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Theorem heiborlem4 36013
Description: Lemma for heibor 36020. Using the function 𝑇 constructed in heiborlem3 36012, construct an infinite path in 𝐺. (Contributed by Jeff Madsen, 23-Jan-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
heibor.1 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
heibor.3 𝐾 = {𝑒 ∣ Β¬ βˆƒπ‘£ ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin)𝑒 βŠ† βˆͺ 𝑣}
heibor.4 𝐺 = {βŸ¨π‘¦, π‘›βŸ© ∣ (𝑛 ∈ β„•0 ∧ 𝑦 ∈ (πΉβ€˜π‘›) ∧ (𝑦𝐡𝑛) ∈ 𝐾)}
heibor.5 𝐡 = (𝑧 ∈ 𝑋, π‘š ∈ β„•0 ↦ (𝑧(ballβ€˜π·)(1 / (2β†‘π‘š))))
heibor.6 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹))
heibor.7 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„•0⟢(𝒫 𝑋 ∩ Fin))
heibor.8 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘› ∈ β„•0 𝑋 = βˆͺ 𝑦 ∈ (πΉβ€˜π‘›)(𝑦𝐡𝑛))
heibor.9 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐺 ((π‘‡β€˜π‘₯)𝐺((2nd β€˜π‘₯) + 1) ∧ ((π΅β€˜π‘₯) ∩ ((π‘‡β€˜π‘₯)𝐡((2nd β€˜π‘₯) + 1))) ∈ 𝐾))
heibor.10 (πœ‘ β†’ 𝐢𝐺0)
heibor.11 𝑆 = seq0(𝑇, (π‘š ∈ β„•0 ↦ if(π‘š = 0, 𝐢, (π‘š βˆ’ 1))))
Assertion
Ref Expression
heiborlem4 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„•0) β†’ (π‘†β€˜π΄)𝐺𝐴)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑛,𝑦,𝐴   𝑒,𝑛,𝐹,π‘₯,𝑦   π‘₯,𝐺   πœ‘,π‘₯   π‘š,𝑛,𝑒,𝑣,π‘₯,𝑦,𝑧,𝐷   𝑇,π‘š,𝑛,π‘₯,𝑦,𝑧   𝐡,𝑛,𝑒,𝑣,𝑦   π‘š,𝐽,𝑛,𝑒,𝑣,π‘₯,𝑦,𝑧   π‘ˆ,𝑛,𝑒,𝑣,π‘₯,𝑦,𝑧   𝑆,π‘š,𝑛,𝑒,𝑣,π‘₯,𝑦,𝑧   π‘š,𝑋,𝑛,𝑒,𝑣,π‘₯,𝑦,𝑧   𝐢,π‘š,𝑛,𝑒,𝑣,𝑦   𝑛,𝐾,π‘₯,𝑦,𝑧   π‘₯,𝐡
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑦,𝑧,𝑣,𝑒,π‘š,𝑛)   𝐴(𝑧,𝑣,𝑒,π‘š)   𝐡(𝑧,π‘š)   𝐢(π‘₯,𝑧)   𝑇(𝑣,𝑒)   π‘ˆ(π‘š)   𝐹(𝑧,𝑣,π‘š)   𝐺(𝑦,𝑧,𝑣,𝑒,π‘š,𝑛)   𝐾(𝑣,𝑒,π‘š)

Proof of Theorem heiborlem4
Dummy variable π‘˜ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 6800 . . . . 5 (π‘₯ = 0 β†’ (π‘†β€˜π‘₯) = (π‘†β€˜0))
2 id 22 . . . . 5 (π‘₯ = 0 β†’ π‘₯ = 0)
31, 2breq12d 5094 . . . 4 (π‘₯ = 0 β†’ ((π‘†β€˜π‘₯)𝐺π‘₯ ↔ (π‘†β€˜0)𝐺0))
43imbi2d 342 . . 3 (π‘₯ = 0 β†’ ((πœ‘ β†’ (π‘†β€˜π‘₯)𝐺π‘₯) ↔ (πœ‘ β†’ (π‘†β€˜0)𝐺0)))
5 fveq2 6800 . . . . 5 (π‘₯ = π‘˜ β†’ (π‘†β€˜π‘₯) = (π‘†β€˜π‘˜))
6 id 22 . . . . 5 (π‘₯ = π‘˜ β†’ π‘₯ = π‘˜)
75, 6breq12d 5094 . . . 4 (π‘₯ = π‘˜ β†’ ((π‘†β€˜π‘₯)𝐺π‘₯ ↔ (π‘†β€˜π‘˜)πΊπ‘˜))
87imbi2d 342 . . 3 (π‘₯ = π‘˜ β†’ ((πœ‘ β†’ (π‘†β€˜π‘₯)𝐺π‘₯) ↔ (πœ‘ β†’ (π‘†β€˜π‘˜)πΊπ‘˜)))
9 fveq2 6800 . . . . 5 (π‘₯ = (π‘˜ + 1) β†’ (π‘†β€˜π‘₯) = (π‘†β€˜(π‘˜ + 1)))
10 id 22 . . . . 5 (π‘₯ = (π‘˜ + 1) β†’ π‘₯ = (π‘˜ + 1))
119, 10breq12d 5094 . . . 4 (π‘₯ = (π‘˜ + 1) β†’ ((π‘†β€˜π‘₯)𝐺π‘₯ ↔ (π‘†β€˜(π‘˜ + 1))𝐺(π‘˜ + 1)))
1211imbi2d 342 . . 3 (π‘₯ = (π‘˜ + 1) β†’ ((πœ‘ β†’ (π‘†β€˜π‘₯)𝐺π‘₯) ↔ (πœ‘ β†’ (π‘†β€˜(π‘˜ + 1))𝐺(π‘˜ + 1))))
13 fveq2 6800 . . . . 5 (π‘₯ = 𝐴 β†’ (π‘†β€˜π‘₯) = (π‘†β€˜π΄))
14 id 22 . . . . 5 (π‘₯ = 𝐴 β†’ π‘₯ = 𝐴)
1513, 14breq12d 5094 . . . 4 (π‘₯ = 𝐴 β†’ ((π‘†β€˜π‘₯)𝐺π‘₯ ↔ (π‘†β€˜π΄)𝐺𝐴))
1615imbi2d 342 . . 3 (π‘₯ = 𝐴 β†’ ((πœ‘ β†’ (π‘†β€˜π‘₯)𝐺π‘₯) ↔ (πœ‘ β†’ (π‘†β€˜π΄)𝐺𝐴)))
17 heibor.11 . . . . . . 7 𝑆 = seq0(𝑇, (π‘š ∈ β„•0 ↦ if(π‘š = 0, 𝐢, (π‘š βˆ’ 1))))
1817fveq1i 6801 . . . . . 6 (π‘†β€˜0) = (seq0(𝑇, (π‘š ∈ β„•0 ↦ if(π‘š = 0, 𝐢, (π‘š βˆ’ 1))))β€˜0)
19 0z 12372 . . . . . . 7 0 ∈ β„€
20 seq1 13776 . . . . . . 7 (0 ∈ β„€ β†’ (seq0(𝑇, (π‘š ∈ β„•0 ↦ if(π‘š = 0, 𝐢, (π‘š βˆ’ 1))))β€˜0) = ((π‘š ∈ β„•0 ↦ if(π‘š = 0, 𝐢, (π‘š βˆ’ 1)))β€˜0))
2119, 20ax-mp 5 . . . . . 6 (seq0(𝑇, (π‘š ∈ β„•0 ↦ if(π‘š = 0, 𝐢, (π‘š βˆ’ 1))))β€˜0) = ((π‘š ∈ β„•0 ↦ if(π‘š = 0, 𝐢, (π‘š βˆ’ 1)))β€˜0)
2218, 21eqtri 2764 . . . . 5 (π‘†β€˜0) = ((π‘š ∈ β„•0 ↦ if(π‘š = 0, 𝐢, (π‘š βˆ’ 1)))β€˜0)
23 0nn0 12290 . . . . . 6 0 ∈ β„•0
24 heibor.10 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐢𝐺0)
25 heibor.4 . . . . . . . . 9 𝐺 = {βŸ¨π‘¦, π‘›βŸ© ∣ (𝑛 ∈ β„•0 ∧ 𝑦 ∈ (πΉβ€˜π‘›) ∧ (𝑦𝐡𝑛) ∈ 𝐾)}
2625relopabiv 5738 . . . . . . . 8 Rel 𝐺
2726brrelex1i 5650 . . . . . . 7 (𝐢𝐺0 β†’ 𝐢 ∈ V)
2824, 27syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ V)
29 iftrue 4471 . . . . . . 7 (π‘š = 0 β†’ if(π‘š = 0, 𝐢, (π‘š βˆ’ 1)) = 𝐢)
30 eqid 2736 . . . . . . 7 (π‘š ∈ β„•0 ↦ if(π‘š = 0, 𝐢, (π‘š βˆ’ 1))) = (π‘š ∈ β„•0 ↦ if(π‘š = 0, 𝐢, (π‘š βˆ’ 1)))
