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Theorem heiborlem4 36774
Description: Lemma for heibor 36781. Using the function 𝑇 constructed in heiborlem3 36773, construct an infinite path in 𝐺. (Contributed by Jeff Madsen, 23-Jan-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
heibor.1 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
heibor.3 𝐾 = {𝑒 ∣ Β¬ βˆƒπ‘£ ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin)𝑒 βŠ† βˆͺ 𝑣}
heibor.4 𝐺 = {βŸ¨π‘¦, π‘›βŸ© ∣ (𝑛 ∈ β„•0 ∧ 𝑦 ∈ (πΉβ€˜π‘›) ∧ (𝑦𝐡𝑛) ∈ 𝐾)}
heibor.5 𝐡 = (𝑧 ∈ 𝑋, π‘š ∈ β„•0 ↦ (𝑧(ballβ€˜π·)(1 / (2β†‘π‘š))))
heibor.6 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹))
heibor.7 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„•0⟢(𝒫 𝑋 ∩ Fin))
heibor.8 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘› ∈ β„•0 𝑋 = βˆͺ 𝑦 ∈ (πΉβ€˜π‘›)(𝑦𝐡𝑛))
heibor.9 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐺 ((π‘‡β€˜π‘₯)𝐺((2nd β€˜π‘₯) + 1) ∧ ((π΅β€˜π‘₯) ∩ ((π‘‡β€˜π‘₯)𝐡((2nd β€˜π‘₯) + 1))) ∈ 𝐾))
heibor.10 (πœ‘ β†’ 𝐢𝐺0)
heibor.11 𝑆 = seq0(𝑇, (π‘š ∈ β„•0 ↦ if(π‘š = 0, 𝐢, (π‘š βˆ’ 1))))
Assertion
Ref Expression
heiborlem4 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„•0) β†’ (π‘†β€˜π΄)𝐺𝐴)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑛,𝑦,𝐴   𝑒,𝑛,𝐹,π‘₯,𝑦   π‘₯,𝐺   πœ‘,π‘₯   π‘š,𝑛,𝑒,𝑣,π‘₯,𝑦,𝑧,𝐷   𝑇,π‘š,𝑛,π‘₯,𝑦,𝑧   𝐡,𝑛,𝑒,𝑣,𝑦   π‘š,𝐽,𝑛,𝑒,𝑣,π‘₯,𝑦,𝑧   π‘ˆ,𝑛,𝑒,𝑣,π‘₯,𝑦,𝑧   𝑆,π‘š,𝑛,𝑒,𝑣,π‘₯,𝑦,𝑧   π‘š,𝑋,𝑛,𝑒,𝑣,π‘₯,𝑦,𝑧   𝐢,π‘š,𝑛,𝑒,𝑣,𝑦   𝑛,𝐾,π‘₯,𝑦,𝑧   π‘₯,𝐡
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑦,𝑧,𝑣,𝑒,π‘š,𝑛)   𝐴(𝑧,𝑣,𝑒,π‘š)   𝐡(𝑧,π‘š)   𝐢(π‘₯,𝑧)   𝑇(𝑣,𝑒)   π‘ˆ(π‘š)   𝐹(𝑧,𝑣,π‘š)   𝐺(𝑦,𝑧,𝑣,𝑒,π‘š,𝑛)   𝐾(𝑣,𝑒,π‘š)

Proof of Theorem heiborlem4
Dummy variable π‘˜ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 6891 . . . . 5 (π‘₯ = 0 β†’ (π‘†β€˜π‘₯) = (π‘†β€˜0))
2 id 22 . . . . 5 (π‘₯ = 0 β†’ π‘₯ = 0)
31, 2breq12d 5161 . . . 4 (π‘₯ = 0 β†’ ((π‘†β€˜π‘₯)𝐺π‘₯ ↔ (π‘†β€˜0)𝐺0))
43imbi2d 340 . . 3 (π‘₯ = 0 β†’ ((πœ‘ β†’ (π‘†β€˜π‘₯)𝐺π‘₯) ↔ (πœ‘ β†’ (π‘†β€˜0)𝐺0)))
5 fveq2 6891 . . . . 5 (π‘₯ = π‘˜ β†’ (π‘†β€˜π‘₯) = (π‘†β€˜π‘˜))
6 id 22 . . . . 5 (π‘₯ = π‘˜ β†’ π‘₯ = π‘˜)
75, 6breq12d 5161 . . . 4 (π‘₯ = π‘˜ β†’ ((π‘†β€˜π‘₯)𝐺π‘₯ ↔ (π‘†β€˜π‘˜)πΊπ‘˜))
87imbi2d 340 . . 3 (π‘₯ = π‘˜ β†’ ((πœ‘ β†’ (π‘†β€˜π‘₯)𝐺π‘₯) ↔ (πœ‘ β†’ (π‘†β€˜π‘˜)πΊπ‘˜)))
9 fveq2 6891 . . . . 5 (π‘₯ = (π‘˜ + 1) β†’ (π‘†β€˜π‘₯) = (π‘†β€˜(π‘˜ + 1)))
10 id 22 . . . . 5 (π‘₯ = (π‘˜ + 1) β†’ π‘₯ = (π‘˜ + 1))
119, 10breq12d 5161 . . . 4 (π‘₯ = (π‘˜ + 1) β†’ ((π‘†β€˜π‘₯)𝐺π‘₯ ↔ (π‘†β€˜(π‘˜ + 1))𝐺(π‘˜ + 1)))
1211imbi2d 340 . . 3 (π‘₯ = (π‘˜ + 1) β†’ ((πœ‘ β†’ (π‘†β€˜π‘₯)𝐺π‘₯) ↔ (πœ‘ β†’ (π‘†β€˜(π‘˜ + 1))𝐺(π‘˜ + 1))))
13 fveq2 6891 . . . . 5 (π‘₯ = 𝐴 β†’ (π‘†β€˜π‘₯) = (π‘†β€˜π΄))
14 id 22 . . . . 5 (π‘₯ = 𝐴 β†’ π‘₯ = 𝐴)
1513, 14breq12d 5161 . . . 4 (π‘₯ = 𝐴 β†’ ((π‘†β€˜π‘₯)𝐺π‘₯ ↔ (π‘†β€˜π΄)𝐺𝐴))
1615imbi2d 340 . . 3 (π‘₯ = 𝐴 β†’ ((πœ‘ β†’ (π‘†β€˜π‘₯)𝐺π‘₯) ↔ (πœ‘ β†’ (π‘†β€˜π΄)𝐺𝐴)))
17 heibor.11 . . . . . . 7 𝑆 = seq0(𝑇, (π‘š ∈ β„•0 ↦ if(π‘š = 0, 𝐢, (π‘š βˆ’ 1))))
1817fveq1i 6892 . . . . . 6 (π‘†β€˜0) = (seq0(𝑇, (π‘š ∈ β„•0 ↦ if(π‘š = 0, 𝐢, (π‘š βˆ’ 1))))β€˜0)
19 0z 12571 . . . . . . 7 0 ∈ β„€
20 seq1 13981 . . . . . . 7 (0 ∈ β„€ β†’ (seq0(𝑇, (π‘š ∈ β„•0 ↦ if(π‘š = 0, 𝐢, (π‘š βˆ’ 1))))β€˜0) = ((π‘š ∈ β„•0 ↦ if(π‘š = 0, 𝐢, (π‘š βˆ’ 1)))β€˜0))
2119, 20ax-mp 5 . . . . . 6 (seq0(𝑇, (π‘š ∈ β„•0 ↦ if(π‘š = 0, 𝐢, (π‘š βˆ’ 1))))β€˜0) = ((π‘š ∈ β„•0 ↦ if(π‘š = 0, 𝐢, (π‘š βˆ’ 1)))β€˜0)
2218, 21eqtri 2760 . . . . 5 (π‘†β€˜0) = ((π‘š ∈ β„•0 ↦ if(π‘š = 0, 𝐢, (π‘š βˆ’ 1)))β€˜0)
23 0nn0 12489 . . . . . 6 0 ∈ β„•0
24 heibor.10 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐢𝐺0)
25 heibor.4 . . . . . . . . 9 𝐺 = {βŸ¨π‘¦, π‘›βŸ© ∣ (𝑛 ∈ β„•0 ∧ 𝑦 ∈ (πΉβ€˜π‘›) ∧ (𝑦𝐡𝑛) ∈ 𝐾)}
2625relopabiv 5820 . . . . . . . 8 Rel 𝐺
2726brrelex1i 5732 . . . . . . 7 (𝐢𝐺0 β†’ 𝐢 ∈ V)
2824, 27syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ V)
29 iftrue 4534 . . . . . . 7 (π‘š = 0 β†’ if(π‘š = 0, 𝐢, (π‘š βˆ’ 1)) = 𝐢)
30 eqid 2732 . . . . . . 7 (π‘š ∈ β„•0 ↦ if(π‘š = 0, 𝐢, (π‘š βˆ’ 1))) = (π‘š ∈ β„•0 ↦ if(π‘š = 0, 𝐢, (π‘š βˆ’ 1)))
3129, 30fvmptg 6996 . . . . . 6 ((0 ∈ β„•0 ∧ 𝐢 ∈ V) β†’ ((π‘š ∈ β„•0 ↦ if(π‘š = 0, 𝐢, (π‘š βˆ’ 1)))β€˜0) = 𝐢)
3223, 28, 31sylancr 587 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘š ∈ β„•0 ↦ if(π‘š = 0, 𝐢, (π‘š βˆ’ 1)))β€˜0) = 𝐢)
3322, 32eqtrid 2784 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘†β€˜0) = 𝐢)
3433, 24eqbrtrd 5170 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘†β€˜0)𝐺0)
35 df-br 5149 . . . . . 6 ((π‘†β€˜π‘˜)πΊπ‘˜ ↔ ⟨(π‘†β€˜π‘˜), π‘˜βŸ© ∈ 𝐺)
36 heibor.9 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐺 ((π‘‡β€˜π‘₯)𝐺((2nd β€˜π‘₯) + 1) ∧ ((π΅β€˜π‘₯) ∩ ((π‘‡β€˜π‘₯)𝐡((2nd β€˜π‘₯) + 1))) ∈ 𝐾))
37 fveq2 6891 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = ⟨(π‘†β€˜π‘˜), π‘˜βŸ© β†’ (π‘‡β€˜π‘₯) = (π‘‡β€˜βŸ¨(π‘†β€˜π‘˜), π‘˜βŸ©))
38 df-ov 7414 . . . . . . . . . . 11 ((π‘†β€˜π‘˜)π‘‡π‘˜) = (π‘‡β€˜βŸ¨(π‘†β€˜π‘˜), π‘˜βŸ©)
3937, 38eqtr4di 2790 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = ⟨(π‘†β€˜π‘˜), π‘˜βŸ© β†’ (π‘‡β€˜π‘₯) = ((π‘†β€˜π‘˜)π‘‡π‘˜))
40 fvex 6904 . . . . . . . . . . . 12 (π‘†β€˜π‘˜) ∈ V
41 vex 3478 . . . . . . . . . . . 12 π‘˜ ∈ V
4240, 41op2ndd 7988 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = ⟨(π‘†β€˜π‘˜), π‘˜βŸ© β†’ (2nd β€˜π‘₯) = π‘˜)
4342oveq1d 7426 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = ⟨(π‘†β€˜π‘˜), π‘˜βŸ© β†’ ((2nd β€˜π‘₯) + 1) = (π‘˜ + 1))
4439, 43breq12d 5161 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = ⟨(π‘†β€˜π‘˜), π‘˜βŸ© β†’ ((π‘‡β€˜π‘₯)𝐺((2nd β€˜π‘₯) + 1) ↔ ((π‘†β€˜π‘˜)π‘‡π‘˜)𝐺(π‘˜ + 1)))
45 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = ⟨(π‘†β€˜π‘˜), π‘˜βŸ© β†’ (π΅β€˜π‘₯) = (π΅β€˜βŸ¨(π‘†β€˜π‘˜), π‘˜βŸ©))
46 df-ov 7414 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘†β€˜π‘˜)π΅π‘˜) = (π΅β€˜βŸ¨(π‘†β€˜π‘˜), π‘˜βŸ©)
4745, 46eqtr4di 2790 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = ⟨(π‘†β€˜π‘˜), π‘˜βŸ© β†’ (π΅β€˜π‘₯) = ((π‘†β€˜π‘˜)π΅π‘˜))
4839, 43oveq12d 7429 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = ⟨(π‘†β€˜π‘˜), π‘˜βŸ© β†’ ((π‘‡β€˜π‘₯)𝐡((2nd β€˜π‘₯) + 1)) = (((π‘†β€˜π‘˜)π‘‡π‘˜)𝐡(π‘˜ + 1)))
4947, 48ineq12d 4213 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = ⟨(π‘†β€˜π‘˜), π‘˜βŸ© β†’ ((π΅β€˜π‘₯) ∩ ((π‘‡β€˜π‘₯)𝐡((2nd β€˜π‘₯) + 1))) = (((π‘†β€˜π‘˜)π΅π‘˜) ∩ (((π‘†β€˜π‘˜)π‘‡π‘˜)𝐡(π‘˜ + 1))))
5049eleq1d 2818 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = ⟨(π‘†β€˜π‘˜), π‘˜βŸ© β†’ (((π΅β€˜π‘₯) ∩ ((π‘‡β€˜π‘₯)𝐡((2nd β€˜π‘₯) + 1))) ∈ 𝐾 ↔ (((π‘†β€˜π‘˜)π΅π‘˜) ∩ (((π‘†β€˜π‘˜)π‘‡π‘˜)𝐡(π‘˜ + 1))) ∈ 𝐾))
5144, 50anbi12d 631 . . . . . . . 8 (π‘₯ = ⟨(π‘†β€˜π‘˜), π‘˜βŸ© β†’ (((π‘‡β€˜π‘₯)𝐺((2nd β€˜π‘₯) + 1) ∧ ((π΅β€˜π‘₯) ∩ ((π‘‡β€˜π‘₯)𝐡((2nd β€˜π‘₯) + 1))) ∈ 𝐾) ↔ (((π‘†β€˜π‘˜)π‘‡π‘˜)𝐺(π‘˜ + 1) ∧ (((π‘†β€˜π‘˜)π΅π‘˜) ∩ (((π‘†β€˜π‘˜)π‘‡π‘˜)𝐡(π‘˜ + 1))) ∈ 𝐾)))
5251rspccv 3609 . . . . . . 7 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐺 ((π‘‡β€˜π‘₯)𝐺((2nd β€˜π‘₯) + 1) ∧ ((π΅β€˜π‘₯) ∩ ((π‘‡β€˜π‘₯)𝐡((2nd β€˜π‘₯) + 1))) ∈ 𝐾) β†’ (⟨(π‘†β€˜π‘˜), π‘˜βŸ© ∈ 𝐺 β†’ (((π‘†β€˜π‘˜)π‘‡π‘˜)𝐺(π‘˜ + 1) ∧ (((π‘†β€˜π‘˜)π΅π‘˜) ∩ (((π‘†β€˜π‘˜)π‘‡π‘˜)𝐡(π‘˜ + 1))) ∈ 𝐾)))
5336, 52syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (⟨(π‘†β€˜π‘˜), π‘˜βŸ© ∈ 𝐺 β†’ (((π‘†β€˜π‘˜)π‘‡π‘˜)𝐺(π‘˜ + 1) ∧ (((π‘†β€˜π‘˜)π΅π‘˜) ∩ (((π‘†β€˜π‘˜)π‘‡π‘˜)𝐡(π‘˜ + 1))) ∈ 𝐾)))
5435, 53biimtrid 241 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘†β€˜π‘˜)πΊπ‘˜ β†’ (((π‘†β€˜π‘˜)π‘‡π‘˜)𝐺(π‘˜ + 1) ∧ (((π‘†β€˜π‘˜)π΅π‘˜) ∩ (((π‘†β€˜π‘˜)π‘‡π‘˜)𝐡(π‘˜ + 1))) ∈ 𝐾)))
55 seqp1 13983 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜0) β†’ (seq0(𝑇, (π‘š ∈ β„•0 ↦ if(π‘š = 0, 𝐢, (π‘š βˆ’ 1))))β€˜(π‘˜ + 1)) = ((seq0(𝑇, (π‘š ∈ β„•0 ↦ if(π‘š = 0, 𝐢, (π‘š βˆ’ 1))))β€˜π‘˜)𝑇((π‘š ∈ β„•0 ↦ if(π‘š = 0, 𝐢, (π‘š βˆ’ 1)))β€˜(π‘˜ + 1))))
56 nn0uz 12866 . . . . . . . . . . 11 β„•0 = (β„€β‰₯β€˜0)
5755, 56eleq2s 2851 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ ∈ β„•0 β†’ (seq0(𝑇, (π‘š ∈ β„•0 ↦ if(π‘š = 0, 𝐢, (π‘š βˆ’ 1))))β€˜(π‘˜ + 1)) = ((seq0(𝑇, (π‘š ∈ β„•0 ↦ if(π‘š = 0, 𝐢, (π‘š βˆ’ 1))))β€˜π‘˜)𝑇((π‘š ∈ β„•0 ↦ if(π‘š = 0, 𝐢, (π‘š βˆ’ 1)))β€˜(π‘˜ + 1))))
5817fveq1i 6892 . . . . . . . . . 10 (π‘†β€˜(π‘˜ + 1)) = (seq0(𝑇, (π‘š ∈ β„•0 ↦ if(π‘š = 0, 𝐢, (π‘š βˆ’ 1))))β€˜(π‘˜ + 1))
5917fveq1i 6892 . . . . . . . . . . 11 (π‘†β€˜π‘˜) = (seq0(𝑇, (π‘š ∈ β„•0 ↦ if(π‘š = 0, 𝐢, (π‘š βˆ’ 1))))β€˜π‘˜)
6059oveq1i 7421 . . . . . . . . . 10 ((π‘†β€˜π‘˜)𝑇((π‘š ∈ β„•0 ↦ if(π‘š = 0, 𝐢, (π‘š βˆ’ 1)))β€˜(π‘˜ + 1))) = ((seq0(𝑇, (π‘š ∈ β„•0 ↦ if(π‘š = 0, 𝐢, (π‘š βˆ’ 1))))β€˜π‘˜)𝑇((π‘š ∈ β„•0 ↦ if(π‘š = 0, 𝐢, (π‘š βˆ’ 1)))β€˜(π‘˜ + 1)))
6157, 58, 603eqtr4g 2797 . . . . . . . . 9 (π‘˜ ∈ β„•0 β†’ (π‘†β€˜(π‘˜ + 1)) = ((π‘†β€˜π‘˜)𝑇((π‘š ∈ β„•0 ↦ if(π‘š = 0, 𝐢, (π‘š βˆ’ 1)))β€˜(π‘˜ + 1))))
62 eqeq1 2736 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘š = (π‘˜ + 1) β†’ (π‘š = 0 ↔ (π‘˜ + 1) = 0))
63 oveq1 7418 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘š = (π‘˜ + 1) β†’ (π‘š βˆ’ 1) = ((π‘˜ + 1) βˆ’ 1))
6462, 63ifbieq2d 4554 . . . . . . . . . . . 12 (π‘š = (π‘˜ + 1) β†’ if(π‘š = 0, 𝐢, (π‘š βˆ’ 1)) = if((π‘˜ + 1) = 0, 𝐢, ((π‘˜ + 1) βˆ’ 1)))
65 peano2nn0 12514 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ ∈ β„•0 β†’ (π‘˜ + 1) ∈ β„•0)
66 nn0p1nn 12513 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘˜ ∈ β„•0 β†’ (π‘˜ + 1) ∈ β„•)
67 nnne0 12248 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘˜ + 1) ∈ β„• β†’ (π‘˜ + 1) β‰  0)
6867neneqd 2945 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘˜ + 1) ∈ β„• β†’ Β¬ (π‘˜ + 1) = 0)
69 iffalse 4537 . . . . . . . . . . . . . 14 (Β¬ (π‘˜ + 1) = 0 β†’ if((π‘˜ + 1) = 0, 𝐢, ((π‘˜ + 1) βˆ’ 1)) = ((π‘˜ + 1) βˆ’ 1))
7066, 68, 693syl 18 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ ∈ β„•0 β†’ if((π‘˜ + 1) = 0, 𝐢, ((π‘˜ + 1) βˆ’ 1)) = ((π‘˜ + 1) βˆ’ 1))
71 ovex 7444 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘˜ + 1) βˆ’ 1) ∈ V
7270, 71eqeltrdi 2841 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ ∈ β„•0 β†’ if((π‘˜ + 1) = 0, 𝐢, ((π‘˜ + 1) βˆ’ 1)) ∈ V)
7330, 64, 65, 72fvmptd3 7021 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ ∈ β„•0 β†’ ((π‘š ∈ β„•0 ↦ if(π‘š = 0, 𝐢, (π‘š βˆ’ 1)))β€˜(π‘˜ + 1)) = if((π‘˜ + 1) = 0, 𝐢, ((π‘˜ + 1) βˆ’ 1)))
74 nn0cn 12484 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ ∈ β„•0 β†’ π‘˜ ∈ β„‚)
75 ax-1cn 11170 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ β„‚
76 pncan 11468 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘˜ ∈ β„‚ ∧ 1 ∈ β„‚) β†’ ((π‘˜ + 1) βˆ’ 1) = π‘˜)
7774, 75, 76sylancl 586 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ ∈ β„•0 β†’ ((π‘˜ + 1) βˆ’ 1) = π‘˜)
