MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  legtrid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem legtrid 28599
Description: Trichotomy law for the less-than relationship. Proposition 5.10 of [Schwabhauser] p. 42. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
legval.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
legval.d = (dist‘𝐺)
legval.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
legval.l = (≤G‘𝐺)
legval.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
legid.a (𝜑𝐴𝑃)
legid.b (𝜑𝐵𝑃)
legtrd.c (𝜑𝐶𝑃)
legtrd.d (𝜑𝐷𝑃)
Assertion
Ref Expression
legtrid (𝜑 → ((𝐴 𝐵) (𝐶 𝐷) ∨ (𝐶 𝐷) (𝐴 𝐵)))

Proof of Theorem legtrid
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 legval.p . . . . 5 𝑃 = (Base‘𝐺)
2 legval.d . . . . 5 = (dist‘𝐺)
3 legval.i . . . . 5 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4 legval.l . . . . 5 = (≤G‘𝐺)
5 legval.g . . . . . 6 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
65adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) = 1) → 𝐺 ∈ TarskiG)
7 legid.a . . . . . 6 (𝜑𝐴𝑃)
87adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) = 1) → 𝐴𝑃)
9 legid.b . . . . . 6 (𝜑𝐵𝑃)
109adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) = 1) → 𝐵𝑃)
111, 2, 3, 4, 6, 8, 10legid 28595 . . . 4 ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) = 1) → (𝐴 𝐵) (𝐴 𝐵))
12 legtrd.c . . . . . 6 (𝜑𝐶𝑃)
1312adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) = 1) → 𝐶𝑃)
14 simpr 484 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) = 1) → (♯‘𝑃) = 1)
15 legtrd.d . . . . . 6 (𝜑𝐷𝑃)
1615adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) = 1) → 𝐷𝑃)
171, 2, 3, 6, 8, 10, 13, 14, 16tgldim0cgr 28513 . . . 4 ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) = 1) → (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝐷))
1811, 17breqtrd 5169 . . 3 ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) = 1) → (𝐴 𝐵) (𝐶 𝐷))
1918orcd 874 . 2 ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) = 1) → ((𝐴 𝐵) (𝐶 𝐷) ∨ (𝐶 𝐷) (𝐴 𝐵)))
205ad3antrrr 730 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ 𝐴𝑥)) ∧ (𝑦𝑃 ∧ (𝐴 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∧ (𝐴 𝑦) = (𝐶 𝐷)))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
21 simplr 769 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ 𝐴𝑥)) → 𝑥𝑃)
2221adantr 480 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ 𝐴𝑥)) ∧ (𝑦𝑃 ∧ (𝐴 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∧ (𝐴 𝑦) = (𝐶 𝐷)))) → 𝑥𝑃)
237ad3antrrr 730 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ 𝐴𝑥)) ∧ (𝑦𝑃 ∧ (𝐴 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∧ (𝐴 𝑦) = (𝐶 𝐷)))) → 𝐴𝑃)
249ad3antrrr 730 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ 𝐴𝑥)) ∧ (𝑦𝑃 ∧ (𝐴 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∧ (𝐴 𝑦) = (𝐶 𝐷)))) → 𝐵𝑃)
25 simprl 771 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ 𝐴𝑥)) ∧ (𝑦𝑃 ∧ (𝐴 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∧ (𝐴 𝑦) = (𝐶 𝐷)))) → 𝑦𝑃)
26 simplrr 778 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ 𝐴𝑥)) ∧ (𝑦𝑃 ∧ (𝐴 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∧ (𝐴 𝑦) = (𝐶 𝐷)))) → 𝐴𝑥)
2726necomd 2996 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ 𝐴𝑥)) ∧ (𝑦𝑃 ∧ (𝐴 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∧ (𝐴 𝑦) = (𝐶 𝐷)))) → 𝑥𝐴)
28 simplrl 777 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ 𝐴𝑥)) ∧ (𝑦𝑃 ∧ (𝐴 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∧ (𝐴 𝑦) = (𝐶 𝐷)))) → 𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥))