3129, 30fvmptg 6901 . . . . . 6 ((0 ∈ β„•0 ∧ 𝐢 ∈ V) β†’ ((π‘š ∈ β„•0 ↦ if(π‘š = 0, 𝐢, (π‘š βˆ’ 1)))β€˜0) = 𝐢)
3223, 28, 31sylancr 588 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘š ∈ β„•0 ↦ if(π‘š = 0, 𝐢, (π‘š βˆ’ 1)))β€˜0) = 𝐢)
3322, 32eqtrid 2788 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘†β€˜0) = 𝐢)
3433, 24eqbrtrd 5103 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘†β€˜0)𝐺0)
35 df-br 5082 . . . . . 6 ((π‘†β€˜π‘˜)πΊπ‘˜ ↔ ⟨(π‘†β€˜π‘˜), π‘˜βŸ© ∈ 𝐺)
36 heibor.9 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐺 ((π‘‡β€˜π‘₯)𝐺((2nd β€˜π‘₯) + 1) ∧ ((π΅β€˜π‘₯) ∩ ((π‘‡β€˜π‘₯)𝐡((2nd β€˜π‘₯) + 1))) ∈ 𝐾))
37 fveq2 6800 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = ⟨(π‘†β€˜π‘˜), π‘˜βŸ© β†’ (π‘‡β€˜π‘₯) = (π‘‡β€˜βŸ¨(π‘†β€˜π‘˜), π‘˜βŸ©))
38 df-ov 7306 . . . . . . . . . . 11 ((π‘†β€˜π‘˜)π‘‡π‘˜) = (π‘‡β€˜βŸ¨(π‘†β€˜π‘˜), π‘˜βŸ©)
3937, 38eqtr4di 2794 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = ⟨(π‘†β€˜π‘˜), π‘˜βŸ© β†’ (π‘‡β€˜π‘₯) = ((π‘†β€˜π‘˜)π‘‡π‘˜))
40 fvex 6813 . . . . . . . . . . . 12 (π‘†β€˜π‘˜) ∈ V
41 vex 3441 . . . . . . . . . . . 12 π‘˜ ∈ V
4240, 41op2ndd 7870 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = ⟨(π‘†β€˜π‘˜), π‘˜βŸ© β†’ (2nd β€˜π‘₯) = π‘˜)
4342oveq1d 7318 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = ⟨(π‘†β€˜π‘˜), π‘˜βŸ© β†’ ((2nd β€˜π‘₯) + 1) = (π‘˜ + 1))
4439, 43breq12d 5094 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = ⟨(π‘†β€˜π‘˜), π‘˜βŸ© β†’ ((π‘‡β€˜π‘₯)𝐺((2nd β€˜π‘₯) + 1) ↔ ((π‘†β€˜π‘˜)π‘‡π‘˜)𝐺(π‘˜ + 1)))
45 fveq2 6800 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = ⟨(π‘†β€˜π‘˜), π‘˜βŸ© β†’ (π΅β€˜π‘₯) = (π΅β€˜βŸ¨(π‘†β€˜π‘˜), π‘˜βŸ©))
46 df-ov 7306 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘†β€˜π‘˜)π΅π‘˜) = (π΅β€˜βŸ¨(π‘†β€˜π‘˜), π‘˜βŸ©)
4745, 46eqtr4di 2794 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = ⟨(π‘†β€˜π‘˜), π‘˜βŸ© β†’ (π΅β€˜π‘₯) = ((π‘†β€˜π‘˜)π΅π‘˜))
