Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lidlrng Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lidlrng 45903
Description: A (left) ideal of a ring is a non-unital ring. (Contributed by AV, 17-Feb-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
lidlabl.l 𝐿 = (LIdeal‘𝑅)
lidlabl.i 𝐼 = (𝑅s 𝑈)
Assertion
Ref Expression
lidlrng ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈𝐿) → 𝐼 ∈ Rng)

Proof of Theorem lidlrng
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lidlabl.l . . 3 𝐿 = (LIdeal‘𝑅)
2 lidlabl.i . . 3 𝐼 = (𝑅s 𝑈)
31, 2lidlabl 45900 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈𝐿) → 𝐼 ∈ Abel)
41, 2lidlmsgrp 45902 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈𝐿) → (mulGrp‘𝐼) ∈ Smgrp)
5 simpll 765 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈𝐿) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘𝐼) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝐼) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝐼))) → 𝑅 ∈ Ring)
61, 2lidlssbas 45898 . . . . . . . . . 10 (𝑈𝐿 → (Base‘𝐼) ⊆ (Base‘𝑅))
76sseld 3934 . . . . . . . . 9 (𝑈𝐿 → (𝑎 ∈ (Base‘𝐼) → 𝑎 ∈ (Base‘𝑅)))
86sseld 3934 . . . . . . . . 9 (𝑈𝐿 → (𝑏 ∈ (Base‘𝐼) → 𝑏 ∈ (Base‘𝑅)))
96sseld 3934 . . . . . . . . 9 (𝑈𝐿 → (𝑐 ∈ (Base‘𝐼) → 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)))
107, 8, 93anim123d 1443 . . . . . . . 8 (𝑈𝐿 → ((𝑎 ∈ (Base‘𝐼) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝐼) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝐼)) → (𝑎 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅))))
1110adantl 483 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈𝐿) → ((𝑎 ∈ (Base‘𝐼) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝐼) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝐼)) → (𝑎 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅))))
1211imp 408 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈𝐿) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘𝐼) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝐼) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝐼))) → (𝑎 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)))
13 eqid 2737 . . . . . . 7 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
14 eqid 2737 . . . . . . 7 (+g𝑅) = (+g𝑅)
15 eqid 2737 . . . . . . 7 (.r𝑅) = (.r𝑅)
1613, 14, 15ringdi 19899 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑎 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅))) → (𝑎(.r𝑅)(𝑏(+g𝑅)𝑐)) = ((𝑎(.r𝑅)𝑏)(+g𝑅)(𝑎(.r𝑅)𝑐)))
175, 12, 16syl2anc 585 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈𝐿) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘𝐼) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝐼) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝐼))) → (𝑎(.r𝑅)(𝑏(+g𝑅)𝑐)) = ((𝑎(.r𝑅)𝑏)(+g𝑅)(𝑎(.r𝑅)𝑐)))
1813, 14, 15ringdir 19900 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑎 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅))) → ((𝑎(+g𝑅)𝑏)(.r𝑅)𝑐) = ((𝑎(.r𝑅)𝑐)(+g𝑅)(𝑏(.r𝑅)𝑐)))
195, 12, 18syl2anc 585 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈𝐿) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘𝐼) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝐼) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝐼))) → ((𝑎(+g𝑅)𝑏)(.r𝑅)𝑐) = ((𝑎(.r𝑅)𝑐)(+g𝑅)(𝑏(.r𝑅)𝑐)))
2017, 19jca 513 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈𝐿) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘𝐼) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝐼) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝐼))) → ((𝑎(.r𝑅)(𝑏(+g𝑅)𝑐)) = ((𝑎(.r𝑅)𝑏)(+g𝑅)(𝑎(.r𝑅)𝑐)) ∧ ((𝑎(+g𝑅)𝑏)(.r𝑅)𝑐) = ((𝑎(.r𝑅)𝑐)(+g𝑅)(𝑏(.r𝑅)𝑐))))
2120ralrimivvva 3197 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈𝐿) → ∀𝑎 ∈ (Base‘𝐼)∀𝑏 ∈ (Base‘𝐼)∀𝑐 ∈ (Base‘𝐼)((𝑎(.r𝑅)(𝑏(+g𝑅)𝑐)) = ((𝑎(.r𝑅)𝑏)(+g𝑅)(𝑎(.r𝑅)𝑐)) ∧ ((𝑎(+g𝑅)𝑏)(.r𝑅)𝑐) = ((𝑎(.r𝑅)𝑐)(+g𝑅)(𝑏(.r𝑅)𝑐))))
222, 15ressmulr 17114 . . . . . . . . . 10 (𝑈𝐿 → (.r𝑅) = (.r𝐼))
2322eqcomd 2743 . . . . . . . . 9 (𝑈𝐿 → (.r𝐼) = (.r𝑅))
24 eqidd 2738 . . . . . . . . 9 (𝑈𝐿𝑎 = 𝑎)
252, 14ressplusg 17097 . . . . . . . . . . 11 (𝑈𝐿 → (+g𝑅) = (+g𝐼))
2625eqcomd 2743 . . . . . . . . . 10 (𝑈𝐿 → (+g𝐼) = (+g𝑅))
2726oveqd 7358 . . . . . . . . 9 (𝑈𝐿 → (𝑏(+g𝐼)𝑐) = (𝑏(+g𝑅)𝑐))
2823, 24, 27oveq123d 7362 . . . . . . . 8 (𝑈𝐿 → (𝑎(.r𝐼)(𝑏(+g𝐼)𝑐)) = (𝑎(.r𝑅)(𝑏(+g𝑅)𝑐)))
2923oveqd 7358 . . . . . . . . 9 (𝑈𝐿 → (𝑎(.r𝐼)𝑏) = (𝑎(.r𝑅)𝑏))
3023oveqd 7358 . . . . . . . . 9 (𝑈𝐿 → (𝑎(.r𝐼)𝑐) = (𝑎(.r𝑅)𝑐))
3126, 29, 30oveq123d 7362 . . . . . . . 8 (𝑈𝐿 → ((𝑎(.r𝐼)𝑏)(+g𝐼)(𝑎(.r𝐼)𝑐)) = ((𝑎(.r𝑅)𝑏)(+g𝑅)(𝑎(.r𝑅)𝑐)))
3228, 31eqeq12d 2753 . . . . . . 7 (𝑈𝐿 → ((𝑎(.r𝐼)(𝑏(+g𝐼)𝑐)) = ((𝑎(.r𝐼)𝑏)(+g𝐼)(𝑎(.r𝐼)𝑐)) ↔ (𝑎(.r𝑅)(𝑏(+g𝑅)𝑐)) = ((𝑎(.r𝑅)𝑏)(+g𝑅)(𝑎(.r𝑅)𝑐))))
