Users' Mathboxes Mathbox for Asger C. Ipsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  knoppndvlem13 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem knoppndvlem13 36507
Description: Lemma for knoppndv 36517. (Contributed by Asger C. Ipsen, 1-Jul-2021.) (Revised by Asger C. Ipsen, 5-Jul-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
knoppndvlem13.c (𝜑𝐶 ∈ (-1(,)1))
knoppndvlem13.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
knoppndvlem13.1 (𝜑 → 1 < (𝑁 · (abs‘𝐶)))
Assertion
Ref Expression
knoppndvlem13 (𝜑𝐶 ≠ 0)

Proof of Theorem knoppndvlem13
StepHypRef Expression
1 knoppndvlem13.1 . . . 4 (𝜑 → 1 < (𝑁 · (abs‘𝐶)))
21adantr 480 . . 3 ((𝜑𝐶 = 0) → 1 < (𝑁 · (abs‘𝐶)))
3 0lt1 11783 . . . . . 6 0 < 1
4 0re 11261 . . . . . . 7 0 ∈ ℝ
5 1re 11259 . . . . . . 7 1 ∈ ℝ
64, 5ltnsymi 11378 . . . . . 6 (0 < 1 → ¬ 1 < 0)
73, 6ax-mp 5 . . . . 5 ¬ 1 < 0
87a1i 11 . . . 4 ((𝜑𝐶 = 0) → ¬ 1 < 0)
9 id 22 . . . . . . . . . 10 (𝐶 = 0 → 𝐶 = 0)
109abs00bd 15327 . . . . . . . . 9 (𝐶 = 0 → (abs‘𝐶) = 0)
1110oveq2d 7447 . . . . . . . 8 (𝐶 = 0 → (𝑁 · (abs‘𝐶)) = (𝑁 · 0))
1211adantl 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝐶 = 0) → (𝑁 · (abs‘𝐶)) = (𝑁 · 0))
13 knoppndvlem13.n . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
14 nncn 12272 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
1513, 14syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
1615adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐶 = 0) → 𝑁 ∈ ℂ)
1716mul01d 11458 . . . . . . 7 ((𝜑𝐶 = 0) → (𝑁 · 0) = 0)
1812, 17eqtrd 2775 . . . . . 6 ((𝜑𝐶 = 0) → (𝑁 · (abs‘𝐶)) = 0)
1918eqcomd 2741 . . . . 5 ((𝜑𝐶 = 0) → 0 = (𝑁 · (abs‘𝐶)))
2019breq2d 5160 . . . 4 ((𝜑𝐶 = 0) → (1 < 0 ↔ 1 < (𝑁 · (abs‘𝐶))))
218, 20mtbid 324 . . 3 ((𝜑𝐶 = 0) → ¬ 1 < (𝑁 · (abs‘𝐶)))
222, 21pm2.65da 817 . 2 (𝜑 → ¬ 𝐶 = 0)
2322neqned 2945 1 (𝜑𝐶 ≠ 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938   class class class wbr 5148  cfv 6563  (class class class)co 7431  cc 11151  0cc0 11153  1c1 11154   · cmul 11158   < clt 11293  -cneg 11491  cn 12264  (,)cioo 13384  abscabs 15270
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-sup 9480  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-seq 14040  df-exp 14100  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272
This theorem is referenced by:  knoppndvlem14  36508  knoppndvlem17  36511
  Copyright terms: Public domain W3C validator