾 + 𝐾) = (2 · 𝐾))
10	7, 9	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2))) → (𝐾 + 𝐾) = (2 · 𝐾))
11	10	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2)))) → (𝐾 + 𝐾) = (2 · 𝐾))
12		1red 11244	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2))) → 1 ∈ ℝ)
13	5	zred 12705	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2))) → 𝐾 ∈ ℝ)
14		2z 12632	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℤ
15	14	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2))) → 2 ∈ ℤ)
16	15, 5	zmulcld 12711	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2))) → (2 · 𝐾) ∈ ℤ)
17	16	zred 12705	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2))) → (2 · 𝐾) ∈ ℝ)
18		elfzole1 13689	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2))) → 1 ≤ 𝐾)
19		elfzo1 13734	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2))) ↔ (𝐾 ∈ ℕ ∧ (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (⌈‘(𝑁 / 2))))
20	19	simp1bi 1145	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2))) → 𝐾 ∈ ℕ)
21	20	nnnn0d 12570	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2))) → 𝐾 ∈ ℕ0)
22		nn0le2x 12563	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 𝐾 ≤ (2 · 𝐾))
23	21, 22	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2))) → 𝐾 ≤ (2 · 𝐾))
24	12, 13, 17, 18, 23	letrd 11400	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2))) → 1 ≤ (2 · 𝐾))
25	24	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2)))) → 1 ≤ (2 · 𝐾))
26		2tceilhalfelfzo1 47991	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2)))) → (2 · 𝐾) < 𝑁)
27	25, 26	jca 511	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2)))) → (1 ≤ (2 · 𝐾) ∧ (2 · 𝐾) < 𝑁))
28		breq2 5127	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 + 𝐾) = (2 · 𝐾) → (1 ≤ (𝐾 + 𝐾) ↔ 1 ≤ (2 · 𝐾)))
29		breq1 5126	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 + 𝐾) = (2 · 𝐾) → ((𝐾 + 𝐾) < 𝑁 ↔ (2 · 𝐾) < 𝑁))
30	28, 29	anbi12d 632	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 + 𝐾) = (2 · 𝐾) → ((1 ≤ (𝐾 + 𝐾) ∧ (𝐾 + 𝐾) < 𝑁) ↔ (1 ≤ (2 · 𝐾) ∧ (2 · 𝐾) < 𝑁)))
31	27, 30	syl5ibrcom 247	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2)))) → ((𝐾 + 𝐾) = (2 · 𝐾) → (1 ≤ (𝐾 + 𝐾) ∧ (𝐾 + 𝐾) < 𝑁)))
32	11, 31	mpd 15	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2)))) → (1 ≤ (𝐾 + 𝐾) ∧ (𝐾 + 𝐾) < 𝑁))
33	32	3adant3 1132	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2))) ∧ 𝐴 ∈ (0..^𝑁)) → (1 ≤ (𝐾 + 𝐾) ∧ (𝐾 + 𝐾) < 𝑁))
34		submodneaddmod 47326	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ (𝐾 + 𝐾) ∧ (𝐾 + 𝐾) < 𝑁)) → ((𝐴 + 𝐾) mod 𝑁) ≠ ((𝐴 − 𝐾) mod 𝑁))
35	2, 4, 6, 6, 33, 34	syl131anc 1384	1 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2))) ∧ 𝐴 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝐴 + 𝐾) mod 𝑁) ≠ ((𝐴 − 𝐾) mod 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2931   class class class wbr 5123  ‘cfv 6541  (class class class)co 7413  ℂcc 11135  0cc0 11137  1c1 11138   + caddc 11140   · cmul 11142   < clt 11277   ≤ cle 11278   − cmin 11474   / cdiv 11902  ℕcn 12248  2c2 12303  3c3 12304  ℕ₀cn0 12509  ℤcz 12596  ℤ_≥cuz 12860  ..^cfzo 13676  ⌈cceil 13813   mod cmo 13891

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-sep 5276  ax-nul 5286  ax-pow 5345  ax-pr 5412  ax-un 7737  ax-cnex 11193  ax-resscn 11194  ax-1cn 11195  ax-icn 11196  ax-addcl 11197  ax-addrcl 11198  ax-mulcl 11199  ax-mulrcl 11200  ax-mulcom 11201  ax-addass 11202  ax-mulass 11203  ax-distr 11204  ax-i2m1 11205  ax-1ne0 11206  ax-1rid 11207  ax-rnegex 11208  ax-rrecex 11209  ax-cnre 11210  ax-pre-lttri 11211  ax-pre-lttrn 11212  ax-pre-ltadd 11213  ax-pre-mulgt0 11214  ax-pre-sup 11215

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4888  df-iun 4973  df-br 5124  df-opab 5186  df-mpt 5206  df-tr 5240  df-id 5558  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-we 5619  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-pred 6301  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7870  df-1st 7996  df-2nd 7997  df-frecs 8288  df-wrecs 8319  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-er 8727  df-en 8968  df-dom 8969  df-sdom 8970  df-sup 9464  df-inf 9465  df-pnf 11279  df-mnf 11280  df-xr 11281  df-ltxr 11282  df-le 11283  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11903  df-nn 12249  df-2 12311  df-3 12312  df-n0 12510  df-z 12597  df-uz 12861  df-rp 13017  df-fz 13530  df-fzo 13677  df-fl 13814  df-ceil 13815  df-mod 13892  df-dvds 16274

This theorem is referenced by:  gpg3nbgrvtx0ALT  48006  gpg3nbgrvtx1  48007