Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lidlrng Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lidlrng 46215
Description: A (left) ideal of a ring is a non-unital ring. (Contributed by AV, 17-Feb-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
lidlabl.l 𝐿 = (LIdeal‘𝑅)
lidlabl.i 𝐼 = (𝑅s 𝑈)
Assertion
Ref Expression
lidlrng ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈𝐿) → 𝐼 ∈ Rng)

Proof of Theorem lidlrng
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lidlabl.l . . 3 𝐿 = (LIdeal‘𝑅)
2 lidlabl.i . . 3 𝐼 = (𝑅s 𝑈)
31, 2lidlabl 46212 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈𝐿) → 𝐼 ∈ Abel)
41, 2lidlmsgrp 46214 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈𝐿) → (mulGrp‘𝐼) ∈ Smgrp)
5 simpll 765 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈𝐿) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘𝐼) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝐼) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝐼))) → 𝑅 ∈ Ring)
61, 2lidlssbas 46210 . . . . . . . . . 10 (𝑈𝐿 → (Base‘𝐼) ⊆ (Base‘𝑅))
76sseld 3943 . . . . . . . . 9 (𝑈𝐿 → (𝑎 ∈ (Base‘𝐼) → 𝑎 ∈ (Base‘𝑅)))
86sseld 3943 . . . . . . . . 9 (𝑈𝐿 → (𝑏 ∈ (Base‘𝐼) → 𝑏 ∈ (Base‘𝑅)))
96sseld 3943 . . . . . . . . 9 (𝑈𝐿 → (𝑐 ∈ (Base‘𝐼) → 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)))
107, 8, 93anim123d 1443 . . . . . . . 8 (𝑈𝐿 → ((𝑎 ∈ (Base‘𝐼) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝐼) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝐼)) → (𝑎 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅))))
1110adantl 482 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈𝐿) → ((𝑎 ∈ (Base‘𝐼) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝐼) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝐼)) → (𝑎 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅))))
1211imp 407 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈𝐿) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘𝐼) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝐼) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝐼))) → (𝑎 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)))
13 eqid 2736 . . . . . . 7 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
14 eqid 2736 . . . . . . 7 (+g𝑅) = (+g𝑅)
15 eqid 2736 . . . . . . 7 (.r𝑅) = (.r𝑅)
1613, 14, 15ringdi 19987 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑎 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅))) → (𝑎(.r𝑅)(𝑏(+g𝑅)𝑐)) = ((𝑎(.r𝑅)𝑏)(+g𝑅)(𝑎(.r𝑅)𝑐)))
175, 12, 16syl2anc 584 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈𝐿) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘𝐼) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝐼) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝐼))) → (𝑎(.r𝑅)(𝑏(+g𝑅)𝑐)) = ((𝑎(.r𝑅)𝑏)(+g𝑅)(𝑎(.r𝑅)𝑐)))
1813, 14, 15ringdir 19988 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑎 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅))) → ((𝑎(+g𝑅)𝑏)(.r𝑅)𝑐) = ((𝑎(.r𝑅)𝑐)(+g𝑅)(𝑏(.r𝑅)𝑐)))
195, 12, 18syl2anc 584 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈𝐿) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘𝐼) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝐼) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝐼))) → ((𝑎(+g𝑅)𝑏)(.r𝑅)𝑐) = ((𝑎(.r𝑅)𝑐)(+g𝑅)(𝑏(.r𝑅)𝑐)))
2017, 19jca 512 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈𝐿) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘𝐼) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝐼) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝐼))) → ((𝑎(.r𝑅)(𝑏(+g𝑅)𝑐)) = ((𝑎(.r𝑅)𝑏)(+g𝑅)(𝑎(.r𝑅)𝑐)) ∧ ((𝑎(+g𝑅)𝑏)(.r𝑅)𝑐) = ((𝑎(.r𝑅)𝑐)(+g𝑅)(𝑏(.r𝑅)𝑐))))
2120ralrimivvva 3200 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈𝐿) → ∀𝑎 ∈ (Base‘𝐼)∀𝑏 ∈ (Base‘𝐼)∀𝑐 ∈ (Base‘𝐼)((𝑎(.r𝑅)(𝑏(+g𝑅)𝑐)) = ((𝑎(.r𝑅)𝑏)(+g𝑅)(𝑎(.r𝑅)𝑐)) ∧ ((𝑎(+g𝑅)𝑏)(.r𝑅)𝑐) = ((𝑎(.r𝑅)𝑐)(+g𝑅)(𝑏(.r𝑅)𝑐))))
222, 15ressmulr 17188 . . . . . . . . . 10 (𝑈𝐿 → (.r𝑅) = (.r𝐼))
2322eqcomd 2742 . . . . . . . . 9 (𝑈𝐿 → (.r𝐼) = (.r𝑅))
24 eqidd 2737 . . . . . . . . 9 (𝑈𝐿𝑎 = 𝑎)
252, 14ressplusg 17171 . . . . . . . . . . 11 (𝑈𝐿 → (+g𝑅) = (+g𝐼))
2625eqcomd 2742 . . . . . . . . . 10 (𝑈𝐿 → (+g𝐼) = (+g𝑅))
2726oveqd 7374 . . . . . . . . 9 (𝑈𝐿 → (𝑏(+g𝐼)𝑐) = (𝑏(+g𝑅)𝑐))
2823, 24, 27oveq123d 7378 . . . . . . . 8 (𝑈𝐿 → (𝑎(.r𝐼)(𝑏(+g𝐼)𝑐)) = (𝑎(.r𝑅)(𝑏(+g𝑅)𝑐)))
2923oveqd 7374 . . . . . . . . 9 (𝑈𝐿 → (𝑎(.r𝐼)𝑏) = (𝑎(.r𝑅)𝑏))
3023oveqd 7374 . . . . . . . . 9 (𝑈𝐿 → (𝑎(.r𝐼)𝑐) = (𝑎(.r𝑅)𝑐))
3126, 29, 30oveq123d 7378 . . . . . . . 8 (𝑈𝐿 → ((𝑎(.r𝐼)𝑏)(+g𝐼)(𝑎(.r𝐼)𝑐)) = ((𝑎(.r𝑅)𝑏)(+g𝑅)(𝑎(.r𝑅)𝑐)))
3228, 31eqeq12d 2752 . . . . . . 7 (𝑈𝐿 → ((𝑎(.r𝐼)(𝑏(+g𝐼)𝑐)) = ((𝑎(.r𝐼)𝑏)(+g𝐼)(𝑎(.r𝐼)𝑐)) ↔ (𝑎(.r𝑅)(𝑏(+g𝑅)𝑐)) = ((𝑎(.r𝑅)𝑏)(+g𝑅)(𝑎(.r𝑅)𝑐))))
3326oveqd 7374 . . . . . . . . 9 (𝑈𝐿 → (𝑎(+g𝐼)𝑏) = (𝑎(+g𝑅)𝑏))
34 eqidd 2737 . . . . . . . . 9 (𝑈𝐿𝑐 = 𝑐)
3523, 33, 34oveq123d 7378 . . . . . . . 8 (𝑈𝐿 → ((𝑎(+g𝐼)𝑏)(.r𝐼)𝑐) = ((𝑎(+g𝑅)𝑏)(.r𝑅)𝑐))
3623oveqd 7374 . . . . . . . . 9 (𝑈𝐿 → (𝑏(.r𝐼)𝑐) = (𝑏(.r𝑅)𝑐))
3726, 30, 36oveq123d 7378 . . . . . . . 8 (𝑈𝐿 → ((𝑎(.r𝐼)𝑐)(+g𝐼)(𝑏(.r𝐼)𝑐)) = ((𝑎(.r𝑅)𝑐)(+g𝑅)(𝑏(.r𝑅)𝑐)))
3835, 37eqeq12d 2752 . . . . . . 7 (𝑈𝐿 → (((𝑎(+g𝐼)𝑏)(.r𝐼)𝑐) = ((𝑎(.r𝐼)𝑐)(+g𝐼)(𝑏(.r𝐼)𝑐)) ↔ ((𝑎(+g𝑅)𝑏)(.r𝑅)𝑐) = ((𝑎(.r𝑅)𝑐)(+g𝑅)(𝑏(.r𝑅)𝑐))))
