Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iserge0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iserge0 15012
 Description: The limit of an infinite series of nonnegative reals is nonnegative. (Contributed by Paul Chapman, 9-Feb-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
clim2ser.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
iserge0.2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
iserge0.3 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ 𝐴)
iserge0.4 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
iserge0.5 ((𝜑𝑘𝑍) → 0 ≤ (𝐹𝑘))
Assertion
Ref Expression
iserge0 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐹   𝑘,𝑀   𝜑,𝑘   𝑘,𝑍

Proof of Theorem iserge0
StepHypRef Expression
1 clim2ser.1 . 2 𝑍 = (ℤ𝑀)
2 iserge0.2 . 2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
3 serclim0 14929 . . 3 (𝑀 ∈ ℤ → seq𝑀( + , ((ℤ𝑀) × {0})) ⇝ 0)
42, 3syl 17 . 2 (𝜑 → seq𝑀( + , ((ℤ𝑀) × {0})) ⇝ 0)
5 iserge0.3 . 2 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ 𝐴)
6 simpr 488 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝑘𝑍)
76, 1eleqtrdi 2903 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑀))
8 c0ex 10628 . . . . 5 0 ∈ V
98fvconst2 6947 . . . 4 (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) → (((ℤ𝑀) × {0})‘𝑘) = 0)
107, 9syl 17 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → (((ℤ𝑀) × {0})‘𝑘) = 0)
11 0re 10636 . . 3 0 ∈ ℝ
1210, 11eqeltrdi 2901 . 2 ((𝜑𝑘𝑍) → (((ℤ𝑀) × {0})‘𝑘) ∈ ℝ)
13 iserge0.4 . 2 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
14 iserge0.5 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → 0 ≤ (𝐹𝑘))
1510, 14eqbrtrd 5055 . 2 ((𝜑𝑘𝑍) → (((ℤ𝑀) × {0})‘𝑘) ≤ (𝐹𝑘))
161, 2, 4, 5, 12, 13, 15iserle 15011 1 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2112  {csn 4528   class class class wbr 5033   × cxp 5521  ‘cfv 6328  ℝcr 10529  0cc0 10530   + caddc 10533   ≤ cle 10669  ℤcz 11973  ℤ≥cuz 12235  seqcseq 13368   ⇝ cli 14836 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607  ax-pre-sup 10608 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-er 8276  df-pm 8396  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-sup 8894  df-inf 8895  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-div 11291  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-rp 12382  df-fz 12890  df-fzo 13033  df-fl 13161  df-seq 13369  df-exp 13430  df-cj 14453  df-re 14454  df-im 14455  df-sqrt 14589  df-abs 14590  df-clim 14840  df-rlim 14841 This theorem is referenced by:  isumge0  15116  stirlinglem11  42713
 Copyright terms: Public domain W3C validator