Users' Mathboxes Mathbox for Steve Rodriguez < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hashnzfz2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hashnzfz2 42689
Description: Special case of hashnzfz 42688: the count of multiples in nℤ, n greater than one, restricted to an interval starting at two. (Contributed by Steve Rodriguez, 20-Jan-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
hashnzfz2.n (𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘2))
hashnzfz2.k (𝜑𝐾 ∈ ℕ)
Assertion
Ref Expression
hashnzfz2 (𝜑 → (♯‘(( ∥ “ {𝑁}) ∩ (2...𝐾))) = (⌊‘(𝐾 / 𝑁)))

Proof of Theorem hashnzfz2
StepHypRef Expression
1 2nn 12231 . . . . 5 2 ∈ ℕ
2 uznnssnn 12825 . . . . 5 (2 ∈ ℕ → (ℤ‘2) ⊆ ℕ)
31, 2ax-mp 5 . . . 4 (ℤ‘2) ⊆ ℕ
4 hashnzfz2.n . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘2))
53, 4sselid 3943 . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
6 2z 12540 . . . 4 2 ∈ ℤ
76a1i 11 . . 3 (𝜑 → 2 ∈ ℤ)
8 hashnzfz2.k . . . 4 (𝜑𝐾 ∈ ℕ)
9 nnuz 12811 . . . . 5 ℕ = (ℤ‘1)
10 2m1e1 12284 . . . . . 6 (2 − 1) = 1
1110fveq2i 6846 . . . . 5 (ℤ‘(2 − 1)) = (ℤ‘1)
129, 11eqtr4i 2764 . . . 4 ℕ = (ℤ‘(2 − 1))
138, 12eleqtrdi 2844 . . 3 (𝜑𝐾 ∈ (ℤ‘(2 − 1)))
145, 7, 13hashnzfz 42688 . 2 (𝜑 → (♯‘(( ∥ “ {𝑁}) ∩ (2...𝐾))) = ((⌊‘(𝐾 / 𝑁)) − (⌊‘((2 − 1) / 𝑁))))
1510oveq1i 7368 . . . . 5 ((2 − 1) / 𝑁) = (1 / 𝑁)
1615fveq2i 6846 . . . 4 (⌊‘((2 − 1) / 𝑁)) = (⌊‘(1 / 𝑁))
17 0red 11163 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
185nnrecred 12209 . . . . . 6 (𝜑 → (1 / 𝑁) ∈ ℝ)
195nnred 12173 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
205nngt0d 12207 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 < 𝑁)
2119, 20recgt0d 12094 . . . . . 6 (𝜑 → 0 < (1 / 𝑁))
2217, 18, 21ltled 11308 . . . . 5 (𝜑 → 0 ≤ (1 / 𝑁))
23 eluzle 12781 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 2 ≤ 𝑁)
244, 23syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 2 ≤ 𝑁)
255nnzd 12531 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
26 zlem1lt 12560 . . . . . . . . . 10 ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (2 ≤ 𝑁 ↔ (2 − 1) < 𝑁))
276, 25, 26sylancr 588 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (2 ≤ 𝑁 ↔ (2 − 1) < 𝑁))
2824, 27mpbid 231 . . . . . . . 8 (𝜑 → (2 − 1) < 𝑁)
2910, 28eqbrtrrid 5142 . . . . . . 7 (𝜑 → 1 < 𝑁)
305nnrpd 12960 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ ℝ+)
3130recgt1d 12976 . . . . . . 7 (𝜑 → (1 < 𝑁 ↔ (1 / 𝑁) < 1))
3229, 31mpbid 231 . . . . . 6 (𝜑 → (1 / 𝑁) < 1)
33 0p1e1 12280 . . . . . 6 (0 + 1) = 1
3432, 33breqtrrdi 5148 . . . . 5 (𝜑 → (1 / 𝑁) < (0 + 1))
35 0z 12515 . . . . . 6 0 ∈ ℤ
36 flbi 13727 . . . . . 6 (((1 / 𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℤ) → ((⌊‘(1 / 𝑁)) = 0 ↔ (0 ≤ (1 / 𝑁) ∧ (1 / 𝑁) < (0 + 1))))
3718, 35, 36sylancl 587 . . . . 5 (𝜑 → ((⌊‘(1 / 𝑁)) = 0 ↔ (0 ≤ (1 / 𝑁) ∧ (1 / 𝑁) < (0 + 1))))
3822, 34, 37mpbir2and 712 . . . 4 (𝜑 → (⌊‘(1 / 𝑁)) = 0)
3916, 38eqtrid 2785 . . 3 (𝜑 → (⌊‘((2 − 1) / 𝑁)) = 0)
4039oveq2d 7374 . 2 (𝜑 → ((⌊‘(𝐾 / 𝑁)) − (⌊‘((2 − 1) / 𝑁))) = ((⌊‘(𝐾 / 𝑁)) − 0))
418nnred 12173 . . . . . 6 (𝜑𝐾 ∈ ℝ)
4241, 5nndivred 12212 . . . . 5 (𝜑 → (𝐾 / 𝑁) ∈ ℝ)
4342flcld 13709 . . . 4 (𝜑 → (⌊‘(𝐾 / 𝑁)) ∈ ℤ)
4443zcnd 12613 . . 3 (𝜑 → (⌊‘(𝐾 / 𝑁)) ∈ ℂ)
4544subid1d 11506 . 2 (𝜑 → ((⌊‘(𝐾 / 𝑁)) − 0) = (⌊‘(𝐾 / 𝑁)))
4614, 40, 453eqtrd 2777 1 (𝜑 → (♯‘(( ∥ “ {𝑁}) ∩ (2...𝐾))) = (⌊‘(𝐾 / 𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  cin 3910  wss 3911  {csn 4587   class class class wbr 5106  cima 5637  cfv 6497  (class class class)co 7358  cr 11055  0cc0 11056  1c1 11057   + caddc 11059   < clt 11194  cle 11195  cmin 11390   / cdiv 11817  cn 12158  2c2 12213  cz 12504  cuz 12768  ...cfz 13430  cfl 13701  chash 14236  cdvds 16141
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-sup 9383  df-inf 9384  df-card 9880  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-rp 12921  df-fz 13431  df-fl 13703  df-hash 14237  df-dvds 16142
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator