MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iserge0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iserge0 14799
Description: The limit of an infinite series of nonnegative reals is nonnegative. (Contributed by Paul Chapman, 9-Feb-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
clim2ser.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
iserge0.2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
iserge0.3 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ 𝐴)
iserge0.4 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
iserge0.5 ((𝜑𝑘𝑍) → 0 ≤ (𝐹𝑘))
Assertion
Ref Expression
iserge0 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐹   𝑘,𝑀   𝜑,𝑘   𝑘,𝑍

Proof of Theorem iserge0
StepHypRef Expression
1 clim2ser.1 . 2 𝑍 = (ℤ𝑀)
2 iserge0.2 . 2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
3 serclim0 14716 . . 3 (𝑀 ∈ ℤ → seq𝑀( + , ((ℤ𝑀) × {0})) ⇝ 0)
42, 3syl 17 . 2 (𝜑 → seq𝑀( + , ((ℤ𝑀) × {0})) ⇝ 0)
5 iserge0.3 . 2 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ 𝐴)
6 simpr 479 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝑘𝑍)
76, 1syl6eleq 2868 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑀))
8 c0ex 10370 . . . . 5 0 ∈ V
98fvconst2 6741 . . . 4 (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) → (((ℤ𝑀) × {0})‘𝑘) = 0)
107, 9syl 17 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → (((ℤ𝑀) × {0})‘𝑘) = 0)
11 0re 10378 . . 3 0 ∈ ℝ
1210, 11syl6eqel 2866 . 2 ((𝜑𝑘𝑍) → (((ℤ𝑀) × {0})‘𝑘) ∈ ℝ)
13 iserge0.4 . 2 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
14 iserge0.5 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → 0 ≤ (𝐹𝑘))
1510, 14eqbrtrd 4908 . 2 ((𝜑𝑘𝑍) → (((ℤ𝑀) × {0})‘𝑘) ≤ (𝐹𝑘))
161, 2, 4, 5, 12, 13, 15iserle 14798 1 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 386   = wceq 1601  wcel 2106  {csn 4397   class class class wbr 4886   × cxp 5353  cfv 6135  cr 10271  0cc0 10272   + caddc 10275  cle 10412  cz 11728  cuz 11992  seqcseq 13119  cli 14623
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2054  ax-8 2108  ax-9 2115  ax-10 2134  ax-11 2149  ax-12 2162  ax-13 2333  ax-ext 2753  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349  ax-pre-sup 10350
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2550  df-eu 2586  df-clab 2763  df-cleq 2769  df-clel 2773  df-nfc 2920  df-ne 2969  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3399  df-sbc 3652  df-csb 3751  df-dif 3794  df-un 3796  df-in 3798  df-ss 3805  df-pss 3807  df-nul 4141  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4672  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-er 8026  df-pm 8143  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-sup 8636  df-inf 8637  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-div 11033  df-nn 11375  df-2 11438  df-3 11439  df-n0 11643  df-z 11729  df-uz 11993  df-rp 12138  df-fz 12644  df-fzo 12785  df-fl 12912  df-seq 13120  df-exp 13179  df-cj 14246  df-re 14247  df-im 14248  df-sqrt 14382  df-abs 14383  df-clim 14627  df-rlim 14628
This theorem is referenced by:  isumge0  14902  stirlinglem11  41210
  Copyright terms: Public domain W3C validator