Users' Mathboxes Mathbox for Steve Rodriguez < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hashnzfz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hashnzfz 43896
Description: Special case of hashdvds 16747: the count of multiples in nℤ restricted to an interval. (Contributed by Steve Rodriguez, 20-Jan-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
hashnzfz.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
hashnzfz.j (𝜑𝐽 ∈ ℤ)
hashnzfz.k (𝜑𝐾 ∈ (ℤ‘(𝐽 − 1)))
Assertion
Ref Expression
hashnzfz (𝜑 → (♯‘(( ∥ “ {𝑁}) ∩ (𝐽...𝐾))) = ((⌊‘(𝐾 / 𝑁)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑁))))

Proof of Theorem hashnzfz
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hashnzfz.n . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
2 hashnzfz.j . . 3 (𝜑𝐽 ∈ ℤ)
3 hashnzfz.k . . 3 (𝜑𝐾 ∈ (ℤ‘(𝐽 − 1)))
4 0zd 12603 . . 3 (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
51, 2, 3, 4hashdvds 16747 . 2 (𝜑 → (♯‘{𝑥 ∈ (𝐽...𝐾) ∣ 𝑁 ∥ (𝑥 − 0)}) = ((⌊‘((𝐾 − 0) / 𝑁)) − (⌊‘(((𝐽 − 1) − 0) / 𝑁))))
6 elfzelz 13536 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (𝐽...𝐾) → 𝑥 ∈ ℤ)
76zcnd 12700 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (𝐽...𝐾) → 𝑥 ∈ ℂ)
87subid1d 11592 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (𝐽...𝐾) → (𝑥 − 0) = 𝑥)
98breq2d 5161 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (𝐽...𝐾) → (𝑁 ∥ (𝑥 − 0) ↔ 𝑁𝑥))
109rabbiia 3422 . . . . 5 {𝑥 ∈ (𝐽...𝐾) ∣ 𝑁 ∥ (𝑥 − 0)} = {𝑥 ∈ (𝐽...𝐾) ∣ 𝑁𝑥}
11 dfrab3 4308 . . . . 5 {𝑥 ∈ (𝐽...𝐾) ∣ 𝑁𝑥} = ((𝐽...𝐾) ∩ {𝑥𝑁𝑥})
12 reldvds 43891 . . . . . . . 8 Rel ∥
13 relimasn 6089 . . . . . . . 8 (Rel ∥ → ( ∥ “ {𝑁}) = {𝑥𝑁𝑥})
1412, 13ax-mp 5 . . . . . . 7 ( ∥ “ {𝑁}) = {𝑥𝑁𝑥}
1514ineq2i 4207 . . . . . 6 ((𝐽...𝐾) ∩ ( ∥ “ {𝑁})) = ((𝐽...𝐾) ∩ {𝑥𝑁𝑥})
16 incom 4199 . . . . . 6 ((𝐽...𝐾) ∩ ( ∥ “ {𝑁})) = (( ∥ “ {𝑁}) ∩ (𝐽...𝐾))
1715, 16eqtr3i 2755 . . . . 5 ((𝐽...𝐾) ∩ {𝑥𝑁𝑥}) = (( ∥ “ {𝑁}) ∩ (𝐽...𝐾))
1810, 11, 173eqtri 2757 . . . 4 {𝑥 ∈ (𝐽...𝐾) ∣ 𝑁 ∥ (𝑥 − 0)} = (( ∥ “ {𝑁}) ∩ (𝐽...𝐾))
1918fveq2i 6899 . . 3 (♯‘{𝑥 ∈ (𝐽...𝐾) ∣ 𝑁 ∥ (𝑥 − 0)}) = (♯‘(( ∥ “ {𝑁}) ∩ (𝐽...𝐾)))
2019a1i 11 . 2 (𝜑 → (♯‘{𝑥 ∈ (𝐽...𝐾) ∣ 𝑁 ∥ (𝑥 − 0)}) = (♯‘(( ∥ “ {𝑁}) ∩ (𝐽...𝐾))))
21 eluzelz 12865 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ (ℤ‘(𝐽 − 1)) → 𝐾 ∈ ℤ)
223, 21syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐾 ∈ ℤ)
2322zcnd 12700 . . . . 5 (𝜑𝐾 ∈ ℂ)
2423subid1d 11592 . . . 4 (𝜑 → (𝐾 − 0) = 𝐾)
2524fvoveq1d 7441 . . 3 (𝜑 → (⌊‘((𝐾 − 0) / 𝑁)) = (⌊‘(𝐾 / 𝑁)))
26 peano2zm 12638 . . . . . . 7 (𝐽 ∈ ℤ → (𝐽 − 1) ∈ ℤ)
272, 26syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐽 − 1) ∈ ℤ)
2827zcnd 12700 . . . . 5 (𝜑 → (𝐽 − 1) ∈ ℂ)
2928subid1d 11592 . . . 4 (𝜑 → ((𝐽 − 1) − 0) = (𝐽 − 1))
3029fvoveq1d 7441 . . 3 (𝜑 → (⌊‘(((𝐽 − 1) − 0) / 𝑁)) = (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑁)))
3125, 30oveq12d 7437 . 2 (𝜑 → ((⌊‘((𝐾 − 0) / 𝑁)) − (⌊‘(((𝐽 − 1) − 0) / 𝑁))) = ((⌊‘(𝐾 / 𝑁)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑁))))
325, 20, 313eqtr3d 2773 1 (𝜑 → (♯‘(( ∥ “ {𝑁}) ∩ (𝐽...𝐾))) = ((⌊‘(𝐾 / 𝑁)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑁))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1533  wcel 2098  {cab 2702  {crab 3418  cin 3943  {csn 4630   class class class wbr 5149  cima 5681  Rel wrel 5683  cfv 6549  (class class class)co 7419  0cc0 11140  1c1 11141  cmin 11476   / cdiv 11903  cn 12245  cz 12591  cuz 12855  ...cfz 13519  cfl 13791  chash 14325  cdvds 16234
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217  ax-pre-sup 11218
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-sup 9467  df-inf 9468  df-card 9964  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-div 11904  df-nn 12246  df-n0 12506  df-z 12592  df-uz 12856  df-fz 13520  df-fl 13793  df-hash 14326  df-dvds 16235
This theorem is referenced by:  hashnzfz2  43897  hashnzfzclim  43898
  Copyright terms: Public domain W3C validator