Users' Mathboxes Mathbox for Steve Rodriguez < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hashnzfz2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hashnzfz2 44340
Description: Special case of hashnzfz 44339: the count of multiples in nℤ, n greater than one, restricted to an interval starting at two. (Contributed by Steve Rodriguez, 20-Jan-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
hashnzfz2.n (𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘2))
hashnzfz2.k (𝜑𝐾 ∈ ℕ)
Assertion
Ref Expression
hashnzfz2 (𝜑 → (♯‘(( ∥ “ {𝑁}) ∩ (2...𝐾))) = (⌊‘(𝐾 / 𝑁)))

Proof of Theorem hashnzfz2
StepHypRef Expression
1 2nn 12339 . . . . 5 2 ∈ ℕ
2 uznnssnn 12937 . . . . 5 (2 ∈ ℕ → (ℤ‘2) ⊆ ℕ)
31, 2ax-mp 5 . . . 4 (ℤ‘2) ⊆ ℕ
4 hashnzfz2.n . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘2))
53, 4sselid 3981 . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
6 2z 12649 . . . 4 2 ∈ ℤ
76a1i 11 . . 3 (𝜑 → 2 ∈ ℤ)
8 hashnzfz2.k . . . 4 (𝜑𝐾 ∈ ℕ)
9 nnuz 12921 . . . . 5 ℕ = (ℤ‘1)
10 2m1e1 12392 . . . . . 6 (2 − 1) = 1
1110fveq2i 6909 . . . . 5 (ℤ‘(2 − 1)) = (ℤ‘1)
129, 11eqtr4i 2768 . . . 4 ℕ = (ℤ‘(2 − 1))
138, 12eleqtrdi 2851 . . 3 (𝜑𝐾 ∈ (ℤ‘(2 − 1)))
145, 7, 13hashnzfz 44339 . 2 (𝜑 → (♯‘(( ∥ “ {𝑁}) ∩ (2...𝐾))) = ((⌊‘(𝐾 / 𝑁)) − (⌊‘((2 − 1) / 𝑁))))
1510oveq1i 7441 . . . . 5 ((2 − 1) / 𝑁) = (1 / 𝑁)
1615fveq2i 6909 . . . 4 (⌊‘((2 − 1) / 𝑁)) = (⌊‘(1 / 𝑁))
17 0red 11264 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
185nnrecred 12317 . . . . . 6 (𝜑 → (1 / 𝑁) ∈ ℝ)
195nnred 12281 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
205nngt0d 12315 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 < 𝑁)
2119, 20recgt0d 12202 . . . . . 6 (𝜑 → 0 < (1 / 𝑁))
2217, 18, 21ltled 11409 . . . . 5 (𝜑 → 0 ≤ (1 / 𝑁))
23 eluzle 12891 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 2 ≤ 𝑁)
244, 23syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 2 ≤ 𝑁)
255nnzd 12640 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
26 zlem1lt 12669 . . . . . . . . . 10 ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (2 ≤ 𝑁 ↔ (2 − 1) < 𝑁))
276, 25, 26sylancr 587 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (2 ≤ 𝑁 ↔ (2 − 1) < 𝑁))
2824, 27mpbid 232 . . . . . . . 8 (𝜑 → (2 − 1) < 𝑁)
2910, 28eqbrtrrid 5179 . . . . . . 7 (𝜑 → 1 < 𝑁)
305nnrpd 13075 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ ℝ+)
3130recgt1d 13091 . . . . . . 7 (𝜑 → (1 < 𝑁 ↔ (1 / 𝑁) < 1))
3229, 31mpbid 232 . . . . . 6 (𝜑 → (1 / 𝑁) < 1)
33 0p1e1 12388 . . . . . 6 (0 + 1) = 1
3432, 33breqtrrdi 5185 . . . . 5 (𝜑 → (1 / 𝑁) < (0 + 1))
35 0z 12624 . . . . . 6 0 ∈ ℤ
36 flbi 13856 . . . . . 6 (((1 / 𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℤ) → ((⌊‘(1 / 𝑁)) = 0 ↔ (0 ≤ (1 / 𝑁) ∧ (1 / 𝑁) < (0 + 1))))
3718, 35, 36sylancl 586 . . . . 5 (𝜑 → ((⌊‘(1 / 𝑁)) = 0 ↔ (0 ≤ (1 / 𝑁) ∧ (1 / 𝑁) < (0 + 1))))
3822, 34, 37mpbir2and 713 . . . 4 (𝜑 → (⌊‘(1 / 𝑁)) = 0)
3916, 38eqtrid 2789 . . 3 (𝜑 → (⌊‘((2 − 1) / 𝑁)) = 0)
4039oveq2d 7447 . 2 (𝜑 → ((⌊‘(𝐾 / 𝑁)) − (⌊‘((2 − 1) / 𝑁))) = ((⌊‘(𝐾 / 𝑁)) − 0))
418nnred 12281 . . . . . 6 (𝜑𝐾 ∈ ℝ)
4241, 5nndivred 12320 . . . . 5 (𝜑 → (𝐾 / 𝑁) ∈ ℝ)
4342flcld 13838 . . . 4 (𝜑 → (⌊‘(𝐾 / 𝑁)) ∈ ℤ)
4443zcnd 12723 . . 3 (𝜑 → (⌊‘(𝐾 / 𝑁)) ∈ ℂ)
4544subid1d 11609 . 2 (𝜑 → ((⌊‘(𝐾 / 𝑁)) − 0) = (⌊‘(𝐾 / 𝑁)))
4614, 40, 453eqtrd 2781 1 (𝜑 → (♯‘(( ∥ “ {𝑁}) ∩ (2...𝐾))) = (⌊‘(𝐾 / 𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  cin 3950  wss 3951  {csn 4626   class class class wbr 5143  cima 5688  cfv 6561  (class class class)co 7431  cr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   < clt 11295  cle 11296  cmin 11492   / cdiv 11920  cn 12266  2c2 12321  cz 12613  cuz 12878  ...cfz 13547  cfl 13830  chash 14369  cdvds 16290
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-inf 9483  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-fz 13548  df-fl 13832  df-hash 14370  df-dvds 16291
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator