Theorem legtrid 29054

Description: Trichotomy law for the less-than relationship. Proposition 5.10 of [Schwabhauser] p. 42. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
legval.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
legval.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
legval.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
legval.l	⊢ ≤ = (≤G‘𝐺)
legval.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
legid.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
legid.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
legtrd.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
legtrd.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)

Assertion

Ref	Expression
legtrid	⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) ≤ (𝐶 − 𝐷) ∨ (𝐶 − 𝐷) ≤ (𝐴 − 𝐵)))

Proof of Theorem legtrid

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		legval.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		legval.d	. . . . 5 ⊢ − = (dist‘𝐺)
3		legval.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4		legval.l	. . . . 5 ⊢ ≤ = (≤G‘𝐺)
5		legval.g	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
6	5	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) = 1) → 𝐺 ∈ TarskiG)
7		legid.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
8	7	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) = 1) → 𝐴 ∈ 𝑃)
9		legid.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
10	9	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) = 1) → 𝐵 ∈ 𝑃)
11	1, 2, 3, 4, 6, 8, 10	legid 29050	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) = 1) → (𝐴 − 𝐵) ≤ (𝐴 − 𝐵))
12		legtrd.c	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
13	12	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) = 1) → 𝐶 ∈ 𝑃)
14		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) = 1) → (♯‘𝑃) = 1)
15		legtrd.d	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
16	15	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) = 1) → 𝐷 ∈ 𝑃)
17	1, 2, 3, 6, 8, 10, 13, 14, 16	tgldim0cgr 28968	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) = 1) → (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝐷))
18	11, 17	breqtrd 5131	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) = 1) → (𝐴 − 𝐵) ≤ (𝐶 − 𝐷))
19	18	orcd 887	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) = 1) → ((𝐴 − 𝐵) ≤ (𝐶 − 𝐷) ∨ (𝐶 − 𝐷) ≤ (𝐴 − 𝐵)))
20	5	ad3antrrr 743	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑃 ∧ (𝐴 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∧ (𝐴 − 𝑦) = (𝐶 − 𝐷)))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
21		simplr 781	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥)) → 𝑥 ∈ 𝑃)
22	21	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑃 ∧ (𝐴 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∧ (𝐴 − 𝑦) = (𝐶 − 𝐷)))) → 𝑥 ∈ 𝑃)
23	7	ad3antrrr 743	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑃 ∧ (𝐴 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∧ (𝐴 − 𝑦) = (𝐶 − 𝐷)))) → 𝐴 ∈ 𝑃)
24	9	ad3antrrr 743	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑃 ∧ (𝐴 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∧ (𝐴 − 𝑦) = (𝐶 − 𝐷)))) → 𝐵 ∈ 𝑃)
25		simprl 783	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑃 ∧ (𝐴 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∧ (𝐴 − 𝑦) = (𝐶 − 𝐷)))) → 𝑦 ∈ 𝑃)
26		simplrr 790	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑃 ∧ (𝐴 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∧ (𝐴 − 𝑦) = (𝐶 − 𝐷)))) → 𝐴 ≠ 𝑥)
27	26	necomd 3011	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑃 ∧ (𝐴 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∧ (𝐴 − 𝑦) = (𝐶 − 𝐷)))) → 𝑥 ≠ 𝐴)
28		simplrl 789	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑃 ∧ (𝐴 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∧ (𝐴 − 𝑦) = (𝐶 − 𝐷)))) → 𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥))
29	1, 2, 3, 20, 24, 23, 22, 28	tgbtwncom 28951	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑃 ∧ (𝐴 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∧ (𝐴 − 𝑦) = (𝐶 − 𝐷)))) → 𝐴 ∈ (𝑥𝐼𝐵))
30		simprrl 793	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑃 ∧ (𝐴 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∧ (𝐴 − 𝑦) = (𝐶 − 𝐷)))) → 𝐴 ∈ (𝑥𝐼𝑦))
31	1, 3, 20, 22, 23, 24, 25, 27, 29, 30	tgbtwnconn2 29039	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑃 ∧ (𝐴 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∧ (𝐴 − 𝑦) = (𝐶 − 𝐷)))) → (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵)))
32		simprrr 794	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑃 ∧ (𝐴 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∧ (𝐴 − 𝑦) = (𝐶 − 𝐷)))) → (𝐴 − 𝑦) = (𝐶 − 𝐷))
33	31, 32	jca 521	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑃 ∧ (𝐴 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∧ (𝐴 − 𝑦) = (𝐶 − 𝐷)))) → ((𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) ∧ (𝐴 − 𝑦) = (𝐶 − 𝐷)))
34	5	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
35	7	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥)) → 𝐴 ∈ 𝑃)
36	12	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥)) → 𝐶 ∈ 𝑃)
37	15	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥)) → 𝐷 ∈ 𝑃)
38	1, 2, 3, 34, 21, 35, 36, 37	axtgsegcon 28926	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥)) → ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝐴 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∧ (𝐴 − 𝑦) = (𝐶 − 𝐷)))
