Theorem lcdsca 41644

Description: The ring of scalars of the closed kernel dual space. (Contributed by NM, 16-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 6-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lcdsca.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
lcdsca.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
lcdsca.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑈)
lcdsca.o	⊢ 𝑂 = (oppr‘𝐹)
lcdsca.c	⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
lcdsca.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝐶)
lcdsca.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))

Assertion

Ref	Expression
lcdsca	⊢ (𝜑 → 𝑅 = 𝑂)

Proof of Theorem lcdsca

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lcdsca.r	. 2 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝐶)
2		lcdsca.h	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ ((ocH‘𝐾)‘𝑊) = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
4		lcdsca.c	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
5		lcdsca.u	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
6		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (LFnl‘𝑈) = (LFnl‘𝑈)
7		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (LKer‘𝑈) = (LKer‘𝑈)
8		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (LDual‘𝑈) = (LDual‘𝑈)
9		lcdsca.k	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
10	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	lcdval 41634	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = ((LDual‘𝑈) ↾s {𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘((LKer‘𝑈)‘𝑓))) = ((LKer‘𝑈)‘𝑓)}))
11	10	fveq2d 6826	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘𝐶) = (Scalar‘((LDual‘𝑈) ↾s {𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘((LKer‘𝑈)‘𝑓))) = ((LKer‘𝑈)‘𝑓)})))
12		fvex 6835	. . . . . 6 ⊢ (LFnl‘𝑈) ∈ V
13	12	rabex 5277	. . . . 5 ⊢ {𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘((LKer‘𝑈)‘𝑓))) = ((LKer‘𝑈)‘𝑓)} ∈ V
14		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ ((LDual‘𝑈) ↾s {𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘((LKer‘𝑈)‘𝑓))) = ((LKer‘𝑈)‘𝑓)}) = ((LDual‘𝑈) ↾s {𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘((LKer‘𝑈)‘𝑓))) = ((LKer‘𝑈)‘𝑓)})
15		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (Scalar‘(LDual‘𝑈)) = (Scalar‘(LDual‘𝑈))
16	14, 15	resssca 17247	. . . . 5 ⊢ ({𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘((LKer‘𝑈)‘𝑓))) = ((LKer‘𝑈)‘𝑓)} ∈ V → (Scalar‘(LDual‘𝑈)) = (Scalar‘((LDual‘𝑈) ↾s {𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘((LKer‘𝑈)‘𝑓))) = ((LKer‘𝑈)‘𝑓)})))
17	13, 16	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (Scalar‘(LDual‘𝑈)) = (Scalar‘((LDual‘𝑈) ↾s {𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘((LKer‘𝑈)‘𝑓))) = ((LKer‘𝑈)‘𝑓)}))
18	11, 17	eqtr4di 2784	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘𝐶) = (Scalar‘(LDual‘𝑈)))
19		lcdsca.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑈)
20		lcdsca.o	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (oppr‘𝐹)
21	2, 5, 9	dvhlmod 41155	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
22	19, 20, 8, 15, 21	ldualsca 39177	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘(LDual‘𝑈)) = 𝑂)
23	18, 22	eqtrd 2766	. 2 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘𝐶) = 𝑂)
24	1, 23	eqtrid 2778	1 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = 𝑂)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  {crab 3395  Vcvv 3436  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346   ↾_s cress 17141  Scalarcsca 17164  opp_rcoppr 20255  LModclmod 20794  LFnlclfn 39102  LKerclk 39130  LDualcld 39168  HLchlt 39395  LHypclh 40029  DVecHcdvh 41123  ocHcoch 41392  LCDualclcd 41631

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5217  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083  ax-riotaBAD 38998

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-tp 4581  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4943  df-iin 4944  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-of 7610  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-tpos 8156  df-undef 8203  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-er 8622  df-map 8752  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-4 12190  df-5 12191  df-6 12192  df-n0 12382  df-z 12469  df-uz 12733  df-fz 13408  df-struct 17058  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-plusg 17174  df-mulr 17175  df-sca 17177  df-vsca 17178  df-0g 17345  df-proset 18200  df-poset 18219  df-plt 18234  df-lub 18250  df-glb 18251  df-join 18252  df-meet 18253  df-p0 18329  df-p1 18330  df-lat 18338  df-clat 18405  df-mgm 18548  df-sgrp 18627  df-mnd 18643  df-grp 18849  df-minusg 18850  df-cmn 19695  df-abl 19696  df-mgp 20060  df-rng 20072  df-ur 20101  df-ring 20154  df-oppr 20256  df-dvdsr 20276  df-unit 20277  df-invr 20307  df-dvr 20320  df-drng 20647  df-lmod 20796  df-lvec 21038  df-ldual 39169  df-oposet 39221  df-ol 39223  df-oml 39224  df-covers 39311  df-ats 39312  df-atl 39343  df-cvlat 39367  df-hlat 39396  df-llines 39543  df-lplanes 39544  df-lvols 39545  df-lines 39546  df-psubsp 39548  df-pmap 39549  df-padd 39841  df-lhyp 40033  df-laut 40034  df-ldil 40149  df-ltrn 40150  df-trl 40204  df-tendo 40800  df-edring 40802  df-dvech 41124  df-lcdual 41632

This theorem is referenced by:  lcdsbase  41645  lcdsadd  41646  lcdsmul  41647  lcd0  41653  lcd1  41654  lcdneg  41655  lcdvsub  41662