Theorem climub 15010

Description: The limit of a monotonic sequence is an upper bound. (Contributed by NM, 18-Mar-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
clim2ser.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
climub.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑍)
climub.3	⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ 𝐴)
climub.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
climub.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ≤ (𝐹‘(𝑘 + 1)))

Assertion

Ref	Expression
climub	⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑁) ≤ 𝐴)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐹   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘   𝑘,𝑍

Proof of Theorem climub

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2798	. 2 ⊢ (ℤ≥‘𝑁) = (ℤ≥‘𝑁)
2		climub.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑍)
3		clim2ser.1	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
4	2, 3	eleqtrdi 2900	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
5		eluzelz 12241	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
6	4, 5	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
7		fveq2 6645	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑁))
8	7	eleq1d 2874	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → ((𝐹‘𝑘) ∈ ℝ ↔ (𝐹‘𝑁) ∈ ℝ))
9	8	imbi2d 344	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → ((𝜑 → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ) ↔ (𝜑 → (𝐹‘𝑁) ∈ ℝ)))
10		climub.4	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
11	10	expcom 417	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 → (𝜑 → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ))
12	9, 11	vtoclga 3522	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑍 → (𝜑 → (𝐹‘𝑁) ∈ ℝ))
13	2, 12	mpcom 38	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑁) ∈ ℝ)
14		climub.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ 𝐴)
15	3	uztrn2 12250	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑗 ∈ 𝑍)
16	2, 15	sylan 583	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑗 ∈ 𝑍)
17		fveq2 6645	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑗))
18	17	eleq1d 2874	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝐹‘𝑘) ∈ ℝ ↔ (𝐹‘𝑗) ∈ ℝ))
19	18	imbi2d 344	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝜑 → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ) ↔ (𝜑 → (𝐹‘𝑗) ∈ ℝ)))
20	19, 11	vtoclga 3522	. . . 4 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 → (𝜑 → (𝐹‘𝑗) ∈ ℝ))
21	20	impcom 411	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑗) ∈ ℝ)
22	16, 21	syldan 594	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → (𝐹‘𝑗) ∈ ℝ)
23		simpr 488	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑁))
24		elfzuz 12898	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑁...𝑗) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁))
25	3	uztrn2 12250	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑘 ∈ 𝑍)
26	2, 25	sylan 583	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑘 ∈ 𝑍)
27	26, 10	syldan 594	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
28	24, 27	sylan2 595	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑁...𝑗)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
29	28	adantlr 714	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁...𝑗)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
30		elfzuz 12898	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑁...(𝑗 − 1)) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁))
31		climub.5	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ≤ (𝐹‘(𝑘 + 1)))
32	26, 31	syldan 594	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → (𝐹‘𝑘) ≤ (𝐹‘(𝑘 + 1)))
33	30, 32	sylan2 595	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑁...(𝑗 − 1))) → (𝐹‘𝑘) ≤ (𝐹‘(𝑘 + 1)))
34	33	adantlr 714	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁...(𝑗 − 1))) → (𝐹‘𝑘) ≤ (𝐹‘(𝑘 + 1)))
35	23, 29, 34	monoord 13396	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → (𝐹‘𝑁) ≤ (𝐹‘𝑗))
36	1, 6, 13, 14, 22, 35	climlec2 15007	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑁) ≤ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5030  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  ℝcr 10525  1c1 10527   + caddc 10529   ≤ cle 10665   − cmin 10859  ℤcz 11969  ℤ_≥cuz 12231  ...cfz 12885   ⇝ cli 14833

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-er 8272  df-pm 8392  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-sup 8890  df-inf 8891  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-rp 12378  df-fz 12886  df-fl 13157  df-seq 13365  df-exp 13426  df-cj 14450  df-re 14451  df-im 14452  df-sqrt 14586  df-abs 14587  df-clim 14837  df-rlim 14838

This theorem is referenced by:  climserle  15011  itg2i1fseqle  24358  emcllem7  25587