291, 2, 3, 20, 24, 23, 22, 28tgbtwncom 28496 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ 𝐴𝑥)) ∧ (𝑦𝑃 ∧ (𝐴 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∧ (𝐴 𝑦) = (𝐶 𝐷)))) → 𝐴 ∈ (𝑥𝐼𝐵))
30 simprrl 781 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ 𝐴𝑥)) ∧ (𝑦𝑃 ∧ (𝐴 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∧ (𝐴 𝑦) = (𝐶 𝐷)))) → 𝐴 ∈ (𝑥𝐼𝑦))
311, 3, 20, 22, 23, 24, 25, 27, 29, 30tgbtwnconn2 28584 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ 𝐴𝑥)) ∧ (𝑦𝑃 ∧ (𝐴 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∧ (𝐴 𝑦) = (𝐶 𝐷)))) → (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵)))
32 simprrr 782 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ 𝐴𝑥)) ∧ (𝑦𝑃 ∧ (𝐴 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∧ (𝐴 𝑦) = (𝐶 𝐷)))) → (𝐴 𝑦) = (𝐶 𝐷))
3331, 32jca 511 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ 𝐴𝑥)) ∧ (𝑦𝑃 ∧ (𝐴 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∧ (𝐴 𝑦) = (𝐶 𝐷)))) → ((𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) ∧ (𝐴 𝑦) = (𝐶 𝐷)))
345ad2antrr 726 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ 𝐴𝑥)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
357ad2antrr 726 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ 𝐴𝑥)) → 𝐴𝑃)
3612ad2antrr 726 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ 𝐴𝑥)) → 𝐶𝑃)
3715ad2antrr 726 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ 𝐴𝑥)) → 𝐷𝑃)
381, 2, 3, 34, 21, 35, 36, 37axtgsegcon 28472 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ 𝐴𝑥)) → ∃𝑦𝑃 (𝐴 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∧ (𝐴 𝑦) = (𝐶 𝐷)))
3933, 38reximddv 3171 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ 𝐴𝑥)) → ∃𝑦𝑃 ((𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) ∧ (𝐴 𝑦) = (𝐶 𝐷)))
4039adantllr 719 . . . . 5 ((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ 𝐴𝑥)) → ∃𝑦𝑃 ((𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) ∧ (𝐴 𝑦) = (𝐶 𝐷)))
415adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
429adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → 𝐵𝑃)
437adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → 𝐴𝑃)
44 simpr 484 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → 2 ≤ (♯‘𝑃))
451, 2, 3, 41, 42, 43, 44tgbtwndiff 28514 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ∃𝑥𝑃 (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ 𝐴𝑥))
4640, 45r19.29a 3162 . . . 4 ((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ∃𝑦𝑃 ((𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) ∧ (𝐴 𝑦) = (𝐶 𝐷)))
47 andir 1011 . . . . . . 7 (((𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) ∧ (𝐴 𝑦) = (𝐶 𝐷)) ↔ ((𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑦) ∧ (𝐴 𝑦) = (𝐶 𝐷)) ∨ (𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ (𝐴 𝑦) = (𝐶 𝐷))))
48 eqcom 2744 . . . . . . . . 9 ((𝐴 𝑦) = (𝐶 𝐷) ↔ (𝐶 𝐷) = (𝐴 𝑦))
4948anbi2i 623 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ (𝐴 𝑦) = (𝐶 𝐷)) ↔ (𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ (𝐶 𝐷) = (𝐴 𝑦)))
5049orbi2i 913 . . . . . . 7 (((𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑦) ∧ (𝐴 𝑦) = (𝐶 𝐷)) ∨ (𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ (𝐴 𝑦) = (𝐶 𝐷))) ↔ ((𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑦) ∧ (𝐴 𝑦) = (𝐶 𝐷)) ∨ (𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ (𝐶 𝐷) = (𝐴 𝑦))))
5147, 50bitri 275 . . . . . 6 (((𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) ∧ (𝐴 𝑦) = (𝐶 𝐷)) ↔ ((𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑦) ∧ (𝐴 𝑦) = (𝐶 𝐷)) ∨ (𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ (𝐶 𝐷) = (𝐴 𝑦))))
5251rexbii 3094 . . . . 5 (∃𝑦𝑃 ((𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) ∧ (𝐴 𝑦) = (𝐶 𝐷)) ↔ ∃𝑦𝑃 ((𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑦) ∧ (𝐴 𝑦) = (𝐶 𝐷)) ∨ (𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ (𝐶 𝐷) = (𝐴 𝑦))))
53 r19.43 3122 . . . . 5 (∃𝑦𝑃 ((𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑦) ∧ (𝐴 𝑦) = (𝐶 𝐷)) ∨ (𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ (𝐶 𝐷) = (𝐴 𝑦))) ↔ (∃𝑦𝑃 (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑦) ∧ (𝐴 𝑦) = (𝐶 𝐷)) ∨ ∃𝑦𝑃 (𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ (𝐶 𝐷) = (𝐴 𝑦))))
5452, 53bitri 275 . . . 4 (∃𝑦𝑃 ((𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) ∧ (𝐴 𝑦) = (𝐶 𝐷)) ↔ (∃𝑦𝑃 (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑦) ∧ (𝐴 𝑦) = (𝐶 𝐷)) ∨ ∃𝑦𝑃 (𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ (𝐶 𝐷) = (𝐴 𝑦))))
5546, 54sylib 218 . . 3 ((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (∃𝑦𝑃 (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑦) ∧ (𝐴 𝑦) = (𝐶 𝐷)) ∨ ∃𝑦𝑃 (𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ (𝐶 𝐷) = (𝐴 𝑦))))
561, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 12, 15legov2 28594 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴 𝐵) (𝐶 𝐷) ↔ ∃𝑦𝑃 (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑦) ∧ (𝐴 𝑦) = (𝐶 𝐷))))
571, 2, 3, 4, 5, 12, 15, 7, 9legov 28593 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐶 𝐷) (𝐴 𝐵) ↔ ∃𝑦𝑃 (𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ (𝐶 𝐷) = (𝐴 𝑦))))
5856, 57orbi12d 919 . . . 4 (𝜑 → (((𝐴 𝐵) (𝐶 𝐷) ∨ (𝐶 𝐷) (𝐴 𝐵)) ↔ (∃𝑦𝑃 (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑦) ∧ (𝐴 𝑦) = (𝐶 𝐷)) ∨ ∃𝑦𝑃 (𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ (𝐶 𝐷) = (𝐴 𝑦)))))
5958adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (((𝐴 𝐵) (𝐶 𝐷) ∨ (𝐶 𝐷) (𝐴 𝐵)) ↔ (∃𝑦𝑃 (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑦) ∧ (𝐴 𝑦) = (𝐶 𝐷)) ∨ ∃𝑦𝑃 (𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ (𝐶 𝐷) = (𝐴 𝑦)))))
6055, 59mpbird 257 . 2 ((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ((𝐴 𝐵) (𝐶 𝐷) ∨ (𝐶 𝐷) (𝐴 𝐵)))
611, 7tgldimor 28510 . 2 (𝜑 → ((♯‘𝑃) = 1 ∨ 2 ≤ (♯‘𝑃)))
6219, 60, 61mpjaodan 961 1 (𝜑 → ((𝐴 𝐵) (𝐶 𝐷) ∨ (𝐶 𝐷) (𝐴 𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  wo 848   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  wrex 3070   class class class wbr 5143  cfv 6561  (class class class)co 7431  1c1 11156  cle 11296  2c2 12321  chash 14369  Basecbs 17247  distcds 17306  TarskiGcstrkg 28435  Itvcitv 28441  ≤Gcleg 28590
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-oadd 8510  df-er 8745  df-pm 8869  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-dju 9941  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-xnn0 12600  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-hash 14370  df-word 14553  df-concat 14609  df-s1 14634  df-s2 14887  df-s3 14888  df-trkgc 28456  df-trkgb 28457  df-trkgcb 28458  df-trkg 28461  df-cgrg 28519  df-leg 28591
This theorem is referenced by:  legso  28607  krippen  28699  midex  28745  opphllem5  28759  opphllem6  28760
  Copyright terms: Public domain W3C validator