4839, 43oveq12d 7321 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = ⟨(π‘†β€˜π‘˜), π‘˜βŸ© β†’ ((π‘‡β€˜π‘₯)𝐡((2nd β€˜π‘₯) + 1)) = (((π‘†β€˜π‘˜)π‘‡π‘˜)𝐡(π‘˜ + 1)))
4947, 48ineq12d 4153 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = ⟨(π‘†β€˜π‘˜), π‘˜βŸ© β†’ ((π΅β€˜π‘₯) ∩ ((π‘‡β€˜π‘₯)𝐡((2nd β€˜π‘₯) + 1))) = (((π‘†β€˜π‘˜)π΅π‘˜) ∩ (((π‘†β€˜π‘˜)π‘‡π‘˜)𝐡(π‘˜ + 1))))
5049eleq1d 2821 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = ⟨(π‘†β€˜π‘˜), π‘˜βŸ© β†’ (((π΅β€˜π‘₯) ∩ ((π‘‡β€˜π‘₯)𝐡((2nd β€˜π‘₯) + 1))) ∈ 𝐾 ↔ (((π‘†β€˜π‘˜)π΅π‘˜) ∩ (((π‘†β€˜π‘˜)π‘‡π‘˜)𝐡(π‘˜ + 1))) ∈ 𝐾))
5144, 50anbi12d 632 . . . . . . . 8 (π‘₯ = ⟨(π‘†β€˜π‘˜), π‘˜βŸ© β†’ (((π‘‡β€˜π‘₯)𝐺((2nd β€˜π‘₯) + 1) ∧ ((π΅β€˜π‘₯) ∩ ((π‘‡β€˜π‘₯)𝐡((2nd β€˜π‘₯) + 1))) ∈ 𝐾) ↔ (((π‘†β€˜π‘˜)π‘‡π‘˜)𝐺(π‘˜ + 1) ∧ (((π‘†β€˜π‘˜)π΅π‘˜) ∩ (((π‘†β€˜π‘˜)π‘‡π‘˜)𝐡(π‘˜ + 1))) ∈ 𝐾)))
5251rspccv 3563 . . . . . . 7 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐺 ((π‘‡β€˜π‘₯)𝐺((2nd β€˜π‘₯) + 1) ∧ ((π΅β€˜π‘₯) ∩ ((π‘‡β€˜π‘₯)𝐡((2nd β€˜π‘₯) + 1))) ∈ 𝐾) β†’ (⟨(π‘†β€˜π‘˜), π‘˜βŸ© ∈ 𝐺 β†’ (((π‘†β€˜π‘˜)π‘‡π‘˜)𝐺(π‘˜ + 1) ∧ (((π‘†β€˜π‘˜)π΅π‘˜) ∩ (((π‘†β€˜π‘˜)π‘‡π‘˜)𝐡(π‘˜ + 1))) ∈ 𝐾)))
5336, 52syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (⟨(π‘†β€˜π‘˜), π‘˜βŸ© ∈ 𝐺 β†’ (((π‘†β€˜π‘˜)π‘‡π‘˜)𝐺(π‘˜ + 1) ∧ (((π‘†β€˜π‘˜)π΅π‘˜) ∩ (((π‘†β€˜π‘˜)π‘‡π‘˜)𝐡(π‘˜ + 1))) ∈ 𝐾)))
5435, 53syl5bi 243 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘†β€˜π‘˜)πΊπ‘˜ β†’ (((π‘†β€˜π‘˜)π‘‡π‘˜)𝐺(π‘˜ + 1) ∧ (((π‘†β€˜π‘˜)π΅π‘˜) ∩ (((π‘†β€˜π‘˜)π‘‡π‘˜)𝐡(π‘˜ + 1))) ∈ 𝐾)))
55 seqp1 13778 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜0) β†’ (seq0(𝑇, (π‘š ∈ β„•0 ↦ if(π‘š = 0, 𝐢, (π‘š βˆ’ 1))))β€˜(π‘˜ + 1)) = ((seq0(𝑇, (π‘š ∈ β„•0 ↦ if(π‘š = 0, 𝐢, (π‘š βˆ’ 1))))β€˜π‘˜)𝑇((π‘š ∈ β„•0 ↦ if(π‘š = 0, 𝐢, (π‘š βˆ’ 1)))β€˜(π‘˜ + 1))))
56 nn0uz 12662 . . . . . . . . . . 11 β„•0 = (β„€β‰₯β€˜0)
5755, 56eleq2s 2855 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ ∈ β„•0 β†’ (seq0(𝑇, (π‘š ∈ β„•0 ↦ if(π‘š = 0, 𝐢, (π‘š βˆ’ 1))))β€˜(π‘˜ + 1)) = ((seq0(𝑇, (π‘š ∈ β„•0 ↦ if(π‘š = 0, 𝐢, (π‘š βˆ’ 1))))β€˜π‘˜)𝑇((π‘š ∈ β„•0 ↦ if(π‘š = 0, 𝐢, (π‘š βˆ’ 1)))β€˜(π‘˜ + 1))))
