Theorem lidlrng 44192

Description: A (left) ideal of a ring is a non-unital ring. (Contributed by AV, 17-Feb-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
lidlabl.l	⊢ 𝐿 = (LIdeal‘𝑅)
lidlabl.i	⊢ 𝐼 = (𝑅 ↾s 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
lidlrng	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 ∈ 𝐿) → 𝐼 ∈ Rng)

Proof of Theorem lidlrng

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lidlabl.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (LIdeal‘𝑅)
2		lidlabl.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (𝑅 ↾s 𝑈)
3	1, 2	lidlabl 44189	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 ∈ 𝐿) → 𝐼 ∈ Abel)
4	1, 2	lidlmsgrp 44191	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 ∈ 𝐿) → (mulGrp‘𝐼) ∈ Smgrp)
5		simpll 765	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 ∈ 𝐿) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘𝐼) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝐼) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝐼))) → 𝑅 ∈ Ring)
6	1, 2	lidlssbas 44187	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐿 → (Base‘𝐼) ⊆ (Base‘𝑅))
7	6	sseld 3965	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐿 → (𝑎 ∈ (Base‘𝐼) → 𝑎 ∈ (Base‘𝑅)))
8	6	sseld 3965	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐿 → (𝑏 ∈ (Base‘𝐼) → 𝑏 ∈ (Base‘𝑅)))
9	6	sseld 3965	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐿 → (𝑐 ∈ (Base‘𝐼) → 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)))
10	7, 8, 9	3anim123d 1439	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐿 → ((𝑎 ∈ (Base‘𝐼) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝐼) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝐼)) → (𝑎 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅))))
11	10	adantl 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 ∈ 𝐿) → ((𝑎 ∈ (Base‘𝐼) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝐼) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝐼)) → (𝑎 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅))))
12	11	imp 409	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 ∈ 𝐿) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘𝐼) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝐼) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝐼))) → (𝑎 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)))
