MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isumge0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isumge0 15101
Description: An infinite sum of nonnegative terms is nonnegative. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
isumrecl.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
isumrecl.2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
isumrecl.3 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = 𝐴)
isumrecl.4 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐴 ∈ ℝ)
isumrecl.5 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
isumge0.6 ((𝜑𝑘𝑍) → 0 ≤ 𝐴)
Assertion
Ref Expression
isumge0 (𝜑 → 0 ≤ Σ𝑘𝑍 𝐴)
Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝑀   𝜑,𝑘   𝑘,𝑍
Allowed substitution hint:   𝐴(𝑘)

Proof of Theorem isumge0
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isumrecl.1 . . 3 𝑍 = (ℤ𝑀)
2 isumrecl.2 . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
3 isumrecl.3 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = 𝐴)
4 isumrecl.4 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐴 ∈ ℝ)
54recnd 10647 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐴 ∈ ℂ)
6 isumrecl.5 . . . . 5 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
71, 2, 3, 5, 6isumclim2 15093 . . . 4 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ Σ𝑘𝑍 𝐴)
8 fveq2 6646 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑘 → (𝐹𝑗) = (𝐹𝑘))
98cbvsumv 15033 . . . . 5 Σ𝑗𝑍 (𝐹𝑗) = Σ𝑘𝑍 (𝐹𝑘)
103sumeq2dv 15040 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑘𝑍 (𝐹𝑘) = Σ𝑘𝑍 𝐴)
119, 10syl5eq 2867 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑗𝑍 (𝐹𝑗) = Σ𝑘𝑍 𝐴)
127, 11breqtrrd 5070 . . 3 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ Σ𝑗𝑍 (𝐹𝑗))
133, 4eqeltrd 2911 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
14 isumge0.6 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → 0 ≤ 𝐴)
1514, 3breqtrrd 5070 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → 0 ≤ (𝐹𝑘))
161, 2, 12, 13, 15iserge0 14997 . 2 (𝜑 → 0 ≤ Σ𝑗𝑍 (𝐹𝑗))
1716, 11breqtrd 5068 1 (𝜑 → 0 ≤ Σ𝑘𝑍 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 398   = wceq 1537  wcel 2114   class class class wbr 5042  dom cdm 5531  cfv 6331  cr 10514  0cc0 10515   + caddc 10518  cle 10654  cz 11960  cuz 12222  seqcseq 13353  cli 14821  Σcsu 15022
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2792  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7439  ax-inf2 9082  ax-cnex 10571  ax-resscn 10572  ax-1cn 10573  ax-icn 10574  ax-addcl 10575  ax-addrcl 10576  ax-mulcl 10577  ax-mulrcl 10578  ax-mulcom 10579  ax-addass 10580  ax-mulass 10581  ax-distr 10582  ax-i2m1 10583  ax-1ne0 10584  ax-1rid 10585  ax-rnegex 10586  ax-rrecex 10587  ax-cnre 10588  ax-pre-lttri 10589  ax-pre-lttrn 10590  ax-pre-ltadd 10591  ax-pre-mulgt0 10592  ax-pre-sup 10593
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2891  df-nfc 2959  df-ne 3007  df-nel 3111  df-ral 3130  df-rex 3131  df-reu 3132  df-rmo 3133  df-rab 3134  df-v 3475  df-sbc 3753  df-csb 3861  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3932  df-nul 4270  df-if 4444  df-pw 4517  df-sn 4544  df-pr 4546  df-tp 4548  df-op 4550  df-uni 4815  df-int 4853  df-iun 4897  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5436  df-eprel 5441  df-po 5450  df-so 5451  df-fr 5490  df-se 5491  df-we 5492  df-xp 5537  df-rel 5538  df-cnv 5539  df-co 5540  df-dm 5541  df-rn 5542  df-res 5543  df-ima 5544  df-pred 6124  df-ord 6170  df-on 6171  df-lim 6172  df-suc 6173  df-iota 6290  df-fun 6333  df-fn 6334  df-f 6335  df-f1 6336  df-fo 6337  df-f1o 6338  df-fv 6339  df-isom 6340  df-riota 7091  df-ov 7136  df-oprab 7137  df-mpo 7138  df-om 7559  df-1st 7667  df-2nd 7668  df-wrecs 7925  df-recs 7986  df-rdg 8024  df-1o 8080  df-oadd 8084  df-er 8267  df-pm 8387  df-en 8488  df-dom 8489  df-sdom 8490  df-fin 8491  df-sup 8884  df-inf 8885  df-oi 8952  df-card 9346  df-pnf 10655  df-mnf 10656  df-xr 10657  df-ltxr 10658  df-le 10659  df-sub 10850  df-neg 10851  df-div 11276  df-nn 11617  df-2 11679  df-3 11680  df-n0 11877  df-z 11961  df-uz 12223  df-rp 12369  df-fz 12877  df-fzo 13018  df-fl 13146  df-seq 13354  df-exp 13415  df-hash 13676  df-cj 14438  df-re 14439  df-im 14440  df-sqrt 14574  df-abs 14575  df-clim 14825  df-rlim 14826  df-sum 15023
This theorem is referenced by:  mertenslem1  15220  mertenslem2  15221  rpnnen2lem12  15558  log2tlbnd  25510  esumcvg  31353  stirlinglem12  42518
  Copyright terms: Public domain W3C validator