Users' Mathboxes Mathbox for Steve Rodriguez < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hashnzfz2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hashnzfz2 43823
Description: Special case of hashnzfz 43822: the count of multiples in nℤ, n greater than one, restricted to an interval starting at two. (Contributed by Steve Rodriguez, 20-Jan-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
hashnzfz2.n (𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘2))
hashnzfz2.k (𝜑𝐾 ∈ ℕ)
Assertion
Ref Expression
hashnzfz2 (𝜑 → (♯‘(( ∥ “ {𝑁}) ∩ (2...𝐾))) = (⌊‘(𝐾 / 𝑁)))

Proof of Theorem hashnzfz2
StepHypRef Expression
1 2nn 12315 . . . . 5 2 ∈ ℕ
2 uznnssnn 12909 . . . . 5 (2 ∈ ℕ → (ℤ‘2) ⊆ ℕ)
31, 2ax-mp 5 . . . 4 (ℤ‘2) ⊆ ℕ
4 hashnzfz2.n . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘2))
53, 4sselid 3970 . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
6 2z 12624 . . . 4 2 ∈ ℤ
76a1i 11 . . 3 (𝜑 → 2 ∈ ℤ)
8 hashnzfz2.k . . . 4 (𝜑𝐾 ∈ ℕ)
9 nnuz 12895 . . . . 5 ℕ = (ℤ‘1)
10 2m1e1 12368 . . . . . 6 (2 − 1) = 1
1110fveq2i 6895 . . . . 5 (ℤ‘(2 − 1)) = (ℤ‘1)
129, 11eqtr4i 2756 . . . 4 ℕ = (ℤ‘(2 − 1))
138, 12eleqtrdi 2835 . . 3 (𝜑𝐾 ∈ (ℤ‘(2 − 1)))
145, 7, 13hashnzfz 43822 . 2 (𝜑 → (♯‘(( ∥ “ {𝑁}) ∩ (2...𝐾))) = ((⌊‘(𝐾 / 𝑁)) − (⌊‘((2 − 1) / 𝑁))))
1510oveq1i 7426 . . . . 5 ((2 − 1) / 𝑁) = (1 / 𝑁)
1615fveq2i 6895 . . . 4 (⌊‘((2 − 1) / 𝑁)) = (⌊‘(1 / 𝑁))
17 0red 11247 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
185nnrecred 12293 . . . . . 6 (𝜑 → (1 / 𝑁) ∈ ℝ)
195nnred 12257 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
205nngt0d 12291 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 < 𝑁)
2119, 20recgt0d 12178 . . . . . 6 (𝜑 → 0 < (1 / 𝑁))
2217, 18, 21ltled 11392 . . . . 5 (𝜑 → 0 ≤ (1 / 𝑁))
23 eluzle 12865 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 2 ≤ 𝑁)
244, 23syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 2 ≤ 𝑁)
255nnzd 12615 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
26 zlem1lt 12644 . . . . . . . . . 10 ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (2 ≤ 𝑁 ↔ (2 − 1) < 𝑁))
276, 25, 26sylancr 585 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (2 ≤ 𝑁 ↔ (2 − 1) < 𝑁))
2824, 27mpbid 231 . . . . . . . 8 (𝜑 → (2 − 1) < 𝑁)
2910, 28eqbrtrrid 5179 . . . . . . 7 (𝜑 → 1 < 𝑁)
305nnrpd 13046 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ ℝ+)
3130recgt1d 13062 . . . . . . 7 (𝜑 → (1 < 𝑁 ↔ (1 / 𝑁) < 1))
3229, 31mpbid 231 . . . . . 6 (𝜑 → (1 / 𝑁) < 1)
33 0p1e1 12364 . . . . . 6 (0 + 1) = 1
3432, 33breqtrrdi 5185 . . . . 5 (𝜑 → (1 / 𝑁) < (0 + 1))
35 0z 12599 . . . . . 6 0 ∈ ℤ
36 flbi 13813 . . . . . 6 (((1 / 𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℤ) → ((⌊‘(1 / 𝑁)) = 0 ↔ (0 ≤ (1 / 𝑁) ∧ (1 / 𝑁) < (0 + 1))))
3718, 35, 36sylancl 584 . . . . 5 (𝜑 → ((⌊‘(1 / 𝑁)) = 0 ↔ (0 ≤ (1 / 𝑁) ∧ (1 / 𝑁) < (0 + 1))))
3822, 34, 37mpbir2and 711 . . . 4 (𝜑 → (⌊‘(1 / 𝑁)) = 0)
3916, 38eqtrid 2777 . . 3 (𝜑 → (⌊‘((2 − 1) / 𝑁)) = 0)
4039oveq2d 7432 . 2 (𝜑 → ((⌊‘(𝐾 / 𝑁)) − (⌊‘((2 − 1) / 𝑁))) = ((⌊‘(𝐾 / 𝑁)) − 0))
418nnred 12257 . . . . . 6 (𝜑𝐾 ∈ ℝ)
4241, 5nndivred 12296 . . . . 5 (𝜑 → (𝐾 / 𝑁) ∈ ℝ)
4342flcld 13795 . . . 4 (𝜑 → (⌊‘(𝐾 / 𝑁)) ∈ ℤ)
4443zcnd 12697 . . 3 (𝜑 → (⌊‘(𝐾 / 𝑁)) ∈ ℂ)
4544subid1d 11590 . 2 (𝜑 → ((⌊‘(𝐾 / 𝑁)) − 0) = (⌊‘(𝐾 / 𝑁)))
4614, 40, 453eqtrd 2769 1 (𝜑 → (♯‘(( ∥ “ {𝑁}) ∩ (2...𝐾))) = (⌊‘(𝐾 / 𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098  cin 3938  wss 3939  {csn 4624   class class class wbr 5143  cima 5675  cfv 6543  (class class class)co 7416  cr 11137  0cc0 11138  1c1 11139   + caddc 11141   < clt 11278  cle 11279  cmin 11474   / cdiv 11901  cn 12242  2c2 12297  cz 12588  cuz 12852  ...cfz 13516  cfl 13787  chash 14321  cdvds 16230
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8723  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-sup 9465  df-inf 9466  df-card 9962  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-rp 13007  df-fz 13517  df-fl 13789  df-hash 14322  df-dvds 16231
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator