MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iprod Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iprod 15813
Description: Series product with an upper integer index set (i.e. an infinite product.) (Contributed by Scott Fenton, 5-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
zprod.1 ๐‘ = (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)
zprod.2 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
zprod.3 (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ ๐‘ โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ โ‰  0 โˆง seq๐‘›( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฆ))
iprod.4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) = ๐ต)
iprod.5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
Assertion
Ref Expression
iprod (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ ๐ต = ( โ‡ โ€˜seq๐‘€( ยท , ๐น)))
Distinct variable groups:   ๐ต,๐‘›,๐‘ฆ   ๐‘˜,๐น   ๐‘˜,๐‘›,๐œ‘,๐‘ฆ   ๐‘˜,๐‘€,๐‘ฆ   ๐œ‘,๐‘›,๐‘ฆ   ๐‘˜,๐‘,๐‘›,๐‘ฆ
Allowed substitution hints:   ๐ต(๐‘˜)   ๐น(๐‘ฆ,๐‘›)   ๐‘€(๐‘›)

Proof of Theorem iprod
StepHypRef Expression
1 zprod.1 . 2 ๐‘ = (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)
2 zprod.2 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
3 zprod.3 . 2 (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ ๐‘ โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ โ‰  0 โˆง seq๐‘›( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฆ))
4 ssidd 3965 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โŠ† ๐‘)
5 iprod.4 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) = ๐ต)
6 iftrue 4490 . . . 4 (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†’ if(๐‘˜ โˆˆ ๐‘, ๐ต, 1) = ๐ต)
76adantl 482 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ if(๐‘˜ โˆˆ ๐‘, ๐ต, 1) = ๐ต)
85, 7eqtr4d 2779 . 2 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) = if(๐‘˜ โˆˆ ๐‘, ๐ต, 1))
9 iprod.5 . 2 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
101, 2, 3, 4, 8, 9zprod 15812 1 (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ ๐ต = ( โ‡ โ€˜seq๐‘€( ยท , ๐น)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 396   = wceq 1541  โˆƒwex 1781   โˆˆ wcel 2106   โ‰  wne 2941  โˆƒwrex 3071  ifcif 4484   class class class wbr 5103  โ€˜cfv 6493  โ„‚cc 11045  0cc0 11047  1c1 11048   ยท cmul 11052  โ„คcz 12495  โ„คโ‰ฅcuz 12759  seqcseq 13898   โ‡ cli 15358  โˆcprod 15780
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5240  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7668  ax-inf2 9573  ax-cnex 11103  ax-resscn 11104  ax-1cn 11105  ax-icn 11106  ax-addcl 11107  ax-addrcl 11108  ax-mulcl 11109  ax-mulrcl 11110  ax-mulcom 11111  ax-addass 11112  ax-mulass 11113  ax-distr 11114  ax-i2m1 11115  ax-1ne0 11116  ax-1rid 11117  ax-rnegex 11118  ax-rrecex 11119  ax-cnre 11120  ax-pre-lttri 11121  ax-pre-lttrn 11122  ax-pre-ltadd 11123  ax-pre-mulgt0 11124
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-int 4906  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-se 5587  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6251  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-isom 6502  df-riota 7309  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7799  df-1st 7917  df-2nd 7918  df-frecs 8208  df-wrecs 8239  df-recs 8313  df-rdg 8352  df-1o 8408  df-er 8644  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-oi 9442  df-card 9871  df-pnf 11187  df-mnf 11188  df-xr 11189  df-ltxr 11190  df-le 11191  df-sub 11383  df-neg 11384  df-div 11809  df-nn 12150  df-2 12212  df-n0 12410  df-z 12496  df-uz 12760  df-rp 12908  df-fz 13417  df-fzo 13560  df-seq 13899  df-exp 13960  df-hash 14223  df-cj 14976  df-re 14977  df-im 14978  df-sqrt 15112  df-abs 15113  df-clim 15362  df-prod 15781
This theorem is referenced by:  iprodclim  15873  iprodclim2  15874  iprodclim3  15875  iprodcl  15876
  Copyright terms: Public domain W3C validator