Theorem frlmsslss 21695

Description: A subset of a free module obtained by restricting the support set is a submodule. 𝐽 is the set of forbidden unit vectors. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
frlmsslss.y	⊢ 𝑌 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
frlmsslss.u	⊢ 𝑈 = (LSubSp‘𝑌)
frlmsslss.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
frlmsslss.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
frlmsslss.c	⊢ 𝐶 = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑥 ↾ 𝐽) = (𝐽 × { 0 })}

Assertion

Ref	Expression
frlmsslss	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) → 𝐶 ∈ 𝑈)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐼   𝑥,𝐽   𝑥,𝑅   𝑥,𝑈   𝑥, 0   𝑥,𝑉   𝑥,𝑌

Allowed substitution hint:   𝐶(𝑥)

Proof of Theorem frlmsslss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frlmsslss.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑥 ↾ 𝐽) = (𝐽 × { 0 })}
2		simp1 1134	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) → 𝑅 ∈ Ring)
3		simp2 1135	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) → 𝐼 ∈ 𝑉)
4		simp3 1136	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) → 𝐽 ⊆ 𝐼)
5	3, 4	ssexd 5318	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) → 𝐽 ∈ V)
6		eqid 2727	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 freeLMod 𝐽) = (𝑅 freeLMod 𝐽)
7		frlmsslss.z	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
8	6, 7	frlm0 21675	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐽 ∈ V) → (𝐽 × { 0 }) = (0g‘(𝑅 freeLMod 𝐽)))
9	2, 5, 8	syl2anc 583	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) → (𝐽 × { 0 }) = (0g‘(𝑅 freeLMod 𝐽)))
10	9	eqeq2d 2738	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) → ((𝑥 ↾ 𝐽) = (𝐽 × { 0 }) ↔ (𝑥 ↾ 𝐽) = (0g‘(𝑅 freeLMod 𝐽))))
11	10	rabbidv 3435	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) → {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑥 ↾ 𝐽) = (𝐽 × { 0 })} = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑥 ↾ 𝐽) = (0g‘(𝑅 freeLMod 𝐽))})
12	1, 11	eqtrid 2779	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) → 𝐶 = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑥 ↾ 𝐽) = (0g‘(𝑅 freeLMod 𝐽))})
13		frlmsslss.y	. . . 4 ⊢ 𝑌 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
14		frlmsslss.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
15		eqid 2727	. . . 4 ⊢ (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐽)) = (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐽))
16		eqid 2727	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 ↾ 𝐽)) = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 ↾ 𝐽))
17	13, 6, 14, 15, 16	frlmsplit2 21694	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 ↾ 𝐽)) ∈ (𝑌 LMHom (𝑅 freeLMod 𝐽)))
18		fvex 6904	. . . . . 6 ⊢ (0g‘(𝑅 freeLMod 𝐽)) ∈ V
19	16	mptiniseg 6237	. . . . . 6 ⊢ ((0g‘(𝑅 freeLMod 𝐽)) ∈ V → (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 ↾ 𝐽)) “ {(0g‘(𝑅 freeLMod 𝐽))}) = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑥 ↾ 𝐽) = (0g‘(𝑅 freeLMod 𝐽))})
20	18, 19	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 ↾ 𝐽)) “ {(0g‘(𝑅 freeLMod 𝐽))}) = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑥 ↾ 𝐽) = (0g‘(𝑅 freeLMod 𝐽))}
21	20	eqcomi 2736	. . . 4 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑥 ↾ 𝐽) = (0g‘(𝑅 freeLMod 𝐽))} = (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 ↾ 𝐽)) “ {(0g‘(𝑅 freeLMod 𝐽))})
22		eqid 2727	. . . 4 ⊢ (0g‘(𝑅 freeLMod 𝐽)) = (0g‘(𝑅 freeLMod 𝐽))
23		frlmsslss.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (LSubSp‘𝑌)
24	21, 22, 23	lmhmkerlss 20925	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 ↾ 𝐽)) ∈ (𝑌 LMHom (𝑅 freeLMod 𝐽)) → {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑥 ↾ 𝐽) = (0g‘(𝑅 freeLMod 𝐽))} ∈ 𝑈)
25	17, 24	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) → {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑥 ↾ 𝐽) = (0g‘(𝑅 freeLMod 𝐽))} ∈ 𝑈)
26	12, 25	eqeltrd 2828	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) → 𝐶 ∈ 𝑈)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  {crab 3427  Vcvv 3469   ⊆ wss 3944  {csn 4624   ↦ cmpt 5225   × cxp 5670  ^◡ccnv 5671   ↾ cres 5674   “ cima 5675  ‘cfv 6542  (class class class)co 7414  Basecbs 17171  0_gc0g 17412  Ringcrg 20164  LSubSpclss 20804   LMHom clmhm 20893   freeLMod cfrlm 21667

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7679  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8160  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-map 8838  df-ixp 8908  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-fsupp 9378  df-sup 9457  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12235  df-2 12297  df-3 12298  df-4 12299  df-5 12300  df-6 12301  df-7 12302  df-8 12303  df-9 12304  df-n0 12495  df-z 12581  df-dec 12700  df-uz 12845  df-fz 13509  df-struct 17107  df-sets 17124  df-slot 17142  df-ndx 17154  df-base 17172  df-ress 17201  df-plusg 17237  df-mulr 17238  df-sca 17240  df-vsca 17241  df-ip 17242  df-tset 17243  df-ple 17244  df-ds 17246  df-hom 17248  df-cco 17249  df-0g 17414  df-prds 17420  df-pws 17422  df-mgm 18591  df-sgrp 18670  df-mnd 18686  df-mhm 18731  df-submnd 18732  df-grp 18884  df-minusg 18885  df-sbg 18886  df-subg 19069  df-ghm 19159  df-cmn 19728  df-abl 19729  df-mgp 20066  df-rng 20084  df-ur 20113  df-ring 20166  df-subrg 20497  df-lmod 20734  df-lss 20805  df-lmhm 20896  df-sra 21047  df-rgmod 21048  df-dsmm 21653  df-frlm 21668

This theorem is referenced by:  frlmsslss2  21696