Mathbox for Asger C. Ipsen < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  knoppndvlem13 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem knoppndvlem13 33920
 Description: Lemma for knoppndv 33930. (Contributed by Asger C. Ipsen, 1-Jul-2021.) (Revised by Asger C. Ipsen, 5-Jul-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
knoppndvlem13.c (𝜑𝐶 ∈ (-1(,)1))
knoppndvlem13.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
knoppndvlem13.1 (𝜑 → 1 < (𝑁 · (abs‘𝐶)))
Assertion
Ref Expression
knoppndvlem13 (𝜑𝐶 ≠ 0)

Proof of Theorem knoppndvlem13
StepHypRef Expression
1 knoppndvlem13.1 . . . 4 (𝜑 → 1 < (𝑁 · (abs‘𝐶)))
21adantr 484 . . 3 ((𝜑𝐶 = 0) → 1 < (𝑁 · (abs‘𝐶)))
3 0lt1 11160 . . . . . 6 0 < 1
4 0re 10641 . . . . . . 7 0 ∈ ℝ
5 1re 10639 . . . . . . 7 1 ∈ ℝ
64, 5ltnsymi 10757 . . . . . 6 (0 < 1 → ¬ 1 < 0)
73, 6ax-mp 5 . . . . 5 ¬ 1 < 0
87a1i 11 . . . 4 ((𝜑𝐶 = 0) → ¬ 1 < 0)
9 id 22 . . . . . . . . . 10 (𝐶 = 0 → 𝐶 = 0)
109abs00bd 14651 . . . . . . . . 9 (𝐶 = 0 → (abs‘𝐶) = 0)
1110oveq2d 7165 . . . . . . . 8 (𝐶 = 0 → (𝑁 · (abs‘𝐶)) = (𝑁 · 0))
1211adantl 485 . . . . . . 7 ((𝜑𝐶 = 0) → (𝑁 · (abs‘𝐶)) = (𝑁 · 0))
13 knoppndvlem13.n . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
14 nncn 11642 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
1513, 14syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
1615adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐶 = 0) → 𝑁 ∈ ℂ)
1716mul01d 10837 . . . . . . 7 ((𝜑𝐶 = 0) → (𝑁 · 0) = 0)
1812, 17eqtrd 2859 . . . . . 6 ((𝜑𝐶 = 0) → (𝑁 · (abs‘𝐶)) = 0)
1918eqcomd 2830 . . . . 5 ((𝜑𝐶 = 0) → 0 = (𝑁 · (abs‘𝐶)))
2019breq2d 5064 . . . 4 ((𝜑𝐶 = 0) → (1 < 0 ↔ 1 < (𝑁 · (abs‘𝐶))))
218, 20mtbid 327 . . 3 ((𝜑𝐶 = 0) → ¬ 1 < (𝑁 · (abs‘𝐶)))
222, 21pm2.65da 816 . 2 (𝜑 → ¬ 𝐶 = 0)
2322neqned 3021 1 (𝜑𝐶 ≠ 0)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2115   ≠ wne 3014   class class class wbr 5052  ‘cfv 6343  (class class class)co 7149  ℂcc 10533  0cc0 10535  1c1 10536   · cmul 10540   < clt 10673  -cneg 10869  ℕcn 11634  (,)cioo 12735  abscabs 14593 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-cnex 10591  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611  ax-pre-mulgt0 10612  ax-pre-sup 10613 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-om 7575  df-2nd 7685  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-er 8285  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-sup 8903  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-le 10679  df-sub 10870  df-neg 10871  df-div 11296  df-nn 11635  df-2 11697  df-3 11698  df-n0 11895  df-z 11979  df-uz 12241  df-rp 12387  df-seq 13374  df-exp 13435  df-cj 14458  df-re 14459  df-im 14460  df-sqrt 14594  df-abs 14595 This theorem is referenced by:  knoppndvlem14  33921  knoppndvlem17  33924
 Copyright terms: Public domain W3C validator