5817fveq1i 6801 . . . . . . . . . 10 (π‘†β€˜(π‘˜ + 1)) = (seq0(𝑇, (π‘š ∈ β„•0 ↦ if(π‘š = 0, 𝐢, (π‘š βˆ’ 1))))β€˜(π‘˜ + 1))
5917fveq1i 6801 . . . . . . . . . . 11 (π‘†β€˜π‘˜) = (seq0(𝑇, (π‘š ∈ β„•0 ↦ if(π‘š = 0, 𝐢, (π‘š βˆ’ 1))))β€˜π‘˜)
6059oveq1i 7313 . . . . . . . . . 10 ((π‘†β€˜π‘˜)𝑇((π‘š ∈ β„•0 ↦ if(π‘š = 0, 𝐢, (π‘š βˆ’ 1)))β€˜(π‘˜ + 1))) = ((seq0(𝑇, (π‘š ∈ β„•0 ↦ if(π‘š = 0, 𝐢, (π‘š βˆ’ 1))))β€˜π‘˜)𝑇((π‘š ∈ β„•0 ↦ if(π‘š = 0, 𝐢, (π‘š βˆ’ 1)))β€˜(π‘˜ + 1)))
6157, 58, 603eqtr4g 2801 . . . . . . . . 9 (π‘˜ ∈ β„•0 β†’ (π‘†β€˜(π‘˜ + 1)) = ((π‘†β€˜π‘˜)𝑇((π‘š ∈ β„•0 ↦ if(π‘š = 0, 𝐢, (π‘š βˆ’ 1)))β€˜(π‘˜ + 1))))
62 eqeq1 2740 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘š = (π‘˜ + 1) β†’ (π‘š = 0 ↔ (π‘˜ + 1) = 0))
63 oveq1 7310 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘š = (π‘˜ + 1) β†’ (π‘š βˆ’ 1) = ((π‘˜ + 1) βˆ’ 1))
6462, 63ifbieq2d 4491 . . . . . . . . . . . 12 (π‘š = (π‘˜ + 1) β†’ if(π‘š = 0, 𝐢, (π‘š βˆ’ 1)) = if((π‘˜ + 1) = 0, 𝐢, ((π‘˜ + 1) βˆ’ 1)))
65 peano2nn0 12315 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ ∈ β„•0 β†’ (π‘˜ + 1) ∈ β„•0)
66 nn0p1nn 12314 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘˜ ∈ β„•0 β†’ (π‘˜ + 1) ∈ β„•)
67 nnne0 12049 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘˜ + 1) ∈ β„• β†’ (π‘˜ + 1) β‰  0)
6867neneqd 2946 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘˜ + 1) ∈ β„• β†’ Β¬ (π‘˜ + 1) = 0)
69 iffalse 4474 . . . . . . . . . . . . . 14 (Β¬ (π‘˜ + 1) = 0 β†’ if((π‘˜ + 1) = 0, 𝐢, ((π‘˜ + 1) βˆ’ 1)) = ((π‘˜ + 1) βˆ’ 1))
7066, 68, 693syl 18 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ ∈ β„•0 β†’ if((π‘˜ + 1) = 0, 𝐢, ((π‘˜ + 1) βˆ’ 1)) = ((π‘˜ + 1) βˆ’ 1))
71 ovex 7336 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘˜ + 1) βˆ’ 1) ∈ V
7270, 71eqeltrdi 2845 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ ∈ β„•0 β†’ if((π‘˜ + 1) = 0, 𝐢, ((π‘˜ + 1) βˆ’ 1)) ∈ V)
