Theorem lcdsca 37675

Description: The ring of scalars of the closed kernel dual space. (Contributed by NM, 16-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 6-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lcdsca.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
lcdsca.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
lcdsca.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑈)
lcdsca.o	⊢ 𝑂 = (oppr‘𝐹)
lcdsca.c	⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
lcdsca.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝐶)
lcdsca.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))

Assertion

Ref	Expression
lcdsca	⊢ (𝜑 → 𝑅 = 𝑂)

Proof of Theorem lcdsca

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lcdsca.r	. 2 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝐶)
2		lcdsca.h	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3		eqid 2826	. . . . . 6 ⊢ ((ocH‘𝐾)‘𝑊) = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
4		lcdsca.c	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
5		lcdsca.u	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
6		eqid 2826	. . . . . 6 ⊢ (LFnl‘𝑈) = (LFnl‘𝑈)
7		eqid 2826	. . . . . 6 ⊢ (LKer‘𝑈) = (LKer‘𝑈)
8		eqid 2826	. . . . . 6 ⊢ (LDual‘𝑈) = (LDual‘𝑈)
9		lcdsca.k	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
10	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	lcdval 37665	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = ((LDual‘𝑈) ↾s {𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘((LKer‘𝑈)‘𝑓))) = ((LKer‘𝑈)‘𝑓)}))
11	10	fveq2d 6438	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘𝐶) = (Scalar‘((LDual‘𝑈) ↾s {𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘((LKer‘𝑈)‘𝑓))) = ((LKer‘𝑈)‘𝑓)})))
12		fvex 6447	. . . . . 6 ⊢ (LFnl‘𝑈) ∈ V
13	12	rabex 5038	. . . . 5 ⊢ {𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘((LKer‘𝑈)‘𝑓))) = ((LKer‘𝑈)‘𝑓)} ∈ V
14		eqid 2826	. . . . . 6 ⊢ ((LDual‘𝑈) ↾s {𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘((LKer‘𝑈)‘𝑓))) = ((LKer‘𝑈)‘𝑓)}) = ((LDual‘𝑈) ↾s {𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘((LKer‘𝑈)‘𝑓))) = ((LKer‘𝑈)‘𝑓)})
15		eqid 2826	. . . . . 6 ⊢ (Scalar‘(LDual‘𝑈)) = (Scalar‘(LDual‘𝑈))
16	14, 15	resssca 16391	. . . . 5 ⊢ ({𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘((LKer‘𝑈)‘𝑓))) = ((LKer‘𝑈)‘𝑓)} ∈ V → (Scalar‘(LDual‘𝑈)) = (Scalar‘((LDual‘𝑈) ↾s {𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘((LKer‘𝑈)‘𝑓))) = ((LKer‘𝑈)‘𝑓)})))
17	13, 16	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (Scalar‘(LDual‘𝑈)) = (Scalar‘((LDual‘𝑈) ↾s {𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘((LKer‘𝑈)‘𝑓))) = ((LKer‘𝑈)‘𝑓)}))
18	11, 17	syl6eqr 2880	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘𝐶) = (Scalar‘(LDual‘𝑈)))
19		lcdsca.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑈)
20		lcdsca.o	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (oppr‘𝐹)
21	2, 5, 9	dvhlmod 37186	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
22	19, 20, 8, 15, 21	ldualsca 35208	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘(LDual‘𝑈)) = 𝑂)
23	18, 22	eqtrd 2862	. 2 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘𝐶) = 𝑂)
24	1, 23	syl5eq 2874	1 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = 𝑂)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   = wceq 1658   ∈ wcel 2166  {crab 3122  Vcvv 3415  ‘cfv 6124  (class class class)co 6906   ↾_s cress 16224  Scalarcsca 16309  opp_rcoppr 18977  LModclmod 19220  LFnlclfn 35133  LKerclk 35161  LDualcld 35199  HLchlt 35426  LHypclh 36060  DVecHcdvh 37154  ocHcoch 37423  LCDualclcd 37662

