Theorem legtrid 28677

Description: Trichotomy law for the less-than relationship. Proposition 5.10 of [Schwabhauser] p. 42. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
legval.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
legval.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
legval.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
legval.l	⊢ ≤ = (≤G‘𝐺)
legval.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
legid.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
legid.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
legtrd.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
legtrd.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)

Assertion

Ref	Expression
legtrid	⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) ≤ (𝐶 − 𝐷) ∨ (𝐶 − 𝐷) ≤ (𝐴 − 𝐵)))

Proof of Theorem legtrid

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		legval.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		legval.d	. . . . 5 ⊢ − = (dist‘𝐺)
3		legval.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4		legval.l	. . . . 5 ⊢ ≤ = (≤G‘𝐺)
5		legval.g	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
6	5	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) = 1) → 𝐺 ∈ TarskiG)
7		legid.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
8	7	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) = 1) → 𝐴 ∈ 𝑃)
9		legid.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
10	9	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) = 1) → 𝐵 ∈ 𝑃)
11	1, 2, 3, 4, 6, 8, 10	legid 28673	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) = 1) → (𝐴 − 𝐵) ≤ (𝐴 − 𝐵))
12		legtrd.c	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
13	12	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) = 1) → 𝐶 ∈ 𝑃)
14		simpr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) = 1) → (♯‘𝑃) = 1)
15		legtrd.d	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
16	15	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) = 1) → 𝐷 ∈ 𝑃)
17	1, 2, 3, 6, 8, 10, 13, 14, 16	tgldim0cgr 28591	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) = 1) → (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝐷))
18	11, 17	breqtrd 5098	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) = 1) → (𝐴 − 𝐵) ≤ (𝐶 − 𝐷))
19	18	orcd 879	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) = 1) → ((𝐴 − 𝐵) ≤ (𝐶 − 𝐷) ∨ (𝐶 − 𝐷) ≤ (𝐴 − 𝐵)))
20	5	ad3antrrr 736	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑃 ∧ (𝐴 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∧ (𝐴 − 𝑦) = (𝐶 − 𝐷)))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
21		simplr 774	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥)) → 𝑥 ∈ 𝑃)
22	21	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑃 ∧ (𝐴 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∧ (𝐴 − 𝑦) = (𝐶 − 𝐷)))) → 𝑥 ∈ 𝑃)
23	7	ad3antrrr 736	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑃 ∧ (𝐴 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∧ (𝐴 − 𝑦) = (𝐶 − 𝐷)))) → 𝐴 ∈ 𝑃)
24	9	ad3antrrr 736	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑃 ∧ (𝐴 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∧ (𝐴 − 𝑦) = (𝐶 − 𝐷)))) → 𝐵 ∈ 𝑃)
25		simprl 776	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑃 ∧ (𝐴 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∧ (𝐴 − 𝑦) = (𝐶 − 𝐷)))) → 𝑦 ∈ 𝑃)
26		simplrr 783	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑃 ∧ (𝐴 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∧ (𝐴 − 𝑦) = (𝐶 − 𝐷)))) → 𝐴 ≠ 𝑥)
27	26	necomd 2989	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑃 ∧ (𝐴 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∧ (𝐴 − 𝑦) = (𝐶 − 𝐷)))) → 𝑥 ≠ 𝐴)
28		simplrl 782	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑃 ∧ (𝐴 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∧ (𝐴 − 𝑦) = (𝐶 − 𝐷)))) → 𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥))
29	1, 2, 3, 20, 24, 23, 22, 28	tgbtwncom 28574	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑃 ∧ (𝐴 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∧ (𝐴 − 𝑦) = (𝐶 − 𝐷)))) → 𝐴 ∈ (𝑥𝐼𝐵))
30		simprrl 786	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑃 ∧ (𝐴 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∧ (𝐴 − 𝑦) = (𝐶 − 𝐷)))) → 𝐴 ∈ (𝑥𝐼𝑦))
31	1, 3, 20, 22, 23, 24, 25, 27, 29, 30	tgbtwnconn2 28662	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑃 ∧ (𝐴 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∧ (𝐴 − 𝑦) = (𝐶 − 𝐷)))) → (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵)))
32		simprrr 787	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑃 ∧ (𝐴 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∧ (𝐴 − 𝑦) = (𝐶 − 𝐷)))) → (𝐴 − 𝑦) = (𝐶 − 𝐷))
33	31, 32	jca 516	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑃 ∧ (𝐴 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∧ (𝐴 − 𝑦) = (𝐶 − 𝐷)))) → ((𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) ∧ (𝐴 − 𝑦) = (𝐶 − 𝐷)))
34	5	ad2antrr 732	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
35	7	ad2antrr 732	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥)) → 𝐴 ∈ 𝑃)
36	12	ad2antrr 732	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥)) → 𝐶 ∈ 𝑃)
37	15	ad2antrr 732	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥)) → 𝐷 ∈ 𝑃)
38	1, 2, 3, 34, 21, 35, 36, 37	axtgsegcon 28550	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥)) → ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝐴 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∧ (𝐴 − 𝑦) = (𝐶 − 𝐷)))
39	33, 38	reximddv 3155	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥)) → ∃𝑦 ∈ 𝑃 ((𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) ∧ (𝐴 − 𝑦) = (𝐶 − 𝐷)))
