MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lsslmod Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lsslmod 20271
Description: A submodule is a module. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lsslss.x 𝑋 = (𝑊s 𝑈)
lsslss.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
lsslmod ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → 𝑋 ∈ LMod)

Proof of Theorem lsslmod
StepHypRef Expression
1 lsslss.x . . 3 𝑋 = (𝑊s 𝑈)
2 eqid 2736 . . 3 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
3 lsslss.s . . 3 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
41, 2, 3islss3 20270 . 2 (𝑊 ∈ LMod → (𝑈𝑆 ↔ (𝑈 ⊆ (Base‘𝑊) ∧ 𝑋 ∈ LMod)))
54simplbda 501 1 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → 𝑋 ∈ LMod)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397   = wceq 1539  wcel 2104  wss 3892  cfv 6458  (class class class)co 7307  Basecbs 16961  s cress 16990  LModclmod 20172  LSubSpclss 20242
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pow 5297  ax-pr 5361  ax-un 7620  ax-cnex 10977  ax-resscn 10978  ax-1cn 10979  ax-icn 10980  ax-addcl 10981  ax-addrcl 10982  ax-mulcl 10983  ax-mulrcl 10984  ax-mulcom 10985  ax-addass 10986  ax-mulass 10987  ax-distr 10988  ax-i2m1 10989  ax-1ne0 10990  ax-1rid 10991  ax-rnegex 10992  ax-rrecex 10993  ax-cnre 10994  ax-pre-lttri 10995  ax-pre-lttrn 10996  ax-pre-ltadd 10997  ax-pre-mulgt0 10998
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3304  df-reu 3305  df-rab 3306  df-v 3439  df-sbc 3722  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4566  df-pr 4568  df-op 4572  df-uni 4845  df-iun 4933  df-br 5082  df-opab 5144  df-mpt 5165  df-tr 5199  df-id 5500  df-eprel 5506  df-po 5514  df-so 5515  df-fr 5555  df-we 5557  df-xp 5606  df-rel 5607  df-cnv 5608  df-co 5609  df-dm 5610  df-rn 5611  df-res 5612  df-ima 5613  df-pred 6217  df-ord 6284  df-on 6285  df-lim 6286  df-suc 6287  df-iota 6410  df-fun 6460  df-fn 6461  df-f 6462  df-f1 6463  df-fo 6464  df-f1o 6465  df-fv 6466  df-riota 7264  df-ov 7310  df-oprab 7311  df-mpo 7312  df-om 7745  df-1st 7863  df-2nd 7864  df-frecs 8128  df-wrecs 8159  df-recs 8233  df-rdg 8272  df-er 8529  df-en 8765  df-dom 8766  df-sdom 8767  df-pnf 11061  df-mnf 11062  df-xr 11063  df-ltxr 11064  df-le 11065  df-sub 11257  df-neg 11258  df-nn 12024  df-2 12086  df-3 12087  df-4 12088  df-5 12089  df-6 12090  df-sets 16914  df-slot 16932  df-ndx 16944  df-base 16962  df-ress 16991  df-plusg 17024  df-sca 17027  df-vsca 17028  df-0g 17201  df-mgm 18375  df-sgrp 18424  df-mnd 18435  df-grp 18629  df-minusg 18630  df-sbg 18631  df-subg 18801  df-mgp 19770  df-ur 19787  df-ring 19834  df-lmod 20174  df-lss 20243
This theorem is referenced by:  lsslss  20272  lsslsp  20326  lss0v  20327  reslmhm  20363  reslmhm2b  20365  pj1lmhm  20411  lsslvec  20418  dsmmlmod  21001  issubassa3  21121  mpllmod  21272  ply1lmod  21472  scmatghm  21731  lssnlm  23914  islssfg  41091  lnmlsslnm  41102
  Copyright terms: Public domain W3C validator