MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sincosq1lem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sincosq1lem 25870
Description: Lemma for sincosq1sgn 25871. (Contributed by Paul Chapman, 24-Jan-2008.)
Assertion
Ref Expression
sincosq1lem ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (Ο€ / 2)) β†’ 0 < (sinβ€˜π΄))

Proof of Theorem sincosq1lem
StepHypRef Expression
1 halfpire 25837 . . . . . 6 (Ο€ / 2) ∈ ℝ
2 ltle 11250 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (Ο€ / 2) ∈ ℝ) β†’ (𝐴 < (Ο€ / 2) β†’ 𝐴 ≀ (Ο€ / 2)))
31, 2mpan2 690 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (𝐴 < (Ο€ / 2) β†’ 𝐴 ≀ (Ο€ / 2)))
4 pire 25831 . . . . . . . 8 Ο€ ∈ ℝ
5 4re 12244 . . . . . . . 8 4 ∈ ℝ
6 pigt2lt4 25829 . . . . . . . . 9 (2 < Ο€ ∧ Ο€ < 4)
76simpri 487 . . . . . . . 8 Ο€ < 4
84, 5, 7ltleii 11285 . . . . . . 7 Ο€ ≀ 4
9 2re 12234 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℝ
10 2pos 12263 . . . . . . . . . 10 0 < 2
119, 10pm3.2i 472 . . . . . . . . 9 (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
12 ledivmul 12038 . . . . . . . . 9 ((Ο€ ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) β†’ ((Ο€ / 2) ≀ 2 ↔ Ο€ ≀ (2 Β· 2)))
134, 9, 11, 12mp3an 1462 . . . . . . . 8 ((Ο€ / 2) ≀ 2 ↔ Ο€ ≀ (2 Β· 2))
14 2t2e4 12324 . . . . . . . . 9 (2 Β· 2) = 4
1514breq2i 5118 . . . . . . . 8 (Ο€ ≀ (2 Β· 2) ↔ Ο€ ≀ 4)
1613, 15bitri 275 . . . . . . 7 ((Ο€ / 2) ≀ 2 ↔ Ο€ ≀ 4)
178, 16mpbir 230 . . . . . 6 (Ο€ / 2) ≀ 2
18 letr 11256 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (Ο€ / 2) ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ) β†’ ((𝐴 ≀ (Ο€ / 2) ∧ (Ο€ / 2) ≀ 2) β†’ 𝐴 ≀ 2))
191, 9, 18mp3an23 1454 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ β†’ ((𝐴 ≀ (Ο€ / 2) ∧ (Ο€ / 2) ≀ 2) β†’ 𝐴 ≀ 2))
2017, 19mpan2i 696 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (𝐴 ≀ (Ο€ / 2) β†’ 𝐴 ≀ 2))
213, 20syld 47 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (𝐴 < (Ο€ / 2) β†’ 𝐴 ≀ 2))
2221adantr 482 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) β†’ (𝐴 < (Ο€ / 2) β†’ 𝐴 ≀ 2))
23223impia 1118 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (Ο€ / 2)) β†’ 𝐴 ≀ 2)
24 0xr 11209 . . . 4 0 ∈ ℝ*
25 elioc2 13334 . . . 4 ((0 ∈ ℝ* ∧ 2 ∈ ℝ) β†’ (𝐴 ∈ (0(,]2) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ∧ 𝐴 ≀ 2)))
2624, 9, 25mp2an 691 . . 3 (𝐴 ∈ (0(,]2) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ∧ 𝐴 ≀ 2))
27 sin02gt0 16081 . . 3 (𝐴 ∈ (0(,]2) β†’ 0 < (sinβ€˜π΄))
2826, 27sylbir 234 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ∧ 𝐴 ≀ 2) β†’ 0 < (sinβ€˜π΄))
2923, 28syld3an3 1410 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (Ο€ / 2)) β†’ 0 < (sinβ€˜π΄))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5110  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  β„cr 11057  0cc0 11058   Β· cmul 11063  β„*cxr 11195   < clt 11196   ≀ cle 11197   / cdiv 11819  2c2 12215  4c4 12217  (,]cioc 13272  sincsin 15953  Ο€cpi 15956
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136  ax-addf 11137  ax-mulf 11138
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-iin 4962  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7622  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-supp 8098  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-er 8655  df-map 8774  df-pm 8775  df-ixp 8843  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9313  df-fi 9354  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9453  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-9 12230  df-n0 12421  df-z 12507  df-dec 12626  df-uz 12771  df-q 12881  df-rp 12923  df-xneg 13040  df-xadd 13041  df-xmul 13042  df-ioo 13275  df-ioc 13276  df-ico 13277  df-icc 13278  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-fl 13704  df-seq 13914  df-exp 13975  df-fac 14181  df-bc 14210  df-hash 14238  df-shft 14959  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-limsup 15360  df-clim 15377  df-rlim 15378  df-sum 15578  df-ef 15957  df-sin 15959  df-cos 15960  df-pi 15962  df-struct 17026  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-ress 17120  df-plusg 17153  df-mulr 17154  df-starv 17155  df-sca 17156  df-vsca 17157  df-ip 17158  df-tset 17159  df-ple 17160  df-ds 17162  df-unif 17163  df-hom 17164  df-cco 17165  df-rest 17311  df-topn 17312  df-0g 17330  df-gsum 17331  df-topgen 17332  df-pt 17333  df-prds 17336  df-xrs 17391  df-qtop 17396  df-imas 17397  df-xps 17399  df-mre 17473  df-mrc 17474  df-acs 17476  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-submnd 18609  df-mulg 18880  df-cntz 19104  df-cmn 19571  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-met 20806  df-bl 20807  df-mopn 20808  df-fbas 20809  df-fg 20810  df-cnfld 20813  df-top 22259  df-topon 22276  df-topsp 22298  df-bases 22312  df-cld 22386  df-ntr 22387  df-cls 22388  df-nei 22465  df-lp 22503  df-perf 22504  df-cn 22594  df-cnp 22595  df-haus 22682  df-tx 22929  df-hmeo 23122  df-fil 23213  df-fm 23305  df-flim 23306  df-flf 23307  df-xms 23689  df-ms 23690  df-tms 23691  df-cncf 24257  df-limc 25246  df-dv 25247
This theorem is referenced by:  sincosq1sgn  25871  sinq12gt0  25880
  Copyright terms: Public domain W3C validator