Theorem hashnzfz 45107

Description: Special case of hashdvds 16860: the count of multiples in nℤ restricted to an interval. (Contributed by Steve Rodriguez, 20-Jan-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
hashnzfz.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
hashnzfz.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℤ)
hashnzfz.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘(𝐽 − 1)))

Assertion

Ref	Expression
hashnzfz	⊢ (𝜑 → (♯‘(( ∥ “ {𝑁}) ∩ (𝐽...𝐾))) = ((⌊‘(𝐾 / 𝑁)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑁))))

Proof of Theorem hashnzfz

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hashnzfz.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
2		hashnzfz.j	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℤ)
3		hashnzfz.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘(𝐽 − 1)))
4		0zd 12622	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
5	1, 2, 3, 4	hashdvds 16860	. 2 ⊢ (𝜑 → (♯‘{𝑥 ∈ (𝐽...𝐾) ∣ 𝑁 ∥ (𝑥 − 0)}) = ((⌊‘((𝐾 − 0) / 𝑁)) − (⌊‘(((𝐽 − 1) − 0) / 𝑁))))
6		elfzelz 13572	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐽...𝐾) → 𝑥 ∈ ℤ)
7	6	zcnd 12721	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐽...𝐾) → 𝑥 ∈ ℂ)
8	7	subid1d 11577	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐽...𝐾) → (𝑥 − 0) = 𝑥)
9	8	breq2d 5123	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐽...𝐾) → (𝑁 ∥ (𝑥 − 0) ↔ 𝑁 ∥ 𝑥))
10	9	rabbiia 3422	. . . . 5 ⊢ {𝑥 ∈ (𝐽...𝐾) ∣ 𝑁 ∥ (𝑥 − 0)} = {𝑥 ∈ (𝐽...𝐾) ∣ 𝑁 ∥ 𝑥}
11		dfrab3 4272	. . . . 5 ⊢ {𝑥 ∈ (𝐽...𝐾) ∣ 𝑁 ∥ 𝑥} = ((𝐽...𝐾) ∩ {𝑥 ∣ 𝑁 ∥ 𝑥})
12		reldvds 45102	. . . . . . . 8 ⊢ Rel ∥
13		relimasn 6089	. . . . . . . 8 ⊢ (Rel ∥ → ( ∥ “ {𝑁}) = {𝑥 ∣ 𝑁 ∥ 𝑥})
14	12, 13	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ( ∥ “ {𝑁}) = {𝑥 ∣ 𝑁 ∥ 𝑥}
15	14	ineq2i 4170	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽...𝐾) ∩ ( ∥ “ {𝑁})) = ((𝐽...𝐾) ∩ {𝑥 ∣ 𝑁 ∥ 𝑥})
16		incom 4162	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽...𝐾) ∩ ( ∥ “ {𝑁})) = (( ∥ “ {𝑁}) ∩ (𝐽...𝐾))
17	15, 16	eqtr3i 2790	. . . . 5 ⊢ ((𝐽...𝐾) ∩ {𝑥 ∣ 𝑁 ∥ 𝑥}) = (( ∥ “ {𝑁}) ∩ (𝐽...𝐾))
18	10, 11, 17	3eqtri 2792	. . . 4 ⊢ {𝑥 ∈ (𝐽...𝐾) ∣ 𝑁 ∥ (𝑥 − 0)} = (( ∥ “ {𝑁}) ∩ (𝐽...𝐾))
19	18	fveq2i 6888	. . 3 ⊢ (♯‘{𝑥 ∈ (𝐽...𝐾) ∣ 𝑁 ∥ (𝑥 − 0)}) = (♯‘(( ∥ “ {𝑁}) ∩ (𝐽...𝐾)))
20	19	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (♯‘{𝑥 ∈ (𝐽...𝐾) ∣ 𝑁 ∥ (𝑥 − 0)}) = (♯‘(( ∥ “ {𝑁}) ∩ (𝐽...𝐾))))
21		eluzelz 12892	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘(𝐽 − 1)) → 𝐾 ∈ ℤ)
22	3, 21	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
23	22	zcnd 12721	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℂ)
24	23	subid1d 11577	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 − 0) = 𝐾)
25	24	fvoveq1d 7441	. . 3 ⊢ (𝜑 → (⌊‘((𝐾 − 0) / 𝑁)) = (⌊‘(𝐾 / 𝑁)))
26		peano2zm 12656	. . . . . . 7 ⊢ (𝐽 ∈ ℤ → (𝐽 − 1) ∈ ℤ)
27	2, 26	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐽 − 1) ∈ ℤ)
28	27	zcnd 12721	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐽 − 1) ∈ ℂ)
29	28	subid1d 11577	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐽 − 1) − 0) = (𝐽 − 1))
30	29	fvoveq1d 7441	. . 3 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(((𝐽 − 1) − 0) / 𝑁)) = (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑁)))
31	25, 30	oveq12d 7437	. 2 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘((𝐾 − 0) / 𝑁)) − (⌊‘(((𝐽 − 1) − 0) / 𝑁))) = ((⌊‘(𝐾 / 𝑁)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑁))))
32	5, 20, 31	3eqtr3d 2808	1 ⊢ (𝜑 → (♯‘(( ∥ “ {𝑁}) ∩ (𝐽...𝐾))) = ((⌊‘(𝐾 / 𝑁)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑁))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  {cab 2743  {crab 3418   ∩ cin 3905  {csn 4591   class class class wbr 5111   “ cima 5666  Rel wrel 5668  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  0cc0 11119  1c1 11120   − cmin 11460   / cdiv 11890  ℕcn 12252  ℤcz 12610  ℤ_≥cuz 12882  ...cfz 13555  ⌊cfl 13845  ♯chash 14388   ∥ cdvds 16336

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11175  ax-resscn 11176  ax-1cn 11177  ax-icn 11178  ax-addcl 11179  ax-addrcl 11180  ax-mulcl 11181  ax-mulrcl 11182  ax-mulcom 11183  ax-addass 11184  ax-mulass 11185  ax-distr 11186  ax-i2m1 11187  ax-1ne0 11188  ax-1rid 11189  ax-rnegex 11190  ax-rrecex 11191  ax-cnre 11192  ax-pre-lttri 11193  ax-pre-lttrn 11194  ax-pre-ltadd 11195  ax-pre-mulgt0 11196  ax-pre-sup 11197

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-sup 9409  df-inf 9410  df-card 9941  df-pnf 11264  df-mnf 11265  df-xr 11266  df-ltxr 11267  df-le 11268  df-sub 11462  df-neg 11463  df-div 11891  df-nn 12253  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12883  df-fz 13556  df-fl 13847  df-hash 14389  df-dvds 16337

This theorem is used by:  hashnzfz2  45108  hashnzfzclim  45109