Theorem hashnzfz2 44902

Description: Special case of hashnzfz 44901: the count of multiples in nℤ, n greater than one, restricted to an interval starting at two. (Contributed by Steve Rodriguez, 20-Jan-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
hashnzfz2.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))
hashnzfz2.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
hashnzfz2	⊢ (𝜑 → (♯‘(( ∥ “ {𝑁}) ∩ (2...𝐾))) = (⌊‘(𝐾 / 𝑁)))

Proof of Theorem hashnzfz2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn 12293	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ
2		uznnssnn 12898	. . . . 5 ⊢ (2 ∈ ℕ → (ℤ≥‘2) ⊆ ℕ)
3	1, 2	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (ℤ≥‘2) ⊆ ℕ
4		hashnzfz2.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))
5	3, 4	sselid 3936	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
6		2z 12605	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℤ
7	6	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℤ)
8		hashnzfz2.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ)
9		nnuz 12880	. . . . 5 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
10		2m1e1 12344	. . . . . 6 ⊢ (2 − 1) = 1
11	10	fveq2i 6872	. . . . 5 ⊢ (ℤ≥‘(2 − 1)) = (ℤ≥‘1)
12	9, 11	eqtr4i 2790	. . . 4 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘(2 − 1))
13	8, 12	eleqtrdi 2874	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘(2 − 1)))
14	5, 7, 13	hashnzfz 44901	. 2 ⊢ (𝜑 → (♯‘(( ∥ “ {𝑁}) ∩ (2...𝐾))) = ((⌊‘(𝐾 / 𝑁)) − (⌊‘((2 − 1) / 𝑁))))
15	10	oveq1i 7408	. . . . 5 ⊢ ((2 − 1) / 𝑁) = (1 / 𝑁)
16	15	fveq2i 6872	. . . 4 ⊢ (⌊‘((2 − 1) / 𝑁)) = (⌊‘(1 / 𝑁))
17		0red 11186	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
18	5	nnrecred 12266	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝑁) ∈ ℝ)
19	5	nnred 12227	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
20	5	nngt0d 12264	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑁)
21	19, 20	recgt0d 12128	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 < (1 / 𝑁))
22	17, 18, 21	ltled 11333	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (1 / 𝑁))
23		eluzle 12854	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 2 ≤ 𝑁)
24	4, 23	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 2 ≤ 𝑁)
25	5	nnzd 12596	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
26		zlem1lt 12625	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (2 ≤ 𝑁 ↔ (2 − 1) < 𝑁))
27	6, 25, 26	sylancr 596	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (2 ≤ 𝑁 ↔ (2 − 1) < 𝑁))
28	24, 27	mpbid 234	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (2 − 1) < 𝑁)
29	10, 28	eqbrtrrid 5138	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 1 < 𝑁)
30	5	nnrpd 13037	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ+)
31	30	recgt1d 13053	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1 < 𝑁 ↔ (1 / 𝑁) < 1))
32	29, 31	mpbid 234	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝑁) < 1)
33		0p1e1 12340	. . . . . 6 ⊢ (0 + 1) = 1
34	32, 33	breqtrrdi 5144	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝑁) < (0 + 1))
35		0z 12581	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℤ
36		flbi 13828	. . . . . 6 ⊢ (((1 / 𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℤ) → ((⌊‘(1 / 𝑁)) = 0 ↔ (0 ≤ (1 / 𝑁) ∧ (1 / 𝑁) < (0 + 1))))
37	18, 35, 36	sylancl 595	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘(1 / 𝑁)) = 0 ↔ (0 ≤ (1 / 𝑁) ∧ (1 / 𝑁) < (0 + 1))))
38	22, 34, 37	mpbir2and 723	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(1 / 𝑁)) = 0)
39	16, 38	eqtrid 2811	. . 3 ⊢ (𝜑 → (⌊‘((2 − 1) / 𝑁)) = 0)
40	39	oveq2d 7414	. 2 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘(𝐾 / 𝑁)) − (⌊‘((2 − 1) / 𝑁))) = ((⌊‘(𝐾 / 𝑁)) − 0))
41	8	nnred 12227	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℝ)
42	41, 5	nndivred 12269	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 / 𝑁) ∈ ℝ)
43	42	flcld 13810	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝐾 / 𝑁)) ∈ ℤ)
44	43	zcnd 12680	. . 3 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝐾 / 𝑁)) ∈ ℂ)
45	44	subid1d 11533	. 2 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘(𝐾 / 𝑁)) − 0) = (⌊‘(𝐾 / 𝑁)))
46	14, 40, 45	3eqtrd 2803	1 ⊢ (𝜑 → (♯‘(( ∥ “ {𝑁}) ∩ (2...𝐾))) = (⌊‘(𝐾 / 𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   = wceq 1562   ∈ wcel 2144   ∩ cin 3905   ⊆ wss 3906  {csn 4584   class class class wbr 5102   “ cima 5652  ‘cfv 6523  (class class class)co 7398  ℝcr 11074  0cc0 11075  1c1 11076   + caddc 11078   < clt 11218   ≤ cle 11219   − cmin 11416   / cdiv 11846  ℕcn 12212  2c2 12274  ℤcz 12570  ℤ_≥cuz 12841  ...cfz 13514  ⌊cfl 13802  ♯chash 14345   ∥ cdvds 16288

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2214  ax-ext 2736  ax-sep 5248  ax-nul 5258  ax-pow 5324  ax-pr 5392  ax-un 7720  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-nf 1806  df-sb 2093  df-mo 2568  df-eu 2598  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3458  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5544  df-eprel 5549  df-po 5557  df-so 5558  df-fr 5602  df-we 5604  df-xp 5655  df-rel 5656  df-cnv 5657  df-co 5658  df-dm 5659  df-rn 5660  df-res 5661  df-ima 5662  df-pred 6290  df-ord 6351  df-on 6352  df-lim 6353  df-suc 6354  df-iota 6479  df-fun 6525  df-fn 6526  df-f 6527  df-f1 6528  df-fo 6529  df-f1o 6530  df-fv 6531  df-riota 7355  df-ov 7401  df-oprab 7402  df-mpo 7403  df-om 7849  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8344  df-rdg 8383  df-1o 8439  df-er 8680  df-en 8930  df-dom 8931  df-sdom 8932  df-fin 8933  df-sup 9390  df-inf 9391  df-card 9899  df-pnf 11220  df-mnf 11221  df-xr 11222  df-ltxr 11223  df-le 11224  df-sub 11418  df-neg 11419  df-div 11847  df-nn 12213  df-2 12282  df-n0 12484  df-z 12571  df-uz 12842  df-rp 12996  df-fz 13515  df-fl 13804  df-hash 14346  df-dvds 16289

This theorem is referenced by: (None)