Theorem ipoglb0 50247

Description: The GLB of the empty set is the union of the base. (Contributed by Zhi Wang, 30-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
ipoglb0.i	⊢ 𝐼 = (toInc‘𝐹)
ipoglb0.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 = (glb‘𝐼))
ipoglb0.f	⊢ (𝜑 → ∪ 𝐹 ∈ 𝐹)

Assertion

Ref	Expression
ipoglb0	⊢ (𝜑 → (𝐺‘∅) = ∪ 𝐹)

Proof of Theorem ipoglb0

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ipoglb0.i	. 2 ⊢ 𝐼 = (toInc‘𝐹)
2		ipoglb0.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝐹 ∈ 𝐹)
3		uniexr 7784	. . 3 ⊢ (∪ 𝐹 ∈ 𝐹 → 𝐹 ∈ V)
4	2, 3	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)
5		0ss 4352	. . 3 ⊢ ∅ ⊆ 𝐹
6	5	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → ∅ ⊆ 𝐹)
7		ipoglb0.g	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (glb‘𝐼))
8		ssv 3936	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑥 ⊆ V
9		int0 4924	. . . . . . . 8 ⊢ ∩ ∅ = V
10	8, 9	sseqtrri 3961	. . . . . . 7 ⊢ 𝑥 ⊆ ∩ ∅
11	10	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐹 → 𝑥 ⊆ ∩ ∅)
12	11	rabeqc 3427	. . . . 5 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐹 ∣ 𝑥 ⊆ ∩ ∅} = 𝐹
13	12	unieqi 4881	. . . 4 ⊢ ∪ {𝑥 ∈ 𝐹 ∣ 𝑥 ⊆ ∩ ∅} = ∪ 𝐹
14	13	eqcomi 2772	. . 3 ⊢ ∪ 𝐹 = ∪ {𝑥 ∈ 𝐹 ∣ 𝑥 ⊆ ∩ ∅}
15	14	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝐹 = ∪ {𝑥 ∈ 𝐹 ∣ 𝑥 ⊆ ∩ ∅})
16	1, 4, 6, 7, 15, 2	ipoglb 50244	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘∅) = ∪ 𝐹)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2146  {crab 3415  Vcvv 3453   ⊆ wss 3899  ∅c0 4280  ∪ cuni 4869  ∩ cint 4909  ‘cfv 6546  glbcglb 18496  toInccipo 18713

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5262  ax-pow 5330  ax-pr 5394  ax-un 7758  ax-cnex 11266  ax-resscn 11267  ax-1cn 11268  ax-icn 11269  ax-addcl 11270  ax-addrcl 11271  ax-mulcl 11272  ax-mulrcl 11273  ax-mulcom 11274  ax-addass 11275  ax-mulass 11276  ax-distr 11277  ax-i2m1 11278  ax-1ne0 11279  ax-1rid 11280  ax-rnegex 11281  ax-rrecex 11282  ax-cnre 11283  ax-pre-lttri 11284  ax-pre-lttrn 11285  ax-pre-ltadd 11286  ax-pre-mulgt0 11287

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3455  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-ss 3900  df-pss 4016  df-dif 4049  df-in 4093  df-un 4153  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4838  df-uni 4870  df-int 4910  df-iun 4955  df-br 5106  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5549  df-eprel 5554  df-po 5562  df-so 5563  df-fr 5607  df-we 5609  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6310  df-ord 6371  df-on 6372  df-lim 6373  df-suc 6374  df-iota 6500  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-riota 7384  df-ov 7430  df-oprab 7431  df-mpo 7432  df-om 7885  df-1st 8008  df-2nd 8009  df-frecs 8310  df-wrecs 8341  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8487  df-er 8728  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-pnf 11355  df-mnf 11356  df-xr 11357  df-ltxr 11358  df-le 11359  df-sub 11553  df-neg 11554  df-nn 12346  df-2 12415  df-3 12416  df-4 12417  df-5 12418  df-6 12419  df-7 12420  df-8 12421  df-9 12422  df-n0 12617  df-z 12704  df-dec 12825  df-uz 12976  df-fz 13650  df-struct 17337  df-sets 17354  df-slot 17372  df-ndx 17384  df-base 17400  df-tset 17459  df-ple 17460  df-ocomp 17461  df-odu 18473  df-proset 18480  df-poset 18499  df-lub 18530  df-glb 18531  df-ipo 18714

This theorem is used by:  toplatglb0  50252