Users' Mathboxes Mathbox for Steve Rodriguez < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  nzprmdif Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nzprmdif 43787
Description: Subtract one prime's multiples from an unequal prime's. (Contributed by Steve Rodriguez, 20-Jan-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
nzprmdif.m (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„™)
nzprmdif.n (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„™)
nzprmdif.ne (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โ‰  ๐‘)
Assertion
Ref Expression
nzprmdif (๐œ‘ โ†’ (( โˆฅ โ€œ {๐‘€}) โˆ– ( โˆฅ โ€œ {๐‘})) = (( โˆฅ โ€œ {๐‘€}) โˆ– ( โˆฅ โ€œ {(๐‘€ ยท ๐‘)})))

Proof of Theorem nzprmdif
StepHypRef Expression
1 difin 4264 . . 3 (( โˆฅ โ€œ {๐‘€}) โˆ– (( โˆฅ โ€œ {๐‘€}) โˆฉ ( โˆฅ โ€œ {๐‘}))) = (( โˆฅ โ€œ {๐‘€}) โˆ– ( โˆฅ โ€œ {๐‘}))
2 nzprmdif.m . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„™)
3 prmz 16653 . . . . . 6 (๐‘€ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
42, 3syl 17 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
5 nzprmdif.n . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„™)
6 prmz 16653 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
75, 6syl 17 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
84, 7nzin 43786 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (( โˆฅ โ€œ {๐‘€}) โˆฉ ( โˆฅ โ€œ {๐‘})) = ( โˆฅ โ€œ {(๐‘€ lcm ๐‘)}))
98difeq2d 4122 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (( โˆฅ โ€œ {๐‘€}) โˆ– (( โˆฅ โ€œ {๐‘€}) โˆฉ ( โˆฅ โ€œ {๐‘}))) = (( โˆฅ โ€œ {๐‘€}) โˆ– ( โˆฅ โ€œ {(๐‘€ lcm ๐‘)})))
101, 9eqtr3id 2782 . 2 (๐œ‘ โ†’ (( โˆฅ โ€œ {๐‘€}) โˆ– ( โˆฅ โ€œ {๐‘})) = (( โˆฅ โ€œ {๐‘€}) โˆ– ( โˆฅ โ€œ {(๐‘€ lcm ๐‘)})))
11 lcmgcd 16585 . . . . . . 7 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘€ lcm ๐‘) ยท (๐‘€ gcd ๐‘)) = (absโ€˜(๐‘€ ยท ๐‘)))
124, 7, 11syl2anc 582 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘€ lcm ๐‘) ยท (๐‘€ gcd ๐‘)) = (absโ€˜(๐‘€ ยท ๐‘)))
13 nzprmdif.ne . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โ‰  ๐‘)
14 prmrp 16690 . . . . . . . . . 10 ((๐‘€ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ ((๐‘€ gcd ๐‘) = 1 โ†” ๐‘€ โ‰  ๐‘))
152, 5, 14syl2anc 582 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘€ gcd ๐‘) = 1 โ†” ๐‘€ โ‰  ๐‘))
1613, 15mpbird 256 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ gcd ๐‘) = 1)
1716oveq2d 7442 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘€ lcm ๐‘) ยท (๐‘€ gcd ๐‘)) = ((๐‘€ lcm ๐‘) ยท 1))
18 lcmcl 16579 . . . . . . . . . 10 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ lcm ๐‘) โˆˆ โ„•0)
194, 7, 18syl2anc 582 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ lcm ๐‘) โˆˆ โ„•0)
2019nn0cnd 12572 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ lcm ๐‘) โˆˆ โ„‚)
2120mulridd 11269 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘€ lcm ๐‘) ยท 1) = (๐‘€ lcm ๐‘))
2217, 21eqtrd 2768 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘€ lcm ๐‘) ยท (๐‘€ gcd ๐‘)) = (๐‘€ lcm ๐‘))
234zred 12704 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„)
247zred 12704 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
2523, 24remulcld 11282 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ ยท ๐‘) โˆˆ โ„)
26 prmnn 16652 . . . . . . . . . . 11 (๐‘€ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•)
272, 26syl 17 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•)
2827nnnn0d 12570 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•0)
2928nn0ge0d 12573 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค ๐‘€)
30 prmnn 16652 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
315, 30syl 17 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
3231nnnn0d 12570 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
3332nn0ge0d 12573 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค ๐‘)
3423, 24, 29, 33mulge0d 11829 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค (๐‘€ ยท ๐‘))
3525, 34absidd 15409 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜(๐‘€ ยท ๐‘)) = (๐‘€ ยท ๐‘))
3612, 22, 353eqtr3d 2776 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ lcm ๐‘) = (๐‘€ ยท ๐‘))
3736sneqd 4644 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ {(๐‘€ lcm ๐‘)} = {(๐‘€ ยท ๐‘)})
3837imaeq2d 6068 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ( โˆฅ โ€œ {(๐‘€ lcm ๐‘)}) = ( โˆฅ โ€œ {(๐‘€ ยท ๐‘)}))
3938difeq2d 4122 . 2 (๐œ‘ โ†’ (( โˆฅ โ€œ {๐‘€}) โˆ– ( โˆฅ โ€œ {(๐‘€ lcm ๐‘)})) = (( โˆฅ โ€œ {๐‘€}) โˆ– ( โˆฅ โ€œ {(๐‘€ ยท ๐‘)})))
4010, 39eqtrd 2768 1 (๐œ‘ โ†’ (( โˆฅ โ€œ {๐‘€}) โˆ– ( โˆฅ โ€œ {๐‘})) = (( โˆฅ โ€œ {๐‘€}) โˆ– ( โˆฅ โ€œ {(๐‘€ ยท ๐‘)})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2937   โˆ– cdif 3946   โˆฉ cin 3948  {csn 4632   โ€œ cima 5685  โ€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  1c1 11147   ยท cmul 11151  โ„•cn 12250  โ„•0cn0 12510  โ„คcz 12596  abscabs 15221   โˆฅ cdvds 16238   gcd cgcd 16476   lcm clcm 16566  โ„™cprime 16649
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-2o 8494  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-sup 9473  df-inf 9474  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-rp 13015  df-fl 13797  df-mod 13875  df-seq 14007  df-exp 14067  df-cj 15086  df-re 15087  df-im 15088  df-sqrt 15222  df-abs 15223  df-dvds 16239  df-gcd 16477  df-lcm 16568  df-prm 16650
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator