Users' Mathboxes Mathbox for Steve Rodriguez < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hashnzfz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hashnzfz 39485
Description: Special case of hashdvds 15888: the count of multiples in nℤ restricted to an interval. (Contributed by Steve Rodriguez, 20-Jan-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
hashnzfz.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
hashnzfz.j (𝜑𝐽 ∈ ℤ)
hashnzfz.k (𝜑𝐾 ∈ (ℤ‘(𝐽 − 1)))
Assertion
Ref Expression
hashnzfz (𝜑 → (♯‘(( ∥ “ {𝑁}) ∩ (𝐽...𝐾))) = ((⌊‘(𝐾 / 𝑁)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑁))))

Proof of Theorem hashnzfz
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hashnzfz.n . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
2 hashnzfz.j . . 3 (𝜑𝐽 ∈ ℤ)
3 hashnzfz.k . . 3 (𝜑𝐾 ∈ (ℤ‘(𝐽 − 1)))
4 0zd 11744 . . 3 (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
51, 2, 3, 4hashdvds 15888 . 2 (𝜑 → (♯‘{𝑥 ∈ (𝐽...𝐾) ∣ 𝑁 ∥ (𝑥 − 0)}) = ((⌊‘((𝐾 − 0) / 𝑁)) − (⌊‘(((𝐽 − 1) − 0) / 𝑁))))
6 elfzelz 12663 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (𝐽...𝐾) → 𝑥 ∈ ℤ)
76zcnd 11839 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (𝐽...𝐾) → 𝑥 ∈ ℂ)
87subid1d 10725 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (𝐽...𝐾) → (𝑥 − 0) = 𝑥)
98breq2d 4900 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (𝐽...𝐾) → (𝑁 ∥ (𝑥 − 0) ↔ 𝑁𝑥))
109rabbiia 3381 . . . . 5 {𝑥 ∈ (𝐽...𝐾) ∣ 𝑁 ∥ (𝑥 − 0)} = {𝑥 ∈ (𝐽...𝐾) ∣ 𝑁𝑥}
11 dfrab3 4128 . . . . 5 {𝑥 ∈ (𝐽...𝐾) ∣ 𝑁𝑥} = ((𝐽...𝐾) ∩ {𝑥𝑁𝑥})
12 reldvds 39480 . . . . . . . 8 Rel ∥
13 relimasn 5744 . . . . . . . 8 (Rel ∥ → ( ∥ “ {𝑁}) = {𝑥𝑁𝑥})
1412, 13ax-mp 5 . . . . . . 7 ( ∥ “ {𝑁}) = {𝑥𝑁𝑥}
1514ineq2i 4034 . . . . . 6 ((𝐽...𝐾) ∩ ( ∥ “ {𝑁})) = ((𝐽...𝐾) ∩ {𝑥𝑁𝑥})
16 incom 4028 . . . . . 6 ((𝐽...𝐾) ∩ ( ∥ “ {𝑁})) = (( ∥ “ {𝑁}) ∩ (𝐽...𝐾))
1715, 16eqtr3i 2804 . . . . 5 ((𝐽...𝐾) ∩ {𝑥𝑁𝑥}) = (( ∥ “ {𝑁}) ∩ (𝐽...𝐾))
1810, 11, 173eqtri 2806 . . . 4 {𝑥 ∈ (𝐽...𝐾) ∣ 𝑁 ∥ (𝑥 − 0)} = (( ∥ “ {𝑁}) ∩ (𝐽...𝐾))
1918fveq2i 6451 . . 3 (♯‘{𝑥 ∈ (𝐽...𝐾) ∣ 𝑁 ∥ (𝑥 − 0)}) = (♯‘(( ∥ “ {𝑁}) ∩ (𝐽...𝐾)))
2019a1i 11 . 2 (𝜑 → (♯‘{𝑥 ∈ (𝐽...𝐾) ∣ 𝑁 ∥ (𝑥 − 0)}) = (♯‘(( ∥ “ {𝑁}) ∩ (𝐽...𝐾))))
21 eluzelz 12006 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ (ℤ‘(𝐽 − 1)) → 𝐾 ∈ ℤ)
223, 21syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐾 ∈ ℤ)
2322zcnd 11839 . . . . 5 (𝜑𝐾 ∈ ℂ)
2423subid1d 10725 . . . 4 (𝜑 → (𝐾 − 0) = 𝐾)
2524fvoveq1d 6946 . . 3 (𝜑 → (⌊‘((𝐾 − 0) / 𝑁)) = (⌊‘(𝐾 / 𝑁)))
26 peano2zm 11776 . . . . . . 7 (𝐽 ∈ ℤ → (𝐽 − 1) ∈ ℤ)
272, 26syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐽 − 1) ∈ ℤ)
2827zcnd 11839 . . . . 5 (𝜑 → (𝐽 − 1) ∈ ℂ)
2928subid1d 10725 . . . 4 (𝜑 → ((𝐽 − 1) − 0) = (𝐽 − 1))
3029fvoveq1d 6946 . . 3 (𝜑 → (⌊‘(((𝐽 − 1) − 0) / 𝑁)) = (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑁)))
3125, 30oveq12d 6942 . 2 (𝜑 → ((⌊‘((𝐾 − 0) / 𝑁)) − (⌊‘(((𝐽 − 1) − 0) / 𝑁))) = ((⌊‘(𝐾 / 𝑁)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑁))))
325, 20, 313eqtr3d 2822 1 (𝜑 → (♯‘(( ∥ “ {𝑁}) ∩ (𝐽...𝐾))) = ((⌊‘(𝐾 / 𝑁)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑁))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1601  wcel 2107  {cab 2763  {crab 3094  cin 3791  {csn 4398   class class class wbr 4888  cima 5360  Rel wrel 5362  cfv 6137  (class class class)co 6924  0cc0 10274  1c1 10275  cmin 10608   / cdiv 11034  cn 11378  cz 11732  cuz 11996  ...cfz 12647  cfl 12914  chash 13439  cdvds 15391
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140  ax-un 7228  ax-cnex 10330  ax-resscn 10331  ax-1cn 10332  ax-icn 10333  ax-addcl 10334  ax-addrcl 10335  ax-mulcl 10336  ax-mulrcl 10337  ax-mulcom 10338  ax-addass 10339  ax-mulass 10340  ax-distr 10341  ax-i2m1 10342  ax-1ne0 10343  ax-1rid 10344  ax-rnegex 10345  ax-rrecex 10346  ax-cnre 10347  ax-pre-lttri 10348  ax-pre-lttrn 10349  ax-pre-ltadd 10350  ax-pre-mulgt0 10351  ax-pre-sup 10352
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4674  df-int 4713  df-iun 4757  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-tr 4990  df-id 5263  df-eprel 5268  df-po 5276  df-so 5277  df-fr 5316  df-we 5318  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-pred 5935  df-ord 5981  df-on 5982  df-lim 5983  df-suc 5984  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-riota 6885  df-ov 6927  df-oprab 6928  df-mpt2 6929  df-om 7346  df-1st 7447  df-2nd 7448  df-wrecs 7691  df-recs 7753  df-rdg 7791  df-1o 7845  df-er 8028  df-en 8244  df-dom 8245  df-sdom 8246  df-fin 8247  df-sup 8638  df-inf 8639  df-card 9100  df-pnf 10415  df-mnf 10416  df-xr 10417  df-ltxr 10418  df-le 10419  df-sub 10610  df-neg 10611  df-div 11035  df-nn 11379  df-n0 11647  df-z 11733  df-uz 11997  df-fz 12648  df-fl 12916  df-hash 13440  df-dvds 15392
This theorem is referenced by:  hashnzfz2  39486  hashnzfzclim  39487
  Copyright terms: Public domain W3C validator