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2804  ax-rep 4995  ax-sep 5006  ax-nul 5014  ax-pow 5066  ax-pr 5128  ax-un 7210  ax-cnex 10309  ax-resscn 10310  ax-1cn 10311  ax-icn 10312  ax-addcl 10313  ax-addrcl 10314  ax-mulcl 10315  ax-mulrcl 10316  ax-mulcom 10317  ax-addass 10318  ax-mulass 10319  ax-distr 10320  ax-i2m1 10321  ax-1ne0 10322  ax-1rid 10323  ax-rnegex 10324  ax-rrecex 10325  ax-cnre 10326  ax-pre-lttri 10327  ax-pre-lttrn 10328  ax-pre-ltadd 10329  ax-pre-mulgt0 10330  ax-riotaBAD 35029

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-fal 1672  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2606  df-eu 2641  df-clab 2813  df-cleq 2819  df-clel 2822  df-nfc 2959  df-ne 3001  df-nel 3104  df-ral 3123  df-rex 3124  df-reu 3125  df-rmo 3126  df-rab 3127  df-v 3417  df-sbc 3664  df-csb 3759  df-dif 3802  df-un 3804  df-in 3806  df-ss 3813  df-pss 3815  df-nul 4146  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4660  df-int 4699  df-iun 4743  df-iin 4744  df-br 4875  df-opab 4937  df-mpt 4954  df-tr 4977  df-id 5251  df-eprel 5256  df-po 5264  df-so 5265  df-fr 5302  df-we 5304  df-xp 5349  df-rel 5350  df-cnv 5351  df-co 5352  df-dm 5353  df-rn 5354  df-res 5355  df-ima 5356  df-pred 5921  df-ord 5967  df-on 5968  df-lim 5969  df-suc 5970  df-iota 6087  df-fun 6126  df-fn 6127  df-f 6128  df-f1 6129  df-fo 6130  df-f1o 6131  df-fv 6132  df-riota 6867  df-ov 6909  df-oprab 6910  df-mpt2 6911  df-of 7158  df-om 7328  df-1st 7429  df-2nd 7430  df-tpos 7618  df-undef 7665  df-wrecs 7673  df-recs 7735  df-rdg 7773  df-1o 7827  df-oadd 7831  df-er 8010  df-map 8125  df-en 8224  df-dom 8225  df-sdom 8226  df-fin 8227  df-pnf 10394  df-mnf 10395  df-xr 10396  df-ltxr 10397  df-le 10398  df-sub 10588  df-neg 10589  df-nn 11352  df-2 11415  df-3 11416  df-4 11417  df-5 11418  df-6 11419  df-n0 11620  df-z 11706  df-uz 11970  df-fz 12621  df-struct 16225  df-ndx 16226  df-slot 16227  df-base 16229  df-sets 16230  df-ress 16231  df-plusg 16319  df-mulr 16320  df-sca 16322  df-vsca 16323  df-0g 16456  df-proset 17282  df-poset 17300  df-plt 17312  df-lub 17328  df-glb 17329  df-join 17330  df-meet 17331  df-p0 17393  df-p1 17394  df-lat 17400  df-clat 17462  df-mgm 17596  df-sgrp 17638  df-mnd 17649  df-grp 17780  df-minusg 17781  df-mgp 18845  df-ur 18857  df-ring 18904  df-oppr 18978  df-dvdsr 18996  df-unit 18997  df-invr 19027  df-dvr 19038  df-drng 19106  df-lmod 19222  df-lvec 19463  df-ldual 35200  df-oposet 35252  df-ol 35254  df-oml 35255  df-covers 35342  df-ats 35343  df-atl 35374  df-cvlat 35398  df-hlat 35427  df-llines 35574  df-lplanes 35575  df-lvols 35576  df-lines 35577  df-psubsp 35579  df-pmap 35580  df-padd 35872  df-lhyp 36064  df-laut 36065  df-ldil 36180  df-ltrn 36181  df-trl 36235  df-tendo 36831  df-edring 36833  df-dvech 37155  df-lcdual 37663

This theorem is referenced by:  lcdsbase  37676  lcdsadd  37677  lcdsmul  37678  lcd0  37684  lcd1  37685  lcdneg  37686  lcdvsub  37693