40	39	adantllr 725	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥)) → ∃𝑦 ∈ 𝑃 ((𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) ∧ (𝐴 − 𝑦) = (𝐶 − 𝐷)))
41	5	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
42	9	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → 𝐵 ∈ 𝑃)
43	7	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → 𝐴 ∈ 𝑃)
44		simpr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → 2 ≤ (♯‘𝑃))
45	1, 2, 3, 41, 42, 43, 44	tgbtwndiff 28592	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ∃𝑥 ∈ 𝑃 (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥))
46	40, 45	r19.29a 3147	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ∃𝑦 ∈ 𝑃 ((𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) ∧ (𝐴 − 𝑦) = (𝐶 − 𝐷)))
47		andir 1016	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) ∧ (𝐴 − 𝑦) = (𝐶 − 𝐷)) ↔ ((𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑦) ∧ (𝐴 − 𝑦) = (𝐶 − 𝐷)) ∨ (𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ (𝐴 − 𝑦) = (𝐶 − 𝐷))))
48		eqcom 2746	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 − 𝑦) = (𝐶 − 𝐷) ↔ (𝐶 − 𝐷) = (𝐴 − 𝑦))
49	48	anbi2i 629	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ (𝐴 − 𝑦) = (𝐶 − 𝐷)) ↔ (𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ (𝐶 − 𝐷) = (𝐴 − 𝑦)))
50	49	orbi2i 918	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑦) ∧ (𝐴 − 𝑦) = (𝐶 − 𝐷)) ∨ (𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ (𝐴 − 𝑦) = (𝐶 − 𝐷))) ↔ ((𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑦) ∧ (𝐴 − 𝑦) = (𝐶 − 𝐷)) ∨ (𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ (𝐶 − 𝐷) = (𝐴 − 𝑦))))
51	47, 50	bitri 276	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) ∧ (𝐴 − 𝑦) = (𝐶 − 𝐷)) ↔ ((𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑦) ∧ (𝐴 − 𝑦) = (𝐶 − 𝐷)) ∨ (𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ (𝐶 − 𝐷) = (𝐴 − 𝑦))))
52	51	rexbii 3086	. . . . 5 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝑃 ((𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) ∧ (𝐴 − 𝑦) = (𝐶 − 𝐷)) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑃 ((𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑦) ∧ (𝐴 − 𝑦) = (𝐶 − 𝐷)) ∨ (𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ (𝐶 − 𝐷) = (𝐴 − 𝑦))))
53		r19.43 3107	. . . . 5 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝑃 ((𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑦) ∧ (𝐴 − 𝑦) = (𝐶 − 𝐷)) ∨ (𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ (𝐶 − 𝐷) = (𝐴 − 𝑦))) ↔ (∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑦) ∧ (𝐴 − 𝑦) = (𝐶 − 𝐷)) ∨ ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ (𝐶 − 𝐷) = (𝐴 − 𝑦))))
54	52, 53	bitri 276	. . . 4 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝑃 ((𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) ∧ (𝐴 − 𝑦) = (𝐶 − 𝐷)) ↔ (∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑦) ∧ (𝐴 − 𝑦) = (𝐶 − 𝐷)) ∨ ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ (𝐶 − 𝐷) = (𝐴 − 𝑦))))
55	46, 54	sylib 219	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑦) ∧ (𝐴 − 𝑦) = (𝐶 − 𝐷)) ∨ ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ (𝐶 − 𝐷) = (𝐴 − 𝑦))))
56	1, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 12, 15	legov2 28672	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) ≤ (𝐶 − 𝐷) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑦) ∧ (𝐴 − 𝑦) = (𝐶 − 𝐷))))
57	1, 2, 3, 4, 5, 12, 15, 7, 9	legov 28671	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 − 𝐷) ≤ (𝐴 − 𝐵) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ (𝐶 − 𝐷) = (𝐴 − 𝑦))))
58	56, 57	orbi12d 924	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 𝐵) ≤ (𝐶 − 𝐷) ∨ (𝐶 − 𝐷) ≤ (𝐴 − 𝐵)) ↔ (∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑦) ∧ (𝐴 − 𝑦) = (𝐶 − 𝐷)) ∨ ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ (𝐶 − 𝐷) = (𝐴 − 𝑦)))))
59	58	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (((𝐴 − 𝐵) ≤ (𝐶 − 𝐷) ∨ (𝐶 − 𝐷) ≤ (𝐴 − 𝐵)) ↔ (∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑦) ∧ (𝐴 − 𝑦) = (𝐶 − 𝐷)) ∨ ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ (𝐶 − 𝐷) = (𝐴 − 𝑦)))))
60	55, 59	mpbird 258	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ((𝐴 − 𝐵) ≤ (𝐶 − 𝐷) ∨ (𝐶 − 𝐷) ≤ (𝐴 − 𝐵)))
61	1, 7	tgldimor 28588	. 2 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝑃) = 1 ∨ 2 ≤ (♯‘𝑃)))
62	19, 60, 61	mpjaodan 966	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) ≤ (𝐶 − 𝐷) ∨ (𝐶 − 𝐷) ≤ (𝐴 − 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∨ wo 853   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2934  ∃wrex 3063   class class class wbr 5072  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356  1c1 11030   ≤ cle 11171  2c2 12227  ♯chash 14283  Basecbs 17170  distcds 17220  TarskiGcstrkg 28513  Itvcitv 28519  ≤Gcleg 28668

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-tp 4560  df-op 4562  df-uni 4839  df-int 4878  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-oadd 8399  df-er 8633  df-pm 8766  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-dju 9816  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-n0 12429  df-xnn0 12502  df-z 12516  df-uz 12780  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-hash 14284  df-word 14467  df-concat 14524  df-s1 14550  df-s2 14801  df-s3 14802  df-trkgc 28534  df-trkgb 28535  df-trkgcb 28536  df-trkg 28539  df-cgrg 28597  df-leg 28669

This theorem is referenced by:  legso  28685  krippen  28777  midex  28823  opphllem5  28837  opphllem6  28838