Theorem nzprmdif 44746

Description: Subtract one prime's multiples from an unequal prime's. (Contributed by Steve Rodriguez, 20-Jan-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
nzprmdif.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℙ)
nzprmdif.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℙ)
nzprmdif.ne	⊢ (𝜑 → 𝑀 ≠ 𝑁)

Assertion

Ref	Expression
nzprmdif	⊢ (𝜑 → (( ∥ “ {𝑀}) ∖ ( ∥ “ {𝑁})) = (( ∥ “ {𝑀}) ∖ ( ∥ “ {(𝑀 · 𝑁)})))

Proof of Theorem nzprmdif

Step	Hyp	Ref	Expression
1		difin 4212	. . 3 ⊢ (( ∥ “ {𝑀}) ∖ (( ∥ “ {𝑀}) ∩ ( ∥ “ {𝑁}))) = (( ∥ “ {𝑀}) ∖ ( ∥ “ {𝑁}))
2		nzprmdif.m	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℙ)
3		prmz 16644	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℙ → 𝑀 ∈ ℤ)
4	2, 3	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
5		nzprmdif.n	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℙ)
6		prmz 16644	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℙ → 𝑁 ∈ ℤ)
7	5, 6	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
8	4, 7	nzin 44745	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (( ∥ “ {𝑀}) ∩ ( ∥ “ {𝑁})) = ( ∥ “ {(𝑀 lcm 𝑁)}))
9	8	difeq2d 4066	. . 3 ⊢ (𝜑 → (( ∥ “ {𝑀}) ∖ (( ∥ “ {𝑀}) ∩ ( ∥ “ {𝑁}))) = (( ∥ “ {𝑀}) ∖ ( ∥ “ {(𝑀 lcm 𝑁)})))
10	1, 9	eqtr3id 2785	. 2 ⊢ (𝜑 → (( ∥ “ {𝑀}) ∖ ( ∥ “ {𝑁})) = (( ∥ “ {𝑀}) ∖ ( ∥ “ {(𝑀 lcm 𝑁)})))
11		lcmgcd 16576	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 lcm 𝑁) · (𝑀 gcd 𝑁)) = (abs‘(𝑀 · 𝑁)))
12	4, 7, 11	syl2anc 585	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 lcm 𝑁) · (𝑀 gcd 𝑁)) = (abs‘(𝑀 · 𝑁)))
13		nzprmdif.ne	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≠ 𝑁)
14		prmrp 16682	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → ((𝑀 gcd 𝑁) = 1 ↔ 𝑀 ≠ 𝑁))
15	2, 5, 14	syl2anc 585	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 gcd 𝑁) = 1 ↔ 𝑀 ≠ 𝑁))
16	13, 15	mpbird 257	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑀 gcd 𝑁) = 1)
17	16	oveq2d 7383	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 lcm 𝑁) · (𝑀 gcd 𝑁)) = ((𝑀 lcm 𝑁) · 1))
18		lcmcl 16570	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 lcm 𝑁) ∈ ℕ0)
19	4, 7, 18	syl2anc 585	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑀 lcm 𝑁) ∈ ℕ0)
20	19	nn0cnd 12500	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑀 lcm 𝑁) ∈ ℂ)
21	20	mulridd 11162	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 lcm 𝑁) · 1) = (𝑀 lcm 𝑁))
22	17, 21	eqtrd 2771	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 lcm 𝑁) · (𝑀 gcd 𝑁)) = (𝑀 lcm 𝑁))
23	4	zred 12633	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
24	7	zred 12633	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
25	23, 24	remulcld 11175	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · 𝑁) ∈ ℝ)
26		prmnn 16643	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℙ → 𝑀 ∈ ℕ)
27	2, 26	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
28	27	nnnn0d 12498	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
29	28	nn0ge0d 12501	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑀)
30		prmnn 16643	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℙ → 𝑁 ∈ ℕ)
31	5, 30	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
32	31	nnnn0d 12498	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
33	32	nn0ge0d 12501	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑁)
34	23, 24, 29, 33	mulge0d 11727	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝑀 · 𝑁))
35	25, 34	absidd 15385	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝑀 · 𝑁)) = (𝑀 · 𝑁))
36	12, 22, 35	3eqtr3d 2779	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀 lcm 𝑁) = (𝑀 · 𝑁))
37	36	sneqd 4579	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {(𝑀 lcm 𝑁)} = {(𝑀 · 𝑁)})
38	37	imaeq2d 6025	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( ∥ “ {(𝑀 lcm 𝑁)}) = ( ∥ “ {(𝑀 · 𝑁)}))
39	38	difeq2d 4066	. 2 ⊢ (𝜑 → (( ∥ “ {𝑀}) ∖ ( ∥ “ {(𝑀 lcm 𝑁)})) = (( ∥ “ {𝑀}) ∖ ( ∥ “ {(𝑀 · 𝑁)})))
40	10, 39	eqtrd 2771	1 ⊢ (𝜑 → (( ∥ “ {𝑀}) ∖ ( ∥ “ {𝑁})) = (( ∥ “ {𝑀}) ∖ ( ∥ “ {(𝑀 · 𝑁)})))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2932   ∖ cdif 3886   ∩ cin 3888  {csn 4567   “ cima 5634  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  1c1 11039   · cmul 11043  ℕcn 12174  ℕ₀cn0 12437  ℤcz 12524  abscabs 15196   ∥ cdvds 16221   gcd cgcd 16463   lcm clcm 16557  ℙcprime 16640

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-2o 8406  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-sup 9355  df-inf 9356  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-rp 12943  df-fl 13751  df-mod 13829  df-seq 13964  df-exp 14024  df-cj 15061  df-re 15062  df-im 15063  df-sqrt 15197  df-abs 15198  df-dvds 16222  df-gcd 16464  df-lcm 16559  df-prm 16641

This theorem is referenced by: (None)