Theorem lcdsca 40964

Description: The ring of scalars of the closed kernel dual space. (Contributed by NM, 16-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 6-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lcdsca.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
lcdsca.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
lcdsca.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑈)
lcdsca.o	⊢ 𝑂 = (oppr‘𝐹)
lcdsca.c	⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
lcdsca.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝐶)
lcdsca.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))

Assertion

Ref	Expression
lcdsca	⊢ (𝜑 → 𝑅 = 𝑂)

Proof of Theorem lcdsca

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lcdsca.r	. 2 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝐶)
2		lcdsca.h	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3		eqid 2724	. . . . . 6 ⊢ ((ocH‘𝐾)‘𝑊) = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
4		lcdsca.c	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
5		lcdsca.u	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
6		eqid 2724	. . . . . 6 ⊢ (LFnl‘𝑈) = (LFnl‘𝑈)
7		eqid 2724	. . . . . 6 ⊢ (LKer‘𝑈) = (LKer‘𝑈)
8		eqid 2724	. . . . . 6 ⊢ (LDual‘𝑈) = (LDual‘𝑈)
9		lcdsca.k	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
10	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	lcdval 40954	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = ((LDual‘𝑈) ↾s {𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘((LKer‘𝑈)‘𝑓))) = ((LKer‘𝑈)‘𝑓)}))
11	10	fveq2d 6886	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘𝐶) = (Scalar‘((LDual‘𝑈) ↾s {𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘((LKer‘𝑈)‘𝑓))) = ((LKer‘𝑈)‘𝑓)})))
12		fvex 6895	. . . . . 6 ⊢ (LFnl‘𝑈) ∈ V
13	12	rabex 5323	. . . . 5 ⊢ {𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘((LKer‘𝑈)‘𝑓))) = ((LKer‘𝑈)‘𝑓)} ∈ V
14		eqid 2724	. . . . . 6 ⊢ ((LDual‘𝑈) ↾s {𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘((LKer‘𝑈)‘𝑓))) = ((LKer‘𝑈)‘𝑓)}) = ((LDual‘𝑈) ↾s {𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘((LKer‘𝑈)‘𝑓))) = ((LKer‘𝑈)‘𝑓)})
15		eqid 2724	. . . . . 6 ⊢ (Scalar‘(LDual‘𝑈)) = (Scalar‘(LDual‘𝑈))
16	14, 15	resssca 17289	. . . . 5 ⊢ ({𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘((LKer‘𝑈)‘𝑓))) = ((LKer‘𝑈)‘𝑓)} ∈ V → (Scalar‘(LDual‘𝑈)) = (Scalar‘((LDual‘𝑈) ↾s {𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘((LKer‘𝑈)‘𝑓))) = ((LKer‘𝑈)‘𝑓)})))
17	13, 16	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (Scalar‘(LDual‘𝑈)) = (Scalar‘((LDual‘𝑈) ↾s {𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘((LKer‘𝑈)‘𝑓))) = ((LKer‘𝑈)‘𝑓)}))
18	11, 17	eqtr4di 2782	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘𝐶) = (Scalar‘(LDual‘𝑈)))
19		lcdsca.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑈)
20		lcdsca.o	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (oppr‘𝐹)
21	2, 5, 9	dvhlmod 40475	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
22	19, 20, 8, 15, 21	ldualsca 38496	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘(LDual‘𝑈)) = 𝑂)
23	18, 22	eqtrd 2764	. 2 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘𝐶) = 𝑂)
24	1, 23	eqtrid 2776	1 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = 𝑂)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {crab 3424  Vcvv 3466  ‘cfv 6534  (class class class)co 7402   ↾_s cress 17174  Scalarcsca 17201  opp_rcoppr 20227  LModclmod 20698  LFnlclfn 38421  LKerclk 38449  LDualcld 38487  HLchlt 38714  LHypclh 39349  DVecHcdvh 40443  ocHcoch 40712  LCDualclcd 40951

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-riotaBAD 38317

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-tp 4626  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-iin 4991  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-of 7664  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-tpos 8207  df-undef 8254  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8700  df-map 8819  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-pnf 11248  df-mnf 11249  df-xr 11250  df-ltxr 11251  df-le 11252  df-sub 11444  df-neg 11445  df-nn 12211  df-2 12273  df-3 12274  df-4 12275  df-5 12276  df-6 12277  df-n0 12471  df-z 12557  df-uz 12821  df-fz 13483  df-struct 17081  df-sets 17098  df-slot 17116  df-ndx 17128  df-base 17146  df-ress 17175  df-plusg 17211  df-mulr 17212  df-sca 17214  df-vsca 17215  df-0g 17388  df-proset 18252  df-poset 18270  df-plt 18287  df-lub 18303  df-glb 18304  df-join 18305  df-meet 18306  df-p0 18382  df-p1 18383  df-lat 18389  df-clat 18456  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-grp 18858  df-minusg 18859  df-cmn 19694  df-abl 19695  df-mgp 20032  df-rng 20050  df-ur 20079  df-ring 20132  df-oppr 20228  df-dvdsr 20251  df-unit 20252  df-invr 20282  df-dvr 20295  df-drng 20581  df-lmod 20700  df-lvec 20943  df-ldual 38488  df-oposet 38540  df-ol 38542  df-oml 38543  df-covers 38630  df-ats 38631  df-atl 38662  df-cvlat 38686  df-hlat 38715  df-llines 38863  df-lplanes 38864  df-lvols 38865  df-lines 38866  df-psubsp 38868  df-pmap 38869  df-padd 39161  df-lhyp 39353  df-laut 39354  df-ldil 39469  df-ltrn 39470  df-trl 39524  df-tendo 40120  df-edring 40122  df-dvech 40444  df-lcdual 40952

This theorem is referenced by:  lcdsbase  40965  lcdsadd  40966  lcdsmul  40967  lcd0  40973  lcd1  40974  lcdneg  40975  lcdvsub  40982