Theorem lcdsca 42098

Description: The ring of scalars of the closed kernel dual space. (Contributed by NM, 16-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 6-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lcdsca.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
lcdsca.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
lcdsca.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑈)
lcdsca.o	⊢ 𝑂 = (oppr‘𝐹)
lcdsca.c	⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
lcdsca.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝐶)
lcdsca.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))

Assertion

Ref	Expression
lcdsca	⊢ (𝜑 → 𝑅 = 𝑂)

Proof of Theorem lcdsca

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lcdsca.r	. 2 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝐶)
2		lcdsca.h	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3		eqid 2740	. . . . . 6 ⊢ ((ocH‘𝐾)‘𝑊) = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
4		lcdsca.c	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
5		lcdsca.u	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
6		eqid 2740	. . . . . 6 ⊢ (LFnl‘𝑈) = (LFnl‘𝑈)
7		eqid 2740	. . . . . 6 ⊢ (LKer‘𝑈) = (LKer‘𝑈)
8		eqid 2740	. . . . . 6 ⊢ (LDual‘𝑈) = (LDual‘𝑈)
9		lcdsca.k	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
10	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	lcdval 42088	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = ((LDual‘𝑈) ↾s {𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘((LKer‘𝑈)‘𝑓))) = ((LKer‘𝑈)‘𝑓)}))
11	10	fveq2d 6838	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘𝐶) = (Scalar‘((LDual‘𝑈) ↾s {𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘((LKer‘𝑈)‘𝑓))) = ((LKer‘𝑈)‘𝑓)})))
12		fvex 6847	. . . . . 6 ⊢ (LFnl‘𝑈) ∈ V
13	12	rabex 5274	. . . . 5 ⊢ {𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘((LKer‘𝑈)‘𝑓))) = ((LKer‘𝑈)‘𝑓)} ∈ V
14		eqid 2740	. . . . . 6 ⊢ ((LDual‘𝑈) ↾s {𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘((LKer‘𝑈)‘𝑓))) = ((LKer‘𝑈)‘𝑓)}) = ((LDual‘𝑈) ↾s {𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘((LKer‘𝑈)‘𝑓))) = ((LKer‘𝑈)‘𝑓)})
15		eqid 2740	. . . . . 6 ⊢ (Scalar‘(LDual‘𝑈)) = (Scalar‘(LDual‘𝑈))
16	14, 15	resssca 17304	. . . . 5 ⊢ ({𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘((LKer‘𝑈)‘𝑓))) = ((LKer‘𝑈)‘𝑓)} ∈ V → (Scalar‘(LDual‘𝑈)) = (Scalar‘((LDual‘𝑈) ↾s {𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘((LKer‘𝑈)‘𝑓))) = ((LKer‘𝑈)‘𝑓)})))
17	13, 16	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (Scalar‘(LDual‘𝑈)) = (Scalar‘((LDual‘𝑈) ↾s {𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘((LKer‘𝑈)‘𝑓))) = ((LKer‘𝑈)‘𝑓)}))
18	11, 17	eqtr4di 2793	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘𝐶) = (Scalar‘(LDual‘𝑈)))
19		lcdsca.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑈)
20		lcdsca.o	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (oppr‘𝐹)
21	2, 5, 9	dvhlmod 41609	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
22	19, 20, 8, 15, 21	ldualsca 39631	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘(LDual‘𝑈)) = 𝑂)
23	18, 22	eqtrd 2775	. 2 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘𝐶) = 𝑂)
24	1, 23	eqtrid 2787	1 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = 𝑂)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  {crab 3392  Vcvv 3432  ‘cfv 6492  (class class class)co 7363   ↾_s cress 17198  Scalarcsca 17221  opp_rcoppr 20314  LModclmod 20857  LFnlclfn 39556  LKerclk 39584  LDualcld 39622  HLchlt 39849  LHypclh 40483  DVecHcdvh 41577  ocHcoch 41846  LCDualclcd 42085

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-rep 5206  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113  ax-riotaBAD 39452

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-tp 4567  df-op 4569  df-uni 4846  df-iun 4930  df-iin 4931  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-of 7627  df-om 7814  df-1st 7938  df-2nd 7939  df-tpos 8173  df-undef 8220  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-1o 8402  df-er 8640  df-map 8772  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-nn 12173  df-2 12242  df-3 12243  df-4 12244  df-5 12245  df-6 12246  df-n0 12436  df-z 12523  df-uz 12787  df-fz 13460  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17178  df-ress 17199  df-plusg 17231  df-mulr 17232  df-sca 17234  df-vsca 17235  df-0g 17402  df-proset 18258  df-poset 18277  df-plt 18292  df-lub 18308  df-glb 18309  df-join 18310  df-meet 18311  df-p0 18387  df-p1 18388  df-lat 18396  df-clat 18463  df-mgm 18606  df-sgrp 18685  df-mnd 18701  df-grp 18910  df-minusg 18911  df-cmn 19755  df-abl 19756  df-mgp 20120  df-rng 20132  df-ur 20161  df-ring 20214  df-oppr 20315  df-dvdsr 20335  df-unit 20336  df-invr 20366  df-dvr 20379  df-drng 20710  df-lmod 20859  df-lvec 21100  df-ldual 39623  df-oposet 39675  df-ol 39677  df-oml 39678  df-covers 39765  df-ats 39766  df-atl 39797  df-cvlat 39821  df-hlat 39850  df-llines 39997  df-lplanes 39998  df-lvols 39999  df-lines 40000  df-psubsp 40002  df-pmap 40003  df-padd 40295  df-lhyp 40487  df-laut 40488  df-ldil 40603  df-ltrn 40604  df-trl 40658  df-tendo 41254  df-edring 41256  df-dvech 41578  df-lcdual 42086

This theorem is referenced by:  lcdsbase  42099  lcdsadd  42100  lcdsmul  42101  lcd0  42107  lcd1  42108  lcdneg  42109  lcdvsub  42116