Theorem iprodn0 15924

Description: Nonzero series product with an upper integer index set (i.e. an infinite product.) (Contributed by Scott Fenton, 6-Dec-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
zprodn0.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
zprodn0.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
zprodn0.3	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 0)
zprodn0.4	⊢ (𝜑 → seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ 𝑋)
iprodn0.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = 𝐵)
iprodn0.6	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
iprodn0	⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝑍 𝐵 = 𝑋)

Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝜑,𝑘   𝑘,𝑀   𝑘,𝑍

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝑋(𝑘)

Proof of Theorem iprodn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zprodn0.1	. 2 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2		zprodn0.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
3		zprodn0.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 0)
4		zprodn0.4	. 2 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ 𝑋)
5		ssidd 4005	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ⊆ 𝑍)
6		iprodn0.5	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = 𝐵)
7		iftrue 4538	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 → if(𝑘 ∈ 𝑍, 𝐵, 1) = 𝐵)
8	7	adantl 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → if(𝑘 ∈ 𝑍, 𝐵, 1) = 𝐵)
9	6, 8	eqtr4d 2771	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = if(𝑘 ∈ 𝑍, 𝐵, 1))
10		iprodn0.6	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐵 ∈ ℂ)
11	1, 2, 3, 4, 5, 9, 10	zprodn0 15923	1 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝑍 𝐵 = 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2937  ifcif 4532   class class class wbr 5152  ‘cfv 6553  ℂcc 11144  0cc0 11146  1c1 11147   · cmul 11151  ℤcz 12596  ℤ_≥cuz 12860  seqcseq 14006   ⇝ cli 15468  ∏cprod 15889

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-inf2 9672  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-sup 9473  df-oi 9541  df-card 9970  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-rp 13015  df-fz 13525  df-fzo 13668  df-seq 14007  df-exp 14067  df-hash 14330  df-cj 15086  df-re 15087  df-im 15088  df-sqrt 15222  df-abs 15223  df-clim 15472  df-prod 15890

This theorem is referenced by:  iprodefisum  35368  iprodfac  35374