Theorem iprodclim 16055

Description: An infinite product equals the value its sequence converges to. (Contributed by Scott Fenton, 18-Dec-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
iprodclim.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
iprodclim.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
iprodclim.3	⊢ (𝜑 → ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑦(𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦))
iprodclim.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = 𝐴)
iprodclim.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐴 ∈ ℂ)
iprodclim.6	⊢ (𝜑 → seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
iprodclim	⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝑍 𝐴 = 𝐵)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑛,𝑦   𝑘,𝐹   𝑘,𝑛,𝜑,𝑦   𝑘,𝑀,𝑦   𝜑,𝑛,𝑦   𝑘,𝑍,𝑛,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑦,𝑘,𝑛)   𝐹(𝑦,𝑛)   𝑀(𝑛)

Proof of Theorem iprodclim

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iprodclim.1	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2		iprodclim.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
3		iprodclim.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑦(𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦))
4		iprodclim.4	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = 𝐴)
5		iprodclim.5	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐴 ∈ ℂ)
6	1, 2, 3, 4, 5	iprod 15995	. 2 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝑍 𝐴 = ( ⇝ ‘seq𝑀( · , 𝐹)))
7		fclim 15607	. . . 4 ⊢ ⇝ :dom ⇝ ⟶ℂ
8		ffun 6712	. . . 4 ⊢ ( ⇝ :dom ⇝ ⟶ℂ → Fun ⇝ )
9	7, 8	ax-mp 5	. . 3 ⊢ Fun ⇝
10		iprodclim.6	. . 3 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ 𝐵)
11		funbrfv 6933	. . 3 ⊢ (Fun ⇝ → (seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ 𝐵 → ( ⇝ ‘seq𝑀( · , 𝐹)) = 𝐵))
12	9, 10, 11	mpsyl 69	. 2 ⊢ (𝜑 → ( ⇝ ‘seq𝑀( · , 𝐹)) = 𝐵)
13	6, 12	eqtrd 2805	1 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝑍 𝐴 = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1568  ∃wex 1807   ∈ wcel 2150   ≠ wne 2965  ∃wrex 3096   class class class wbr 5114  dom cdm 5665  Fun wfun 6534  ⟶wf 6536  ‘cfv 6540  ℂcc 11101  0cc0 11103   · cmul 11108  ℤcz 12594  ℤ_≥cuz 12865  seqcseq 14040   ⇝ cli 15538  ∏cprod 15960

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2152  ax-9 2160  ax-10 2183  ax-11 2199  ax-12 2220  ax-ext 2742  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5340  ax-pr 5408  ax-un 7736  ax-inf2 9613  ax-cnex 11159  ax-resscn 11160  ax-1cn 11161  ax-icn 11162  ax-addcl 11163  ax-addrcl 11164  ax-mulcl 11165  ax-mulrcl 11166  ax-mulcom 11167  ax-addass 11168  ax-mulass 11169  ax-distr 11170  ax-i2m1 11171  ax-1ne0 11172  ax-1rid 11173  ax-rnegex 11174  ax-rrecex 11175  ax-cnre 11176  ax-pre-lttri 11177  ax-pre-lttrn 11178  ax-pre-ltadd 11179  ax-pre-mulgt0 11180  ax-pre-sup 11181

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2099  df-mo 2574  df-eu 2604  df-clab 2749  df-cleq 2762  df-clel 2845  df-nfc 2919  df-ne 2966  df-nel 3072  df-ral 3087  df-rex 3097  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3464  df-sbc 3753  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-int 4918  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5560  df-eprel 5565  df-po 5573  df-so 5574  df-fr 5618  df-se 5619  df-we 5620  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-1o 8456  df-er 8697  df-en 8947  df-dom 8948  df-sdom 8949  df-fin 8950  df-sup 9405  df-oi 9475  df-card 9928  df-pnf 11248  df-mnf 11249  df-xr 11250  df-ltxr 11251  df-le 11252  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11875  df-nn 12237  df-2 12306  df-3 12307  df-n0 12508  df-z 12595  df-uz 12866  df-rp 13020  df-fz 13539  df-fzo 13686  df-seq 14041  df-exp 14101  df-hash 14370  df-cj 15153  df-re 15154  df-im 15155  df-sqrt 15289  df-abs 15290  df-clim 15542  df-prod 15961

This theorem is referenced by:  iprodmul  16060