Theorem ipoglb0 48193

Description: The GLB of the empty set is the union of the base. (Contributed by Zhi Wang, 30-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
ipoglb0.i	⊢ 𝐼 = (toInc‘𝐹)
ipoglb0.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 = (glb‘𝐼))
ipoglb0.f	⊢ (𝜑 → ∪ 𝐹 ∈ 𝐹)

Assertion

Ref	Expression
ipoglb0	⊢ (𝜑 → (𝐺‘∅) = ∪ 𝐹)

Proof of Theorem ipoglb0

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ipoglb0.i	. 2 ⊢ 𝐼 = (toInc‘𝐹)
2		ipoglb0.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝐹 ∈ 𝐹)
3		uniexr 7766	. . 3 ⊢ (∪ 𝐹 ∈ 𝐹 → 𝐹 ∈ V)
4	2, 3	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)
5		0ss 4398	. . 3 ⊢ ∅ ⊆ 𝐹
6	5	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → ∅ ⊆ 𝐹)
7		ipoglb0.g	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (glb‘𝐼))
8		ssv 4001	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑥 ⊆ V
9		int0 4966	. . . . . . . 8 ⊢ ∩ ∅ = V
10	8, 9	sseqtrri 4014	. . . . . . 7 ⊢ 𝑥 ⊆ ∩ ∅
11	10	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐹 → 𝑥 ⊆ ∩ ∅)
12	11	rabeqc 3431	. . . . 5 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐹 ∣ 𝑥 ⊆ ∩ ∅} = 𝐹
13	12	unieqi 4921	. . . 4 ⊢ ∪ {𝑥 ∈ 𝐹 ∣ 𝑥 ⊆ ∩ ∅} = ∪ 𝐹
14	13	eqcomi 2734	. . 3 ⊢ ∪ 𝐹 = ∪ {𝑥 ∈ 𝐹 ∣ 𝑥 ⊆ ∩ ∅}
15	14	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝐹 = ∪ {𝑥 ∈ 𝐹 ∣ 𝑥 ⊆ ∩ ∅})
16	1, 4, 6, 7, 15, 2	ipoglb 48190	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘∅) = ∪ 𝐹)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {crab 3418  Vcvv 3461   ⊆ wss 3944  ∅c0 4322  ∪ cuni 4909  ∩ cint 4950  ‘cfv 6549  glbcglb 18310  toInccipo 18527

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11201  ax-resscn 11202  ax-1cn 11203  ax-icn 11204  ax-addcl 11205  ax-addrcl 11206  ax-mulcl 11207  ax-mulrcl 11208  ax-mulcom 11209  ax-addass 11210  ax-mulass 11211  ax-distr 11212  ax-i2m1 11213  ax-1ne0 11214  ax-1rid 11215  ax-rnegex 11216  ax-rrecex 11217  ax-cnre 11218  ax-pre-lttri 11219  ax-pre-lttrn 11220  ax-pre-ltadd 11221  ax-pre-mulgt0 11222

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-pnf 11287  df-mnf 11288  df-xr 11289  df-ltxr 11290  df-le 11291  df-sub 11483  df-neg 11484  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-7 12318  df-8 12319  df-9 12320  df-n0 12511  df-z 12597  df-dec 12716  df-uz 12861  df-fz 13525  df-struct 17124  df-sets 17141  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17189  df-tset 17260  df-ple 17261  df-ocomp 17262  df-odu 18287  df-proset 18295  df-poset 18313  df-lub 18346  df-glb 18347  df-ipo 18528

This theorem is referenced by:  toplatglb0  48198