Theorem legtrid 29063

Description: Trichotomy law for the less-than relationship. Proposition 5.10 of [Schwabhauser] p. 42. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
legval.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
legval.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
legval.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
legval.l	⊢ ≤ = (≤G‘𝐺)
legval.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
legid.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
legid.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
legtrd.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
legtrd.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)

Assertion

Ref	Expression
legtrid	⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) ≤ (𝐶 − 𝐷) ∨ (𝐶 − 𝐷) ≤ (𝐴 − 𝐵)))

Proof of Theorem legtrid

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		legval.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		legval.d	. . . . 5 ⊢ − = (dist‘𝐺)
3		legval.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4		legval.l	. . . . 5 ⊢ ≤ = (≤G‘𝐺)
5		legval.g	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
6	5	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) = 1) → 𝐺 ∈ TarskiG)
7		legid.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
8	7	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) = 1) → 𝐴 ∈ 𝑃)
9		legid.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
10	9	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) = 1) → 𝐵 ∈ 𝑃)
11	1, 2, 3, 4, 6, 8, 10	legid 29059	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) = 1) → (𝐴 − 𝐵) ≤ (𝐴 − 𝐵))
12		legtrd.c	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
13	12	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) = 1) → 𝐶 ∈ 𝑃)
14		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) = 1) → (♯‘𝑃) = 1)
15		legtrd.d	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
16	15	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) = 1) → 𝐷 ∈ 𝑃)
17	1, 2, 3, 6, 8, 10, 13, 14, 16	tgldim0cgr 28977	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) = 1) → (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝐷))
18	11, 17	breqtrd 5130	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) = 1) → (𝐴 − 𝐵) ≤ (𝐶 − 𝐷))
19	18	orcd 887	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) = 1) → ((𝐴 − 𝐵) ≤ (𝐶 − 𝐷) ∨ (𝐶 − 𝐷) ≤ (𝐴 − 𝐵)))
20	5	ad3antrrr 743	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑃 ∧ (𝐴 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∧ (𝐴 − 𝑦) = (𝐶 − 𝐷)))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
21		simplr 781	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥)) → 𝑥 ∈ 𝑃)
22	21	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑃 ∧ (𝐴 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∧ (𝐴 − 𝑦) = (𝐶 − 𝐷)))) → 𝑥 ∈ 𝑃)
23	7	ad3antrrr 743	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑃 ∧ (𝐴 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∧ (𝐴 − 𝑦) = (𝐶 − 𝐷)))) → 𝐴 ∈ 𝑃)
24	9	ad3antrrr 743	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑃 ∧ (𝐴 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∧ (𝐴 − 𝑦) = (𝐶 − 𝐷)))) → 𝐵 ∈ 𝑃)
25		simprl 783	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑃 ∧ (𝐴 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∧ (𝐴 − 𝑦) = (𝐶 − 𝐷)))) → 𝑦 ∈ 𝑃)
26		simplrr 790	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑃 ∧ (𝐴 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∧ (𝐴 − 𝑦) = (𝐶 − 𝐷)))) → 𝐴 ≠ 𝑥)
27	26	necomd 3010	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑃 ∧ (𝐴 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∧ (𝐴 − 𝑦) = (𝐶 − 𝐷)))) → 𝑥 ≠ 𝐴)
28		simplrl 789	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑃 ∧ (𝐴 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∧ (𝐴 − 𝑦) = (𝐶 − 𝐷)))) → 𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥))
29	1, 2, 3, 20, 24, 23, 22, 28	tgbtwncom 28960	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑃 ∧ (𝐴 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∧ (𝐴 − 𝑦) = (𝐶 − 𝐷)))) → 𝐴 ∈ (𝑥𝐼𝐵))
30		simprrl 793	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑃 ∧ (𝐴 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∧ (𝐴 − 𝑦) = (𝐶 − 𝐷)))) → 𝐴 ∈ (𝑥𝐼𝑦))
31	1, 3, 20, 22, 23, 24, 25, 27, 29, 30	tgbtwnconn2 29048	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑃 ∧ (𝐴 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∧ (𝐴 − 𝑦) = (𝐶 − 𝐷)))) → (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵)))
32		simprrr 794	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑃 ∧ (𝐴 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∧ (𝐴 − 𝑦) = (𝐶 − 𝐷)))) → (𝐴 − 𝑦) = (𝐶 − 𝐷))
33	31, 32	jca 521	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑃 ∧ (𝐴 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∧ (𝐴 − 𝑦) = (𝐶 − 𝐷)))) → ((𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) ∧ (𝐴 − 𝑦) = (𝐶 − 𝐷)))
34	5	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
35	7	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥)) → 𝐴 ∈ 𝑃)
36	12	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥)) → 𝐶 ∈ 𝑃)
37	15	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥)) → 𝐷 ∈ 𝑃)
38	1, 2, 3, 34, 21, 35, 36, 37	axtgsegcon 28935	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥)) → ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝐴 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∧ (𝐴 − 𝑦) = (𝐶 − 𝐷)))
39	33, 38	reximddv 3178	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥)) → ∃𝑦 ∈ 𝑃 ((𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) ∧ (𝐴 − 𝑦) = (𝐶 − 𝐷)))
40	39	adantllr 732	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥)) → ∃𝑦 ∈ 𝑃 ((𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) ∧ (𝐴 − 𝑦) = (𝐶 − 𝐷)))
41	5	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
42	9	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → 𝐵 ∈ 𝑃)
43	7	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → 𝐴 ∈ 𝑃)
44		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → 2 ≤ (♯‘𝑃))
45	1, 2, 3, 41, 42, 43, 44	tgbtwndiff 28978	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ∃𝑥 ∈ 𝑃 (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥))
46	40, 45	r19.29a 3170	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ∃𝑦 ∈ 𝑃 ((𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) ∧ (𝐴 − 𝑦) = (𝐶 − 𝐷)))
47		andir 1026	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) ∧ (𝐴 − 𝑦) = (𝐶 − 𝐷)) ↔ ((𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑦) ∧ (𝐴 − 𝑦) = (𝐶 − 𝐷)) ∨ (𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ (𝐴 − 𝑦) = (𝐶 − 𝐷))))
48		eqcom 2767	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 − 𝑦) = (𝐶 − 𝐷) ↔ (𝐶 − 𝐷) = (𝐴 − 𝑦))
49	48	anbi2i 635	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ (𝐴 − 𝑦) = (𝐶 − 𝐷)) ↔ (𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ (𝐶 − 𝐷) = (𝐴 − 𝑦)))
50	49	orbi2i 926	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑦) ∧ (𝐴 − 𝑦) = (𝐶 − 𝐷)) ∨ (𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ (𝐴 − 𝑦) = (𝐶 − 𝐷))) ↔ ((𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑦) ∧ (𝐴 − 𝑦) = (𝐶 − 𝐷)) ∨ (𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ (𝐶 − 𝐷) = (𝐴 − 𝑦))))
51	47, 50	bitri 278	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) ∧ (𝐴 − 𝑦) = (𝐶 − 𝐷)) ↔ ((𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑦) ∧ (𝐴 − 𝑦) = (𝐶 − 𝐷)) ∨ (𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ (𝐶 − 𝐷) = (𝐴 − 𝑦))))
52	51	rexbii 3109	. . . . 5 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝑃 ((𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) ∧ (𝐴 − 𝑦) = (𝐶 − 𝐷)) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑃 ((𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑦) ∧ (𝐴 − 𝑦) = (𝐶 − 𝐷)) ∨ (𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ (𝐶 − 𝐷) = (𝐴 − 𝑦))))
53		r19.43 3130	. . . . 5 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝑃 ((𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑦) ∧ (𝐴 − 𝑦) = (𝐶 − 𝐷)) ∨ (𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ (𝐶 − 𝐷) = (𝐴 − 𝑦))) ↔ (∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑦) ∧ (𝐴 − 𝑦) = (𝐶 − 𝐷)) ∨ ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ (𝐶 − 𝐷) = (𝐴 − 𝑦))))
54	52, 53	bitri 278	. . . 4 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝑃 ((𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) ∧ (𝐴 − 𝑦) = (𝐶 − 𝐷)) ↔ (∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑦) ∧ (𝐴 − 𝑦) = (𝐶 − 𝐷)) ∨ ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ (𝐶 − 𝐷) = (𝐴 − 𝑦))))
55	46, 54	sylib 221	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑦) ∧ (𝐴 − 𝑦) = (𝐶 − 𝐷)) ∨ ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ (𝐶 − 𝐷) = (𝐴 − 𝑦))))
56	1, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 12, 15	legov2 29058	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) ≤ (𝐶 − 𝐷) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑦) ∧ (𝐴 − 𝑦) = (𝐶 − 𝐷))))
57	1, 2, 3, 4, 5, 12, 15, 7, 9	legov 29057	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 − 𝐷) ≤ (𝐴 − 𝐵) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ (𝐶 − 𝐷) = (𝐴 − 𝑦))))
58	56, 57	orbi12d 932	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 𝐵) ≤ (𝐶 − 𝐷) ∨ (𝐶 − 𝐷) ≤ (𝐴 − 𝐵)) ↔ (∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑦) ∧ (𝐴 − 𝑦) = (𝐶 − 𝐷)) ∨ ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ (𝐶 − 𝐷) = (𝐴 − 𝑦)))))
59	58	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (((𝐴 − 𝐵) ≤ (𝐶 − 𝐷) ∨ (𝐶 − 𝐷) ≤ (𝐴 − 𝐵)) ↔ (∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑦) ∧ (𝐴 − 𝑦) = (𝐶 − 𝐷)) ∨ ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ (𝐶 − 𝐷) = (𝐴 − 𝑦)))))
60	55, 59	mpbird 260	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ((𝐴 − 𝐵) ≤ (𝐶 − 𝐷) ∨ (𝐶 − 𝐷) ≤ (𝐴 − 𝐵)))
61	1, 7	tgldimor 28974	. 2 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝑃) = 1 ∨ 2 ≤ (♯‘𝑃)))
62	19, 60, 61	mpjaodan 973	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) ≤ (𝐶 − 𝐷) ∨ (𝐶 − 𝐷) ≤ (𝐴 − 𝐵)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  ∃wrex 3086   class class class wbr 5102  ‘cfv 6543  (class class class)co 7424  1c1 11208   ≤ cle 11351  2c2 12404  ♯chash 14481  Basecbs 17396  distcds 17446  TarskiGcstrkg 28898  Itvcitv 28904  ≤Gcleg 29054

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-cnex 11263  ax-resscn 11264  ax-1cn 11265  ax-icn 11266  ax-addcl 11267  ax-addrcl 11268  ax-mulcl 11269  ax-mulrcl 11270  ax-mulcom 11271  ax-addass 11272  ax-mulass 11273  ax-distr 11274  ax-i2m1 11275  ax-1ne0 11276  ax-1rid 11277  ax-rnegex 11278  ax-rrecex 11279  ax-cnre 11280  ax-pre-lttri 11281  ax-pre-lttrn 11282  ax-pre-ltadd 11283  ax-pre-mulgt0 11284

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7882  df-1st 8005  df-2nd 8006  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8387  df-rdg 8426  df-1o 8484  df-oadd 8488  df-er 8725  df-pm 8858  df-en 8982  df-dom 8983  df-sdom 8984  df-fin 8985  df-dju 9989  df-card 10027  df-pnf 11352  df-mnf 11353  df-xr 11354  df-ltxr 11355  df-le 11356  df-sub 11550  df-neg 11551  df-nn 12343  df-2 12412  df-3 12413  df-n0 12614  df-xnn0 12687  df-z 12701  df-uz 12973  df-fz 13647  df-fzo 13796  df-hash 14482  df-word 14666  df-concat 14723  df-s1 14750  df-s2 15007  df-s3 15008  df-trkgc 28919  df-trkgb 28920  df-trkgcb 28921  df-trkg 28924  df-cgrg 28983  df-leg 29055

This theorem is used by:  legso  29071  krippen  29172  midex  29222  opphllem5  29236  opphllem6  29237