Theorem nzprmdif 44856

Description: Subtract one prime's multiples from an unequal prime's. (Contributed by Steve Rodriguez, 20-Jan-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
nzprmdif.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℙ)
nzprmdif.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℙ)
nzprmdif.ne	⊢ (𝜑 → 𝑀 ≠ 𝑁)

Assertion

Ref	Expression
nzprmdif	⊢ (𝜑 → (( ∥ “ {𝑀}) ∖ ( ∥ “ {𝑁})) = (( ∥ “ {𝑀}) ∖ ( ∥ “ {(𝑀 · 𝑁)})))

Proof of Theorem nzprmdif

Step	Hyp	Ref	Expression
1		difin 4222	. . 3 ⊢ (( ∥ “ {𝑀}) ∖ (( ∥ “ {𝑀}) ∩ ( ∥ “ {𝑁}))) = (( ∥ “ {𝑀}) ∖ ( ∥ “ {𝑁}))
2		nzprmdif.m	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℙ)
3		prmz 16700	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℙ → 𝑀 ∈ ℤ)
4	2, 3	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
5		nzprmdif.n	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℙ)
6		prmz 16700	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℙ → 𝑁 ∈ ℤ)
7	5, 6	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
8	4, 7	nzin 44855	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (( ∥ “ {𝑀}) ∩ ( ∥ “ {𝑁})) = ( ∥ “ {(𝑀 lcm 𝑁)}))
9	8	difeq2d 4078	. . 3 ⊢ (𝜑 → (( ∥ “ {𝑀}) ∖ (( ∥ “ {𝑀}) ∩ ( ∥ “ {𝑁}))) = (( ∥ “ {𝑀}) ∖ ( ∥ “ {(𝑀 lcm 𝑁)})))
10	1, 9	eqtr3id 2810	. 2 ⊢ (𝜑 → (( ∥ “ {𝑀}) ∖ ( ∥ “ {𝑁})) = (( ∥ “ {𝑀}) ∖ ( ∥ “ {(𝑀 lcm 𝑁)})))
11		lcmgcd 16632	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 lcm 𝑁) · (𝑀 gcd 𝑁)) = (abs‘(𝑀 · 𝑁)))
12	4, 7, 11	syl2anc 593	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 lcm 𝑁) · (𝑀 gcd 𝑁)) = (abs‘(𝑀 · 𝑁)))
13		nzprmdif.ne	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≠ 𝑁)
14		prmrp 16738	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → ((𝑀 gcd 𝑁) = 1 ↔ 𝑀 ≠ 𝑁))
15	2, 5, 14	syl2anc 593	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 gcd 𝑁) = 1 ↔ 𝑀 ≠ 𝑁))
16	13, 15	mpbird 259	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑀 gcd 𝑁) = 1)
17	16	oveq2d 7407	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 lcm 𝑁) · (𝑀 gcd 𝑁)) = ((𝑀 lcm 𝑁) · 1))
18		lcmcl 16626	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 lcm 𝑁) ∈ ℕ0)
19	4, 7, 18	syl2anc 593	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑀 lcm 𝑁) ∈ ℕ0)
20	19	nn0cnd 12538	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑀 lcm 𝑁) ∈ ℂ)
21	20	mulridd 11193	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 lcm 𝑁) · 1) = (𝑀 lcm 𝑁))
22	17, 21	eqtrd 2796	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 lcm 𝑁) · (𝑀 gcd 𝑁)) = (𝑀 lcm 𝑁))
23	4	zred 12671	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
24	7	zred 12671	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
25	23, 24	remulcld 11206	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · 𝑁) ∈ ℝ)
26		prmnn 16699	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℙ → 𝑀 ∈ ℕ)
27	2, 26	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
28	27	nnnn0d 12536	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
29	28	nn0ge0d 12539	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑀)
30		prmnn 16699	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℙ → 𝑁 ∈ ℕ)
31	5, 30	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
32	31	nnnn0d 12536	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
33	32	nn0ge0d 12539	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑁)
34	23, 24, 29, 33	mulge0d 11758	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝑀 · 𝑁))
35	25, 34	absidd 15441	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝑀 · 𝑁)) = (𝑀 · 𝑁))
36	12, 22, 35	3eqtr3d 2804	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀 lcm 𝑁) = (𝑀 · 𝑁))
37	36	sneqd 4591	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {(𝑀 lcm 𝑁)} = {(𝑀 · 𝑁)})
38	37	imaeq2d 6045	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( ∥ “ {(𝑀 lcm 𝑁)}) = ( ∥ “ {(𝑀 · 𝑁)}))
39	38	difeq2d 4078	. 2 ⊢ (𝜑 → (( ∥ “ {𝑀}) ∖ ( ∥ “ {(𝑀 lcm 𝑁)})) = (( ∥ “ {𝑀}) ∖ ( ∥ “ {(𝑀 · 𝑁)})))
40	10, 39	eqtrd 2796	1 ⊢ (𝜑 → (( ∥ “ {𝑀}) ∖ ( ∥ “ {𝑁})) = (( ∥ “ {𝑀}) ∖ ( ∥ “ {(𝑀 · 𝑁)})))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956   ∖ cdif 3899   ∩ cin 3901  {csn 4579   “ cima 5646  ‘cfv 6516  (class class class)co 7391  1c1 11068   · cmul 11072  ℕcn 12204  ℕ₀cn0 12475  ℤcz 12562  abscabs 15252   ∥ cdvds 16277   gcd cgcd 16519   lcm clcm 16613  ℙcprime 16696

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7713  ax-cnex 11123  ax-resscn 11124  ax-1cn 11125  ax-icn 11126  ax-addcl 11127  ax-addrcl 11128  ax-mulcl 11129  ax-mulrcl 11130  ax-mulcom 11131  ax-addass 11132  ax-mulass 11133  ax-distr 11134  ax-i2m1 11135  ax-1ne0 11136  ax-1rid 11137  ax-rnegex 11138  ax-rrecex 11139  ax-cnre 11140  ax-pre-lttri 11141  ax-pre-lttrn 11142  ax-pre-ltadd 11143  ax-pre-mulgt0 11144  ax-pre-sup 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6283  df-ord 6344  df-on 6345  df-lim 6346  df-suc 6347  df-iota 6472  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-riota 7348  df-ov 7394  df-oprab 7395  df-mpo 7396  df-om 7842  df-2nd 7966  df-frecs 8256  df-wrecs 8287  df-recs 8336  df-rdg 8375  df-1o 8431  df-2o 8432  df-er 8672  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-sup 9382  df-inf 9383  df-pnf 11212  df-mnf 11213  df-xr 11214  df-ltxr 11215  df-le 11216  df-sub 11410  df-neg 11411  df-div 11839  df-nn 12205  df-2 12274  df-3 12275  df-n0 12476  df-z 12563  df-uz 12834  df-rp 12988  df-fl 13796  df-mod 13874  df-seq 14009  df-exp 14069  df-cj 15117  df-re 15118  df-im 15119  df-sqrt 15253  df-abs 15254  df-dvds 16278  df-gcd 16520  df-lcm 16615  df-prm 16697

This theorem is referenced by: (None)