MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iprodclim Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iprodclim 15212
Description: An infinite product equals the value its sequence converges to. (Contributed by Scott Fenton, 18-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
iprodclim.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
iprodclim.2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
iprodclim.3 (𝜑 → ∃𝑛𝑍𝑦(𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦))
iprodclim.4 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = 𝐴)
iprodclim.5 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐴 ∈ ℂ)
iprodclim.6 (𝜑 → seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ 𝐵)
Assertion
Ref Expression
iprodclim (𝜑 → ∏𝑘𝑍 𝐴 = 𝐵)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑛,𝑦   𝑘,𝐹   𝑘,𝑛,𝜑,𝑦   𝑘,𝑀,𝑦   𝜑,𝑛,𝑦   𝑘,𝑍,𝑛,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑦,𝑘,𝑛)   𝐹(𝑦,𝑛)   𝑀(𝑛)

Proof of Theorem iprodclim
StepHypRef Expression
1 iprodclim.1 . . 3 𝑍 = (ℤ𝑀)
2 iprodclim.2 . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
3 iprodclim.3 . . 3 (𝜑 → ∃𝑛𝑍𝑦(𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦))
4 iprodclim.4 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = 𝐴)
5 iprodclim.5 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐴 ∈ ℂ)
61, 2, 3, 4, 5iprod 15152 . 2 (𝜑 → ∏𝑘𝑍 𝐴 = ( ⇝ ‘seq𝑀( · , 𝐹)))
7 fclim 14771 . . . 4 ⇝ :dom ⇝ ⟶ℂ
8 ffun 6347 . . . 4 ( ⇝ :dom ⇝ ⟶ℂ → Fun ⇝ )
97, 8ax-mp 5 . . 3 Fun ⇝
10 iprodclim.6 . . 3 (𝜑 → seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ 𝐵)
11 funbrfv 6546 . . 3 (Fun ⇝ → (seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ 𝐵 → ( ⇝ ‘seq𝑀( · , 𝐹)) = 𝐵))
129, 10, 11mpsyl 68 . 2 (𝜑 → ( ⇝ ‘seq𝑀( · , 𝐹)) = 𝐵)
136, 12eqtrd 2814 1 (𝜑 → ∏𝑘𝑍 𝐴 = 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 387   = wceq 1507  wex 1742  wcel 2050  wne 2967  wrex 3089   class class class wbr 4929  dom cdm 5407  Fun wfun 6182  wf 6184  cfv 6188  cc 10333  0cc0 10335   · cmul 10340  cz 11793  cuz 12058  seqcseq 13184  cli 14702  cprod 15119
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2750  ax-rep 5049  ax-sep 5060  ax-nul 5067  ax-pow 5119  ax-pr 5186  ax-un 7279  ax-inf2 8898  ax-cnex 10391  ax-resscn 10392  ax-1cn 10393  ax-icn 10394  ax-addcl 10395  ax-addrcl 10396  ax-mulcl 10397  ax-mulrcl 10398  ax-mulcom 10399  ax-addass 10400  ax-mulass 10401  ax-distr 10402  ax-i2m1 10403  ax-1ne0 10404  ax-1rid 10405  ax-rnegex 10406  ax-rrecex 10407  ax-cnre 10408  ax-pre-lttri 10409  ax-pre-lttrn 10410  ax-pre-ltadd 10411  ax-pre-mulgt0 10412  ax-pre-sup 10413
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2759  df-cleq 2771  df-clel 2846  df-nfc 2918  df-ne 2968  df-nel 3074  df-ral 3093  df-rex 3094  df-reu 3095  df-rmo 3096  df-rab 3097  df-v 3417  df-sbc 3682  df-csb 3787  df-dif 3832  df-un 3834  df-in 3836  df-ss 3843  df-pss 3845  df-nul 4179  df-if 4351  df-pw 4424  df-sn 4442  df-pr 4444  df-tp 4446  df-op 4448  df-uni 4713  df-int 4750  df-iun 4794  df-br 4930  df-opab 4992  df-mpt 5009  df-tr 5031  df-id 5312  df-eprel 5317  df-po 5326  df-so 5327  df-fr 5366  df-se 5367  df-we 5368  df-xp 5413  df-rel 5414  df-cnv 5415  df-co 5416  df-dm 5417  df-rn 5418  df-res 5419  df-ima 5420  df-pred 5986  df-ord 6032  df-on 6033  df-lim 6034  df-suc 6035  df-iota 6152  df-fun 6190  df-fn 6191  df-f 6192  df-f1 6193  df-fo 6194  df-f1o 6195  df-fv 6196  df-isom 6197  df-riota 6937  df-ov 6979  df-oprab 6980  df-mpo 6981  df-om 7397  df-1st 7501  df-2nd 7502  df-wrecs 7750  df-recs 7812  df-rdg 7850  df-1o 7905  df-oadd 7909  df-er 8089  df-en 8307  df-dom 8308  df-sdom 8309  df-fin 8310  df-sup 8701  df-oi 8769  df-card 9162  df-pnf 10476  df-mnf 10477  df-xr 10478  df-ltxr 10479  df-le 10480  df-sub 10672  df-neg 10673  df-div 11099  df-nn 11440  df-2 11503  df-3 11504  df-n0 11708  df-z 11794  df-uz 12059  df-rp 12205  df-fz 12709  df-fzo 12850  df-seq 13185  df-exp 13245  df-hash 13506  df-cj 14319  df-re 14320  df-im 14321  df-sqrt 14455  df-abs 14456  df-clim 14706  df-prod 15120
This theorem is referenced by:  iprodmul  15217
  Copyright terms: Public domain W3C validator