3326oveqd 7358 . . . . . . . . 9 (𝑈𝐿 → (𝑎(+g𝐼)𝑏) = (𝑎(+g𝑅)𝑏))
34 eqidd 2738 . . . . . . . . 9 (𝑈𝐿𝑐 = 𝑐)
3523, 33, 34oveq123d 7362 . . . . . . . 8 (𝑈𝐿 → ((𝑎(+g𝐼)𝑏)(.r𝐼)𝑐) = ((𝑎(+g𝑅)𝑏)(.r𝑅)𝑐))
3623oveqd 7358 . . . . . . . . 9 (𝑈𝐿 → (𝑏(.r𝐼)𝑐) = (𝑏(.r𝑅)𝑐))
3726, 30, 36oveq123d 7362 . . . . . . . 8 (𝑈𝐿 → ((𝑎(.r𝐼)𝑐)(+g𝐼)(𝑏(.r𝐼)𝑐)) = ((𝑎(.r𝑅)𝑐)(+g𝑅)(𝑏(.r𝑅)𝑐)))
3835, 37eqeq12d 2753 . . . . . . 7 (𝑈𝐿 → (((𝑎(+g𝐼)𝑏)(.r𝐼)𝑐) = ((𝑎(.r𝐼)𝑐)(+g𝐼)(𝑏(.r𝐼)𝑐)) ↔ ((𝑎(+g𝑅)𝑏)(.r𝑅)𝑐) = ((𝑎(.r𝑅)𝑐)(+g𝑅)(𝑏(.r𝑅)𝑐))))
3932, 38anbi12d 632 . . . . . 6 (𝑈𝐿 → (((𝑎(.r𝐼)(𝑏(+g𝐼)𝑐)) = ((𝑎(.r𝐼)𝑏)(+g𝐼)(𝑎(.r𝐼)𝑐)) ∧ ((𝑎(+g𝐼)𝑏)(.r𝐼)𝑐) = ((𝑎(.r𝐼)𝑐)(+g𝐼)(𝑏(.r𝐼)𝑐))) ↔ ((𝑎(.r𝑅)(𝑏(+g𝑅)𝑐)) = ((𝑎(.r𝑅)𝑏)(+g𝑅)(𝑎(.r𝑅)𝑐)) ∧ ((𝑎(+g𝑅)𝑏)(.r𝑅)𝑐) = ((𝑎(.r𝑅)𝑐)(+g𝑅)(𝑏(.r𝑅)𝑐)))))
4039adantl 483 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈𝐿) → (((𝑎(.r𝐼)(𝑏(+g𝐼)𝑐)) = ((𝑎(.r𝐼)𝑏)(+g𝐼)(𝑎(.r𝐼)𝑐)) ∧ ((𝑎(+g𝐼)𝑏)(.r𝐼)𝑐) = ((𝑎(.r𝐼)𝑐)(+g𝐼)(𝑏(.r𝐼)𝑐))) ↔ ((𝑎(.r𝑅)(𝑏(+g𝑅)𝑐)) = ((𝑎(.r𝑅)𝑏)(+g𝑅)(𝑎(.r𝑅)𝑐)) ∧ ((𝑎(+g𝑅)𝑏)(.r𝑅)𝑐) = ((𝑎(.r𝑅)𝑐)(+g𝑅)(𝑏(.r𝑅)𝑐)))))
4140ralbidv 3171 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈𝐿) → (∀𝑐 ∈ (Base‘𝐼)((𝑎(.r𝐼)(𝑏(+g𝐼)𝑐)) = ((𝑎(.r𝐼)𝑏)(+g𝐼)(𝑎(.r𝐼)𝑐)) ∧ ((𝑎(+g𝐼)𝑏)(.r𝐼)𝑐) = ((𝑎(.r𝐼)𝑐)(+g𝐼)(𝑏(.r𝐼)𝑐))) ↔ ∀𝑐 ∈ (Base‘𝐼)((𝑎(.r𝑅)(𝑏(+g𝑅)𝑐)) = ((𝑎(.r𝑅)𝑏)(+g𝑅)(𝑎(.r𝑅)𝑐)) ∧ ((𝑎(+g𝑅)𝑏)(.r𝑅)𝑐) = ((𝑎(.r𝑅)𝑐)(+g𝑅)(𝑏(.r𝑅)𝑐)))))
42412ralbidv 3209 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈𝐿) → (∀𝑎 ∈ (Base‘𝐼)∀𝑏 ∈ (Base‘𝐼)∀𝑐 ∈ (Base‘𝐼)((𝑎(.r𝐼)(𝑏(+g𝐼)𝑐)) = ((𝑎(.r𝐼)𝑏)(+g𝐼)(𝑎(.r𝐼)𝑐)) ∧ ((𝑎(+g𝐼)𝑏)(.r𝐼)𝑐) = ((𝑎(.r𝐼)𝑐)(+g𝐼)(𝑏(.r𝐼)𝑐))) ↔ ∀𝑎 ∈ (Base‘𝐼)∀𝑏 ∈ (Base‘𝐼)∀𝑐 ∈ (Base‘𝐼)((𝑎(.r𝑅)(𝑏(+g𝑅)𝑐)) = ((𝑎(.r𝑅)𝑏)(+g𝑅)(𝑎(.r𝑅)𝑐)) ∧ ((𝑎(+g𝑅)𝑏)(.r𝑅)𝑐) = ((𝑎(.r𝑅)𝑐)(+g𝑅)(𝑏(.r𝑅)𝑐)))))
4321, 42mpbird 257 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈𝐿) → ∀𝑎 ∈ (Base‘𝐼)∀𝑏 ∈ (Base‘𝐼)∀𝑐 ∈ (Base‘𝐼)((𝑎(.r𝐼)(𝑏(+g𝐼)𝑐)) = ((𝑎(.r𝐼)𝑏)(+g𝐼)(𝑎(.r𝐼)𝑐)) ∧ ((𝑎(+g𝐼)𝑏)(.r𝐼)𝑐) = ((𝑎(.r𝐼)𝑐)(+g𝐼)(𝑏(.r𝐼)𝑐))))
44 eqid 2737 . . 3 (Base‘𝐼) = (Base‘𝐼)
45 eqid 2737 . . 3 (mulGrp‘𝐼) = (mulGrp‘𝐼)
46 eqid 2737 . . 3 (+g𝐼) = (+g𝐼)
47 eqid 2737 . . 3 (.r𝐼) = (.r𝐼)
4844, 45, 46, 47isrng 45852 . 2 (𝐼 ∈ Rng ↔ (𝐼 ∈ Abel ∧ (mulGrp‘𝐼) ∈ Smgrp ∧ ∀𝑎 ∈ (Base‘𝐼)∀𝑏 ∈ (Base‘𝐼)∀𝑐 ∈ (Base‘𝐼)((𝑎(.r𝐼)(𝑏(+g𝐼)𝑐)) = ((𝑎(.r𝐼)𝑏)(+g𝐼)(𝑎(.r𝐼)𝑐)) ∧ ((𝑎(+g𝐼)𝑏)(.r𝐼)𝑐) = ((𝑎(.r𝐼)𝑐)(+g𝐼)(𝑏(.r𝐼)𝑐)))))