7330, 64, 65, 72fvmptd3 6926 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ ∈ β„•0 β†’ ((π‘š ∈ β„•0 ↦ if(π‘š = 0, 𝐢, (π‘š βˆ’ 1)))β€˜(π‘˜ + 1)) = if((π‘˜ + 1) = 0, 𝐢, ((π‘˜ + 1) βˆ’ 1)))
74 nn0cn 12285 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ ∈ β„•0 β†’ π‘˜ ∈ β„‚)
75 ax-1cn 10971 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ β„‚
76 pncan 11269 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘˜ ∈ β„‚ ∧ 1 ∈ β„‚) β†’ ((π‘˜ + 1) βˆ’ 1) = π‘˜)
7774, 75, 76sylancl 587 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ ∈ β„•0 β†’ ((π‘˜ + 1) βˆ’ 1) = π‘˜)
7873, 70, 773eqtrd 2780 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ ∈ β„•0 β†’ ((π‘š ∈ β„•0 ↦ if(π‘š = 0, 𝐢, (π‘š βˆ’ 1)))β€˜(π‘˜ + 1)) = π‘˜)
7978oveq2d 7319 . . . . . . . . 9 (π‘˜ ∈ β„•0 β†’ ((π‘†β€˜π‘˜)𝑇((π‘š ∈ β„•0 ↦ if(π‘š = 0, 𝐢, (π‘š βˆ’ 1)))β€˜(π‘˜ + 1))) = ((π‘†β€˜π‘˜)π‘‡π‘˜))
8061, 79eqtrd 2776 . . . . . . . 8 (π‘˜ ∈ β„•0 β†’ (π‘†β€˜(π‘˜ + 1)) = ((π‘†β€˜π‘˜)π‘‡π‘˜))
8180breq1d 5091 . . . . . . 7 (π‘˜ ∈ β„•0 β†’ ((π‘†β€˜(π‘˜ + 1))𝐺(π‘˜ + 1) ↔ ((π‘†β€˜π‘˜)π‘‡π‘˜)𝐺(π‘˜ + 1)))
8281biimprd 249 . . . . . 6 (π‘˜ ∈ β„•0 β†’ (((π‘†β€˜π‘˜)π‘‡π‘˜)𝐺(π‘˜ + 1) β†’ (π‘†β€˜(π‘˜ + 1))𝐺(π‘˜ + 1)))
8382adantrd 493 . . . . 5 (π‘˜ ∈ β„•0 β†’ ((((π‘†β€˜π‘˜)π‘‡π‘˜)𝐺(π‘˜ + 1) ∧ (((π‘†β€˜π‘˜)π΅π‘˜) ∩ (((π‘†β€˜π‘˜)π‘‡π‘˜)𝐡(π‘˜ + 1))) ∈ 𝐾) β†’ (π‘†β€˜(π‘˜ + 1))𝐺(π‘˜ + 1)))
8454, 83syl9r 78 . . . 4 (π‘˜ ∈ β„•0 β†’ (πœ‘ β†’ ((π‘†β€˜π‘˜)πΊπ‘˜ β†’ (π‘†β€˜(π‘˜ + 1))𝐺(π‘˜ + 1))))
8584a2d 29 . . 3 (π‘˜ ∈ β„•0 β†’ ((πœ‘ β†’ (π‘†β€˜π‘˜)πΊπ‘˜) β†’ (πœ‘ β†’ (π‘†β€˜(π‘˜ + 1))𝐺(π‘˜ + 1))))
864, 8, 12, 16, 34, 85nn0ind 12457 . 2 (𝐴 ∈ β„•0 β†’ (πœ‘ β†’ (π‘†β€˜π΄)𝐺𝐴))
8786impcom 409 1 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„•0) β†’ (π‘†β€˜π΄)𝐺𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1087   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  {cab 2713  βˆ€wral 3062  βˆƒwrex 3071  Vcvv 3437   ∩ cin 3891   βŠ† wss 3892  ifcif 4465  