13		eqid 2821	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
14		eqid 2821	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
15		eqid 2821	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
16	13, 14, 15	ringdi 19310	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑎 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅))) → (𝑎(.r‘𝑅)(𝑏(+g‘𝑅)𝑐)) = ((𝑎(.r‘𝑅)𝑏)(+g‘𝑅)(𝑎(.r‘𝑅)𝑐)))
17	5, 12, 16	syl2anc 586	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 ∈ 𝐿) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘𝐼) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝐼) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝐼))) → (𝑎(.r‘𝑅)(𝑏(+g‘𝑅)𝑐)) = ((𝑎(.r‘𝑅)𝑏)(+g‘𝑅)(𝑎(.r‘𝑅)𝑐)))
18	13, 14, 15	ringdir 19311	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑎 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅))) → ((𝑎(+g‘𝑅)𝑏)(.r‘𝑅)𝑐) = ((𝑎(.r‘𝑅)𝑐)(+g‘𝑅)(𝑏(.r‘𝑅)𝑐)))
19	5, 12, 18	syl2anc 586	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 ∈ 𝐿) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘𝐼) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝐼) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝐼))) → ((𝑎(+g‘𝑅)𝑏)(.r‘𝑅)𝑐) = ((𝑎(.r‘𝑅)𝑐)(+g‘𝑅)(𝑏(.r‘𝑅)𝑐)))
20	17, 19	jca 514	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 ∈ 𝐿) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘𝐼) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝐼) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝐼))) → ((𝑎(.r‘𝑅)(𝑏(+g‘𝑅)𝑐)) = ((𝑎(.r‘𝑅)𝑏)(+g‘𝑅)(𝑎(.r‘𝑅)𝑐)) ∧ ((𝑎(+g‘𝑅)𝑏)(.r‘𝑅)𝑐) = ((𝑎(.r‘𝑅)𝑐)(+g‘𝑅)(𝑏(.r‘𝑅)𝑐))))
21	20	ralrimivvva 3192	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 ∈ 𝐿) → ∀𝑎 ∈ (Base‘𝐼)∀𝑏 ∈ (Base‘𝐼)∀𝑐 ∈ (Base‘𝐼)((𝑎(.r‘𝑅)(𝑏(+g‘𝑅)𝑐)) = ((𝑎(.r‘𝑅)𝑏)(+g‘𝑅)(𝑎(.r‘𝑅)𝑐)) ∧ ((𝑎(+g‘𝑅)𝑏)(.r‘𝑅)𝑐) = ((𝑎(.r‘𝑅)𝑐)(+g‘𝑅)(𝑏(.r‘𝑅)𝑐))))
22	2, 15	ressmulr 16619	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐿 → (.r‘𝑅) = (.r‘𝐼))
23	22	eqcomd 2827	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐿 → (.r‘𝐼) = (.r‘𝑅))
24		eqidd 2822	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐿 → 𝑎 = 𝑎)
25	2, 14	ressplusg 16606	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐿 → (+g‘𝑅) = (+g‘𝐼))
26	25	eqcomd 2827	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐿 → (+g‘𝐼) = (+g‘𝑅))
27	26	oveqd 7167	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐿 → (𝑏(+g‘𝐼)𝑐) = (𝑏(+g‘𝑅)𝑐))
