Theorem nzprmdif 40096

Description: Subtract one prime's multiples from an unequal prime's. (Contributed by Steve Rodriguez, 20-Jan-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
nzprmdif.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℙ)
nzprmdif.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℙ)
nzprmdif.ne	⊢ (𝜑 → 𝑀 ≠ 𝑁)

Assertion

Ref	Expression
nzprmdif	⊢ (𝜑 → (( ∥ “ {𝑀}) ∖ ( ∥ “ {𝑁})) = (( ∥ “ {𝑀}) ∖ ( ∥ “ {(𝑀 · 𝑁)})))

Proof of Theorem nzprmdif

Step	Hyp	Ref	Expression
1		difin 4119	. . 3 ⊢ (( ∥ “ {𝑀}) ∖ (( ∥ “ {𝑀}) ∩ ( ∥ “ {𝑁}))) = (( ∥ “ {𝑀}) ∖ ( ∥ “ {𝑁}))
2		nzprmdif.m	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℙ)
3		prmz 15873	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℙ → 𝑀 ∈ ℤ)
4	2, 3	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
5		nzprmdif.n	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℙ)
6		prmz 15873	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℙ → 𝑁 ∈ ℤ)
7	5, 6	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
8	4, 7	nzin 40095	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (( ∥ “ {𝑀}) ∩ ( ∥ “ {𝑁})) = ( ∥ “ {(𝑀 lcm 𝑁)}))
9	8	difeq2d 3983	. . 3 ⊢ (𝜑 → (( ∥ “ {𝑀}) ∖ (( ∥ “ {𝑀}) ∩ ( ∥ “ {𝑁}))) = (( ∥ “ {𝑀}) ∖ ( ∥ “ {(𝑀 lcm 𝑁)})))
10	1, 9	syl5eqr 2822	. 2 ⊢ (𝜑 → (( ∥ “ {𝑀}) ∖ ( ∥ “ {𝑁})) = (( ∥ “ {𝑀}) ∖ ( ∥ “ {(𝑀 lcm 𝑁)})))
11		lcmgcd 15805	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 lcm 𝑁) · (𝑀 gcd 𝑁)) = (abs‘(𝑀 · 𝑁)))
12	4, 7, 11	syl2anc 576	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 lcm 𝑁) · (𝑀 gcd 𝑁)) = (abs‘(𝑀 · 𝑁)))
13		nzprmdif.ne	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≠ 𝑁)
14		prmrp 15910	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → ((𝑀 gcd 𝑁) = 1 ↔ 𝑀 ≠ 𝑁))
15	2, 5, 14	syl2anc 576	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 gcd 𝑁) = 1 ↔ 𝑀 ≠ 𝑁))
16	13, 15	mpbird 249	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑀 gcd 𝑁) = 1)
17	16	oveq2d 6990	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 lcm 𝑁) · (𝑀 gcd 𝑁)) = ((𝑀 lcm 𝑁) · 1))
18		lcmcl 15799	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 lcm 𝑁) ∈ ℕ0)
19	4, 7, 18	syl2anc 576	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑀 lcm 𝑁) ∈ ℕ0)
20	19	nn0cnd 11767	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑀 lcm 𝑁) ∈ ℂ)
21	20	mulid1d 10455	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 lcm 𝑁) · 1) = (𝑀 lcm 𝑁))
22	17, 21	eqtrd 2808	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 lcm 𝑁) · (𝑀 gcd 𝑁)) = (𝑀 lcm 𝑁))
23	4	zred 11898	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
24	7	zred 11898	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
25	23, 24	remulcld 10468	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · 𝑁) ∈ ℝ)
26		prmnn 15872	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℙ → 𝑀 ∈ ℕ)
27	2, 26	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
28	27	nnnn0d 11765	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
29	28	nn0ge0d 11768	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑀)
30		prmnn 15872	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℙ → 𝑁 ∈ ℕ)
31	5, 30	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
32	31	nnnn0d 11765	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
33	32	nn0ge0d 11768	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑁)
34	23, 24, 29, 33	mulge0d 11016	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝑀 · 𝑁))
35	25, 34	absidd 14641	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝑀 · 𝑁)) = (𝑀 · 𝑁))
36	12, 22, 35	3eqtr3d 2816	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀 lcm 𝑁) = (𝑀 · 𝑁))
37	36	sneqd 4447	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {(𝑀 lcm 𝑁)} = {(𝑀 · 𝑁)})
38	37	imaeq2d 5767	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( ∥ “ {(𝑀 lcm 𝑁)}) = ( ∥ “ {(𝑀 · 𝑁)}))
39	38	difeq2d 3983	. 2 ⊢ (𝜑 → (( ∥ “ {𝑀}) ∖ ( ∥ “ {(𝑀 lcm 𝑁)})) = (( ∥ “ {𝑀}) ∖ ( ∥ “ {(𝑀 · 𝑁)})))
40	10, 39	eqtrd 2808	1 ⊢ (𝜑 → (( ∥ “ {𝑀}) ∖ ( ∥ “ {𝑁})) = (( ∥ “ {𝑀}) ∖ ( ∥ “ {(𝑀 · 𝑁)})))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   = wceq 1507   ∈ wcel 2050   ≠ wne 2961   ∖ cdif 3820   ∩ cin 3822  {csn 4435   “ cima 5406  ‘cfv 6185  (class class class)co 6974  1c1 10334   · cmul 10338  ℕcn 11437  ℕ₀cn0 11705  ℤcz 11791  abscabs 14452   ∥ cdvds 15465   gcd cgcd 15701   lcm clcm 15786  ℙcprime 15869