3932, 38anbi12d 631 . . . . . 6 (𝑈𝐿 → (((𝑎(.r𝐼)(𝑏(+g𝐼)𝑐)) = ((𝑎(.r𝐼)𝑏)(+g𝐼)(𝑎(.r𝐼)𝑐)) ∧ ((𝑎(+g𝐼)𝑏)(.r𝐼)𝑐) = ((𝑎(.r𝐼)𝑐)(+g𝐼)(𝑏(.r𝐼)𝑐))) ↔ ((𝑎(.r𝑅)(𝑏(+g𝑅)𝑐)) = ((𝑎(.r𝑅)𝑏)(+g𝑅)(𝑎(.r𝑅)𝑐)) ∧ ((𝑎(+g𝑅)𝑏)(.r𝑅)𝑐) = ((𝑎(.r𝑅)𝑐)(+g𝑅)(𝑏(.r𝑅)𝑐)))))
4039adantl 482 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈𝐿) → (((𝑎(.r𝐼)(𝑏(+g𝐼)𝑐)) = ((𝑎(.r𝐼)𝑏)(+g𝐼)(𝑎(.r𝐼)𝑐)) ∧ ((𝑎(+g𝐼)𝑏)(.r𝐼)𝑐) = ((𝑎(.r𝐼)𝑐)(+g𝐼)(𝑏(.r𝐼)𝑐))) ↔ ((𝑎(.r𝑅)(𝑏(+g𝑅)𝑐)) = ((𝑎(.r𝑅)𝑏)(+g𝑅)(𝑎(.r𝑅)𝑐)) ∧ ((𝑎(+g𝑅)𝑏)(.r𝑅)𝑐) = ((𝑎(.r𝑅)𝑐)(+g𝑅)(𝑏(.r𝑅)𝑐)))))
4140ralbidv 3174 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈𝐿) → (∀𝑐 ∈ (Base‘𝐼)((𝑎(.r𝐼)(𝑏(+g𝐼)𝑐)) = ((𝑎(.r𝐼)𝑏)(+g𝐼)(𝑎(.r𝐼)𝑐)) ∧ ((𝑎(+g𝐼)𝑏)(.r𝐼)𝑐) = ((𝑎(.r𝐼)𝑐)(+g𝐼)(𝑏(.r𝐼)𝑐))) ↔ ∀𝑐 ∈ (Base‘𝐼)((𝑎(.r𝑅)(𝑏(+g𝑅)𝑐)) = ((𝑎(.r𝑅)𝑏)(+g𝑅)(𝑎(.r𝑅)𝑐)) ∧ ((𝑎(+g𝑅)𝑏)(.r𝑅)𝑐) = ((𝑎(.r𝑅)𝑐)(+g𝑅)(𝑏(.r𝑅)𝑐)))))
42412ralbidv 3212 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈𝐿) → (∀𝑎 ∈ (Base‘𝐼)∀𝑏 ∈ (Base‘𝐼)∀𝑐 ∈ (Base‘𝐼)((𝑎(.r𝐼)(𝑏(+g𝐼)𝑐)) = ((𝑎(.r𝐼)𝑏)(+g𝐼)(𝑎(.r𝐼)𝑐)) ∧ ((𝑎(+g𝐼)𝑏)(.r𝐼)𝑐) = ((𝑎(.r𝐼)𝑐)(+g𝐼)(𝑏(.r𝐼)𝑐))) ↔ ∀𝑎 ∈ (Base‘𝐼)∀𝑏 ∈ (Base‘𝐼)∀𝑐 ∈ (Base‘𝐼)((𝑎(.r𝑅)(𝑏(+g𝑅)𝑐)) = ((𝑎(.r𝑅)𝑏)(+g𝑅)(𝑎(.r𝑅)𝑐)) ∧ ((𝑎(+g𝑅)𝑏)(.r𝑅)𝑐) = ((𝑎(.r𝑅)𝑐)(+g𝑅)(𝑏(.r𝑅)𝑐)))))
4321, 42mpbird 256 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈𝐿) → ∀𝑎 ∈ (Base‘𝐼)∀𝑏 ∈ (Base‘𝐼)∀𝑐 ∈ (Base‘𝐼)((𝑎(.r𝐼)(𝑏(+g𝐼)𝑐)) = ((𝑎(.r𝐼)𝑏)(+g𝐼)(𝑎(.r𝐼)𝑐)) ∧ ((𝑎(+g𝐼)𝑏)(.r𝐼)𝑐) = ((𝑎(.r𝐼)𝑐)(+g𝐼)(𝑏(.r𝐼)𝑐))))
44 eqid 2736 . . 3 (Base‘𝐼) = (Base‘𝐼)
45 eqid 2736 . . 3 (mulGrp‘𝐼) = (mulGrp‘𝐼)
46 eqid 2736 . . 3 (+g𝐼) = (+g𝐼)
47 eqid 2736 . . 3 (.r𝐼) = (.r𝐼)
4844, 45, 46, 47isrng 46164 . 2 (𝐼 ∈ Rng ↔ (𝐼 ∈ Abel ∧ (mulGrp‘𝐼) ∈ Smgrp ∧ ∀𝑎 ∈ (Base‘𝐼)∀𝑏 ∈ (Base‘𝐼)∀𝑐 ∈ (Base‘𝐼)((𝑎(.r𝐼)(𝑏(+g𝐼)𝑐)) = ((𝑎(.r𝐼)𝑏)(+g𝐼)(𝑎(.r𝐼)𝑐)) ∧ ((𝑎(+g𝐼)𝑏)(.r𝐼)𝑐) = ((𝑎(.r𝐼)𝑐)(+g𝐼)(𝑏(.r𝐼)𝑐)))))
493, 4, 43, 48syl3anbrc 1343 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈𝐿) → 𝐼 ∈ Rng)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3064  cfv 6496  (class class class)co 7357  Basecbs 17083  s cress 17112  +gcplusg 17133  .rcmulr 17134  Smgrpcsgrp 18545  Abelcabl 19563  mulGrpcmgp 19896  Ringcrg 19964  LIdealclidl 20631  Rngcrng 46162
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-0g 17323  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-grp 18751  df-minusg 18752  df-sbg 18753  df-subg 18925  df-cmn 19564  df-abl 19565  df-mgp 19897  df-ur 19914  df-ring 19966  df-subrg 20220  df-lmod 20324  df-lss 20393  df-sra 20633  df-rgmod 20634  df-lidl 20635  df-rng 46163
This theorem is referenced by:  zlidlring  46216  uzlidlring  46217  2zrng  46223
  Copyright terms: Public domain W3C validator