28	23, 24, 27	oveq123d 7171	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐿 → (𝑎(.r‘𝐼)(𝑏(+g‘𝐼)𝑐)) = (𝑎(.r‘𝑅)(𝑏(+g‘𝑅)𝑐)))
29	23	oveqd 7167	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐿 → (𝑎(.r‘𝐼)𝑏) = (𝑎(.r‘𝑅)𝑏))
30	23	oveqd 7167	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐿 → (𝑎(.r‘𝐼)𝑐) = (𝑎(.r‘𝑅)𝑐))
31	26, 29, 30	oveq123d 7171	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐿 → ((𝑎(.r‘𝐼)𝑏)(+g‘𝐼)(𝑎(.r‘𝐼)𝑐)) = ((𝑎(.r‘𝑅)𝑏)(+g‘𝑅)(𝑎(.r‘𝑅)𝑐)))
32	28, 31	eqeq12d 2837	. . . . . . 7 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐿 → ((𝑎(.r‘𝐼)(𝑏(+g‘𝐼)𝑐)) = ((𝑎(.r‘𝐼)𝑏)(+g‘𝐼)(𝑎(.r‘𝐼)𝑐)) ↔ (𝑎(.r‘𝑅)(𝑏(+g‘𝑅)𝑐)) = ((𝑎(.r‘𝑅)𝑏)(+g‘𝑅)(𝑎(.r‘𝑅)𝑐))))
33	26	oveqd 7167	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐿 → (𝑎(+g‘𝐼)𝑏) = (𝑎(+g‘𝑅)𝑏))
34		eqidd 2822	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐿 → 𝑐 = 𝑐)
35	23, 33, 34	oveq123d 7171	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐿 → ((𝑎(+g‘𝐼)𝑏)(.r‘𝐼)𝑐) = ((𝑎(+g‘𝑅)𝑏)(.r‘𝑅)𝑐))
36	23	oveqd 7167	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐿 → (𝑏(.r‘𝐼)𝑐) = (𝑏(.r‘𝑅)𝑐))
37	26, 30, 36	oveq123d 7171	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐿 → ((𝑎(.r‘𝐼)𝑐)(+g‘𝐼)(𝑏(.r‘𝐼)𝑐)) = ((𝑎(.r‘𝑅)𝑐)(+g‘𝑅)(𝑏(.r‘𝑅)𝑐)))
38	35, 37	eqeq12d 2837	. . . . . . 7 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐿 → (((𝑎(+g‘𝐼)𝑏)(.r‘𝐼)𝑐) = ((𝑎(.r‘𝐼)𝑐)(+g‘𝐼)(𝑏(.r‘𝐼)𝑐)) ↔ ((𝑎(+g‘𝑅)𝑏)(.r‘𝑅)𝑐) = ((𝑎(.r‘𝑅)𝑐)(+g‘𝑅)(𝑏(.r‘𝑅)𝑐))))
39	32, 38	anbi12d 632	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐿 → (((𝑎(.r‘𝐼)(𝑏(+g‘𝐼)𝑐)) = ((𝑎(.r‘𝐼)𝑏)(+g‘𝐼)(𝑎(.r‘𝐼)𝑐)) ∧ ((𝑎(+g‘𝐼)𝑏)(.r‘𝐼)𝑐) = ((𝑎(.r‘𝐼)𝑐)(+g‘𝐼)(𝑏(.r‘𝐼)𝑐))) ↔ ((𝑎(.r‘𝑅)(𝑏(+g‘𝑅)𝑐)) = ((𝑎(.r‘𝑅)𝑏)(+g‘𝑅)(𝑎(.r‘𝑅)𝑐)) ∧ ((𝑎(+g‘𝑅)𝑏)(.r‘𝑅)𝑐) = ((𝑎(.r‘𝑅)𝑐)(+g‘𝑅)(𝑏(.r‘𝑅)𝑐)))))
40	39	adantl 484	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 ∈ 𝐿) → (((𝑎(.r‘𝐼)(𝑏(+g‘𝐼)𝑐)) = ((𝑎(.r‘𝐼)𝑏)(+g‘𝐼)(𝑎(.r‘𝐼)𝑐)) ∧ ((𝑎(+g‘𝐼)𝑏)(.r‘𝐼)𝑐) = ((𝑎(.r‘𝐼)𝑐)(+g‘𝐼)(𝑏(.r‘𝐼)𝑐))) ↔ ((𝑎(.r‘𝑅)(𝑏(+g‘𝑅)𝑐)) = ((𝑎(.r‘𝑅)𝑏)(+g‘𝑅)(𝑎(.r‘𝑅)𝑐)) ∧ ((𝑎(+g‘𝑅)𝑏)(.r‘𝑅)𝑐) = ((𝑎(.r‘𝑅)𝑐)(+g‘𝑅)(𝑏(.r‘𝑅)𝑐)))))
41	40	ralbidv 3197	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 ∈ 𝐿) → (∀𝑐 ∈ (Base‘𝐼)((𝑎(.r‘𝐼)(𝑏(+g‘𝐼)𝑐)) = ((𝑎(.r‘𝐼)𝑏)(+g‘𝐼)(𝑎(.r‘𝐼)𝑐)) ∧ ((𝑎(+g‘𝐼)𝑏)(.r‘𝐼)𝑐) = ((𝑎(.r‘𝐼)𝑐)(+g‘𝐼)(𝑏(.r‘𝐼)𝑐))) ↔ ∀𝑐 ∈ (Base‘𝐼)((𝑎(.r‘𝑅)(𝑏(+g‘𝑅)𝑐)) = ((𝑎(.r‘𝑅)𝑏)(+g‘𝑅)(𝑎(.r‘𝑅)𝑐)) ∧ ((𝑎(+g‘𝑅)𝑏)(.r‘𝑅)𝑐) = ((𝑎(.r‘𝑅)𝑐)(+g‘𝑅)(𝑏(.r‘𝑅)𝑐)))))
