Theorem lcdsca 38739

Description: The ring of scalars of the closed kernel dual space. (Contributed by NM, 16-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 6-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lcdsca.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
lcdsca.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
lcdsca.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑈)
lcdsca.o	⊢ 𝑂 = (oppr‘𝐹)
lcdsca.c	⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
lcdsca.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝐶)
lcdsca.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))

Assertion

Ref	Expression
lcdsca	⊢ (𝜑 → 𝑅 = 𝑂)

Proof of Theorem lcdsca

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lcdsca.r	. 2 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝐶)
2		lcdsca.h	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3		eqid 2824	. . . . . 6 ⊢ ((ocH‘𝐾)‘𝑊) = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
4		lcdsca.c	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
5		lcdsca.u	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
6		eqid 2824	. . . . . 6 ⊢ (LFnl‘𝑈) = (LFnl‘𝑈)
7		eqid 2824	. . . . . 6 ⊢ (LKer‘𝑈) = (LKer‘𝑈)
8		eqid 2824	. . . . . 6 ⊢ (LDual‘𝑈) = (LDual‘𝑈)
9		lcdsca.k	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
10	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	lcdval 38729	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = ((LDual‘𝑈) ↾s {𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘((LKer‘𝑈)‘𝑓))) = ((LKer‘𝑈)‘𝑓)}))
11	10	fveq2d 6677	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘𝐶) = (Scalar‘((LDual‘𝑈) ↾s {𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘((LKer‘𝑈)‘𝑓))) = ((LKer‘𝑈)‘𝑓)})))
12		fvex 6686	. . . . . 6 ⊢ (LFnl‘𝑈) ∈ V
13	12	rabex 5238	. . . . 5 ⊢ {𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘((LKer‘𝑈)‘𝑓))) = ((LKer‘𝑈)‘𝑓)} ∈ V
14		eqid 2824	. . . . . 6 ⊢ ((LDual‘𝑈) ↾s {𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘((LKer‘𝑈)‘𝑓))) = ((LKer‘𝑈)‘𝑓)}) = ((LDual‘𝑈) ↾s {𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘((LKer‘𝑈)‘𝑓))) = ((LKer‘𝑈)‘𝑓)})
15		eqid 2824	. . . . . 6 ⊢ (Scalar‘(LDual‘𝑈)) = (Scalar‘(LDual‘𝑈))
16	14, 15	resssca 16653	. . . . 5 ⊢ ({𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘((LKer‘𝑈)‘𝑓))) = ((LKer‘𝑈)‘𝑓)} ∈ V → (Scalar‘(LDual‘𝑈)) = (Scalar‘((LDual‘𝑈) ↾s {𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘((LKer‘𝑈)‘𝑓))) = ((LKer‘𝑈)‘𝑓)})))
17	13, 16	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (Scalar‘(LDual‘𝑈)) = (Scalar‘((LDual‘𝑈) ↾s {𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘((LKer‘𝑈)‘𝑓))) = ((LKer‘𝑈)‘𝑓)}))
18	11, 17	syl6eqr 2877	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘𝐶) = (Scalar‘(LDual‘𝑈)))
19		lcdsca.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑈)
20		lcdsca.o	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (oppr‘𝐹)
21	2, 5, 9	dvhlmod 38250	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
22	19, 20, 8, 15, 21	ldualsca 36272	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘(LDual‘𝑈)) = 𝑂)
23	18, 22	eqtrd 2859	. 2 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘𝐶) = 𝑂)
24	1, 23	syl5eq 2871	1 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = 𝑂)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1536   ∈ wcel 2113  {crab 3145  Vcvv 3497  ‘cfv 6358  (class class class)co 7159   ↾_s cress 16487  Scalarcsca 16571  opp_rcoppr 19375  LModclmod 19637  LFnlclfn 36197  LKerclk 36225  LDualcld 36263  HLchlt 36490  LHypclh 37124  DVecHcdvh 38218  ocHcoch 38487  LCDualclcd 38726

