Theorem hashnzfz2 43656

Description: Special case of hashnzfz 43655: the count of multiples in nℤ, n greater than one, restricted to an interval starting at two. (Contributed by Steve Rodriguez, 20-Jan-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
hashnzfz2.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))
hashnzfz2.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
hashnzfz2	⊢ (𝜑 → (♯‘(( ∥ “ {𝑁}) ∩ (2...𝐾))) = (⌊‘(𝐾 / 𝑁)))

Proof of Theorem hashnzfz2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn 12289	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ
2		uznnssnn 12883	. . . . 5 ⊢ (2 ∈ ℕ → (ℤ≥‘2) ⊆ ℕ)
3	1, 2	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (ℤ≥‘2) ⊆ ℕ
4		hashnzfz2.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))
5	3, 4	sselid 3975	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
6		2z 12598	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℤ
7	6	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℤ)
8		hashnzfz2.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ)
9		nnuz 12869	. . . . 5 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
10		2m1e1 12342	. . . . . 6 ⊢ (2 − 1) = 1
11	10	fveq2i 6888	. . . . 5 ⊢ (ℤ≥‘(2 − 1)) = (ℤ≥‘1)
12	9, 11	eqtr4i 2757	. . . 4 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘(2 − 1))
13	8, 12	eleqtrdi 2837	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘(2 − 1)))
14	5, 7, 13	hashnzfz 43655	. 2 ⊢ (𝜑 → (♯‘(( ∥ “ {𝑁}) ∩ (2...𝐾))) = ((⌊‘(𝐾 / 𝑁)) − (⌊‘((2 − 1) / 𝑁))))
15	10	oveq1i 7415	. . . . 5 ⊢ ((2 − 1) / 𝑁) = (1 / 𝑁)
16	15	fveq2i 6888	. . . 4 ⊢ (⌊‘((2 − 1) / 𝑁)) = (⌊‘(1 / 𝑁))
17		0red 11221	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
18	5	nnrecred 12267	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝑁) ∈ ℝ)
19	5	nnred 12231	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
20	5	nngt0d 12265	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑁)
21	19, 20	recgt0d 12152	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 < (1 / 𝑁))
22	17, 18, 21	ltled 11366	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (1 / 𝑁))
23		eluzle 12839	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 2 ≤ 𝑁)
24	4, 23	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 2 ≤ 𝑁)
25	5	nnzd 12589	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
26		zlem1lt 12618	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (2 ≤ 𝑁 ↔ (2 − 1) < 𝑁))
27	6, 25, 26	sylancr 586	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (2 ≤ 𝑁 ↔ (2 − 1) < 𝑁))
28	24, 27	mpbid 231	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (2 − 1) < 𝑁)
29	10, 28	eqbrtrrid 5177	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 1 < 𝑁)
30	5	nnrpd 13020	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ+)
31	30	recgt1d 13036	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1 < 𝑁 ↔ (1 / 𝑁) < 1))
32	29, 31	mpbid 231	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝑁) < 1)
33		0p1e1 12338	. . . . . 6 ⊢ (0 + 1) = 1
34	32, 33	breqtrrdi 5183	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝑁) < (0 + 1))
35		0z 12573	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℤ
36		flbi 13787	. . . . . 6 ⊢ (((1 / 𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℤ) → ((⌊‘(1 / 𝑁)) = 0 ↔ (0 ≤ (1 / 𝑁) ∧ (1 / 𝑁) < (0 + 1))))
37	18, 35, 36	sylancl 585	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘(1 / 𝑁)) = 0 ↔ (0 ≤ (1 / 𝑁) ∧ (1 / 𝑁) < (0 + 1))))
38	22, 34, 37	mpbir2and 710	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(1 / 𝑁)) = 0)
39	16, 38	eqtrid 2778	. . 3 ⊢ (𝜑 → (⌊‘((2 − 1) / 𝑁)) = 0)
40	39	oveq2d 7421	. 2 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘(𝐾 / 𝑁)) − (⌊‘((2 − 1) / 𝑁))) = ((⌊‘(𝐾 / 𝑁)) − 0))
41	8	nnred 12231	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℝ)
42	41, 5	nndivred 12270	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 / 𝑁) ∈ ℝ)
43	42	flcld 13769	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝐾 / 𝑁)) ∈ ℤ)
44	43	zcnd 12671	. . 3 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝐾 / 𝑁)) ∈ ℂ)
45	44	subid1d 11564	. 2 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘(𝐾 / 𝑁)) − 0) = (⌊‘(𝐾 / 𝑁)))
46	14, 40, 45	3eqtrd 2770	1 ⊢ (𝜑 → (♯‘(( ∥ “ {𝑁}) ∩ (2...𝐾))) = (⌊‘(𝐾 / 𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ∩ cin 3942   ⊆ wss 3943  {csn 4623   class class class wbr 5141   “ cima 5672  ‘cfv 6537  (class class class)co 7405  ℝcr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   < clt 11252   ≤ cle 11253   − cmin 11448   / cdiv 11875  ℕcn 12216  2c2 12271  ℤcz 12562  ℤ_≥cuz 12826  ...cfz 13490  ⌊cfl 13761  ♯chash 14295   ∥ cdvds 16204

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12981  df-fz 13491  df-fl 13763  df-hash 14296  df-dvds 16205

This theorem is referenced by: (None)