42	41	2ralbidv 3199	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 ∈ 𝐿) → (∀𝑎 ∈ (Base‘𝐼)∀𝑏 ∈ (Base‘𝐼)∀𝑐 ∈ (Base‘𝐼)((𝑎(.r‘𝐼)(𝑏(+g‘𝐼)𝑐)) = ((𝑎(.r‘𝐼)𝑏)(+g‘𝐼)(𝑎(.r‘𝐼)𝑐)) ∧ ((𝑎(+g‘𝐼)𝑏)(.r‘𝐼)𝑐) = ((𝑎(.r‘𝐼)𝑐)(+g‘𝐼)(𝑏(.r‘𝐼)𝑐))) ↔ ∀𝑎 ∈ (Base‘𝐼)∀𝑏 ∈ (Base‘𝐼)∀𝑐 ∈ (Base‘𝐼)((𝑎(.r‘𝑅)(𝑏(+g‘𝑅)𝑐)) = ((𝑎(.r‘𝑅)𝑏)(+g‘𝑅)(𝑎(.r‘𝑅)𝑐)) ∧ ((𝑎(+g‘𝑅)𝑏)(.r‘𝑅)𝑐) = ((𝑎(.r‘𝑅)𝑐)(+g‘𝑅)(𝑏(.r‘𝑅)𝑐)))))
43	21, 42	mpbird 259	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 ∈ 𝐿) → ∀𝑎 ∈ (Base‘𝐼)∀𝑏 ∈ (Base‘𝐼)∀𝑐 ∈ (Base‘𝐼)((𝑎(.r‘𝐼)(𝑏(+g‘𝐼)𝑐)) = ((𝑎(.r‘𝐼)𝑏)(+g‘𝐼)(𝑎(.r‘𝐼)𝑐)) ∧ ((𝑎(+g‘𝐼)𝑏)(.r‘𝐼)𝑐) = ((𝑎(.r‘𝐼)𝑐)(+g‘𝐼)(𝑏(.r‘𝐼)𝑐))))
44		eqid 2821	. . 3 ⊢ (Base‘𝐼) = (Base‘𝐼)
45		eqid 2821	. . 3 ⊢ (mulGrp‘𝐼) = (mulGrp‘𝐼)
46		eqid 2821	. . 3 ⊢ (+g‘𝐼) = (+g‘𝐼)
47		eqid 2821	. . 3 ⊢ (.r‘𝐼) = (.r‘𝐼)
48	44, 45, 46, 47	isrng 44141	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ Rng ↔ (𝐼 ∈ Abel ∧ (mulGrp‘𝐼) ∈ Smgrp ∧ ∀𝑎 ∈ (Base‘𝐼)∀𝑏 ∈ (Base‘𝐼)∀𝑐 ∈ (Base‘𝐼)((𝑎(.r‘𝐼)(𝑏(+g‘𝐼)𝑐)) = ((𝑎(.r‘𝐼)𝑏)(+g‘𝐼)(𝑎(.r‘𝐼)𝑐)) ∧ ((𝑎(+g‘𝐼)𝑏)(.r‘𝐼)𝑐) = ((𝑎(.r‘𝐼)𝑐)(+g‘𝐼)(𝑏(.r‘𝐼)𝑐)))))
49	3, 4, 43, 48	syl3anbrc 1339	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 ∈ 𝐿) → 𝐼 ∈ Rng)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1533   ∈ wcel 2110  ∀wral 3138  ‘cfv 6349  (class class class)co 7150  Basecbs 16477   ↾_s cress 16478  +_gcplusg 16559  ._rcmulr 16560  Smgrpcsgrp 17894  Abelcabl 18901  mulGrpcmgp 19233  Ringcrg 19291  LIdealclidl 19936  Rngcrng 44139

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5182  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-tp 4565  df-op 4567  df-uni 4832  df-iun 4913  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7575  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-er 8283  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-4 11696  df-5 11697  df-6 11698  df-7 11699  df-8 11700  df-ndx 16480  df-slot 16481  df-base 16483  df-sets 16484  df-ress 16485  df-plusg 16572  df-mulr 16573  df-sca 16575  df-vsca 16576  df-ip 16577  df-0g 16709  df-mgm 17846  df-sgrp 17895  df-mnd 17906  df-grp 18100  df-minusg 18101  df-sbg 18102  df-subg 18270  df-cmn 18902  df-abl 18903  df-mgp 19234  df-ur 19246  df-ring 19293  df-subrg 19527  df-lmod 19630  df-lss 19698  df-sra 19938  df-rgmod 19939  df-lidl 19940  df-rng0 44140

This theorem is referenced by:  zlidlring  44193  uzlidlring  44194  2zrng  44200