π’« cpw 4539  βŸ¨cop 4571  βˆͺ cuni 4844  βˆͺ ciun 4931   class class class wbr 5081  {copab 5143   ↦ cmpt 5164  βŸΆwf 6450  β€˜cfv 6454  (class class class)co 7303   ∈ cmpo 7305  2nd c2nd 7858  Fincfn 8760  β„‚cc 10911  0cc0 10913  1c1 10914   + caddc 10916   βˆ’ cmin 11247   / cdiv 11674  β„•cn 12015  2c2 12070  β„•0cn0 12275  β„€cz 12361  β„€β‰₯cuz 12624  seqcseq 13763  β†‘cexp 13824  ballcbl 20625  MetOpencmopn 20628  CMetccmet 24459
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pow 5297  ax-pr 5361  ax-un 7616  ax-cnex 10969  ax-resscn 10970  ax-1cn 10971  ax-icn 10972  ax-addcl 10973  ax-addrcl 10974  ax-mulcl 10975  ax-mulrcl 10976  ax-mulcom 10977  ax-addass 10978  ax-mulass 10979  ax-distr 10980  ax-i2m1 10981  ax-1ne0 10982  ax-1rid 10983  ax-rnegex 10984  ax-rrecex 10985  ax-cnre 10986  ax-pre-lttri 10987  ax-pre-lttrn 10988  ax-pre-ltadd 10989  ax-pre-mulgt0 10990
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3286  df-rab 3287  df-v 3439  df-sbc 3722  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4566  df-pr 4568  df-op 4572  df-uni 4845  df-iun 4933  df-br 5082  df-opab 5144  df-mpt 5165  df-tr 5199  df-id 5496  df-eprel 5502  df-po 5510  df-so 5511  df-fr 5551  df-we 5553  df-xp 5602  df-rel 5603  df-cnv 5604  df-co 5605  df-dm 5606  df-rn 5607  df-res 5608  df-ima 5609  df-pred 6213  df-ord 6280  df-on 6281  df-lim 6282  df-suc 6283  df-iota 6406  df-fun 6456  df-fn 6457  df-f 6458  df-f1 6459  df-fo 6460  df-f1o 6461  df-fv 6462  df-riota 7260  df-ov 7306  df-oprab 7307  df-mpo 7308  df-om 7741  df-2nd 7860  df-frecs 8124  df-wrecs 8155  df-recs 8229  df-rdg 8268  df-er 8525  df-en 8761  df-dom 8762  df-sdom 8763  df-pnf 11053  df-mnf 11054  df-xr 11055  df-ltxr 11056  df-le 11057  df-sub 11249  df-neg 11250  df-nn 12016  df-n0 12276  df-z 12362  df-uz 12625  df-seq 13764
This theorem is referenced by:  heiborlem5  36014  heiborlem6  36015  heiborlem8  36017
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