Theorem ipoglb0 48668

Description: The GLB of the empty set is the union of the base. (Contributed by Zhi Wang, 30-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
ipoglb0.i	⊢ 𝐼 = (toInc‘𝐹)
ipoglb0.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 = (glb‘𝐼))
ipoglb0.f	⊢ (𝜑 → ∪ 𝐹 ∈ 𝐹)

Assertion

Ref	Expression
ipoglb0	⊢ (𝜑 → (𝐺‘∅) = ∪ 𝐹)

Proof of Theorem ipoglb0

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ipoglb0.i	. 2 ⊢ 𝐼 = (toInc‘𝐹)
2		ipoglb0.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝐹 ∈ 𝐹)
3		uniexr 7800	. . 3 ⊢ (∪ 𝐹 ∈ 𝐹 → 𝐹 ∈ V)
4	2, 3	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)
5		0ss 4423	. . 3 ⊢ ∅ ⊆ 𝐹
6	5	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → ∅ ⊆ 𝐹)
7		ipoglb0.g	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (glb‘𝐼))
8		ssv 4033	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑥 ⊆ V
9		int0 4986	. . . . . . . 8 ⊢ ∩ ∅ = V
10	8, 9	sseqtrri 4046	. . . . . . 7 ⊢ 𝑥 ⊆ ∩ ∅
11	10	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐹 → 𝑥 ⊆ ∩ ∅)
12	11	rabeqc 3456	. . . . 5 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐹 ∣ 𝑥 ⊆ ∩ ∅} = 𝐹
13	12	unieqi 4943	. . . 4 ⊢ ∪ {𝑥 ∈ 𝐹 ∣ 𝑥 ⊆ ∩ ∅} = ∪ 𝐹
14	13	eqcomi 2749	. . 3 ⊢ ∪ 𝐹 = ∪ {𝑥 ∈ 𝐹 ∣ 𝑥 ⊆ ∩ ∅}
15	14	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝐹 = ∪ {𝑥 ∈ 𝐹 ∣ 𝑥 ⊆ ∩ ∅})
16	1, 4, 6, 7, 15, 2	ipoglb 48665	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘∅) = ∪ 𝐹)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  {crab 3443  Vcvv 3488   ⊆ wss 3976  ∅c0 4352  ∪ cuni 4931  ∩ cint 4970  ‘cfv 6575  glbcglb 18382  toInccipo 18599

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7772  ax-cnex 11242  ax-resscn 11243  ax-1cn 11244  ax-icn 11245  ax-addcl 11246  ax-addrcl 11247  ax-mulcl 11248  ax-mulrcl 11249  ax-mulcom 11250  ax-addass 11251  ax-mulass 11252  ax-distr 11253  ax-i2m1 11254  ax-1ne0 11255  ax-1rid 11256  ax-rnegex 11257  ax-rrecex 11258  ax-cnre 11259  ax-pre-lttri 11260  ax-pre-lttrn 11261  ax-pre-ltadd 11262  ax-pre-mulgt0 11263

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6334  df-ord 6400  df-on 6401  df-lim 6402  df-suc 6403  df-iota 6527  df-fun 6577  df-fn 6578  df-f 6579  df-f1 6580  df-fo 6581  df-f1o 6582  df-fv 6583  df-riota 7406  df-ov 7453  df-oprab 7454  df-mpo 7455  df-om 7906  df-1st 8032  df-2nd 8033  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8429  df-rdg 8468  df-1o 8524  df-er 8765  df-en 9006  df-dom 9007  df-sdom 9008  df-fin 9009  df-pnf 11328  df-mnf 11329  df-xr 11330  df-ltxr 11331  df-le 11332  df-sub 11524  df-neg 11525  df-nn 12296  df-2 12358  df-3 12359  df-4 12360  df-5 12361  df-6 12362  df-7 12363  df-8 12364  df-9 12365  df-n0 12556  df-z 12642  df-dec 12761  df-uz 12906  df-fz 13570  df-struct 17196  df-sets 17213  df-slot 17231  df-ndx 17243  df-base 17261  df-tset 17332  df-ple 17333  df-ocomp 17334  df-odu 18359  df-proset 18367  df-poset 18385  df-lub 18418  df-glb 18419  df-ipo 18600

This theorem is referenced by:  toplatglb0  48673