Users' Mathboxes Mathbox for Asger C. Ipsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  knoppndvlem13 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem knoppndvlem13 35033
Description: Lemma for knoppndv 35043. (Contributed by Asger C. Ipsen, 1-Jul-2021.) (Revised by Asger C. Ipsen, 5-Jul-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
knoppndvlem13.c (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ (-1(,)1))
knoppndvlem13.n (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
knoppndvlem13.1 (๐œ‘ โ†’ 1 < (๐‘ ยท (absโ€˜๐ถ)))
Assertion
Ref Expression
knoppndvlem13 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โ‰  0)

Proof of Theorem knoppndvlem13
StepHypRef Expression
1 knoppndvlem13.1 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ 1 < (๐‘ ยท (absโ€˜๐ถ)))
21adantr 482 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐ถ = 0) โ†’ 1 < (๐‘ ยท (absโ€˜๐ถ)))
3 0lt1 11682 . . . . . 6 0 < 1
4 0re 11162 . . . . . . 7 0 โˆˆ โ„
5 1re 11160 . . . . . . 7 1 โˆˆ โ„
64, 5ltnsymi 11279 . . . . . 6 (0 < 1 โ†’ ยฌ 1 < 0)
73, 6ax-mp 5 . . . . 5 ยฌ 1 < 0
87a1i 11 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐ถ = 0) โ†’ ยฌ 1 < 0)
9 id 22 . . . . . . . . . 10 (๐ถ = 0 โ†’ ๐ถ = 0)
109abs00bd 15182 . . . . . . . . 9 (๐ถ = 0 โ†’ (absโ€˜๐ถ) = 0)
1110oveq2d 7374 . . . . . . . 8 (๐ถ = 0 โ†’ (๐‘ ยท (absโ€˜๐ถ)) = (๐‘ ยท 0))
1211adantl 483 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐ถ = 0) โ†’ (๐‘ ยท (absโ€˜๐ถ)) = (๐‘ ยท 0))
13 knoppndvlem13.n . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
14 nncn 12166 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
1513, 14syl 17 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
1615adantr 482 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐ถ = 0) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
1716mul01d 11359 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐ถ = 0) โ†’ (๐‘ ยท 0) = 0)
1812, 17eqtrd 2773 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐ถ = 0) โ†’ (๐‘ ยท (absโ€˜๐ถ)) = 0)
1918eqcomd 2739 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐ถ = 0) โ†’ 0 = (๐‘ ยท (absโ€˜๐ถ)))
2019breq2d 5118 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐ถ = 0) โ†’ (1 < 0 โ†” 1 < (๐‘ ยท (absโ€˜๐ถ))))
218, 20mtbid 324 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐ถ = 0) โ†’ ยฌ 1 < (๐‘ ยท (absโ€˜๐ถ)))
222, 21pm2.65da 816 . 2 (๐œ‘ โ†’ ยฌ ๐ถ = 0)
2322neqned 2947 1 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โ‰  0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2940   class class class wbr 5106  โ€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  โ„‚cc 11054  0cc0 11056  1c1 11057   ยท cmul 11061   < clt 11194  -cneg 11391  โ„•cn 12158  (,)cioo 13270  abscabs 15125
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-sup 9383  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-rp 12921  df-seq 13913  df-exp 13974  df-cj 14990  df-re 14991  df-im 14992  df-sqrt 15126  df-abs 15127
This theorem is referenced by:  knoppndvlem14  35034  knoppndvlem17  35037
  Copyright terms: Public domain W3C validator