Users' Mathboxes Mathbox for Steve Rodriguez < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hashnzfz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hashnzfz 41962
Description: Special case of hashdvds 16504: the count of multiples in nℤ restricted to an interval. (Contributed by Steve Rodriguez, 20-Jan-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
hashnzfz.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
hashnzfz.j (𝜑𝐽 ∈ ℤ)
hashnzfz.k (𝜑𝐾 ∈ (ℤ‘(𝐽 − 1)))
Assertion
Ref Expression
hashnzfz (𝜑 → (♯‘(( ∥ “ {𝑁}) ∩ (𝐽...𝐾))) = ((⌊‘(𝐾 / 𝑁)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑁))))

Proof of Theorem hashnzfz
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hashnzfz.n . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
2 hashnzfz.j . . 3 (𝜑𝐽 ∈ ℤ)
3 hashnzfz.k . . 3 (𝜑𝐾 ∈ (ℤ‘(𝐽 − 1)))
4 0zd 12359 . . 3 (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
51, 2, 3, 4hashdvds 16504 . 2 (𝜑 → (♯‘{𝑥 ∈ (𝐽...𝐾) ∣ 𝑁 ∥ (𝑥 − 0)}) = ((⌊‘((𝐾 − 0) / 𝑁)) − (⌊‘(((𝐽 − 1) − 0) / 𝑁))))
6 elfzelz 13284 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (𝐽...𝐾) → 𝑥 ∈ ℤ)
76zcnd 12455 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (𝐽...𝐾) → 𝑥 ∈ ℂ)
87subid1d 11349 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (𝐽...𝐾) → (𝑥 − 0) = 𝑥)
98breq2d 5089 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (𝐽...𝐾) → (𝑁 ∥ (𝑥 − 0) ↔ 𝑁𝑥))
109rabbiia 3409 . . . . 5 {𝑥 ∈ (𝐽...𝐾) ∣ 𝑁 ∥ (𝑥 − 0)} = {𝑥 ∈ (𝐽...𝐾) ∣ 𝑁𝑥}
11 dfrab3 4246 . . . . 5 {𝑥 ∈ (𝐽...𝐾) ∣ 𝑁𝑥} = ((𝐽...𝐾) ∩ {𝑥𝑁𝑥})
12 reldvds 41957 . . . . . . . 8 Rel ∥
13 relimasn 5993 . . . . . . . 8 (Rel ∥ → ( ∥ “ {𝑁}) = {𝑥𝑁𝑥})
1412, 13ax-mp 5 . . . . . . 7 ( ∥ “ {𝑁}) = {𝑥𝑁𝑥}
1514ineq2i 4146 . . . . . 6 ((𝐽...𝐾) ∩ ( ∥ “ {𝑁})) = ((𝐽...𝐾) ∩ {𝑥𝑁𝑥})
16 incom 4138 . . . . . 6 ((𝐽...𝐾) ∩ ( ∥ “ {𝑁})) = (( ∥ “ {𝑁}) ∩ (𝐽...𝐾))
1715, 16eqtr3i 2763 . . . . 5 ((𝐽...𝐾) ∩ {𝑥𝑁𝑥}) = (( ∥ “ {𝑁}) ∩ (𝐽...𝐾))
1810, 11, 173eqtri 2765 . . . 4 {𝑥 ∈ (𝐽...𝐾) ∣ 𝑁 ∥ (𝑥 − 0)} = (( ∥ “ {𝑁}) ∩ (𝐽...𝐾))
1918fveq2i 6795 . . 3 (♯‘{𝑥 ∈ (𝐽...𝐾) ∣ 𝑁 ∥ (𝑥 − 0)}) = (♯‘(( ∥ “ {𝑁}) ∩ (𝐽...𝐾)))
2019a1i 11 . 2 (𝜑 → (♯‘{𝑥 ∈ (𝐽...𝐾) ∣ 𝑁 ∥ (𝑥 − 0)}) = (♯‘(( ∥ “ {𝑁}) ∩ (𝐽...𝐾))))
21 eluzelz 12620 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ (ℤ‘(𝐽 − 1)) → 𝐾 ∈ ℤ)
223, 21syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐾 ∈ ℤ)
2322zcnd 12455 . . . . 5 (𝜑𝐾 ∈ ℂ)
2423subid1d 11349 . . . 4 (𝜑 → (𝐾 − 0) = 𝐾)
2524fvoveq1d 7317 . . 3 (𝜑 → (⌊‘((𝐾 − 0) / 𝑁)) = (⌊‘(𝐾 / 𝑁)))
26 peano2zm 12391 . . . . . . 7 (𝐽 ∈ ℤ → (𝐽 − 1) ∈ ℤ)
272, 26syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐽 − 1) ∈ ℤ)
2827zcnd 12455 . . . . 5 (𝜑 → (𝐽 − 1) ∈ ℂ)
2928subid1d 11349 . . . 4 (𝜑 → ((𝐽 − 1) − 0) = (𝐽 − 1))
