MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iserge0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iserge0 15610
Description: The limit of an infinite series of nonnegative reals is nonnegative. (Contributed by Paul Chapman, 9-Feb-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
clim2ser.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
iserge0.2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
iserge0.3 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ 𝐴)
iserge0.4 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
iserge0.5 ((𝜑𝑘𝑍) → 0 ≤ (𝐹𝑘))
Assertion
Ref Expression
iserge0 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐹   𝑘,𝑀   𝜑,𝑘   𝑘,𝑍

Proof of Theorem iserge0
StepHypRef Expression
1 clim2ser.1 . 2 𝑍 = (ℤ𝑀)
2 iserge0.2 . 2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
3 serclim0 15524 . . 3 (𝑀 ∈ ℤ → seq𝑀( + , ((ℤ𝑀) × {0})) ⇝ 0)
42, 3syl 17 . 2 (𝜑 → seq𝑀( + , ((ℤ𝑀) × {0})) ⇝ 0)
5 iserge0.3 . 2 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ 𝐴)
6 simpr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝑘𝑍)
76, 1eleqtrdi 2837 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑀))
8 c0ex 11209 . . . . 5 0 ∈ V
98fvconst2 7200 . . . 4 (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) → (((ℤ𝑀) × {0})‘𝑘) = 0)
107, 9syl 17 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → (((ℤ𝑀) × {0})‘𝑘) = 0)
11 0re 11217 . . 3 0 ∈ ℝ
1210, 11eqeltrdi 2835 . 2 ((𝜑𝑘𝑍) → (((ℤ𝑀) × {0})‘𝑘) ∈ ℝ)
13 iserge0.4 . 2 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
14 iserge0.5 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → 0 ≤ (𝐹𝑘))
1510, 14eqbrtrd 5163 . 2 ((𝜑𝑘𝑍) → (((ℤ𝑀) × {0})‘𝑘) ≤ (𝐹𝑘))
161, 2, 4, 5, 12, 13, 15iserle 15609 1 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1533  wcel 2098  {csn 4623   class class class wbr 5141   × cxp 5667  cfv 6536  cr 11108  0cc0 11109   + caddc 11112  cle 11250  cz 12559  cuz 12823  seqcseq 13969  cli 15431
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-er 8702  df-pm 8822  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-sup 9436  df-inf 9437  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-n0 12474  df-z 12560  df-uz 12824  df-rp 12978  df-fz 13488  df-fzo 13631  df-fl 13760  df-seq 13970  df-exp 14030  df-cj 15049  df-re 15050  df-im 15051  df-sqrt 15185  df-abs 15186  df-clim 15435  df-rlim 15436
This theorem is referenced by:  isumge0  15715  stirlinglem11  45354
  Copyright terms: Public domain W3C validator