Users' Mathboxes Mathbox for Steve Rodriguez < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  nzprmdif Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nzprmdif 42691
Description: Subtract one prime's multiples from an unequal prime's. (Contributed by Steve Rodriguez, 20-Jan-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
nzprmdif.m (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„™)
nzprmdif.n (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„™)
nzprmdif.ne (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โ‰  ๐‘)
Assertion
Ref Expression
nzprmdif (๐œ‘ โ†’ (( โˆฅ โ€œ {๐‘€}) โˆ– ( โˆฅ โ€œ {๐‘})) = (( โˆฅ โ€œ {๐‘€}) โˆ– ( โˆฅ โ€œ {(๐‘€ ยท ๐‘)})))

Proof of Theorem nzprmdif
StepHypRef Expression
1 difin 4225 . . 3 (( โˆฅ โ€œ {๐‘€}) โˆ– (( โˆฅ โ€œ {๐‘€}) โˆฉ ( โˆฅ โ€œ {๐‘}))) = (( โˆฅ โ€œ {๐‘€}) โˆ– ( โˆฅ โ€œ {๐‘}))
2 nzprmdif.m . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„™)
3 prmz 16559 . . . . . 6 (๐‘€ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
42, 3syl 17 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
5 nzprmdif.n . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„™)
6 prmz 16559 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
75, 6syl 17 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
84, 7nzin 42690 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (( โˆฅ โ€œ {๐‘€}) โˆฉ ( โˆฅ โ€œ {๐‘})) = ( โˆฅ โ€œ {(๐‘€ lcm ๐‘)}))
98difeq2d 4086 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (( โˆฅ โ€œ {๐‘€}) โˆ– (( โˆฅ โ€œ {๐‘€}) โˆฉ ( โˆฅ โ€œ {๐‘}))) = (( โˆฅ โ€œ {๐‘€}) โˆ– ( โˆฅ โ€œ {(๐‘€ lcm ๐‘)})))
101, 9eqtr3id 2787 . 2 (๐œ‘ โ†’ (( โˆฅ โ€œ {๐‘€}) โˆ– ( โˆฅ โ€œ {๐‘})) = (( โˆฅ โ€œ {๐‘€}) โˆ– ( โˆฅ โ€œ {(๐‘€ lcm ๐‘)})))
11 lcmgcd 16491 . . . . . . 7 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘€ lcm ๐‘) ยท (๐‘€ gcd ๐‘)) = (absโ€˜(๐‘€ ยท ๐‘)))
124, 7, 11syl2anc 585 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘€ lcm ๐‘) ยท (๐‘€ gcd ๐‘)) = (absโ€˜(๐‘€ ยท ๐‘)))
13 nzprmdif.ne . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โ‰  ๐‘)
14 prmrp 16596 . . . . . . . . . 10 ((๐‘€ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ ((๐‘€ gcd ๐‘) = 1 โ†” ๐‘€ โ‰  ๐‘))
152, 5, 14syl2anc 585 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘€ gcd ๐‘) = 1 โ†” ๐‘€ โ‰  ๐‘))
1613, 15mpbird 257 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ gcd ๐‘) = 1)
1716oveq2d 7377 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘€ lcm ๐‘) ยท (๐‘€ gcd ๐‘)) = ((๐‘€ lcm ๐‘) ยท 1))
18 lcmcl 16485 . . . . . . . . . 10 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ lcm ๐‘) โˆˆ โ„•0)
194, 7, 18syl2anc 585 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ lcm ๐‘) โˆˆ โ„•0)
2019nn0cnd 12483 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ lcm ๐‘) โˆˆ โ„‚)
2120mulridd 11180 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘€ lcm ๐‘) ยท 1) = (๐‘€ lcm ๐‘))
2217, 21eqtrd 2773 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘€ lcm ๐‘) ยท (๐‘€ gcd ๐‘)) = (๐‘€ lcm ๐‘))
234zred 12615 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„)
247zred 12615 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
2523, 24remulcld 11193 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ ยท ๐‘) โˆˆ โ„)
26 prmnn 16558 . . . . . . . . . . 11 (๐‘€ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•)
272, 26syl 17 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•)
2827nnnn0d 12481 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•0)
2928nn0ge0d 12484 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค ๐‘€)
30 prmnn 16558 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
315, 30syl 17 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
3231nnnn0d 12481 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
3332nn0ge0d 12484 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค ๐‘)
3423, 24, 29, 33mulge0d 11740 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค (๐‘€ ยท ๐‘))
3525, 34absidd 15316 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜(๐‘€ ยท ๐‘)) = (๐‘€ ยท ๐‘))
3612, 22, 353eqtr3d 2781 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ lcm ๐‘) = (๐‘€ ยท ๐‘))
3736sneqd 4602 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ {(๐‘€ lcm ๐‘)} = {(๐‘€ ยท ๐‘)})
3837imaeq2d 6017 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ( โˆฅ โ€œ {(๐‘€ lcm ๐‘)}) = ( โˆฅ โ€œ {(๐‘€ ยท ๐‘)}))
3938difeq2d 4086 . 2 (๐œ‘ โ†’ (( โˆฅ โ€œ {๐‘€}) โˆ– ( โˆฅ โ€œ {(๐‘€ lcm ๐‘)})) = (( โˆฅ โ€œ {๐‘€}) โˆ– ( โˆฅ โ€œ {(๐‘€ ยท ๐‘)})))
4010, 39eqtrd 2773 1 (๐œ‘ โ†’ (( โˆฅ โ€œ {๐‘€}) โˆ– ( โˆฅ โ€œ {๐‘})) = (( โˆฅ โ€œ {๐‘€}) โˆ– ( โˆฅ โ€œ {(๐‘€ ยท ๐‘)})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2940   โˆ– cdif 3911   โˆฉ cin 3913  {csn 4590   โ€œ cima 5640  โ€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  1c1 11060   ยท cmul 11064  โ„•cn 12161  โ„•0cn0 12421  โ„คcz 12507  abscabs 15128   โˆฅ cdvds 16144   gcd cgcd 16382   lcm clcm 16472  โ„™cprime 16555
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-2o 8417  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-sup 9386  df-inf 9387  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-rp 12924  df-fl 13706  df-mod 13784  df-seq 13916  df-exp 13977  df-cj 14993  df-re 14994  df-im 14995  df-sqrt 15129  df-abs 15130  df-dvds 16145  df-gcd 16383  df-lcm 16474  df-prm 16556
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator