Theorem iserge0 15565

Description: The limit of an infinite series of nonnegative reals is nonnegative. (Contributed by Paul Chapman, 9-Feb-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
clim2ser.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
iserge0.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
iserge0.3	⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ 𝐴)
iserge0.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
iserge0.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 0 ≤ (𝐹‘𝑘))

Assertion

Ref	Expression
iserge0	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐹   𝑘,𝑀   𝜑,𝑘   𝑘,𝑍

Proof of Theorem iserge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clim2ser.1	. 2 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2		iserge0.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
3		serclim0 15481	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → seq𝑀( + , ((ℤ≥‘𝑀) × {0})) ⇝ 0)
4	2, 3	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , ((ℤ≥‘𝑀) × {0})) ⇝ 0)
5		iserge0.3	. 2 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ 𝐴)
6		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝑘 ∈ 𝑍)
7	6, 1	eleqtrdi 2841	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
8		c0ex 11103	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ V
9	8	fvconst2 7138	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (((ℤ≥‘𝑀) × {0})‘𝑘) = 0)
10	7, 9	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (((ℤ≥‘𝑀) × {0})‘𝑘) = 0)
11		0re 11111	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ
12	10, 11	eqeltrdi 2839	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (((ℤ≥‘𝑀) × {0})‘𝑘) ∈ ℝ)
13		iserge0.4	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
14		iserge0.5	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 0 ≤ (𝐹‘𝑘))
15	10, 14	eqbrtrd 5113	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (((ℤ≥‘𝑀) × {0})‘𝑘) ≤ (𝐹‘𝑘))
16	1, 2, 4, 5, 12, 13, 15	iserle 15564	1 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  {csn 4576   class class class wbr 5091   × cxp 5614  ‘cfv 6481  ℝcr 11002  0cc0 11003   + caddc 11006   ≤ cle 11144  ℤcz 12465  ℤ_≥cuz 12729  seqcseq 13905   ⇝ cli 15388

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5217  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-cnex 11059  ax-resscn 11060  ax-1cn 11061  ax-icn 11062  ax-addcl 11063  ax-addrcl 11064  ax-mulcl 11065  ax-mulrcl 11066  ax-mulcom 11067  ax-addass 11068  ax-mulass 11069  ax-distr 11070  ax-i2m1 11071  ax-1ne0 11072  ax-1rid 11073  ax-rnegex 11074  ax-rrecex 11075  ax-cnre 11076  ax-pre-lttri 11077  ax-pre-lttrn 11078  ax-pre-ltadd 11079  ax-pre-mulgt0 11080  ax-pre-sup 11081

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-pm 8753  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-sup 9326  df-inf 9327  df-pnf 11145  df-mnf 11146  df-xr 11147  df-ltxr 11148  df-le 11149  df-sub 11343  df-neg 11344  df-div 11772  df-nn 12123  df-2 12185  df-3 12186  df-n0 12379  df-z 12466  df-uz 12730  df-rp 12888  df-fz 13405  df-fzo 13552  df-fl 13693  df-seq 13906  df-exp 13966  df-cj 15003  df-re 15004  df-im 15005  df-sqrt 15139  df-abs 15140  df-clim 15392  df-rlim 15393

This theorem is referenced by:  isumge0  15670  stirlinglem11  46121