Theorem hashnzfz2 45159

Description: Special case of hashnzfz 45158: the count of multiples in nℤ, n greater than one, restricted to an interval starting at two. (Contributed by Steve Rodriguez, 20-Jan-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
hashnzfz2.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))
hashnzfz2.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
hashnzfz2	⊢ (𝜑 → (♯‘(( ∥ “ {𝑁}) ∩ (2...𝐾))) = (⌊‘(𝐾 / 𝑁)))

Proof of Theorem hashnzfz2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn 12360	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ
2		uznnssnn 12966	. . . . 5 ⊢ (2 ∈ ℕ → (ℤ≥‘2) ⊆ ℕ)
3	1, 2	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (ℤ≥‘2) ⊆ ℕ
4		hashnzfz2.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))
5	3, 4	sselid 3929	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
6		2z 12672	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℤ
7	6	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℤ)
8		hashnzfz2.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ)
9		nnuz 12948	. . . . 5 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
10		2m1e1 12411	. . . . . 6 ⊢ (2 − 1) = 1
11	10	fveq2i 6883	. . . . 5 ⊢ (ℤ≥‘(2 − 1)) = (ℤ≥‘1)
12	9, 11	eqtr4i 2786	. . . 4 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘(2 − 1))
13	8, 12	eleqtrdi 2870	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘(2 − 1)))
14	5, 7, 13	hashnzfz 45158	. 2 ⊢ (𝜑 → (♯‘(( ∥ “ {𝑁}) ∩ (2...𝐾))) = ((⌊‘(𝐾 / 𝑁)) − (⌊‘((2 − 1) / 𝑁))))
15	10	oveq1i 7425	. . . . 5 ⊢ ((2 − 1) / 𝑁) = (1 / 𝑁)
16	15	fveq2i 6883	. . . 4 ⊢ (⌊‘((2 − 1) / 𝑁)) = (⌊‘(1 / 𝑁))
17		0red 11257	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
18	5	nnrecred 12333	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝑁) ∈ ℝ)
19	5	nnred 12294	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
20	5	nngt0d 12331	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑁)
21	19, 20	recgt0d 12195	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 < (1 / 𝑁))
22	17, 18, 21	ltled 11404	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (1 / 𝑁))
23		eluzle 12922	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 2 ≤ 𝑁)
24	4, 23	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 2 ≤ 𝑁)
25	5	nnzd 12663	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
26		zlem1lt 12692	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (2 ≤ 𝑁 ↔ (2 − 1) < 𝑁))
27	6, 25, 26	sylancr 599	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (2 ≤ 𝑁 ↔ (2 − 1) < 𝑁))
28	24, 27	mpbid 235	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (2 − 1) < 𝑁)
29	10, 28	eqbrtrrid 5141	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 1 < 𝑁)
30	5	nnrpd 13106	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ+)
31	30	recgt1d 13122	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1 < 𝑁 ↔ (1 / 𝑁) < 1))
32	29, 31	mpbid 235	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝑁) < 1)
33		0p1e1 12407	. . . . . 6 ⊢ (0 + 1) = 1
34	32, 33	breqtrrdi 5147	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝑁) < (0 + 1))
35		0z 12648	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℤ
36		flbi 13899	. . . . . 6 ⊢ (((1 / 𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℤ) → ((⌊‘(1 / 𝑁)) = 0 ↔ (0 ≤ (1 / 𝑁) ∧ (1 / 𝑁) < (0 + 1))))
37	18, 35, 36	sylancl 598	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘(1 / 𝑁)) = 0 ↔ (0 ≤ (1 / 𝑁) ∧ (1 / 𝑁) < (0 + 1))))
38	22, 34, 37	mpbir2and 726	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(1 / 𝑁)) = 0)
39	16, 38	eqtrid 2807	. . 3 ⊢ (𝜑 → (⌊‘((2 − 1) / 𝑁)) = 0)
40	39	oveq2d 7431	. 2 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘(𝐾 / 𝑁)) − (⌊‘((2 − 1) / 𝑁))) = ((⌊‘(𝐾 / 𝑁)) − 0))
41	8	nnred 12294	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℝ)
42	41, 5	nndivred 12336	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 / 𝑁) ∈ ℝ)
43	42	flcld 13881	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝐾 / 𝑁)) ∈ ℤ)
44	43	zcnd 12748	. . 3 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝐾 / 𝑁)) ∈ ℂ)
45	44	subid1d 11604	. 2 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘(𝐾 / 𝑁)) − 0) = (⌊‘(𝐾 / 𝑁)))
46	14, 40, 45	3eqtrd 2799	1 ⊢ (𝜑 → (♯‘(( ∥ “ {𝑁}) ∩ (2...𝐾))) = (⌊‘(𝐾 / 𝑁)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ∩ cin 3898   ⊆ wss 3899  {csn 4584   class class class wbr 5103   “ cima 5658  ‘cfv 6534  (class class class)co 7415  ℝcr 11145  0cc0 11146  1c1 11147   + caddc 11149   < clt 11289   ≤ cle 11290   − cmin 11487   / cdiv 11917  ℕcn 12279  2c2 12341  ℤcz 12637  ℤ_≥cuz 12909  ...cfz 13583  ⌊cfl 13873  ♯chash 14416   ∥ cdvds 16364

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7738  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6300  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6490  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7372  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8282  df-wrecs 8313  df-recs 8362  df-rdg 8401  df-1o 8459  df-er 8700  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-fin 8960  df-sup 9416  df-inf 9417  df-card 9966  df-pnf 11291  df-mnf 11292  df-xr 11293  df-ltxr 11294  df-le 11295  df-sub 11489  df-neg 11490  df-div 11918  df-nn 12280  df-2 12349  df-n0 12551  df-z 12638  df-uz 12910  df-rp 13065  df-fz 13584  df-fl 13875  df-hash 14417  df-dvds 16365

This theorem is used by: (None)