MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iprodclim2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iprodclim2 15836
Description: A converging product converges to its infinite product. (Contributed by Scott Fenton, 18-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
iprodclim.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
iprodclim.2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
iprodclim.3 (𝜑 → ∃𝑛𝑍𝑦(𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦))
iprodclim.4 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = 𝐴)
iprodclim.5 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐴 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
iprodclim2 (𝜑 → seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ ∏𝑘𝑍 𝐴)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑛,𝑦   𝑘,𝐹,𝑛   𝜑,𝑘,𝑦   𝑘,𝑀,𝑦   𝜑,𝑛,𝑦   𝑘,𝑍,𝑛,𝑦   𝑛,𝐹,𝑦   𝑛,𝑀
Allowed substitution hint:   𝐴(𝑘)

Proof of Theorem iprodclim2
StepHypRef Expression
1 iprodclim.1 . . . 4 𝑍 = (ℤ𝑀)
2 iprodclim.3 . . . 4 (𝜑 → ∃𝑛𝑍𝑦(𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦))
3 iprodclim.4 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = 𝐴)
4 iprodclim.5 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐴 ∈ ℂ)
53, 4eqeltrd 2838 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
61, 2, 5ntrivcvg 15736 . . 3 (𝜑 → seq𝑀( · , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
7 climdm 15390 . . 3 (seq𝑀( · , 𝐹) ∈ dom ⇝ ↔ seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ ( ⇝ ‘seq𝑀( · , 𝐹)))
86, 7sylib 217 . 2 (𝜑 → seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ ( ⇝ ‘seq𝑀( · , 𝐹)))
9 iprodclim.2 . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
101, 9, 2, 3, 4iprod 15775 . 2 (𝜑 → ∏𝑘𝑍 𝐴 = ( ⇝ ‘seq𝑀( · , 𝐹)))
118, 10breqtrrd 5131 1 (𝜑 → seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ ∏𝑘𝑍 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wex 1781  wcel 2106  wne 2941  wrex 3071   class class class wbr 5103  dom cdm 5631  cfv 6493  cc 11007  0cc0 11009   · cmul 11014  cz 12457  cuz 12721  seqcseq 13860  cli 15320  cprod 15742
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5240  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7664  ax-inf2 9535  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-pre-sup 11087
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-int 4906  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-se 5587  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6251  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-isom 6502  df-riota 7307  df-ov 7354  df-oprab 7355  df-mpo 7356  df-om 7795  df-1st 7913  df-2nd 7914  df-frecs 8204  df-wrecs 8235  df-recs 8309  df-rdg 8348  df-1o 8404  df-er 8606  df-en 8842  df-dom 8843  df-sdom 8844  df-fin 8845  df-sup 9336  df-oi 9404  df-card 9833  df-pnf 11149  df-mnf 11150  df-xr 11151  df-ltxr 11152  df-le 11153  df-sub 11345  df-neg 11346  df-div 11771  df-nn 12112  df-2 12174  df-3 12175  df-n0 12372  df-z 12458  df-uz 12722  df-rp 12870  df-fz 13379  df-fzo 13522  df-seq 13861  df-exp 13922  df-hash 14185  df-cj 14938  df-re 14939  df-im 14940  df-sqrt 15074  df-abs 15075  df-clim 15324  df-prod 15743
This theorem is referenced by:  iprodrecl  15839  iprodmul  15840
  Copyright terms: Public domain W3C validator