Theorem hashnzfz 44901

Description: Special case of hashdvds 16812: the count of multiples in nℤ restricted to an interval. (Contributed by Steve Rodriguez, 20-Jan-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
hashnzfz.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
hashnzfz.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℤ)
hashnzfz.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘(𝐽 − 1)))

Assertion

Ref	Expression
hashnzfz	⊢ (𝜑 → (♯‘(( ∥ “ {𝑁}) ∩ (𝐽...𝐾))) = ((⌊‘(𝐾 / 𝑁)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑁))))

Proof of Theorem hashnzfz

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hashnzfz.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
2		hashnzfz.j	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℤ)
3		hashnzfz.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘(𝐽 − 1)))
4		0zd 12582	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
5	1, 2, 3, 4	hashdvds 16812	. 2 ⊢ (𝜑 → (♯‘{𝑥 ∈ (𝐽...𝐾) ∣ 𝑁 ∥ (𝑥 − 0)}) = ((⌊‘((𝐾 − 0) / 𝑁)) − (⌊‘(((𝐽 − 1) − 0) / 𝑁))))
6		elfzelz 13531	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐽...𝐾) → 𝑥 ∈ ℤ)
7	6	zcnd 12680	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐽...𝐾) → 𝑥 ∈ ℂ)
8	7	subid1d 11533	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐽...𝐾) → (𝑥 − 0) = 𝑥)
9	8	breq2d 5114	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐽...𝐾) → (𝑁 ∥ (𝑥 − 0) ↔ 𝑁 ∥ 𝑥))
10	9	rabbiia 3420	. . . . 5 ⊢ {𝑥 ∈ (𝐽...𝐾) ∣ 𝑁 ∥ (𝑥 − 0)} = {𝑥 ∈ (𝐽...𝐾) ∣ 𝑁 ∥ 𝑥}
11		dfrab3 4273	. . . . 5 ⊢ {𝑥 ∈ (𝐽...𝐾) ∣ 𝑁 ∥ 𝑥} = ((𝐽...𝐾) ∩ {𝑥 ∣ 𝑁 ∥ 𝑥})
12		reldvds 44896	. . . . . . . 8 ⊢ Rel ∥
13		relimasn 6076	. . . . . . . 8 ⊢ (Rel ∥ → ( ∥ “ {𝑁}) = {𝑥 ∣ 𝑁 ∥ 𝑥})
14	12, 13	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ( ∥ “ {𝑁}) = {𝑥 ∣ 𝑁 ∥ 𝑥}
15	14	ineq2i 4171	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽...𝐾) ∩ ( ∥ “ {𝑁})) = ((𝐽...𝐾) ∩ {𝑥 ∣ 𝑁 ∥ 𝑥})
16		incom 4163	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽...𝐾) ∩ ( ∥ “ {𝑁})) = (( ∥ “ {𝑁}) ∩ (𝐽...𝐾))
17	15, 16	eqtr3i 2789	. . . . 5 ⊢ ((𝐽...𝐾) ∩ {𝑥 ∣ 𝑁 ∥ 𝑥}) = (( ∥ “ {𝑁}) ∩ (𝐽...𝐾))
18	10, 11, 17	3eqtri 2791	. . . 4 ⊢ {𝑥 ∈ (𝐽...𝐾) ∣ 𝑁 ∥ (𝑥 − 0)} = (( ∥ “ {𝑁}) ∩ (𝐽...𝐾))
19	18	fveq2i 6872	. . 3 ⊢ (♯‘{𝑥 ∈ (𝐽...𝐾) ∣ 𝑁 ∥ (𝑥 − 0)}) = (♯‘(( ∥ “ {𝑁}) ∩ (𝐽...𝐾)))
20	19	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (♯‘{𝑥 ∈ (𝐽...𝐾) ∣ 𝑁 ∥ (𝑥 − 0)}) = (♯‘(( ∥ “ {𝑁}) ∩ (𝐽...𝐾))))
21		eluzelz 12851	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘(𝐽 − 1)) → 𝐾 ∈ ℤ)
22	3, 21	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
23	22	zcnd 12680	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℂ)
24	23	subid1d 11533	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 − 0) = 𝐾)
25	24	fvoveq1d 7420	. . 3 ⊢ (𝜑 → (⌊‘((𝐾 − 0) / 𝑁)) = (⌊‘(𝐾 / 𝑁)))
26		peano2zm 12616	. . . . . . 7 ⊢ (𝐽 ∈ ℤ → (𝐽 − 1) ∈ ℤ)
27	2, 26	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐽 − 1) ∈ ℤ)
28	27	zcnd 12680	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐽 − 1) ∈ ℂ)
29	28	subid1d 11533	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐽 − 1) − 0) = (𝐽 − 1))
30	29	fvoveq1d 7420	. . 3 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(((𝐽 − 1) − 0) / 𝑁)) = (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑁)))
31	25, 30	oveq12d 7416	. 2 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘((𝐾 − 0) / 𝑁)) − (⌊‘(((𝐽 − 1) − 0) / 𝑁))) = ((⌊‘(𝐾 / 𝑁)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑁))))
32	5, 20, 31	3eqtr3d 2807	1 ⊢ (𝜑 → (♯‘(( ∥ “ {𝑁}) ∩ (𝐽...𝐾))) = ((⌊‘(𝐾 / 𝑁)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑁))))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1562   ∈ wcel 2144  {cab 2742  {crab 3416   ∩ cin 3905  {csn 4584   class class class wbr 5102   “ cima 5652  Rel wrel 5654  ‘cfv 6523  (class class class)co 7398  0cc0 11075  1c1 11076   − cmin 11416   / cdiv 11846  ℕcn 12212  ℤcz 12570  ℤ_≥cuz 12841  ...cfz 13514  ⌊cfl 13802  ♯chash 14345   ∥ cdvds 16288

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2214  ax-ext 2736  ax-sep 5248  ax-nul 5258  ax-pow 5324  ax-pr 5392  ax-un 7720  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-nf 1806  df-sb 2093  df-mo 2568  df-eu 2598  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3458  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5544  df-eprel 5549  df-po 5557  df-so 5558  df-fr 5602  df-we 5604  df-xp 5655  df-rel 5656  df-cnv 5657  df-co 5658  df-dm 5659  df-rn 5660  df-res 5661  df-ima 5662  df-pred 6290  df-ord 6351  df-on 6352  df-lim 6353  df-suc 6354  df-iota 6479  df-fun 6525  df-fn 6526  df-f 6527  df-f1 6528  df-fo 6529  df-f1o 6530  df-fv 6531  df-riota 7355  df-ov 7401  df-oprab 7402  df-mpo 7403  df-om 7849  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8344  df-rdg 8383  df-1o 8439  df-er 8680  df-en 8930  df-dom 8931  df-sdom 8932  df-fin 8933  df-sup 9390  df-inf 9391  df-card 9899  df-pnf 11220  df-mnf 11221  df-xr 11222  df-ltxr 11223  df-le 11224  df-sub 11418  df-neg 11419  df-div 11847  df-nn 12213  df-n0 12484  df-z 12571  df-uz 12842  df-fz 13515  df-fl 13804  df-hash 14346  df-dvds 16289

This theorem is referenced by:  hashnzfz2  44902  hashnzfzclim  44903