Theorem legtrid 29111

Description: Trichotomy law for the less-than relationship. Proposition 5.10 of [Schwabhauser] p. 42. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
legval.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
legval.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
legval.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
legval.l	⊢ ≤ = (≤G‘𝐺)
legval.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
legid.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
legid.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
legtrd.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
legtrd.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)

Assertion

Ref	Expression
legtrid	⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) ≤ (𝐶 − 𝐷) ∨ (𝐶 − 𝐷) ≤ (𝐴 − 𝐵)))

Proof of Theorem legtrid

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		legval.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		legval.d	. . . . 5 ⊢ − = (dist‘𝐺)
3		legval.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4		legval.l	. . . . 5 ⊢ ≤ = (≤G‘𝐺)
5		legval.g	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
6	5	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) = 1) → 𝐺 ∈ TarskiG)
7		legid.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
8	7	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) = 1) → 𝐴 ∈ 𝑃)
9		legid.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
10	9	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) = 1) → 𝐵 ∈ 𝑃)
11	1, 2, 3, 4, 6, 8, 10	legid 29107	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) = 1) → (𝐴 − 𝐵) ≤ (𝐴 − 𝐵))
12		legtrd.c	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
13	12	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) = 1) → 𝐶 ∈ 𝑃)
14		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) = 1) → (♯‘𝑃) = 1)
15		legtrd.d	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
16	15	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) = 1) → 𝐷 ∈ 𝑃)
17	1, 2, 3, 6, 8, 10, 13, 14, 16	tgldim0cgr 29025	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) = 1) → (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝐷))
18	11, 17	breqtrd 5137	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) = 1) → (𝐴 − 𝐵) ≤ (𝐶 − 𝐷))
19	18	orcd 887	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) = 1) → ((𝐴 − 𝐵) ≤ (𝐶 − 𝐷) ∨ (𝐶 − 𝐷) ≤ (𝐴 − 𝐵)))
20	5	ad3antrrr 743	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑃 ∧ (𝐴 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∧ (𝐴 − 𝑦) = (𝐶 − 𝐷)))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
21		simplr 781	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥)) → 𝑥 ∈ 𝑃)
22	21	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑃 ∧ (𝐴 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∧ (𝐴 − 𝑦) = (𝐶 − 𝐷)))) → 𝑥 ∈ 𝑃)
23	7	ad3antrrr 743	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑃 ∧ (𝐴 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∧ (𝐴 − 𝑦) = (𝐶 − 𝐷)))) → 𝐴 ∈ 𝑃)
24	9	ad3antrrr 743	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑃 ∧ (𝐴 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∧ (𝐴 − 𝑦) = (𝐶 − 𝐷)))) → 𝐵 ∈ 𝑃)
25		simprl 783	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑃 ∧ (𝐴 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∧ (𝐴 − 𝑦) = (𝐶 − 𝐷)))) → 𝑦 ∈ 𝑃)
26		simplrr 790	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑃 ∧ (𝐴 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∧ (𝐴 − 𝑦) = (𝐶 − 𝐷)))) → 𝐴 ≠ 𝑥)
27	26	necomd 3014	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑃 ∧ (𝐴 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∧ (𝐴 − 𝑦) = (𝐶 − 𝐷)))) → 𝑥 ≠ 𝐴)
28		simplrl 789	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑃 ∧ (𝐴 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∧ (𝐴 − 𝑦) = (𝐶 − 𝐷)))) → 𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥))
29	1, 2, 3, 20, 24, 23, 22, 28	tgbtwncom 29008	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑃 ∧ (𝐴 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∧ (𝐴 − 𝑦) = (𝐶 − 𝐷)))) → 𝐴 ∈ (𝑥𝐼𝐵))
30		simprrl 793	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑃 ∧ (𝐴 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∧ (𝐴 − 𝑦) = (𝐶 − 𝐷)))) → 𝐴 ∈ (𝑥𝐼𝑦))
31	1, 3, 20, 22, 23, 24, 25, 27, 29, 30	tgbtwnconn2 29096	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑃 ∧ (𝐴 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∧ (𝐴 − 𝑦) = (𝐶 − 𝐷)))) → (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵)))
32		simprrr 794	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑃 ∧ (𝐴 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∧ (𝐴 − 𝑦) = (𝐶 − 𝐷)))) → (𝐴 − 𝑦) = (𝐶 − 𝐷))
33	31, 32	jca 521	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑃 ∧ (𝐴 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∧ (𝐴 − 𝑦) = (𝐶 − 𝐷)))) → ((𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) ∧ (𝐴 − 𝑦) = (𝐶 − 𝐷)))
34	5	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
35	7	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥)) → 𝐴 ∈ 𝑃)
36	12	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥)) → 𝐶 ∈ 𝑃)
37	15	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥)) → 𝐷 ∈ 𝑃)
38	1, 2, 3, 34, 21, 35, 36, 37	axtgsegcon 28983	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥)) → ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝐴 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∧ (𝐴 − 𝑦) = (𝐶 − 𝐷)))
