MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  climub Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem climub 15552
Description: The limit of a monotonic sequence is an upper bound. (Contributed by NM, 18-Mar-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
clim2ser.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
climub.2 (𝜑𝑁𝑍)
climub.3 (𝜑𝐹𝐴)
climub.4 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
climub.5 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ≤ (𝐹‘(𝑘 + 1)))
Assertion
Ref Expression
climub (𝜑 → (𝐹𝑁) ≤ 𝐴)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐹   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘   𝑘,𝑍

Proof of Theorem climub
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2733 . 2 (ℤ𝑁) = (ℤ𝑁)
2 climub.2 . . . 4 (𝜑𝑁𝑍)
3 clim2ser.1 . . . 4 𝑍 = (ℤ𝑀)
42, 3eleqtrdi 2844 . . 3 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
5 eluzelz 12778 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
64, 5syl 17 . 2 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
7 fveq2 6843 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑁 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑁))
87eleq1d 2819 . . . . 5 (𝑘 = 𝑁 → ((𝐹𝑘) ∈ ℝ ↔ (𝐹𝑁) ∈ ℝ))
98imbi2d 341 . . . 4 (𝑘 = 𝑁 → ((𝜑 → (𝐹𝑘) ∈ ℝ) ↔ (𝜑 → (𝐹𝑁) ∈ ℝ)))
10 climub.4 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
1110expcom 415 . . . 4 (𝑘𝑍 → (𝜑 → (𝐹𝑘) ∈ ℝ))
129, 11vtoclga 3533 . . 3 (𝑁𝑍 → (𝜑 → (𝐹𝑁) ∈ ℝ))
132, 12mpcom 38 . 2 (𝜑 → (𝐹𝑁) ∈ ℝ)
14 climub.3 . 2 (𝜑𝐹𝐴)
153uztrn2 12787 . . . 4 ((𝑁𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑗𝑍)
162, 15sylan 581 . . 3 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑗𝑍)
17 fveq2 6843 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑗 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑗))
1817eleq1d 2819 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑗 → ((𝐹𝑘) ∈ ℝ ↔ (𝐹𝑗) ∈ ℝ))
1918imbi2d 341 . . . . 5 (𝑘 = 𝑗 → ((𝜑 → (𝐹𝑘) ∈ ℝ) ↔ (𝜑 → (𝐹𝑗) ∈ ℝ)))
2019, 11vtoclga 3533 . . . 4 (𝑗𝑍 → (𝜑 → (𝐹𝑗) ∈ ℝ))
2120impcom 409 . . 3 ((𝜑𝑗𝑍) → (𝐹𝑗) ∈ ℝ)
2216, 21syldan 592 . 2 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑁)) → (𝐹𝑗) ∈ ℝ)
23 simpr 486 . . 3 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑗 ∈ (ℤ𝑁))
24 elfzuz 13443 . . . . 5 (𝑘 ∈ (𝑁...𝑗) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑁))
253uztrn2 12787 . . . . . . 7 ((𝑁𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑘𝑍)
262, 25sylan 581 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑘𝑍)
2726, 10syldan 592 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
2824, 27sylan2 594 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑁...𝑗)) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
2928adantlr 714 . . 3 (((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁...𝑗)) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
30 elfzuz 13443 . . . . 5 (𝑘 ∈ (𝑁...(𝑗 − 1)) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑁))
31 climub.5 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ≤ (𝐹‘(𝑘 + 1)))
3226, 31syldan 592 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) → (𝐹𝑘) ≤ (𝐹‘(𝑘 + 1)))
3330, 32sylan2 594 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑁...(𝑗 − 1))) → (𝐹𝑘) ≤ (𝐹‘(𝑘 + 1)))
3433adantlr 714 . . 3 (((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁...(𝑗 − 1))) → (𝐹𝑘) ≤ (𝐹‘(𝑘 + 1)))
3523, 29, 34monoord 13944 . 2 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑁)) → (𝐹𝑁) ≤ (𝐹𝑗))
361, 6, 13, 14, 22, 35climlec2 15549 1 (𝜑 → (𝐹𝑁) ≤ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107   class class class wbr 5106  cfv 6497  (class class class)co 7358  cr 11055  1c1 11057   + caddc 11059  cle 11195  cmin 11390  cz 12504  cuz 12768  ...cfz 13430  cli 15372
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8651  df-pm 8771  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-sup 9383  df-inf 9384  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-rp 12921  df-fz 13431  df-fl 13703  df-seq 13913  df-exp 13974  df-cj 14990  df-re 14991  df-im 14992  df-sqrt 15126  df-abs 15127  df-clim 15376  df-rlim 15377
This theorem is referenced by:  climserle  15553  itg2i1fseqle  25135  emcllem7  26367
  Copyright terms: Public domain W3C validator