Theorem knoppndvlem13 36962

Description: Lemma for knoppndv 36972. (Contributed by Asger C. Ipsen, 1-Jul-2021.) (Revised by Asger C. Ipsen, 5-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
knoppndvlem13.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (-1(,)1))
knoppndvlem13.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
knoppndvlem13.1	⊢ (𝜑 → 1 < (𝑁 · (abs‘𝐶)))

Assertion

Ref	Expression
knoppndvlem13	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)

Proof of Theorem knoppndvlem13

Step	Hyp	Ref	Expression
1		knoppndvlem13.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 < (𝑁 · (abs‘𝐶)))
2	1	adantr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 = 0) → 1 < (𝑁 · (abs‘𝐶)))
3		0lt1 11709	. . . . . 6 ⊢ 0 < 1
4		0re 11183	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ
5		1re 11181	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℝ
6	4, 5	ltnsymi 11302	. . . . . 6 ⊢ (0 < 1 → ¬ 1 < 0)
7	3, 6	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ¬ 1 < 0
8	7	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 = 0) → ¬ 1 < 0)
9		id 22	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 = 0 → 𝐶 = 0)
10	9	abs00bd 15318	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 = 0 → (abs‘𝐶) = 0)
11	10	oveq2d 7412	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 = 0 → (𝑁 · (abs‘𝐶)) = (𝑁 · 0))
12	11	adantl 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 = 0) → (𝑁 · (abs‘𝐶)) = (𝑁 · 0))
13		knoppndvlem13.n	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
14		nncn 12218	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
15	13, 14	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
16	15	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 = 0) → 𝑁 ∈ ℂ)
17	16	mul01d 11382	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 = 0) → (𝑁 · 0) = 0)
18	12, 17	eqtrd 2797	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 = 0) → (𝑁 · (abs‘𝐶)) = 0)
19	18	eqcomd 2768	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 = 0) → 0 = (𝑁 · (abs‘𝐶)))
20	19	breq2d 5112	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 = 0) → (1 < 0 ↔ 1 < (𝑁 · (abs‘𝐶))))
21	8, 20	mtbid 326	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 = 0) → ¬ 1 < (𝑁 · (abs‘𝐶)))
22	2, 21	pm2.65da 826	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐶 = 0)
23	22	neqned 2964	1 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1560   ∈ wcel 2142   ≠ wne 2957   class class class wbr 5100  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396  ℂcc 11071  0cc0 11073  1c1 11074   · cmul 11078   < clt 11216  -cneg 11415  ℕcn 12210  (,)cioo 13349  abscabs 15261

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-cnex 11129  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149  ax-pre-mulgt0 11150  ax-pre-sup 11151

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7847  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-er 8678  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-sup 9388  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222  df-sub 11416  df-neg 11417  df-div 11845  df-nn 12211  df-2 12280  df-3 12281  df-n0 12482  df-z 12569  df-uz 12840  df-rp 12994  df-seq 14015  df-exp 14075  df-cj 15126  df-re 15127  df-im 15128  df-sqrt 15262  df-abs 15263

This theorem is referenced by:  knoppndvlem14  36963  knoppndvlem17  36966