Theorem knoppndvlem13 36784

Description: Lemma for knoppndv 36794. (Contributed by Asger C. Ipsen, 1-Jul-2021.) (Revised by Asger C. Ipsen, 5-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
knoppndvlem13.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (-1(,)1))
knoppndvlem13.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
knoppndvlem13.1	⊢ (𝜑 → 1 < (𝑁 · (abs‘𝐶)))

Assertion

Ref	Expression
knoppndvlem13	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)

Proof of Theorem knoppndvlem13

Step	Hyp	Ref	Expression
1		knoppndvlem13.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 < (𝑁 · (abs‘𝐶)))
2	1	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 = 0) → 1 < (𝑁 · (abs‘𝐶)))
3		0lt1 11672	. . . . . 6 ⊢ 0 < 1
4		0re 11146	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ
5		1re 11144	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℝ
6	4, 5	ltnsymi 11265	. . . . . 6 ⊢ (0 < 1 → ¬ 1 < 0)
7	3, 6	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ¬ 1 < 0
8	7	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 = 0) → ¬ 1 < 0)
9		id 22	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 = 0 → 𝐶 = 0)
10	9	abs00bd 15253	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 = 0 → (abs‘𝐶) = 0)
11	10	oveq2d 7383	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 = 0 → (𝑁 · (abs‘𝐶)) = (𝑁 · 0))
12	11	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 = 0) → (𝑁 · (abs‘𝐶)) = (𝑁 · 0))
13		knoppndvlem13.n	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
14		nncn 12182	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
15	13, 14	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
16	15	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 = 0) → 𝑁 ∈ ℂ)
17	16	mul01d 11345	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 = 0) → (𝑁 · 0) = 0)
18	12, 17	eqtrd 2771	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 = 0) → (𝑁 · (abs‘𝐶)) = 0)
19	18	eqcomd 2742	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 = 0) → 0 = (𝑁 · (abs‘𝐶)))
20	19	breq2d 5097	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 = 0) → (1 < 0 ↔ 1 < (𝑁 · (abs‘𝐶))))
21	8, 20	mtbid 324	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 = 0) → ¬ 1 < (𝑁 · (abs‘𝐶)))
22	2, 21	pm2.65da 817	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐶 = 0)
23	22	neqned 2939	1 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2932   class class class wbr 5085  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  ℂcc 11036  0cc0 11038  1c1 11039   · cmul 11043   < clt 11179  -cneg 11378  ℕcn 12174  (,)cioo 13298  abscabs 15196

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-sup 9355  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-rp 12943  df-seq 13964  df-exp 14024  df-cj 15061  df-re 15062  df-im 15063  df-sqrt 15197  df-abs 15198

This theorem is referenced by:  knoppndvlem14  36785  knoppndvlem17  36788