Users' Mathboxes Mathbox for Steve Rodriguez < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  nzprmdif Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nzprmdif 43636
Description: Subtract one prime's multiples from an unequal prime's. (Contributed by Steve Rodriguez, 20-Jan-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
nzprmdif.m (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„™)
nzprmdif.n (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„™)
nzprmdif.ne (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โ‰  ๐‘)
Assertion
Ref Expression
nzprmdif (๐œ‘ โ†’ (( โˆฅ โ€œ {๐‘€}) โˆ– ( โˆฅ โ€œ {๐‘})) = (( โˆฅ โ€œ {๐‘€}) โˆ– ( โˆฅ โ€œ {(๐‘€ ยท ๐‘)})))

Proof of Theorem nzprmdif
StepHypRef Expression
1 difin 4256 . . 3 (( โˆฅ โ€œ {๐‘€}) โˆ– (( โˆฅ โ€œ {๐‘€}) โˆฉ ( โˆฅ โ€œ {๐‘}))) = (( โˆฅ โ€œ {๐‘€}) โˆ– ( โˆฅ โ€œ {๐‘}))
2 nzprmdif.m . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„™)
3 prmz 16616 . . . . . 6 (๐‘€ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
42, 3syl 17 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
5 nzprmdif.n . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„™)
6 prmz 16616 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
75, 6syl 17 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
84, 7nzin 43635 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (( โˆฅ โ€œ {๐‘€}) โˆฉ ( โˆฅ โ€œ {๐‘})) = ( โˆฅ โ€œ {(๐‘€ lcm ๐‘)}))
98difeq2d 4117 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (( โˆฅ โ€œ {๐‘€}) โˆ– (( โˆฅ โ€œ {๐‘€}) โˆฉ ( โˆฅ โ€œ {๐‘}))) = (( โˆฅ โ€œ {๐‘€}) โˆ– ( โˆฅ โ€œ {(๐‘€ lcm ๐‘)})))
101, 9eqtr3id 2780 . 2 (๐œ‘ โ†’ (( โˆฅ โ€œ {๐‘€}) โˆ– ( โˆฅ โ€œ {๐‘})) = (( โˆฅ โ€œ {๐‘€}) โˆ– ( โˆฅ โ€œ {(๐‘€ lcm ๐‘)})))
11 lcmgcd 16548 . . . . . . 7 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘€ lcm ๐‘) ยท (๐‘€ gcd ๐‘)) = (absโ€˜(๐‘€ ยท ๐‘)))
124, 7, 11syl2anc 583 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘€ lcm ๐‘) ยท (๐‘€ gcd ๐‘)) = (absโ€˜(๐‘€ ยท ๐‘)))
13 nzprmdif.ne . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โ‰  ๐‘)
14 prmrp 16653 . . . . . . . . . 10 ((๐‘€ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ ((๐‘€ gcd ๐‘) = 1 โ†” ๐‘€ โ‰  ๐‘))
152, 5, 14syl2anc 583 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘€ gcd ๐‘) = 1 โ†” ๐‘€ โ‰  ๐‘))
1613, 15mpbird 257 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ gcd ๐‘) = 1)
1716oveq2d 7420 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘€ lcm ๐‘) ยท (๐‘€ gcd ๐‘)) = ((๐‘€ lcm ๐‘) ยท 1))
18 lcmcl 16542 . . . . . . . . . 10 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ lcm ๐‘) โˆˆ โ„•0)
194, 7, 18syl2anc 583 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ lcm ๐‘) โˆˆ โ„•0)
2019nn0cnd 12535 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ lcm ๐‘) โˆˆ โ„‚)
2120mulridd 11232 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘€ lcm ๐‘) ยท 1) = (๐‘€ lcm ๐‘))
2217, 21eqtrd 2766 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘€ lcm ๐‘) ยท (๐‘€ gcd ๐‘)) = (๐‘€ lcm ๐‘))
234zred 12667 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„)
247zred 12667 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
2523, 24remulcld 11245 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ ยท ๐‘) โˆˆ โ„)
26 prmnn 16615 . . . . . . . . . . 11 (๐‘€ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•)
272, 26syl 17 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•)
2827nnnn0d 12533 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•0)
2928nn0ge0d 12536 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค ๐‘€)
30 prmnn 16615 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
315, 30syl 17 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
3231nnnn0d 12533 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
3332nn0ge0d 12536 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค ๐‘)
3423, 24, 29, 33mulge0d 11792 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค (๐‘€ ยท ๐‘))
3525, 34absidd 15372 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜(๐‘€ ยท ๐‘)) = (๐‘€ ยท ๐‘))
3612, 22, 353eqtr3d 2774 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ lcm ๐‘) = (๐‘€ ยท ๐‘))
3736sneqd 4635 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ {(๐‘€ lcm ๐‘)} = {(๐‘€ ยท ๐‘)})
3837imaeq2d 6052 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ( โˆฅ โ€œ {(๐‘€ lcm ๐‘)}) = ( โˆฅ โ€œ {(๐‘€ ยท ๐‘)}))
3938difeq2d 4117 . 2 (๐œ‘ โ†’ (( โˆฅ โ€œ {๐‘€}) โˆ– ( โˆฅ โ€œ {(๐‘€ lcm ๐‘)})) = (( โˆฅ โ€œ {๐‘€}) โˆ– ( โˆฅ โ€œ {(๐‘€ ยท ๐‘)})))
4010, 39eqtrd 2766 1 (๐œ‘ โ†’ (( โˆฅ โ€œ {๐‘€}) โˆ– ( โˆฅ โ€œ {๐‘})) = (( โˆฅ โ€œ {๐‘€}) โˆ– ( โˆฅ โ€œ {(๐‘€ ยท ๐‘)})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2934   โˆ– cdif 3940   โˆฉ cin 3942  {csn 4623   โ€œ cima 5672  โ€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  1c1 11110   ยท cmul 11114  โ„•cn 12213  โ„•0cn0 12473  โ„คcz 12559  abscabs 15184   โˆฅ cdvds 16201   gcd cgcd 16439   lcm clcm 16529  โ„™cprime 16612
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-2o 8465  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-sup 9436  df-inf 9437  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-n0 12474  df-z 12560  df-uz 12824  df-rp 12978  df-fl 13760  df-mod 13838  df-seq 13970  df-exp 14030  df-cj 15049  df-re 15050  df-im 15051  df-sqrt 15185  df-abs 15186  df-dvds 16202  df-gcd 16440  df-lcm 16531  df-prm 16613
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator