Theorem iprodcl 15347

Description: The product of a non-trivially converging infinite sequence is a complex number. (Contributed by Scott Fenton, 18-Dec-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
iprodcl.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
iprodcl.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
iprodcl.3	⊢ (𝜑 → ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑦(𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦))
iprodcl.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = 𝐴)
iprodcl.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
iprodcl	⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝑍 𝐴 ∈ ℂ)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑛,𝑦   𝑘,𝐹,𝑛,𝑦   𝜑,𝑘,𝑦   𝑘,𝑀,𝑛,𝑦   𝜑,𝑛,𝑦   𝑘,𝑍,𝑛,𝑦

Allowed substitution hint:   𝐴(𝑘)

Proof of Theorem iprodcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iprodcl.1	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2		iprodcl.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
3		iprodcl.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑦(𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦))
4		iprodcl.4	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = 𝐴)
5		iprodcl.5	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐴 ∈ ℂ)
6	1, 2, 3, 4, 5	iprod 15284	. 2 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝑍 𝐴 = ( ⇝ ‘seq𝑀( · , 𝐹)))
7		fclim 14902	. . 3 ⊢ ⇝ :dom ⇝ ⟶ℂ
8	4, 5	eqeltrd 2890	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
9	1, 3, 8	ntrivcvg 15245	. . 3 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( · , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
10		ffvelrn 6826	. . 3 ⊢ (( ⇝ :dom ⇝ ⟶ℂ ∧ seq𝑀( · , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) → ( ⇝ ‘seq𝑀( · , 𝐹)) ∈ ℂ)
11	7, 9, 10	sylancr 590	. 2 ⊢ (𝜑 → ( ⇝ ‘seq𝑀( · , 𝐹)) ∈ ℂ)
12	6, 11	eqeltrd 2890	1 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝑍 𝐴 ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538  ∃wex 1781   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987  ∃wrex 3107   class class class wbr 5030  dom cdm 5519  ⟶wf 6320  ‘cfv 6324  ℂcc 10524  0cc0 10526   · cmul 10531  ℤcz 11969  ℤ_≥cuz 12231  seqcseq 13364   ⇝ cli 14833  ∏cprod 15251

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-inf2 9088  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-se 5479  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-isom 6333  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-oadd 8089  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-sup 8890  df-oi 8958  df-card 9352  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-rp 12378  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-seq 13365  df-exp 13426  df-hash 13687  df-cj 14450  df-re 14451  df-im 14452  df-sqrt 14586  df-abs 14587  df-clim 14837  df-prod 15252

This theorem is referenced by: (None)