Theorem nzprmdif 44315

Description: Subtract one prime's multiples from an unequal prime's. (Contributed by Steve Rodriguez, 20-Jan-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
nzprmdif.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℙ)
nzprmdif.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℙ)
nzprmdif.ne	⊢ (𝜑 → 𝑀 ≠ 𝑁)

Assertion

Ref	Expression
nzprmdif	⊢ (𝜑 → (( ∥ “ {𝑀}) ∖ ( ∥ “ {𝑁})) = (( ∥ “ {𝑀}) ∖ ( ∥ “ {(𝑀 · 𝑁)})))

Proof of Theorem nzprmdif

Step	Hyp	Ref	Expression
1		difin 4278	. . 3 ⊢ (( ∥ “ {𝑀}) ∖ (( ∥ “ {𝑀}) ∩ ( ∥ “ {𝑁}))) = (( ∥ “ {𝑀}) ∖ ( ∥ “ {𝑁}))
2		nzprmdif.m	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℙ)
3		prmz 16709	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℙ → 𝑀 ∈ ℤ)
4	2, 3	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
5		nzprmdif.n	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℙ)
6		prmz 16709	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℙ → 𝑁 ∈ ℤ)
7	5, 6	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
8	4, 7	nzin 44314	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (( ∥ “ {𝑀}) ∩ ( ∥ “ {𝑁})) = ( ∥ “ {(𝑀 lcm 𝑁)}))
9	8	difeq2d 4136	. . 3 ⊢ (𝜑 → (( ∥ “ {𝑀}) ∖ (( ∥ “ {𝑀}) ∩ ( ∥ “ {𝑁}))) = (( ∥ “ {𝑀}) ∖ ( ∥ “ {(𝑀 lcm 𝑁)})))
10	1, 9	eqtr3id 2789	. 2 ⊢ (𝜑 → (( ∥ “ {𝑀}) ∖ ( ∥ “ {𝑁})) = (( ∥ “ {𝑀}) ∖ ( ∥ “ {(𝑀 lcm 𝑁)})))
11		lcmgcd 16641	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 lcm 𝑁) · (𝑀 gcd 𝑁)) = (abs‘(𝑀 · 𝑁)))
12	4, 7, 11	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 lcm 𝑁) · (𝑀 gcd 𝑁)) = (abs‘(𝑀 · 𝑁)))
13		nzprmdif.ne	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≠ 𝑁)
14		prmrp 16746	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → ((𝑀 gcd 𝑁) = 1 ↔ 𝑀 ≠ 𝑁))
15	2, 5, 14	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 gcd 𝑁) = 1 ↔ 𝑀 ≠ 𝑁))
16	13, 15	mpbird 257	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑀 gcd 𝑁) = 1)
17	16	oveq2d 7447	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 lcm 𝑁) · (𝑀 gcd 𝑁)) = ((𝑀 lcm 𝑁) · 1))
18		lcmcl 16635	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 lcm 𝑁) ∈ ℕ0)
19	4, 7, 18	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑀 lcm 𝑁) ∈ ℕ0)
20	19	nn0cnd 12587	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑀 lcm 𝑁) ∈ ℂ)
21	20	mulridd 11276	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 lcm 𝑁) · 1) = (𝑀 lcm 𝑁))
22	17, 21	eqtrd 2775	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 lcm 𝑁) · (𝑀 gcd 𝑁)) = (𝑀 lcm 𝑁))
23	4	zred 12720	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
24	7	zred 12720	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
25	23, 24	remulcld 11289	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · 𝑁) ∈ ℝ)
26		prmnn 16708	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℙ → 𝑀 ∈ ℕ)
27	2, 26	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
28	27	nnnn0d 12585	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
29	28	nn0ge0d 12588	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑀)
30		prmnn 16708	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℙ → 𝑁 ∈ ℕ)
31	5, 30	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
32	31	nnnn0d 12585	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
33	32	nn0ge0d 12588	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑁)
34	23, 24, 29, 33	mulge0d 11838	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝑀 · 𝑁))
35	25, 34	absidd 15458	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝑀 · 𝑁)) = (𝑀 · 𝑁))
36	12, 22, 35	3eqtr3d 2783	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀 lcm 𝑁) = (𝑀 · 𝑁))
37	36	sneqd 4643	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {(𝑀 lcm 𝑁)} = {(𝑀 · 𝑁)})
38	37	imaeq2d 6080	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( ∥ “ {(𝑀 lcm 𝑁)}) = ( ∥ “ {(𝑀 · 𝑁)}))
39	38	difeq2d 4136	. 2 ⊢ (𝜑 → (( ∥ “ {𝑀}) ∖ ( ∥ “ {(𝑀 lcm 𝑁)})) = (( ∥ “ {𝑀}) ∖ ( ∥ “ {(𝑀 · 𝑁)})))
40	10, 39	eqtrd 2775	1 ⊢ (𝜑 → (( ∥ “ {𝑀}) ∖ ( ∥ “ {𝑁})) = (( ∥ “ {𝑀}) ∖ ( ∥ “ {(𝑀 · 𝑁)})))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2938   ∖ cdif 3960   ∩ cin 3962  {csn 4631   “ cima 5692  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  1c1 11154   · cmul 11158  ℕcn 12264  ℕ₀cn0 12524  ℤcz 12611  abscabs 15270   ∥ cdvds 16287   gcd cgcd 16528   lcm clcm 16622  ℙcprime 16705

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-inf 9481  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-fl 13829  df-mod 13907  df-seq 14040  df-exp 14100  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-dvds 16288  df-gcd 16529  df-lcm 16624  df-prm 16706

This theorem is referenced by: (None)