Theorem hashnzfz 44773

Description: Special case of hashdvds 16737: the count of multiples in nℤ restricted to an interval. (Contributed by Steve Rodriguez, 20-Jan-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
hashnzfz.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
hashnzfz.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℤ)
hashnzfz.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘(𝐽 − 1)))

Assertion

Ref	Expression
hashnzfz	⊢ (𝜑 → (♯‘(( ∥ “ {𝑁}) ∩ (𝐽...𝐾))) = ((⌊‘(𝐾 / 𝑁)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑁))))

Proof of Theorem hashnzfz

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hashnzfz.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
2		hashnzfz.j	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℤ)
3		hashnzfz.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘(𝐽 − 1)))
4		0zd 12528	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
5	1, 2, 3, 4	hashdvds 16737	. 2 ⊢ (𝜑 → (♯‘{𝑥 ∈ (𝐽...𝐾) ∣ 𝑁 ∥ (𝑥 − 0)}) = ((⌊‘((𝐾 − 0) / 𝑁)) − (⌊‘(((𝐽 − 1) − 0) / 𝑁))))
6		elfzelz 13470	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐽...𝐾) → 𝑥 ∈ ℤ)
7	6	zcnd 12626	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐽...𝐾) → 𝑥 ∈ ℂ)
8	7	subid1d 11486	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐽...𝐾) → (𝑥 − 0) = 𝑥)
9	8	breq2d 5085	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐽...𝐾) → (𝑁 ∥ (𝑥 − 0) ↔ 𝑁 ∥ 𝑥))
10	9	rabbiia 3395	. . . . 5 ⊢ {𝑥 ∈ (𝐽...𝐾) ∣ 𝑁 ∥ (𝑥 − 0)} = {𝑥 ∈ (𝐽...𝐾) ∣ 𝑁 ∥ 𝑥}
11		dfrab3 4248	. . . . 5 ⊢ {𝑥 ∈ (𝐽...𝐾) ∣ 𝑁 ∥ 𝑥} = ((𝐽...𝐾) ∩ {𝑥 ∣ 𝑁 ∥ 𝑥})
12		reldvds 44768	. . . . . . . 8 ⊢ Rel ∥
13		relimasn 6038	. . . . . . . 8 ⊢ (Rel ∥ → ( ∥ “ {𝑁}) = {𝑥 ∣ 𝑁 ∥ 𝑥})
14	12, 13	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ( ∥ “ {𝑁}) = {𝑥 ∣ 𝑁 ∥ 𝑥}
15	14	ineq2i 4147	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽...𝐾) ∩ ( ∥ “ {𝑁})) = ((𝐽...𝐾) ∩ {𝑥 ∣ 𝑁 ∥ 𝑥})
16		incom 4139	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽...𝐾) ∩ ( ∥ “ {𝑁})) = (( ∥ “ {𝑁}) ∩ (𝐽...𝐾))
17	15, 16	eqtr3i 2764	. . . . 5 ⊢ ((𝐽...𝐾) ∩ {𝑥 ∣ 𝑁 ∥ 𝑥}) = (( ∥ “ {𝑁}) ∩ (𝐽...𝐾))
18	10, 11, 17	3eqtri 2766	. . . 4 ⊢ {𝑥 ∈ (𝐽...𝐾) ∣ 𝑁 ∥ (𝑥 − 0)} = (( ∥ “ {𝑁}) ∩ (𝐽...𝐾))
19	18	fveq2i 6831	. . 3 ⊢ (♯‘{𝑥 ∈ (𝐽...𝐾) ∣ 𝑁 ∥ (𝑥 − 0)}) = (♯‘(( ∥ “ {𝑁}) ∩ (𝐽...𝐾)))
20	19	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (♯‘{𝑥 ∈ (𝐽...𝐾) ∣ 𝑁 ∥ (𝑥 − 0)}) = (♯‘(( ∥ “ {𝑁}) ∩ (𝐽...𝐾))))
21		eluzelz 12790	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘(𝐽 − 1)) → 𝐾 ∈ ℤ)
22	3, 21	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
23	22	zcnd 12626	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℂ)
24	23	subid1d 11486	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 − 0) = 𝐾)
25	24	fvoveq1d 7379	. . 3 ⊢ (𝜑 → (⌊‘((𝐾 − 0) / 𝑁)) = (⌊‘(𝐾 / 𝑁)))
26		peano2zm 12562	. . . . . . 7 ⊢ (𝐽 ∈ ℤ → (𝐽 − 1) ∈ ℤ)
27	2, 26	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐽 − 1) ∈ ℤ)
28	27	zcnd 12626	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐽 − 1) ∈ ℂ)
29	28	subid1d 11486	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐽 − 1) − 0) = (𝐽 − 1))
30	29	fvoveq1d 7379	. . 3 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(((𝐽 − 1) − 0) / 𝑁)) = (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑁)))
31	25, 30	oveq12d 7375	. 2 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘((𝐾 − 0) / 𝑁)) − (⌊‘(((𝐽 − 1) − 0) / 𝑁))) = ((⌊‘(𝐾 / 𝑁)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑁))))
32	5, 20, 31	3eqtr3d 2782	1 ⊢ (𝜑 → (♯‘(( ∥ “ {𝑁}) ∩ (𝐽...𝐾))) = ((⌊‘(𝐾 / 𝑁)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑁))))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  {cab 2717  {crab 3391   ∩ cin 3882  {csn 4556   class class class wbr 5073   “ cima 5622  Rel wrel 5624  ‘cfv 6486  (class class class)co 7357  0cc0 11030  1c1 11031   − cmin 11369   / cdiv 11799  ℕcn 12166  ℤcz 12516  ℤ_≥cuz 12780  ...cfz 13453  ⌊cfl 13741  ♯chash 14284   ∥ cdvds 16213

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5219  ax-nul 5229  ax-pow 5295  ax-pr 5363  ax-un 7679  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107  ax-pre-sup 11108

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4263  df-if 4456  df-pw 4532  df-sn 4557  df-pr 4559  df-op 4563  df-uni 4840  df-int 4879  df-iun 4924  df-br 5074  df-opab 5136  df-mpt 5155  df-tr 5181  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7314  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7808  df-1st 7932  df-2nd 7933  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-1o 8396  df-er 8634  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-sup 9346  df-inf 9347  df-card 9855  df-pnf 11173  df-mnf 11174  df-xr 11175  df-ltxr 11176  df-le 11177  df-sub 11371  df-neg 11372  df-div 11800  df-nn 12167  df-n0 12430  df-z 12517  df-uz 12781  df-fz 13454  df-fl 13743  df-hash 14285  df-dvds 16214

This theorem is referenced by:  hashnzfz2  44774  hashnzfzclim  44775