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796  ax-rep 5193  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pow 5269  ax-pr 5333  ax-un 7464  ax-cnex 10596  ax-resscn 10597  ax-1cn 10598  ax-icn 10599  ax-addcl 10600  ax-addrcl 10601  ax-mulcl 10602  ax-mulrcl 10603  ax-mulcom 10604  ax-addass 10605  ax-mulass 10606  ax-distr 10607  ax-i2m1 10608  ax-1ne0 10609  ax-1rid 10610  ax-rnegex 10611  ax-rrecex 10612  ax-cnre 10613  ax-pre-lttri 10614  ax-pre-lttrn 10615  ax-pre-ltadd 10616  ax-pre-mulgt0 10617  ax-riotaBAD 36093

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2966  df-ne 3020  df-nel 3127  df-ral 3146  df-rex 3147  df-reu 3148  df-rmo 3149  df-rab 3150  df-v 3499  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4571  df-pr 4573  df-tp 4575  df-op 4577  df-uni 4842  df-int 4880  df-iun 4924  df-iin 4925  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5150  df-tr 5176  df-id 5463  df-eprel 5468  df-po 5477  df-so 5478  df-fr 5517  df-we 5519  df-xp 5564  df-rel 5565  df-cnv 5566  df-co 5567  df-dm 5568  df-rn 5569  df-res 5570  df-ima 5571  df-pred 6151  df-ord 6197  df-on 6198  df-lim 6199  df-suc 6200  df-iota 6317  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-riota 7117  df-ov 7162  df-oprab 7163  df-mpo 7164  df-of 7412  df-om 7584  df-1st 7692  df-2nd 7693  df-tpos 7895  df-undef 7942  df-wrecs 7950  df-recs 8011  df-rdg 8049  df-1o 8105  df-oadd 8109  df-er 8292  df-map 8411  df-en 8513  df-dom 8514  df-sdom 8515  df-fin 8516  df-pnf 10680  df-mnf 10681  df-xr 10682  df-ltxr 10683  df-le 10684  df-sub 10875  df-neg 10876  df-nn 11642  df-2 11703  df-3 11704  df-4 11705  df-5 11706  df-6 11707  df-n0 11901  df-z 11985  df-uz 12247  df-fz 12896  df-struct 16488  df-ndx 16489  df-slot 16490  df-base 16492  df-sets 16493  df-ress 16494  df-plusg 16581  df-mulr 16582  df-sca 16584  df-vsca 16585  df-0g 16718  df-proset 17541  df-poset 17559  df-plt 17571  df-lub 17587  df-glb 17588  df-join 17589  df-meet 17590  df-p0 17652  df-p1 17653  df-lat 17659  df-clat 17721  df-mgm 17855  df-sgrp 17904  df-mnd 17915  df-grp 18109  df-minusg 18110  df-mgp 19243  df-ur 19255  df-ring 19302  df-oppr 19376  df-dvdsr 19394  df-unit 19395  df-invr 19425  df-dvr 19436  df-drng 19507  df-lmod 19639  df-lvec 19878  df-ldual 36264  df-oposet 36316  df-ol 36318  df-oml 36319  df-covers 36406  df-ats 36407  df-atl 36438  df-cvlat 36462  df-hlat 36491  df-llines 36638  df-lplanes 36639  df-lvols 36640  df-lines 36641  df-psubsp 36643  df-pmap 36644  df-padd 36936  df-lhyp 37128  df-laut 37129  df-ldil 37244  df-ltrn 37245  df-trl 37299  df-tendo 37895  df-edring 37897  df-dvech 38219  df-lcdual 38727

This theorem is referenced by:  lcdsbase  38740  lcdsadd  38741  lcdsmul  38742  lcd0  38748  lcd1  38749  lcdneg  38750  lcdvsub  38757