3029fvoveq1d 7317 . . 3 (𝜑 → (⌊‘(((𝐽 − 1) − 0) / 𝑁)) = (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑁)))
3125, 30oveq12d 7313 . 2 (𝜑 → ((⌊‘((𝐾 − 0) / 𝑁)) − (⌊‘(((𝐽 − 1) − 0) / 𝑁))) = ((⌊‘(𝐾 / 𝑁)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑁))))
325, 20, 313eqtr3d 2781 1 (𝜑 → (♯‘(( ∥ “ {𝑁}) ∩ (𝐽...𝐾))) = ((⌊‘(𝐾 / 𝑁)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑁))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1537  wcel 2101  {cab 2710  {crab 3221  cin 3888  {csn 4564   class class class wbr 5077  cima 5594  Rel wrel 5596  cfv 6447  (class class class)co 7295  0cc0 10899  1c1 10900  cmin 11233   / cdiv 11660  cn 12001  cz 12347  cuz 12610  ...cfz 13267  cfl 13538  chash 14072  cdvds 15991
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2103  ax-9 2111  ax-10 2132  ax-11 2149  ax-12 2166  ax-ext 2704  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7608  ax-cnex 10955  ax-resscn 10956  ax-1cn 10957  ax-icn 10958  ax-addcl 10959  ax-addrcl 10960  ax-mulcl 10961  ax-mulrcl 10962  ax-mulcom 10963  ax-addass 10964  ax-mulass 10965  ax-distr 10966  ax-i2m1 10967  ax-1ne0 10968  ax-1rid 10969  ax-rnegex 10970  ax-rrecex 10971  ax-cnre 10972  ax-pre-lttri 10973  ax-pre-lttrn 10974  ax-pre-ltadd 10975  ax-pre-mulgt0 10976  ax-pre-sup 10977
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2063  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2884  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3222  df-reu 3223  df-rab 3224  df-v 3436  df-sbc 3719  df-csb 3835  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3908  df-nul 4260  df-if 4463  df-pw 4538  df-sn 4565  df-pr 4567  df-op 4571  df-uni 4842  df-int 4883  df-iun 4929  df-br 5078  df-opab 5140  df-mpt 5161  df-tr 5195  df-id 5491  df-eprel 5497  df-po 5505  df-so 5506  df-fr 5546  df-we 5548  df-xp 5597  df-rel 5598  df-cnv 5599  df-co 5600  df-dm 5601  df-rn 5602  df-res 5603  df-ima 5604  df-pred 6206  df-ord 6273  df-on 6274  df-lim 6275  df-suc 6276  df-iota 6399  df-fun 6449  df-fn 6450  df-f 6451  df-f1 6452  df-fo 6453  df-f1o 6454  df-fv 6455  df-riota 7252  df-ov 7298  df-oprab 7299  df-mpo 7300  df-om 7733  df-1st 7851  df-2nd 7852  df-frecs 8117  df-wrecs 8148  df-recs 8222  df-rdg 8261  df-1o 8317  df-er 8518  df-en 8754  df-dom 8755  df-sdom 8756  df-fin 8757  df-sup 9229  df-inf 9230  df-card 9725  df-pnf 11039  df-mnf 11040  df-xr 11041  df-ltxr 11042  df-le 11043  df-sub 11235  df-neg 11236  df-div 11661  df-nn 12002  df-n0 12262  df-z 12348  df-uz 12611  df-fz 13268  df-fl 13540  df-hash 14073  df-dvds 15992
This theorem is referenced by:  hashnzfz2  41963  hashnzfzclim  41964
  Copyright terms: Public domain W3C validator