Theorem hashnzfz2 44780

Description: Special case of hashnzfz 44779: the count of multiples in nℤ, n greater than one, restricted to an interval starting at two. (Contributed by Steve Rodriguez, 20-Jan-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
hashnzfz2.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))
hashnzfz2.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
hashnzfz2	⊢ (𝜑 → (♯‘(( ∥ “ {𝑁}) ∩ (2...𝐾))) = (⌊‘(𝐾 / 𝑁)))

Proof of Theorem hashnzfz2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn 12249	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ
2		uznnssnn 12840	. . . . 5 ⊢ (2 ∈ ℕ → (ℤ≥‘2) ⊆ ℕ)
3	1, 2	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (ℤ≥‘2) ⊆ ℕ
4		hashnzfz2.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))
5	3, 4	sselid 3915	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
6		2z 12554	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℤ
7	6	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℤ)
8		hashnzfz2.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ)
9		nnuz 12822	. . . . 5 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
10		2m1e1 12297	. . . . . 6 ⊢ (2 − 1) = 1
11	10	fveq2i 6834	. . . . 5 ⊢ (ℤ≥‘(2 − 1)) = (ℤ≥‘1)
12	9, 11	eqtr4i 2767	. . . 4 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘(2 − 1))
13	8, 12	eleqtrdi 2851	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘(2 − 1)))
14	5, 7, 13	hashnzfz 44779	. 2 ⊢ (𝜑 → (♯‘(( ∥ “ {𝑁}) ∩ (2...𝐾))) = ((⌊‘(𝐾 / 𝑁)) − (⌊‘((2 − 1) / 𝑁))))
15	10	oveq1i 7370	. . . . 5 ⊢ ((2 − 1) / 𝑁) = (1 / 𝑁)
16	15	fveq2i 6834	. . . 4 ⊢ (⌊‘((2 − 1) / 𝑁)) = (⌊‘(1 / 𝑁))
17		0red 11142	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
18	5	nnrecred 12223	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝑁) ∈ ℝ)
19	5	nnred 12184	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
20	5	nngt0d 12221	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑁)
21	19, 20	recgt0d 12085	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 < (1 / 𝑁))
22	17, 18, 21	ltled 11289	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (1 / 𝑁))
23		eluzle 12796	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 2 ≤ 𝑁)
24	4, 23	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 2 ≤ 𝑁)
25	5	nnzd 12545	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
26		zlem1lt 12574	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (2 ≤ 𝑁 ↔ (2 − 1) < 𝑁))
27	6, 25, 26	sylancr 594	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (2 ≤ 𝑁 ↔ (2 − 1) < 𝑁))
28	24, 27	mpbid 234	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (2 − 1) < 𝑁)
29	10, 28	eqbrtrrid 5111	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 1 < 𝑁)
30	5	nnrpd 12979	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ+)
31	30	recgt1d 12995	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1 < 𝑁 ↔ (1 / 𝑁) < 1))
32	29, 31	mpbid 234	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝑁) < 1)
33		0p1e1 12293	. . . . . 6 ⊢ (0 + 1) = 1
34	32, 33	breqtrrdi 5117	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝑁) < (0 + 1))
35		0z 12530	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℤ
36		flbi 13770	. . . . . 6 ⊢ (((1 / 𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℤ) → ((⌊‘(1 / 𝑁)) = 0 ↔ (0 ≤ (1 / 𝑁) ∧ (1 / 𝑁) < (0 + 1))))
37	18, 35, 36	sylancl 593	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘(1 / 𝑁)) = 0 ↔ (0 ≤ (1 / 𝑁) ∧ (1 / 𝑁) < (0 + 1))))
38	22, 34, 37	mpbir2and 720	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(1 / 𝑁)) = 0)
39	16, 38	eqtrid 2788	. . 3 ⊢ (𝜑 → (⌊‘((2 − 1) / 𝑁)) = 0)
40	39	oveq2d 7376	. 2 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘(𝐾 / 𝑁)) − (⌊‘((2 − 1) / 𝑁))) = ((⌊‘(𝐾 / 𝑁)) − 0))
41	8	nnred 12184	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℝ)
42	41, 5	nndivred 12226	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 / 𝑁) ∈ ℝ)
43	42	flcld 13752	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝐾 / 𝑁)) ∈ ℤ)
44	43	zcnd 12629	. . 3 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝐾 / 𝑁)) ∈ ℂ)
45	44	subid1d 11489	. 2 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘(𝐾 / 𝑁)) − 0) = (⌊‘(𝐾 / 𝑁)))
46	14, 40, 45	3eqtrd 2780	1 ⊢ (𝜑 → (♯‘(( ∥ “ {𝑁}) ∩ (2...𝐾))) = (⌊‘(𝐾 / 𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 397   = wceq 1548   ∈ wcel 2121   ∩ cin 3884   ⊆ wss 3885  {csn 4558   class class class wbr 5075   “ cima 5624  ‘cfv 6489  (class class class)co 7360  ℝcr 11032  0cc0 11033  1c1 11034   + caddc 11036   < clt 11174   ≤ cle 11175   − cmin 11372   / cdiv 11802  ℕcn 12169  2c2 12231  ℤcz 12519  ℤ_≥cuz 12783  ...cfz 13456  ⌊cfl 13744  ♯chash 14287   ∥ cdvds 16216

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7682  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110  ax-pre-sup 11111

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4842  df-int 4881  df-iun 4926  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-tr 5183  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-sup 9349  df-inf 9350  df-card 9858  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-div 11803  df-nn 12170  df-2 12239  df-n0 12433  df-z 12520  df-uz 12784  df-rp 12938  df-fz 13457  df-fl 13746  df-hash 14288  df-dvds 16217

This theorem is referenced by: (None)