Theorem frlmsslss 21700

Description: A subset of a free module obtained by restricting the support set is a submodule. 𝐽 is the set of forbidden unit vectors. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
frlmsslss.y	⊢ 𝑌 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
frlmsslss.u	⊢ 𝑈 = (LSubSp‘𝑌)
frlmsslss.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
frlmsslss.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
frlmsslss.c	⊢ 𝐶 = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑥 ↾ 𝐽) = (𝐽 × { 0 })}

Assertion

Ref	Expression
frlmsslss	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) → 𝐶 ∈ 𝑈)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐼   𝑥,𝐽   𝑥,𝑅   𝑥,𝑈   𝑥, 0   𝑥,𝑉   𝑥,𝑌

Allowed substitution hint:   𝐶(𝑥)

Proof of Theorem frlmsslss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frlmsslss.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑥 ↾ 𝐽) = (𝐽 × { 0 })}
2		simp1 1136	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) → 𝑅 ∈ Ring)
3		simp2 1137	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) → 𝐼 ∈ 𝑉)
4		simp3 1138	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) → 𝐽 ⊆ 𝐼)
5	3, 4	ssexd 5266	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) → 𝐽 ∈ V)
6		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 freeLMod 𝐽) = (𝑅 freeLMod 𝐽)
7		frlmsslss.z	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
8	6, 7	frlm0 21680	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐽 ∈ V) → (𝐽 × { 0 }) = (0g‘(𝑅 freeLMod 𝐽)))
9	2, 5, 8	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) → (𝐽 × { 0 }) = (0g‘(𝑅 freeLMod 𝐽)))
10	9	eqeq2d 2740	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) → ((𝑥 ↾ 𝐽) = (𝐽 × { 0 }) ↔ (𝑥 ↾ 𝐽) = (0g‘(𝑅 freeLMod 𝐽))))
11	10	rabbidv 3404	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) → {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑥 ↾ 𝐽) = (𝐽 × { 0 })} = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑥 ↾ 𝐽) = (0g‘(𝑅 freeLMod 𝐽))})
12	1, 11	eqtrid 2776	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) → 𝐶 = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑥 ↾ 𝐽) = (0g‘(𝑅 freeLMod 𝐽))})
13		frlmsslss.y	. . . 4 ⊢ 𝑌 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
14		frlmsslss.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
15		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐽)) = (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐽))
16		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 ↾ 𝐽)) = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 ↾ 𝐽))
17	13, 6, 14, 15, 16	frlmsplit2 21699	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 ↾ 𝐽)) ∈ (𝑌 LMHom (𝑅 freeLMod 𝐽)))
18		fvex 6839	. . . . . 6 ⊢ (0g‘(𝑅 freeLMod 𝐽)) ∈ V
19	16	mptiniseg 6192	. . . . . 6 ⊢ ((0g‘(𝑅 freeLMod 𝐽)) ∈ V → (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 ↾ 𝐽)) “ {(0g‘(𝑅 freeLMod 𝐽))}) = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑥 ↾ 𝐽) = (0g‘(𝑅 freeLMod 𝐽))})
20	18, 19	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 ↾ 𝐽)) “ {(0g‘(𝑅 freeLMod 𝐽))}) = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑥 ↾ 𝐽) = (0g‘(𝑅 freeLMod 𝐽))}
21	20	eqcomi 2738	. . . 4 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑥 ↾ 𝐽) = (0g‘(𝑅 freeLMod 𝐽))} = (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 ↾ 𝐽)) “ {(0g‘(𝑅 freeLMod 𝐽))})
22		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (0g‘(𝑅 freeLMod 𝐽)) = (0g‘(𝑅 freeLMod 𝐽))
23		frlmsslss.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (LSubSp‘𝑌)
24	21, 22, 23	lmhmkerlss 20974	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 ↾ 𝐽)) ∈ (𝑌 LMHom (𝑅 freeLMod 𝐽)) → {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑥 ↾ 𝐽) = (0g‘(𝑅 freeLMod 𝐽))} ∈ 𝑈)
25	17, 24	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) → {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑥 ↾ 𝐽) = (0g‘(𝑅 freeLMod 𝐽))} ∈ 𝑈)
26	12, 25	eqeltrd 2828	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) → 𝐶 ∈ 𝑈)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  {crab 3396  Vcvv 3438   ⊆ wss 3905  {csn 4579   ↦ cmpt 5176   × cxp 5621  ^◡ccnv 5622   ↾ cres 5625   “ cima 5626  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353  Basecbs 17139  0_gc0g 17362  Ringcrg 20137  LSubSpclss 20853   LMHom clmhm 20942   freeLMod cfrlm 21672

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-of 7617  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-supp 8101  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8632  df-map 8762  df-ixp 8832  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-fsupp 9271  df-sup 9351  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-nn 12148  df-2 12210  df-3 12211  df-4 12212  df-5 12213  df-6 12214  df-7 12215  df-8 12216  df-9 12217  df-n0 12404  df-z 12491  df-dec 12611  df-uz 12755  df-fz 13430  df-struct 17077  df-sets 17094  df-slot 17112  df-ndx 17124  df-base 17140  df-ress 17161  df-plusg 17193  df-mulr 17194  df-sca 17196  df-vsca 17197  df-ip 17198  df-tset 17199  df-ple 17200  df-ds 17202  df-hom 17204  df-cco 17205  df-0g 17364  df-prds 17370  df-pws 17372  df-mgm 18533  df-sgrp 18612  df-mnd 18628  df-mhm 18676  df-submnd 18677  df-grp 18834  df-minusg 18835  df-sbg 18836  df-subg 19021  df-ghm 19111  df-cmn 19680  df-abl 19681  df-mgp 20045  df-rng 20057  df-ur 20086  df-ring 20139  df-subrg 20474  df-lmod 20784  df-lss 20854  df-lmhm 20945  df-sra 21096  df-rgmod 21097  df-dsmm 21658  df-frlm 21673

This theorem is referenced by:  frlmsslss2  21701