Theorem gpg3nbgrvtxlem 47996

Description: Lemma for gpg3nbgrvtx0ALT 48006 and gpg3nbgrvtx1 48007. For this theorem, it is essential that 2 < 𝑁 and 𝐾 < (𝑁 / 2)! (Contributed by AV, 3-Sep-2025.) (Proof shortened by AV, 9-Sep-2025.)

Assertion

Ref	Expression
gpg3nbgrvtxlem	⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2))) ∧ 𝐴 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝐴 + 𝐾) mod 𝑁) ≠ ((𝐴 − 𝐾) mod 𝑁))

Proof of Theorem gpg3nbgrvtxlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzge3nn 12928	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑁 ∈ ℕ)
2	1	3ad2ant1 1134	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2))) ∧ 𝐴 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ)
3		elfzoelz 13695	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0..^𝑁) → 𝐴 ∈ ℤ)
4	3	3ad2ant3 1136	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2))) ∧ 𝐴 ∈ (0..^𝑁)) → 𝐴 ∈ ℤ)
5		elfzoelz 13695	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2))) → 𝐾 ∈ ℤ)
6	5	3ad2ant2 1135	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2))) ∧ 𝐴 ∈ (0..^𝑁)) → 𝐾 ∈ ℤ)
7	5	zcnd 12719	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2))) → 𝐾 ∈ ℂ)
8		2times 12398	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℂ → (2 · 𝐾) = (𝐾 + 𝐾))
9	8	eqcomd 2742	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℂ → (𝐾 + 𝐾) = (2 · 𝐾))
10	7, 9	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2))) → (𝐾 + 𝐾) = (2 · 𝐾))
11	10	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2)))) → (𝐾 + 𝐾) = (2 · 𝐾))
12		1red 11258	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2))) → 1 ∈ ℝ)
13	5	zred 12718	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2))) → 𝐾 ∈ ℝ)
14		2z 12645	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℤ
15	14	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2))) → 2 ∈ ℤ)
16	15, 5	zmulcld 12724	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2))) → (2 · 𝐾) ∈ ℤ)
17	16	zred 12718	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2))) → (2 · 𝐾) ∈ ℝ)
18		elfzole1 13703	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2))) → 1 ≤ 𝐾)
19		elfzo1 13748	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2))) ↔ (𝐾 ∈ ℕ ∧ (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (⌈‘(𝑁 / 2))))
20	19	simp1bi 1146	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2))) → 𝐾 ∈ ℕ)
21	20	nnnn0d 12583	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2))) → 𝐾 ∈ ℕ0)
22		nn0le2x 12576	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 𝐾 ≤ (2 · 𝐾))
23	21, 22	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2))) → 𝐾 ≤ (2 · 𝐾))
24	12, 13, 17, 18, 23	letrd 11414	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2))) → 1 ≤ (2 · 𝐾))
25	24	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2)))) → 1 ≤ (2 · 𝐾))
26		2tceilhalfelfzo1 47991	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2)))) → (2 · 𝐾) < 𝑁)
27	25, 26	jca 511	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2)))) → (1 ≤ (2 · 𝐾) ∧ (2 · 𝐾) < 𝑁))
28		breq2 5145	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 + 𝐾) = (2 · 𝐾) → (1 ≤ (𝐾 + 𝐾) ↔ 1 ≤ (2 · 𝐾)))
29		breq1 5144	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 + 𝐾) = (2 · 𝐾) → ((𝐾 + 𝐾) < 𝑁 ↔ (2 · 𝐾) < 𝑁))
30	28, 29	anbi12d 632	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 + 𝐾) = (2 · 𝐾) → ((1 ≤ (𝐾 + 𝐾) ∧ (𝐾 + 𝐾) < 𝑁) ↔ (1 ≤ (2 · 𝐾) ∧ (2 · 𝐾) < 𝑁)))
31	27, 30	syl5ibrcom 247	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2)))) → ((𝐾 + 𝐾) = (2 · 𝐾) → (1 ≤ (𝐾 + 𝐾) ∧ (𝐾 + 𝐾) < 𝑁)))
32	11, 31	mpd 15	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2)))) → (1 ≤ (𝐾 + 𝐾) ∧ (𝐾 + 𝐾) < 𝑁))
33	32	3adant3 1133	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2))) ∧ 𝐴 ∈ (0..^𝑁)) → (1 ≤ (𝐾 + 𝐾) ∧ (𝐾 + 𝐾) < 𝑁))
34		submodneaddmod 47326	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ (𝐾 + 𝐾) ∧ (𝐾 + 𝐾) < 𝑁)) → ((𝐴 + 𝐾) mod 𝑁) ≠ ((𝐴 − 𝐾) mod 𝑁))
35	2, 4, 6, 6, 33, 34	syl131anc 1385	1 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2))) ∧ 𝐴 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝐴 + 𝐾) mod 𝑁) ≠ ((𝐴 − 𝐾) mod 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2939   class class class wbr 5141  ‘cfv 6559  (class class class)co 7429  ℂcc 11149  0cc0 11151  1c1 11152   + caddc 11154   · cmul 11156   < clt 11291   ≤ cle 11292   − cmin 11488   / cdiv 11916  ℕcn 12262  2c2 12317  3c3 12318  ℕ₀cn0 12522  ℤcz 12609  ℤ_≥cuz 12874  ..^cfzo 13690  ⌈cceil 13827   mod cmo 13905

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5294  ax-nul 5304  ax-pow 5363  ax-pr 5430  ax-un 7751  ax-cnex 11207  ax-resscn 11208  ax-1cn 11209  ax-icn 11210  ax-addcl 11211  ax-addrcl 11212  ax-mulcl 11213  ax-mulrcl 11214  ax-mulcom 11215  ax-addass 11216  ax-mulass 11217  ax-distr 11218  ax-i2m1 11219  ax-1ne0 11220  ax-1rid 11221  ax-rnegex 11222  ax-rrecex 11223  ax-cnre 11224  ax-pre-lttri 11225  ax-pre-lttrn 11226  ax-pre-ltadd 11227  ax-pre-mulgt0 11228  ax-pre-sup 11229

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4906  df-iun 4991  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5224  df-tr 5258  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5635  df-we 5637  df-xp 5689  df-rel 5690  df-cnv 5691  df-co 5692  df-dm 5693  df-rn 5694  df-res 5695  df-ima 5696  df-pred 6319  df-ord 6385  df-on 6386  df-lim 6387  df-suc 6388  df-iota 6512  df-fun 6561  df-fn 6562  df-f 6563  df-f1 6564  df-fo 6565  df-f1o 6566  df-fv 6567  df-riota 7386  df-ov 7432  df-oprab 7433  df-mpo 7434  df-om 7884  df-1st 8010  df-2nd 8011  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-er 8741  df-en 8982  df-dom 8983  df-sdom 8984  df-sup 9478  df-inf 9479  df-pnf 11293  df-mnf 11294  df-xr 11295  df-ltxr 11296  df-le 11297  df-sub 11490  df-neg 11491  df-div 11917  df-nn 12263  df-2 12325  df-3 12326  df-n0 12523  df-z 12610  df-uz 12875  df-rp 13031  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-fl 13828  df-ceil 13829  df-mod 13906  df-dvds 16287

This theorem is referenced by:  gpg3nbgrvtx0ALT  48006  gpg3nbgrvtx1  48007