Theorem gpg3nbgrvtxlem 47910

Description: Lemma for gpg3nbgrvtx0ALT 47920 and gpg3nbgrvtx1 47921. For this theorem, it is essential that 2 < 𝑁 and 𝐾 < (𝑁 / 2)! (Contributed by AV, 3-Sep-2025.) (Proof shortened by AV, 9-Sep-2025.)

Assertion

Ref	Expression
gpg3nbgrvtxlem	⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2))) ∧ 𝐴 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝐴 + 𝐾) mod 𝑁) ≠ ((𝐴 − 𝐾) mod 𝑁))

Proof of Theorem gpg3nbgrvtxlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzge3nn 12964	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑁 ∈ ℕ)
2	1	3ad2ant1 1133	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2))) ∧ 𝐴 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ)
3		elfzoelz 13727	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0..^𝑁) → 𝐴 ∈ ℤ)
4	3	3ad2ant3 1135	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2))) ∧ 𝐴 ∈ (0..^𝑁)) → 𝐴 ∈ ℤ)
5		elfzoelz 13727	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2))) → 𝐾 ∈ ℤ)
6	5	3ad2ant2 1134	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2))) ∧ 𝐴 ∈ (0..^𝑁)) → 𝐾 ∈ ℤ)
7	5	zcnd 12755	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2))) → 𝐾 ∈ ℂ)
8		2times 12434	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℂ → (2 · 𝐾) = (𝐾 + 𝐾))
9	8	eqcomd 2746	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℂ → (𝐾 + 𝐾) = (2 · 𝐾))
10	7, 9	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2))) → (𝐾 + 𝐾) = (2 · 𝐾))
11	10	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2)))) → (𝐾 + 𝐾) = (2 · 𝐾))
12		1red 11294	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2))) → 1 ∈ ℝ)
13	5	zred 12754	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2))) → 𝐾 ∈ ℝ)
14		2z 12681	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℤ
15	14	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2))) → 2 ∈ ℤ)
16	15, 5	zmulcld 12760	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2))) → (2 · 𝐾) ∈ ℤ)
17	16	zred 12754	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2))) → (2 · 𝐾) ∈ ℝ)
18		elfzole1 13735	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2))) → 1 ≤ 𝐾)
19		elfzo1 13780	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2))) ↔ (𝐾 ∈ ℕ ∧ (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (⌈‘(𝑁 / 2))))
20	19	simp1bi 1145	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2))) → 𝐾 ∈ ℕ)
21	20	nnnn0d 12619	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2))) → 𝐾 ∈ ℕ0)
22		nn0le2x 12612	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 𝐾 ≤ (2 · 𝐾))
23	21, 22	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2))) → 𝐾 ≤ (2 · 𝐾))
24	12, 13, 17, 18, 23	letrd 11450	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2))) → 1 ≤ (2 · 𝐾))
25	24	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2)))) → 1 ≤ (2 · 𝐾))
26		2tceilhalfelfzo1 47905	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2)))) → (2 · 𝐾) < 𝑁)
27	25, 26	jca 511	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2)))) → (1 ≤ (2 · 𝐾) ∧ (2 · 𝐾) < 𝑁))
28		breq2 5171	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 + 𝐾) = (2 · 𝐾) → (1 ≤ (𝐾 + 𝐾) ↔ 1 ≤ (2 · 𝐾)))
29		breq1 5170	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 + 𝐾) = (2 · 𝐾) → ((𝐾 + 𝐾) < 𝑁 ↔ (2 · 𝐾) < 𝑁))
30	28, 29	anbi12d 631	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 + 𝐾) = (2 · 𝐾) → ((1 ≤ (𝐾 + 𝐾) ∧ (𝐾 + 𝐾) < 𝑁) ↔ (1 ≤ (2 · 𝐾) ∧ (2 · 𝐾) < 𝑁)))
31	27, 30	syl5ibrcom 247	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2)))) → ((𝐾 + 𝐾) = (2 · 𝐾) → (1 ≤ (𝐾 + 𝐾) ∧ (𝐾 + 𝐾) < 𝑁)))
32	11, 31	mpd 15	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2)))) → (1 ≤ (𝐾 + 𝐾) ∧ (𝐾 + 𝐾) < 𝑁))
33	32	3adant3 1132	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2))) ∧ 𝐴 ∈ (0..^𝑁)) → (1 ≤ (𝐾 + 𝐾) ∧ (𝐾 + 𝐾) < 𝑁))
34		submodneaddmod 47274	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ (𝐾 + 𝐾) ∧ (𝐾 + 𝐾) < 𝑁)) → ((𝐴 + 𝐾) mod 𝑁) ≠ ((𝐴 − 𝐾) mod 𝑁))
35	2, 4, 6, 6, 33, 34	syl131anc 1383	1 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2))) ∧ 𝐴 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝐴 + 𝐾) mod 𝑁) ≠ ((𝐴 − 𝐾) mod 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946   class class class wbr 5167  ‘cfv 6576  (class class class)co 7451  ℂcc 11185  0cc0 11187  1c1 11188   + caddc 11190   · cmul 11192   < clt 11327   ≤ cle 11328   − cmin 11524   / cdiv 11952  ℕcn 12298  2c2 12353  3c3 12354  ℕ₀cn0 12558  ℤcz 12645  ℤ_≥cuz 12910  ..^cfzo 13722  ⌈cceil 13858   mod cmo 13936

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5318  ax-nul 5325  ax-pow 5384  ax-pr 5448  ax-un 7773  ax-cnex 11243  ax-resscn 11244  ax-1cn 11245  ax-icn 11246  ax-addcl 11247  ax-addrcl 11248  ax-mulcl 11249  ax-mulrcl 11250  ax-mulcom 11251  ax-addass 11252  ax-mulass 11253  ax-distr 11254  ax-i2m1 11255  ax-1ne0 11256  ax-1rid 11257  ax-rnegex 11258  ax-rrecex 11259  ax-cnre 11260  ax-pre-lttri 11261  ax-pre-lttrn 11262  ax-pre-ltadd 11263  ax-pre-mulgt0 11264  ax-pre-sup 11265

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4933  df-iun 5018  df-br 5168  df-opab 5230  df-mpt 5251  df-tr 5285  df-id 5594  df-eprel 5600  df-po 5608  df-so 5609  df-fr 5653  df-we 5655  df-xp 5707  df-rel 5708  df-cnv 5709  df-co 5710  df-dm 5711  df-rn 5712  df-res 5713  df-ima 5714  df-pred 6335  df-ord 6401  df-on 6402  df-lim 6403  df-suc 6404  df-iota 6528  df-fun 6578  df-fn 6579  df-f 6580  df-f1 6581  df-fo 6582  df-f1o 6583  df-fv 6584  df-riota 7407  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7907  df-1st 8033  df-2nd 8034  df-frecs 8325  df-wrecs 8356  df-recs 8430  df-rdg 8469  df-er 8766  df-en 9007  df-dom 9008  df-sdom 9009  df-sup 9514  df-inf 9515  df-pnf 11329  df-mnf 11330  df-xr 11331  df-ltxr 11332  df-le 11333  df-sub 11526  df-neg 11527  df-div 11953  df-nn 12299  df-2 12361  df-3 12362  df-n0 12559  df-z 12646  df-uz 12911  df-rp 13067  df-fz 13579  df-fzo 13723  df-fl 13859  df-ceil 13860  df-mod 13937  df-dvds 16320

This theorem is referenced by:  gpg3nbgrvtx0ALT  47920  gpg3nbgrvtx1  47921