MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iprodcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iprodcl 15949
Description: The product of a non-trivially converging infinite sequence is a complex number. (Contributed by Scott Fenton, 18-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
iprodcl.1 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
iprodcl.2 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
iprodcl.3 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘› ∈ 𝑍 βˆƒπ‘¦(𝑦 β‰  0 ∧ seq𝑛( Β· , 𝐹) ⇝ 𝑦))
iprodcl.4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = 𝐴)
iprodcl.5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
Assertion
Ref Expression
iprodcl (πœ‘ β†’ βˆπ‘˜ ∈ 𝑍 𝐴 ∈ β„‚)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑛,𝑦   π‘˜,𝐹,𝑛,𝑦   πœ‘,π‘˜,𝑦   π‘˜,𝑀,𝑛,𝑦   πœ‘,𝑛,𝑦   π‘˜,𝑍,𝑛,𝑦
Allowed substitution hint:   𝐴(π‘˜)

Proof of Theorem iprodcl
StepHypRef Expression
1 iprodcl.1 . . 3 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
2 iprodcl.2 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
3 iprodcl.3 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘› ∈ 𝑍 βˆƒπ‘¦(𝑦 β‰  0 ∧ seq𝑛( Β· , 𝐹) ⇝ 𝑦))
4 iprodcl.4 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = 𝐴)
5 iprodcl.5 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
61, 2, 3, 4, 5iprod 15886 . 2 (πœ‘ β†’ βˆπ‘˜ ∈ 𝑍 𝐴 = ( ⇝ β€˜seq𝑀( Β· , 𝐹)))
7 fclim 15501 . . 3 ⇝ :dom ⇝ βŸΆβ„‚
84, 5eqeltrd 2827 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
91, 3, 8ntrivcvg 15847 . . 3 (πœ‘ β†’ seq𝑀( Β· , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
10 ffvelcdm 7076 . . 3 (( ⇝ :dom ⇝ βŸΆβ„‚ ∧ seq𝑀( Β· , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) β†’ ( ⇝ β€˜seq𝑀( Β· , 𝐹)) ∈ β„‚)
117, 9, 10sylancr 586 . 2 (πœ‘ β†’ ( ⇝ β€˜seq𝑀( Β· , 𝐹)) ∈ β„‚)
126, 11eqeltrd 2827 1 (πœ‘ β†’ βˆπ‘˜ ∈ 𝑍 𝐴 ∈ β„‚)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533  βˆƒwex 1773   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934  βˆƒwrex 3064   class class class wbr 5141  dom cdm 5669  βŸΆwf 6532  β€˜cfv 6536  β„‚cc 11107  0cc0 11109   Β· cmul 11114  β„€cz 12559  β„€β‰₯cuz 12823  seqcseq 13969   ⇝ cli 15432  βˆcprod 15853
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-inf2 9635  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-sup 9436  df-oi 9504  df-card 9933  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-n0 12474  df-z 12560  df-uz 12824  df-rp 12978  df-fz 13488  df-fzo 13631  df-seq 13970  df-exp 14031  df-hash 14294  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-clim 15436  df-prod 15854
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator