MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  legtrid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem legtrid 28613
Description: Trichotomy law for the less-than relationship. Proposition 5.10 of [Schwabhauser] p. 42. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
legval.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
legval.d = (dist‘𝐺)
legval.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
legval.l = (≤G‘𝐺)
legval.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
legid.a (𝜑𝐴𝑃)
legid.b (𝜑𝐵𝑃)
legtrd.c (𝜑𝐶𝑃)
legtrd.d (𝜑𝐷𝑃)
Assertion
Ref Expression
legtrid (𝜑 → ((𝐴 𝐵) (𝐶 𝐷) ∨ (𝐶 𝐷) (𝐴 𝐵)))

Proof of Theorem legtrid
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 legval.p . . . . 5 𝑃 = (Base‘𝐺)
2 legval.d . . . . 5 = (dist‘𝐺)
3 legval.i . . . . 5 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4 legval.l . . . . 5 = (≤G‘𝐺)
5 legval.g . . . . . 6 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
65adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) = 1) → 𝐺 ∈ TarskiG)
7 legid.a . . . . . 6 (𝜑𝐴𝑃)
87adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) = 1) → 𝐴𝑃)
9 legid.b . . . . . 6 (𝜑𝐵𝑃)
109adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) = 1) → 𝐵𝑃)
111, 2, 3, 4, 6, 8, 10legid 28609 . . . 4 ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) = 1) → (𝐴 𝐵) (𝐴 𝐵))
12 legtrd.c . . . . . 6 (𝜑𝐶𝑃)
1312adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) = 1) → 𝐶𝑃)
14 simpr 484 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) = 1) → (♯‘𝑃) = 1)
15 legtrd.d . . . . . 6 (𝜑𝐷𝑃)
1615adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) = 1) → 𝐷𝑃)
171, 2, 3, 6, 8, 10, 13, 14, 16tgldim0cgr 28527 . . . 4 ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) = 1) → (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝐷))
1811, 17breqtrd 5173 . . 3 ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) = 1) → (𝐴 𝐵) (𝐶 𝐷))
1918orcd 873 . 2 ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) = 1) → ((𝐴 𝐵) (𝐶 𝐷) ∨ (𝐶 𝐷) (𝐴 𝐵)))
205ad3antrrr 730 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ 𝐴𝑥)) ∧ (𝑦𝑃 ∧ (𝐴 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∧ (𝐴 𝑦) = (𝐶 𝐷)))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
21 simplr 769 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ 𝐴𝑥)) → 𝑥𝑃)
2221adantr 480 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ 𝐴𝑥)) ∧ (𝑦𝑃 ∧ (𝐴 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∧ (𝐴 𝑦) = (𝐶 𝐷)))) → 𝑥𝑃)
237ad3antrrr 730 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ 𝐴𝑥)) ∧ (𝑦𝑃 ∧ (𝐴 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∧ (𝐴 𝑦) = (𝐶 𝐷)))) → 𝐴𝑃)
249ad3antrrr 730 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ 𝐴𝑥)) ∧ (𝑦𝑃 ∧ (𝐴 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∧ (𝐴 𝑦) = (𝐶 𝐷)))) → 𝐵𝑃)
25 simprl 771 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ 𝐴𝑥)) ∧ (𝑦𝑃 ∧ (𝐴 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∧ (𝐴 𝑦) = (𝐶 𝐷)))) → 𝑦𝑃)
26 simplrr 778 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ 𝐴𝑥)) ∧ (𝑦𝑃 ∧ (𝐴 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∧ (𝐴 𝑦) = (𝐶 𝐷)))) → 𝐴𝑥)
2726necomd 2993 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ 𝐴𝑥)) ∧ (𝑦𝑃 ∧ (𝐴 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∧ (𝐴 𝑦) = (𝐶 𝐷)))) → 𝑥𝐴)
28 simplrl 777 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ 𝐴𝑥)) ∧ (𝑦𝑃 ∧ (𝐴 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∧ (𝐴 𝑦) = (𝐶 𝐷)))) → 𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥))
291, 2, 3, 20, 24, 23, 22, 28tgbtwncom 28510 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ 𝐴𝑥)) ∧ (𝑦𝑃 ∧ (𝐴 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∧ (𝐴 𝑦) = (𝐶 𝐷)))) → 𝐴 ∈ (𝑥𝐼𝐵))
30 simprrl 781 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ 𝐴𝑥)) ∧ (𝑦𝑃 ∧ (𝐴 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∧ (𝐴 𝑦) = (𝐶 𝐷)))) → 𝐴 ∈ (𝑥𝐼𝑦))
311, 3, 20, 22, 23, 24, 25, 27, 29, 30tgbtwnconn2 28598 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ 𝐴𝑥)) ∧ (𝑦𝑃 ∧ (𝐴 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∧ (𝐴 𝑦) = (𝐶 𝐷)))) → (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵)))
32 simprrr 782 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ 𝐴𝑥)) ∧ (𝑦𝑃 ∧ (𝐴 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∧ (𝐴 𝑦) = (𝐶 𝐷)))) → (𝐴 𝑦) = (𝐶 𝐷))
3331, 32jca 511 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ 𝐴𝑥)) ∧ (𝑦𝑃 ∧ (𝐴 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∧ (𝐴 𝑦) = (𝐶 𝐷)))) → ((𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) ∧ (𝐴 𝑦) = (𝐶 𝐷)))
345ad2antrr 726 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ 𝐴𝑥)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
357ad2antrr 726 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ 𝐴𝑥)) → 𝐴𝑃)
3612ad2antrr 726 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ 𝐴𝑥)) → 𝐶𝑃)
3715ad2antrr 726 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ 𝐴𝑥)) → 𝐷𝑃)
381, 2, 3, 34, 21, 35, 36, 37axtgsegcon 28486 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ 𝐴𝑥)) → ∃𝑦𝑃 (𝐴 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∧ (𝐴 𝑦) = (𝐶 𝐷)))
3933, 38reximddv 3168 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ 𝐴𝑥)) → ∃𝑦𝑃 ((𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) ∧ (𝐴 𝑦) = (𝐶 𝐷)))
4039adantllr 719 . . . . 5 ((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ 𝐴𝑥)) → ∃𝑦𝑃 ((𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) ∧ (𝐴 𝑦) = (𝐶 𝐷)))
415adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
429adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → 𝐵𝑃)
437adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → 𝐴𝑃)
44 simpr 484 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → 2 ≤ (♯‘𝑃))
451, 2, 3, 41, 42, 43, 44tgbtwndiff 28528 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ∃𝑥𝑃 (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ 𝐴𝑥))
4640, 45r19.29a 3159 . . . 4 ((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ∃𝑦𝑃 ((𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) ∧ (𝐴 𝑦) = (𝐶 𝐷)))
47 andir 1010 . . . . . . 7 (((𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) ∧ (𝐴 𝑦) = (𝐶 𝐷)) ↔ ((𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑦) ∧ (𝐴 𝑦) = (𝐶 𝐷)) ∨ (𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ (𝐴 𝑦) = (𝐶 𝐷))))
48 eqcom 2741 . . . . . . . . 9 ((𝐴 𝑦) = (𝐶 𝐷) ↔ (𝐶 𝐷) = (𝐴 𝑦))
4948anbi2i 623 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ (𝐴 𝑦) = (𝐶 𝐷)) ↔ (𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ (𝐶 𝐷) = (𝐴 𝑦)))
5049orbi2i 912 . . . . . . 7 (((𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑦) ∧ (𝐴 𝑦) = (𝐶 𝐷)) ∨ (𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ (𝐴 𝑦) = (𝐶 𝐷))) ↔ ((𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑦) ∧ (𝐴 𝑦) = (𝐶 𝐷)) ∨ (𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ (𝐶 𝐷) = (𝐴 𝑦))))
5147, 50bitri 275 . . . . . 6 (((𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) ∧ (𝐴 𝑦) = (𝐶 𝐷)) ↔ ((𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑦) ∧ (𝐴 𝑦) = (𝐶 𝐷)) ∨ (𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ (𝐶 𝐷) = (𝐴 𝑦))))
5251rexbii 3091 . . . . 5 (∃𝑦𝑃 ((𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) ∧ (𝐴 𝑦) = (𝐶 𝐷)) ↔ ∃𝑦𝑃 ((𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑦) ∧ (𝐴 𝑦) = (𝐶 𝐷)) ∨ (𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ (𝐶 𝐷) = (𝐴 𝑦))))
53 r19.43 3119 . . . . 5 (∃𝑦𝑃 ((𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑦) ∧ (𝐴 𝑦) = (𝐶 𝐷)) ∨ (𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ (𝐶 𝐷) = (𝐴 𝑦))) ↔ (∃𝑦𝑃 (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑦) ∧ (𝐴 𝑦) = (𝐶 𝐷)) ∨ ∃𝑦𝑃 (𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ (𝐶 𝐷) = (𝐴 𝑦))))
5452, 53bitri 275 . . . 4 (∃𝑦𝑃 ((𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) ∧ (𝐴 𝑦) = (𝐶 𝐷)) ↔ (∃𝑦𝑃 (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑦) ∧ (𝐴 𝑦) = (𝐶 𝐷)) ∨ ∃𝑦𝑃 (𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ (𝐶 𝐷) = (𝐴 𝑦))))
5546, 54sylib 218 . . 3 ((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (∃𝑦𝑃 (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑦) ∧ (𝐴 𝑦) = (𝐶 𝐷)) ∨ ∃𝑦𝑃 (𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ (𝐶 𝐷) = (𝐴 𝑦))))
561, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 12, 15legov2 28608 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴 𝐵) (𝐶 𝐷) ↔ ∃𝑦𝑃 (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑦) ∧ (𝐴 𝑦) = (𝐶 𝐷))))
571, 2, 3, 4, 5, 12, 15, 7, 9legov 28607 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐶 𝐷) (𝐴 𝐵) ↔ ∃𝑦𝑃 (𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ (𝐶 𝐷) = (𝐴 𝑦))))
5856, 57orbi12d 918 . . . 4 (𝜑 → (((𝐴 𝐵) (𝐶 𝐷) ∨ (𝐶 𝐷) (𝐴 𝐵)) ↔ (∃𝑦𝑃 (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑦) ∧ (𝐴 𝑦) = (𝐶 𝐷)) ∨ ∃𝑦𝑃 (𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ (𝐶 𝐷) = (𝐴 𝑦)))))
5958adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (((𝐴 𝐵) (𝐶 𝐷) ∨ (𝐶 𝐷) (𝐴 𝐵)) ↔ (∃𝑦𝑃 (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑦) ∧ (𝐴 𝑦) = (𝐶 𝐷)) ∨ ∃𝑦𝑃 (𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ (𝐶 𝐷) = (𝐴 𝑦)))))
6055, 59mpbird 257 . 2 ((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ((𝐴 𝐵) (𝐶 𝐷) ∨ (𝐶 𝐷) (𝐴 𝐵)))
611, 7tgldimor 28524 . 2 (𝜑 → ((♯‘𝑃) = 1 ∨ 2 ≤ (♯‘𝑃)))
6219, 60, 61mpjaodan 960 1 (𝜑 → ((𝐴 𝐵) (𝐶 𝐷) ∨ (𝐶 𝐷) (𝐴 𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  wo 847   = wceq 1536  wcel 2105  wne 2937  wrex 3067   class class class wbr 5147  cfv 6562  (class class class)co 7430  1c1 11153  cle 11293  2c2 12318  chash 14365  Basecbs 17244  distcds 17306  TarskiGcstrkg 28449  Itvcitv 28455  ≤Gcleg 28604
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-oadd 8508  df-er 8743  df-pm 8867  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-dju 9938  df-card 9976  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-n0 12524  df-xnn0 12597  df-z 12611  df-uz 12876  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-hash 14366  df-word 14549  df-concat 14605  df-s1 14630  df-s2 14883  df-s3 14884  df-trkgc 28470  df-trkgb 28471  df-trkgcb 28472  df-trkg 28475  df-cgrg 28533  df-leg 28605
This theorem is referenced by:  legso  28621  krippen  28713  midex  28759  opphllem5  28773  opphllem6  28774
  Copyright terms: Public domain W3C validator