MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iprodclim Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iprodclim 15972
Description: An infinite product equals the value its sequence converges to. (Contributed by Scott Fenton, 18-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
iprodclim.1 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
iprodclim.2 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
iprodclim.3 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘› ∈ 𝑍 βˆƒπ‘¦(𝑦 β‰  0 ∧ seq𝑛( Β· , 𝐹) ⇝ 𝑦))
iprodclim.4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = 𝐴)
iprodclim.5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
iprodclim.6 (πœ‘ β†’ seq𝑀( Β· , 𝐹) ⇝ 𝐡)
Assertion
Ref Expression
iprodclim (πœ‘ β†’ βˆπ‘˜ ∈ 𝑍 𝐴 = 𝐡)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑛,𝑦   π‘˜,𝐹   π‘˜,𝑛,πœ‘,𝑦   π‘˜,𝑀,𝑦   πœ‘,𝑛,𝑦   π‘˜,𝑍,𝑛,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐴(π‘˜)   𝐡(𝑦,π‘˜,𝑛)   𝐹(𝑦,𝑛)   𝑀(𝑛)

Proof of Theorem iprodclim
StepHypRef Expression
1 iprodclim.1 . . 3 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
2 iprodclim.2 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
3 iprodclim.3 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘› ∈ 𝑍 βˆƒπ‘¦(𝑦 β‰  0 ∧ seq𝑛( Β· , 𝐹) ⇝ 𝑦))
4 iprodclim.4 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = 𝐴)
5 iprodclim.5 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
61, 2, 3, 4, 5iprod 15912 . 2 (πœ‘ β†’ βˆπ‘˜ ∈ 𝑍 𝐴 = ( ⇝ β€˜seq𝑀( Β· , 𝐹)))
7 fclim 15527 . . . 4 ⇝ :dom ⇝ βŸΆβ„‚
8 ffun 6718 . . . 4 ( ⇝ :dom ⇝ βŸΆβ„‚ β†’ Fun ⇝ )
97, 8ax-mp 5 . . 3 Fun ⇝
10 iprodclim.6 . . 3 (πœ‘ β†’ seq𝑀( Β· , 𝐹) ⇝ 𝐡)
11 funbrfv 6941 . . 3 (Fun ⇝ β†’ (seq𝑀( Β· , 𝐹) ⇝ 𝐡 β†’ ( ⇝ β€˜seq𝑀( Β· , 𝐹)) = 𝐡))
129, 10, 11mpsyl 68 . 2 (πœ‘ β†’ ( ⇝ β€˜seq𝑀( Β· , 𝐹)) = 𝐡)
136, 12eqtrd 2765 1 (πœ‘ β†’ βˆπ‘˜ ∈ 𝑍 𝐴 = 𝐡)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533  βˆƒwex 1773   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2930  βˆƒwrex 3060   class class class wbr 5141  dom cdm 5670  Fun wfun 6535  βŸΆwf 6537  β€˜cfv 6541  β„‚cc 11134  0cc0 11136   Β· cmul 11141  β„€cz 12586  β„€β‰₯cuz 12850  seqcseq 13996   ⇝ cli 15458  βˆcprod 15879
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5357  ax-pr 5421  ax-un 7736  ax-inf2 9662  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213  ax-pre-sup 11214
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4317  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-op 4629  df-uni 4902  df-int 4943  df-iun 4991  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5568  df-eprel 5574  df-po 5582  df-so 5583  df-fr 5625  df-se 5626  df-we 5627  df-xp 5676  df-rel 5677  df-cnv 5678  df-co 5679  df-dm 5680  df-rn 5681  df-res 5682  df-ima 5683  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-isom 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7867  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-1o 8483  df-er 8721  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-fin 8964  df-sup 9463  df-oi 9531  df-card 9960  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-div 11900  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-n0 12501  df-z 12587  df-uz 12851  df-rp 13005  df-fz 13515  df-fzo 13658  df-seq 13997  df-exp 14057  df-hash 14320  df-cj 15076  df-re 15077  df-im 15078  df-sqrt 15212  df-abs 15213  df-clim 15462  df-prod 15880
This theorem is referenced by:  iprodmul  15977
  Copyright terms: Public domain W3C validator