39	33, 38	reximddv 3179	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥)) → ∃𝑦 ∈ 𝑃 ((𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) ∧ (𝐴 − 𝑦) = (𝐶 − 𝐷)))
40	39	adantllr 732	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥)) → ∃𝑦 ∈ 𝑃 ((𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) ∧ (𝐴 − 𝑦) = (𝐶 − 𝐷)))
41	5	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
42	9	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → 𝐵 ∈ 𝑃)
43	7	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → 𝐴 ∈ 𝑃)
44		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → 2 ≤ (♯‘𝑃))
45	1, 2, 3, 41, 42, 43, 44	tgbtwndiff 28969	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ∃𝑥 ∈ 𝑃 (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥))
46	40, 45	r19.29a 3171	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ∃𝑦 ∈ 𝑃 ((𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) ∧ (𝐴 − 𝑦) = (𝐶 − 𝐷)))
47		andir 1026	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) ∧ (𝐴 − 𝑦) = (𝐶 − 𝐷)) ↔ ((𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑦) ∧ (𝐴 − 𝑦) = (𝐶 − 𝐷)) ∨ (𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ (𝐴 − 𝑦) = (𝐶 − 𝐷))))
48		eqcom 2768	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 − 𝑦) = (𝐶 − 𝐷) ↔ (𝐶 − 𝐷) = (𝐴 − 𝑦))
49	48	anbi2i 635	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ (𝐴 − 𝑦) = (𝐶 − 𝐷)) ↔ (𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ (𝐶 − 𝐷) = (𝐴 − 𝑦)))
50	49	orbi2i 926	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑦) ∧ (𝐴 − 𝑦) = (𝐶 − 𝐷)) ∨ (𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ (𝐴 − 𝑦) = (𝐶 − 𝐷))) ↔ ((𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑦) ∧ (𝐴 − 𝑦) = (𝐶 − 𝐷)) ∨ (𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ (𝐶 − 𝐷) = (𝐴 − 𝑦))))
51	47, 50	bitri 278	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) ∧ (𝐴 − 𝑦) = (𝐶 − 𝐷)) ↔ ((𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑦) ∧ (𝐴 − 𝑦) = (𝐶 − 𝐷)) ∨ (𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ (𝐶 − 𝐷) = (𝐴 − 𝑦))))
52	51	rexbii 3110	. . . . 5 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝑃 ((𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) ∧ (𝐴 − 𝑦) = (𝐶 − 𝐷)) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑃 ((𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑦) ∧ (𝐴 − 𝑦) = (𝐶 − 𝐷)) ∨ (𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ (𝐶 − 𝐷) = (𝐴 − 𝑦))))
53		r19.43 3131	. . . . 5 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝑃 ((𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑦) ∧ (𝐴 − 𝑦) = (𝐶 − 𝐷)) ∨ (𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ (𝐶 − 𝐷) = (𝐴 − 𝑦))) ↔ (∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑦) ∧ (𝐴 − 𝑦) = (𝐶 − 𝐷)) ∨ ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ (𝐶 − 𝐷) = (𝐴 − 𝑦))))
54	52, 53	bitri 278	. . . 4 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝑃 ((𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) ∧ (𝐴 − 𝑦) = (𝐶 − 𝐷)) ↔ (∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑦) ∧ (𝐴 − 𝑦) = (𝐶 − 𝐷)) ∨ ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ (𝐶 − 𝐷) = (𝐴 − 𝑦))))
55	46, 54	sylib 221	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑦) ∧ (𝐴 − 𝑦) = (𝐶 − 𝐷)) ∨ ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ (𝐶 − 𝐷) = (𝐴 − 𝑦))))
56	1, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 12, 15	legov2 29049	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) ≤ (𝐶 − 𝐷) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑦) ∧ (𝐴 − 𝑦) = (𝐶 − 𝐷))))
57	1, 2, 3, 4, 5, 12, 15, 7, 9	legov 29048	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 − 𝐷) ≤ (𝐴 − 𝐵) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ (𝐶 − 𝐷) = (𝐴 − 𝑦))))
58	56, 57	orbi12d 932	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 𝐵) ≤ (𝐶 − 𝐷) ∨ (𝐶 − 𝐷) ≤ (𝐴 − 𝐵)) ↔ (∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑦) ∧ (𝐴 − 𝑦) = (𝐶 − 𝐷)) ∨ ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ (𝐶 − 𝐷) = (𝐴 − 𝑦)))))
59	58	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (((𝐴 − 𝐵) ≤ (𝐶 − 𝐷) ∨ (𝐶 − 𝐷) ≤ (𝐴 − 𝐵)) ↔ (∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑦) ∧ (𝐴 − 𝑦) = (𝐶 − 𝐷)) ∨ ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ (𝐶 − 𝐷) = (𝐴 − 𝑦)))))
60	55, 59	mpbird 260	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ((𝐴 − 𝐵) ≤ (𝐶 − 𝐷) ∨ (𝐶 − 𝐷) ≤ (𝐴 − 𝐵)))
61	1, 7	tgldimor 28965	. 2 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝑃) = 1 ∨ 2 ≤ (♯‘𝑃)))
62	19, 60, 61	mpjaodan 973	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) ≤ (𝐶 − 𝐷) ∨ (𝐶 − 𝐷) ≤ (𝐴 − 𝐵)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956  ∃wrex 3087   class class class wbr 5103  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  1c1 11201   ≤ cle 11344  2c2 12397  ♯chash 14474  Basecbs 17387  distcds 17437  TarskiGcstrkg 28889  Itvcitv 28895  ≤Gcleg 29045

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-oadd 8480  df-er 8717  df-pm 8850  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-dju 9982  df-card 10020  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-n0 12607  df-xnn0 12680  df-z 12694  df-uz 12966  df-fz 13640  df-fzo 13789  df-hash 14475  df-word 14659  df-concat 14716  df-s1 14743  df-s2 14999  df-s3 15000  df-trkgc 28910  df-trkgb 28911  df-trkgcb 28912  df-trkg 28915  df-cgrg 28974  df-leg 29046

This theorem is used by:  legso  29062  krippen  29163  midex  29213  opphllem5  29227  opphllem6  29228