39	33, 38	reximddv 3182	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥)) → ∃𝑦 ∈ 𝑃 ((𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) ∧ (𝐴 − 𝑦) = (𝐶 − 𝐷)))
40	39	adantllr 732	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥)) → ∃𝑦 ∈ 𝑃 ((𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) ∧ (𝐴 − 𝑦) = (𝐶 − 𝐷)))
41	5	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
42	9	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → 𝐵 ∈ 𝑃)
43	7	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → 𝐴 ∈ 𝑃)
44		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → 2 ≤ (♯‘𝑃))
45	1, 2, 3, 41, 42, 43, 44	tgbtwndiff 29026	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ∃𝑥 ∈ 𝑃 (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥))
46	40, 45	r19.29a 3174	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ∃𝑦 ∈ 𝑃 ((𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) ∧ (𝐴 − 𝑦) = (𝐶 − 𝐷)))
47		andir 1026	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) ∧ (𝐴 − 𝑦) = (𝐶 − 𝐷)) ↔ ((𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑦) ∧ (𝐴 − 𝑦) = (𝐶 − 𝐷)) ∨ (𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ (𝐴 − 𝑦) = (𝐶 − 𝐷))))
48		eqcom 2770	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 − 𝑦) = (𝐶 − 𝐷) ↔ (𝐶 − 𝐷) = (𝐴 − 𝑦))
49	48	anbi2i 635	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ (𝐴 − 𝑦) = (𝐶 − 𝐷)) ↔ (𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ (𝐶 − 𝐷) = (𝐴 − 𝑦)))
50	49	orbi2i 926	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑦) ∧ (𝐴 − 𝑦) = (𝐶 − 𝐷)) ∨ (𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ (𝐴 − 𝑦) = (𝐶 − 𝐷))) ↔ ((𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑦) ∧ (𝐴 − 𝑦) = (𝐶 − 𝐷)) ∨ (𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ (𝐶 − 𝐷) = (𝐴 − 𝑦))))
51	47, 50	bitri 278	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) ∧ (𝐴 − 𝑦) = (𝐶 − 𝐷)) ↔ ((𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑦) ∧ (𝐴 − 𝑦) = (𝐶 − 𝐷)) ∨ (𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ (𝐶 − 𝐷) = (𝐴 − 𝑦))))
52	51	rexbii 3113	. . . . 5 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝑃 ((𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) ∧ (𝐴 − 𝑦) = (𝐶 − 𝐷)) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑃 ((𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑦) ∧ (𝐴 − 𝑦) = (𝐶 − 𝐷)) ∨ (𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ (𝐶 − 𝐷) = (𝐴 − 𝑦))))
53		r19.43 3134	. . . . 5 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝑃 ((𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑦) ∧ (𝐴 − 𝑦) = (𝐶 − 𝐷)) ∨ (𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ (𝐶 − 𝐷) = (𝐴 − 𝑦))) ↔ (∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑦) ∧ (𝐴 − 𝑦) = (𝐶 − 𝐷)) ∨ ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ (𝐶 − 𝐷) = (𝐴 − 𝑦))))
54	52, 53	bitri 278	. . . 4 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝑃 ((𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) ∧ (𝐴 − 𝑦) = (𝐶 − 𝐷)) ↔ (∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑦) ∧ (𝐴 − 𝑦) = (𝐶 − 𝐷)) ∨ ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ (𝐶 − 𝐷) = (𝐴 − 𝑦))))
55	46, 54	sylib 221	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑦) ∧ (𝐴 − 𝑦) = (𝐶 − 𝐷)) ∨ ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ (𝐶 − 𝐷) = (𝐴 − 𝑦))))
56	1, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 12, 15	legov2 29106	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) ≤ (𝐶 − 𝐷) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑦) ∧ (𝐴 − 𝑦) = (𝐶 − 𝐷))))
57	1, 2, 3, 4, 5, 12, 15, 7, 9	legov 29105	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 − 𝐷) ≤ (𝐴 − 𝐵) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ (𝐶 − 𝐷) = (𝐴 − 𝑦))))
58	56, 57	orbi12d 932	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 𝐵) ≤ (𝐶 − 𝐷) ∨ (𝐶 − 𝐷) ≤ (𝐴 − 𝐵)) ↔ (∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑦) ∧ (𝐴 − 𝑦) = (𝐶 − 𝐷)) ∨ ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ (𝐶 − 𝐷) = (𝐴 − 𝑦)))))
59	58	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (((𝐴 − 𝐵) ≤ (𝐶 − 𝐷) ∨ (𝐶 − 𝐷) ≤ (𝐴 − 𝐵)) ↔ (∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑦) ∧ (𝐴 − 𝑦) = (𝐶 − 𝐷)) ∨ ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ (𝐶 − 𝐷) = (𝐴 − 𝑦)))))
60	55, 59	mpbird 260	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ((𝐴 − 𝐵) ≤ (𝐶 − 𝐷) ∨ (𝐶 − 𝐷) ≤ (𝐴 − 𝐵)))
61	1, 7	tgldimor 29022	. 2 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝑃) = 1 ∨ 2 ≤ (♯‘𝑃)))
62	19, 60, 61	mpjaodan 973	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) ≤ (𝐶 − 𝐷) ∨ (𝐶 − 𝐷) ≤ (𝐴 − 𝐵)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  ∃wrex 3090   class class class wbr 5108  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  1c1 11240   ≤ cle 11383  2c2 12437  ♯chash 14515  Basecbs 17431  distcds 17481  TarskiGcstrkg 28946  Itvcitv 28952  ≤Gcleg 29102

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4841  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-oadd 8518  df-er 8755  df-pm 8888  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015  df-dju 10019  df-card 10057  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-n0 12647  df-xnn0 12720  df-z 12734  df-uz 13006  df-fz 13680  df-fzo 13829  df-hash 14516  df-word 14700  df-concat 14757  df-s1 14784  df-s2 15041  df-s3 15042  df-trkgc 28967  df-trkgb 28968  df-trkgcb 28969  df-trkg 28972  df-cgrg 29031  df-leg 29103

This theorem is used by:  legso  29119  krippen  29220  midex  29270  opphllem5  29284  opphllem6  29285