Theorem iprodclim 15344

Description: An infinite product equals the value its sequence converges to. (Contributed by Scott Fenton, 18-Dec-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
iprodclim.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
iprodclim.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
iprodclim.3	⊢ (𝜑 → ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑦(𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦))
iprodclim.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = 𝐴)
iprodclim.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐴 ∈ ℂ)
iprodclim.6	⊢ (𝜑 → seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
iprodclim	⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝑍 𝐴 = 𝐵)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑛,𝑦   𝑘,𝐹   𝑘,𝑛,𝜑,𝑦   𝑘,𝑀,𝑦   𝜑,𝑛,𝑦   𝑘,𝑍,𝑛,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑦,𝑘,𝑛)   𝐹(𝑦,𝑛)   𝑀(𝑛)

Proof of Theorem iprodclim

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iprodclim.1	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2		iprodclim.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
3		iprodclim.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑦(𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦))
4		iprodclim.4	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = 𝐴)
5		iprodclim.5	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐴 ∈ ℂ)
6	1, 2, 3, 4, 5	iprod 15284	. 2 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝑍 𝐴 = ( ⇝ ‘seq𝑀( · , 𝐹)))
7		fclim 14902	. . . 4 ⊢ ⇝ :dom ⇝ ⟶ℂ
8		ffun 6510	. . . 4 ⊢ ( ⇝ :dom ⇝ ⟶ℂ → Fun ⇝ )
9	7, 8	ax-mp 5	. . 3 ⊢ Fun ⇝
10		iprodclim.6	. . 3 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ 𝐵)
11		funbrfv 6709	. . 3 ⊢ (Fun ⇝ → (seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ 𝐵 → ( ⇝ ‘seq𝑀( · , 𝐹)) = 𝐵))
12	9, 10, 11	mpsyl 68	. 2 ⊢ (𝜑 → ( ⇝ ‘seq𝑀( · , 𝐹)) = 𝐵)
13	6, 12	eqtrd 2854	1 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝑍 𝐴 = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1531  ∃wex 1774   ∈ wcel 2108   ≠ wne 3014  ∃wrex 3137   class class class wbr 5057  dom cdm 5548  Fun wfun 6342  ⟶wf 6344  ‘cfv 6348  ℂcc 10527  0cc0 10529   · cmul 10534  ℤcz 11973  ℤ_≥cuz 12235  seqcseq 13361   ⇝ cli 14833  ∏cprod 15251

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1905  ax-6 1964  ax-7 2009  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2154  ax-12 2170  ax-ext 2791  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-inf2 9096  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1083  df-3an 1084  df-tru 1534  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2064  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rmo 3144  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7573  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-1o 8094  df-oadd 8098  df-er 8281  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-sup 8898  df-oi 8966  df-card 9360  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-rp 12382  df-fz 12885  df-fzo 13026  df-seq 13362  df-exp 13422  df-hash 13683  df-cj 14450  df-re 14451  df-im 14452  df-sqrt 14586  df-abs 14587  df-clim 14837  df-prod 15252

This theorem is referenced by:  iprodmul  15349