Theorem hashnzfz 44423

Description: Special case of hashdvds 16686: the count of multiples in nℤ restricted to an interval. (Contributed by Steve Rodriguez, 20-Jan-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
hashnzfz.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
hashnzfz.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℤ)
hashnzfz.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘(𝐽 − 1)))

Assertion

Ref	Expression
hashnzfz	⊢ (𝜑 → (♯‘(( ∥ “ {𝑁}) ∩ (𝐽...𝐾))) = ((⌊‘(𝐾 / 𝑁)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑁))))

Proof of Theorem hashnzfz

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hashnzfz.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
2		hashnzfz.j	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℤ)
3		hashnzfz.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘(𝐽 − 1)))
4		0zd 12480	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
5	1, 2, 3, 4	hashdvds 16686	. 2 ⊢ (𝜑 → (♯‘{𝑥 ∈ (𝐽...𝐾) ∣ 𝑁 ∥ (𝑥 − 0)}) = ((⌊‘((𝐾 − 0) / 𝑁)) − (⌊‘(((𝐽 − 1) − 0) / 𝑁))))
6		elfzelz 13424	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐽...𝐾) → 𝑥 ∈ ℤ)
7	6	zcnd 12578	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐽...𝐾) → 𝑥 ∈ ℂ)
8	7	subid1d 11461	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐽...𝐾) → (𝑥 − 0) = 𝑥)
9	8	breq2d 5101	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐽...𝐾) → (𝑁 ∥ (𝑥 − 0) ↔ 𝑁 ∥ 𝑥))
10	9	rabbiia 3399	. . . . 5 ⊢ {𝑥 ∈ (𝐽...𝐾) ∣ 𝑁 ∥ (𝑥 − 0)} = {𝑥 ∈ (𝐽...𝐾) ∣ 𝑁 ∥ 𝑥}
11		dfrab3 4266	. . . . 5 ⊢ {𝑥 ∈ (𝐽...𝐾) ∣ 𝑁 ∥ 𝑥} = ((𝐽...𝐾) ∩ {𝑥 ∣ 𝑁 ∥ 𝑥})
12		reldvds 44418	. . . . . . . 8 ⊢ Rel ∥
13		relimasn 6033	. . . . . . . 8 ⊢ (Rel ∥ → ( ∥ “ {𝑁}) = {𝑥 ∣ 𝑁 ∥ 𝑥})
14	12, 13	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ( ∥ “ {𝑁}) = {𝑥 ∣ 𝑁 ∥ 𝑥}
15	14	ineq2i 4164	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽...𝐾) ∩ ( ∥ “ {𝑁})) = ((𝐽...𝐾) ∩ {𝑥 ∣ 𝑁 ∥ 𝑥})
16		incom 4156	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽...𝐾) ∩ ( ∥ “ {𝑁})) = (( ∥ “ {𝑁}) ∩ (𝐽...𝐾))
17	15, 16	eqtr3i 2756	. . . . 5 ⊢ ((𝐽...𝐾) ∩ {𝑥 ∣ 𝑁 ∥ 𝑥}) = (( ∥ “ {𝑁}) ∩ (𝐽...𝐾))
18	10, 11, 17	3eqtri 2758	. . . 4 ⊢ {𝑥 ∈ (𝐽...𝐾) ∣ 𝑁 ∥ (𝑥 − 0)} = (( ∥ “ {𝑁}) ∩ (𝐽...𝐾))
19	18	fveq2i 6825	. . 3 ⊢ (♯‘{𝑥 ∈ (𝐽...𝐾) ∣ 𝑁 ∥ (𝑥 − 0)}) = (♯‘(( ∥ “ {𝑁}) ∩ (𝐽...𝐾)))
20	19	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (♯‘{𝑥 ∈ (𝐽...𝐾) ∣ 𝑁 ∥ (𝑥 − 0)}) = (♯‘(( ∥ “ {𝑁}) ∩ (𝐽...𝐾))))
21		eluzelz 12742	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘(𝐽 − 1)) → 𝐾 ∈ ℤ)
22	3, 21	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
23	22	zcnd 12578	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℂ)
24	23	subid1d 11461	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 − 0) = 𝐾)
25	24	fvoveq1d 7368	. . 3 ⊢ (𝜑 → (⌊‘((𝐾 − 0) / 𝑁)) = (⌊‘(𝐾 / 𝑁)))
26		peano2zm 12515	. . . . . . 7 ⊢ (𝐽 ∈ ℤ → (𝐽 − 1) ∈ ℤ)
27	2, 26	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐽 − 1) ∈ ℤ)
28	27	zcnd 12578	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐽 − 1) ∈ ℂ)
29	28	subid1d 11461	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐽 − 1) − 0) = (𝐽 − 1))
30	29	fvoveq1d 7368	. . 3 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(((𝐽 − 1) − 0) / 𝑁)) = (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑁)))
31	25, 30	oveq12d 7364	. 2 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘((𝐾 − 0) / 𝑁)) − (⌊‘(((𝐽 − 1) − 0) / 𝑁))) = ((⌊‘(𝐾 / 𝑁)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑁))))
32	5, 20, 31	3eqtr3d 2774	1 ⊢ (𝜑 → (♯‘(( ∥ “ {𝑁}) ∩ (𝐽...𝐾))) = ((⌊‘(𝐾 / 𝑁)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑁))))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  {cab 2709  {crab 3395   ∩ cin 3896  {csn 4573   class class class wbr 5089   “ cima 5617  Rel wrel 5619  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  0cc0 11006  1c1 11007   − cmin 11344   / cdiv 11774  ℕcn 12125  ℤcz 12468  ℤ_≥cuz 12732  ...cfz 13407  ⌊cfl 13694  ♯chash 14237   ∥ cdvds 16163

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083  ax-pre-sup 11084

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-int 4896  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-sup 9326  df-inf 9327  df-card 9832  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-div 11775  df-nn 12126  df-n0 12382  df-z 12469  df-uz 12733  df-fz 13408  df-fl 13696  df-hash 14238  df-dvds 16164

This theorem is referenced by:  hashnzfz2  44424  hashnzfzclim  44425