493, 4, 43, 48syl3anbrc 1343 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈𝐿) → 𝐼 ∈ Rng)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3062  cfv 6483  (class class class)co 7341  Basecbs 17009  s cress 17038  +gcplusg 17059  .rcmulr 17060  Smgrpcsgrp 18471  Abelcabl 19482  mulGrpcmgp 19814  Ringcrg 19877  LIdealclidl 20537  Rngcrng 45850
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-rep 5233  ax-sep 5247  ax-nul 5254  ax-pow 5312  ax-pr 5376  ax-un 7654  ax-cnex 11032  ax-resscn 11033  ax-1cn 11034  ax-icn 11035  ax-addcl 11036  ax-addrcl 11037  ax-mulcl 11038  ax-mulrcl 11039  ax-mulcom 11040  ax-addass 11041  ax-mulass 11042  ax-distr 11043  ax-i2m1 11044  ax-1ne0 11045  ax-1rid 11046  ax-rnegex 11047  ax-rrecex 11048  ax-cnre 11049  ax-pre-lttri 11050  ax-pre-lttrn 11051  ax-pre-ltadd 11052  ax-pre-mulgt0 11053
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3444  df-sbc 3731  df-csb 3847  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3920  df-nul 4274  df-if 4478  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4857  df-iun 4947  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5180  df-tr 5214  df-id 5522  df-eprel 5528  df-po 5536  df-so 5537  df-fr 5579  df-we 5581  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6242  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6435  df-fun 6485  df-fn 6486  df-f 6487  df-f1 6488  df-fo 6489  df-f1o 6490  df-fv 6491  df-riota 7297  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7785  df-1st 7903  df-2nd 7904  df-frecs 8171  df-wrecs 8202  df-recs 8276  df-rdg 8315  df-er 8573  df-en 8809  df-dom 8810  df-sdom 8811  df-pnf 11116  df-mnf 11117  df-xr 11118  df-ltxr 11119  df-le 11120  df-sub 11312  df-neg 11313  df-nn 12079  df-2 12141  df-3 12142  df-4 12143  df-5 12144  df-6 12145  df-7 12146  df-8 12147  df-sets 16962  df-slot 16980  df-ndx 16992  df-base 17010  df-ress 17039  df-plusg 17072  df-mulr 17073  df-sca 17075  df-vsca 17076  df-ip 17077  df-0g 17249  df-mgm 18423  df-sgrp 18472  df-mnd 18483  df-grp 18676  df-minusg 18677  df-sbg 18678  df-subg 18848  df-cmn 19483  df-abl 19484  df-mgp 19815  df-ur 19832  df-ring 19879  df-subrg 20126  df-lmod 20230  df-lss 20299  df-sra 20539  df-rgmod 20540  df-lidl 20541  df-rng0 45851
This theorem is referenced by:  zlidlring  45904  uzlidlring  45905  2zrng  45911
  Copyright terms: Public domain W3C validator