7873, 70, 773eqtrd 2776 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ ∈ β„•0 β†’ ((π‘š ∈ β„•0 ↦ if(π‘š = 0, 𝐢, (π‘š βˆ’ 1)))β€˜(π‘˜ + 1)) = π‘˜)
7978oveq2d 7427 . . . . . . . . 9 (π‘˜ ∈ β„•0 β†’ ((π‘†β€˜π‘˜)𝑇((π‘š ∈ β„•0 ↦ if(π‘š = 0, 𝐢, (π‘š βˆ’ 1)))β€˜(π‘˜ + 1))) = ((π‘†β€˜π‘˜)π‘‡π‘˜))
8061, 79eqtrd 2772 . . . . . . . 8 (π‘˜ ∈ β„•0 β†’ (π‘†β€˜(π‘˜ + 1)) = ((π‘†β€˜π‘˜)π‘‡π‘˜))
8180breq1d 5158 . . . . . . 7 (π‘˜ ∈ β„•0 β†’ ((π‘†β€˜(π‘˜ + 1))𝐺(π‘˜ + 1) ↔ ((π‘†β€˜π‘˜)π‘‡π‘˜)𝐺(π‘˜ + 1)))
8281biimprd 247 . . . . . 6 (π‘˜ ∈ β„•0 β†’ (((π‘†β€˜π‘˜)π‘‡π‘˜)𝐺(π‘˜ + 1) β†’ (π‘†β€˜(π‘˜ + 1))𝐺(π‘˜ + 1)))
8382adantrd 492 . . . . 5 (π‘˜ ∈ β„•0 β†’ ((((π‘†β€˜π‘˜)π‘‡π‘˜)𝐺(π‘˜ + 1) ∧ (((π‘†β€˜π‘˜)π΅π‘˜) ∩ (((π‘†β€˜π‘˜)π‘‡π‘˜)𝐡(π‘˜ + 1))) ∈ 𝐾) β†’ (π‘†β€˜(π‘˜ + 1))𝐺(π‘˜ + 1)))
8454, 83syl9r 78 . . . 4 (π‘˜ ∈ β„•0 β†’ (πœ‘ β†’ ((π‘†β€˜π‘˜)πΊπ‘˜ β†’ (π‘†β€˜(π‘˜ + 1))𝐺(π‘˜ + 1))))
8584a2d 29 . . 3 (π‘˜ ∈ β„•0 β†’ ((πœ‘ β†’ (π‘†β€˜π‘˜)πΊπ‘˜) β†’ (πœ‘ β†’ (π‘†β€˜(π‘˜ + 1))𝐺(π‘˜ + 1))))
864, 8, 12, 16, 34, 85nn0ind 12659 . 2 (𝐴 ∈ β„•0 β†’ (πœ‘ β†’ (π‘†β€˜π΄)𝐺𝐴))
8786impcom 408 1 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„•0) β†’ (π‘†β€˜π΄)𝐺𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  {cab 2709  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  Vcvv 3474   ∩ cin 3947   βŠ† wss 3948  ifcif 4528  π’« cpw 4602  βŸ¨cop 4634  βˆͺ cuni 4908  βˆͺ ciun 4997   class class class wbr 5148  {copab 5210   ↦ cmpt 5231  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411   ∈ cmpo 7413  2nd c2nd 7976  Fincfn 8941  β„‚cc 11110  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   βˆ’ cmin 11446   / cdiv 11873  β„•cn 12214  2c2 12269  β„•0cn0 12474  β„€cz 12560  β„€β‰₯cuz 12824  seqcseq 13968  β†‘cexp 14029  ballcbl 20937  MetOpencmopn 20940  CMetccmet 24778
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-nn 12215  df-n0 12475  df-z 12561  df-uz 12825  df-seq 13969
This theorem is referenced by:  heiborlem5  36775  heiborlem6  36776  heiborlem8  36778
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