MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iprodclim2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iprodclim2 15973
Description: A converging product converges to its infinite product. (Contributed by Scott Fenton, 18-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
iprodclim.1 ๐‘ = (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)
iprodclim.2 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
iprodclim.3 (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ ๐‘ โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ โ‰  0 โˆง seq๐‘›( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฆ))
iprodclim.4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) = ๐ด)
iprodclim.5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
Assertion
Ref Expression
iprodclim2 (๐œ‘ โ†’ seq๐‘€( ยท , ๐น) โ‡ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ ๐ด)
Distinct variable groups:   ๐ด,๐‘›,๐‘ฆ   ๐‘˜,๐น,๐‘›   ๐œ‘,๐‘˜,๐‘ฆ   ๐‘˜,๐‘€,๐‘ฆ   ๐œ‘,๐‘›,๐‘ฆ   ๐‘˜,๐‘,๐‘›,๐‘ฆ   ๐‘›,๐น,๐‘ฆ   ๐‘›,๐‘€
Allowed substitution hint:   ๐ด(๐‘˜)

Proof of Theorem iprodclim2
StepHypRef Expression
1 iprodclim.1 . . . 4 ๐‘ = (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)
2 iprodclim.3 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ ๐‘ โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ โ‰  0 โˆง seq๐‘›( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฆ))
3 iprodclim.4 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) = ๐ด)
4 iprodclim.5 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
53, 4eqeltrd 2825 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
61, 2, 5ntrivcvg 15873 . . 3 (๐œ‘ โ†’ seq๐‘€( ยท , ๐น) โˆˆ dom โ‡ )
7 climdm 15528 . . 3 (seq๐‘€( ยท , ๐น) โˆˆ dom โ‡ โ†” seq๐‘€( ยท , ๐น) โ‡ ( โ‡ โ€˜seq๐‘€( ยท , ๐น)))
86, 7sylib 217 . 2 (๐œ‘ โ†’ seq๐‘€( ยท , ๐น) โ‡ ( โ‡ โ€˜seq๐‘€( ยท , ๐น)))
9 iprodclim.2 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
101, 9, 2, 3, 4iprod 15912 . 2 (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ ๐ด = ( โ‡ โ€˜seq๐‘€( ยท , ๐น)))
118, 10breqtrrd 5171 1 (๐œ‘ โ†’ seq๐‘€( ยท , ๐น) โ‡ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ ๐ด)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 394   = wceq 1533  โˆƒwex 1773   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2930  โˆƒwrex 3060   class class class wbr 5143  dom cdm 5672  โ€˜cfv 6542  โ„‚cc 11134  0cc0 11136   ยท cmul 11141  โ„คcz 12586  โ„คโ‰ฅcuz 12850  seqcseq 13996   โ‡ cli 15458  โˆcprod 15879
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-inf2 9662  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213  ax-pre-sup 11214
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7868  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-1o 8483  df-er 8721  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-fin 8964  df-sup 9463  df-oi 9531  df-card 9960  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-div 11900  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-n0 12501  df-z 12587  df-uz 12851  df-rp 13005  df-fz 13515  df-fzo 13658  df-seq 13997  df-exp 14057  df-hash 14320  df-cj 15076  df-re 15077  df-im 15078  df-sqrt 15212  df-abs 15213  df-clim 15462  df-prod 15880
This theorem is referenced by:  iprodrecl  15976  iprodmul  15977
  Copyright terms: Public domain W3C validator