Theorem knoppndvlem13 36803

Description: Lemma for knoppndv 36813. (Contributed by Asger C. Ipsen, 1-Jul-2021.) (Revised by Asger C. Ipsen, 5-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
knoppndvlem13.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (-1(,)1))
knoppndvlem13.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
knoppndvlem13.1	⊢ (𝜑 → 1 < (𝑁 · (abs‘𝐶)))

Assertion

Ref	Expression
knoppndvlem13	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)

Proof of Theorem knoppndvlem13

Step	Hyp	Ref	Expression
1		knoppndvlem13.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 < (𝑁 · (abs‘𝐶)))
2	1	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 = 0) → 1 < (𝑁 · (abs‘𝐶)))
3		0lt1 11666	. . . . . 6 ⊢ 0 < 1
4		0re 11140	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ
5		1re 11138	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℝ
6	4, 5	ltnsymi 11259	. . . . . 6 ⊢ (0 < 1 → ¬ 1 < 0)
7	3, 6	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ¬ 1 < 0
8	7	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 = 0) → ¬ 1 < 0)
9		id 22	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 = 0 → 𝐶 = 0)
10	9	abs00bd 15247	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 = 0 → (abs‘𝐶) = 0)
11	10	oveq2d 7377	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 = 0 → (𝑁 · (abs‘𝐶)) = (𝑁 · 0))
12	11	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 = 0) → (𝑁 · (abs‘𝐶)) = (𝑁 · 0))
13		knoppndvlem13.n	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
14		nncn 12176	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
15	13, 14	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
16	15	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 = 0) → 𝑁 ∈ ℂ)
17	16	mul01d 11339	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 = 0) → (𝑁 · 0) = 0)
18	12, 17	eqtrd 2772	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 = 0) → (𝑁 · (abs‘𝐶)) = 0)
19	18	eqcomd 2743	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 = 0) → 0 = (𝑁 · (abs‘𝐶)))
20	19	breq2d 5098	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 = 0) → (1 < 0 ↔ 1 < (𝑁 · (abs‘𝐶))))
21	8, 20	mtbid 324	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 = 0) → ¬ 1 < (𝑁 · (abs‘𝐶)))
22	2, 21	pm2.65da 817	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐶 = 0)
23	22	neqned 2940	1 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933   class class class wbr 5086  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361  ℂcc 11030  0cc0 11032  1c1 11033   · cmul 11037   < clt 11173  -cneg 11372  ℕcn 12168  (,)cioo 13292  abscabs 15190

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-cnex 11088  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108  ax-pre-mulgt0 11109  ax-pre-sup 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7812  df-2nd 7937  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-sup 9349  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-sub 11373  df-neg 11374  df-div 11802  df-nn 12169  df-2 12238  df-3 12239  df-n0 12432  df-z 12519  df-uz 12783  df-rp 12937  df-seq 13958  df-exp 14018  df-cj 15055  df-re 15056  df-im 15057  df-sqrt 15191  df-abs 15192

This theorem is referenced by:  knoppndvlem14  36804  knoppndvlem17  36807