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2744  ax-sep 5056  ax-nul 5063  ax-pow 5115  ax-pr 5182  ax-un 7277  ax-cnex 10389  ax-resscn 10390  ax-1cn 10391  ax-icn 10392  ax-addcl 10393  ax-addrcl 10394  ax-mulcl 10395  ax-mulrcl 10396  ax-mulcom 10397  ax-addass 10398  ax-mulass 10399  ax-distr 10400  ax-i2m1 10401  ax-1ne0 10402  ax-1rid 10403  ax-rnegex 10404  ax-rrecex 10405  ax-cnre 10406  ax-pre-lttri 10407  ax-pre-lttrn 10408  ax-pre-ltadd 10409  ax-pre-mulgt0 10410  ax-pre-sup 10411

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2753  df-cleq 2765  df-clel 2840  df-nfc 2912  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3087  df-rex 3088  df-reu 3089  df-rmo 3090  df-rab 3091  df-v 3411  df-sbc 3676  df-csb 3781  df-dif 3826  df-un 3828  df-in 3830  df-ss 3837  df-pss 3839  df-nul 4173  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4709  df-iun 4790  df-br 4926  df-opab 4988  df-mpt 5005  df-tr 5027  df-id 5308  df-eprel 5313  df-po 5322  df-so 5323  df-fr 5362  df-we 5364  df-xp 5409  df-rel 5410  df-cnv 5411  df-co 5412  df-dm 5413  df-rn 5414  df-res 5415  df-ima 5416  df-pred 5983  df-ord 6029  df-on 6030  df-lim 6031  df-suc 6032  df-iota 6149  df-fun 6187  df-fn 6188  df-f 6189  df-f1 6190  df-fo 6191  df-f1o 6192  df-fv 6193  df-riota 6935  df-ov 6977  df-oprab 6978  df-mpo 6979  df-om 7395  df-2nd 7500  df-wrecs 7748  df-recs 7810  df-rdg 7848  df-1o 7903  df-2o 7904  df-er 8087  df-en 8305  df-dom 8306  df-sdom 8307  df-fin 8308  df-sup 8699  df-inf 8700  df-pnf 10474  df-mnf 10475  df-xr 10476  df-ltxr 10477  df-le 10478  df-sub 10670  df-neg 10671  df-div 11097  df-nn 11438  df-2 11501  df-3 11502  df-n0 11706  df-z 11792  df-uz 12057  df-rp 12203  df-fl 12975  df-mod 13051  df-seq 13183  df-exp 13243  df-cj 14317  df-re 14318  df-im 14319  df-sqrt 14453  df-abs 14454  df-dvds 15466  df-gcd 15702  df-lcm 15788  df-prm 15870

This theorem is referenced by: (None)