Theorem frlmsslss 21706

Description: A subset of a free module obtained by restricting the support set is a submodule. 𝐽 is the set of forbidden unit vectors. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
frlmsslss.y	⊢ 𝑌 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
frlmsslss.u	⊢ 𝑈 = (LSubSp‘𝑌)
frlmsslss.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
frlmsslss.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
frlmsslss.c	⊢ 𝐶 = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑥 ↾ 𝐽) = (𝐽 × { 0 })}

Assertion

Ref	Expression
frlmsslss	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) → 𝐶 ∈ 𝑈)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐼   𝑥,𝐽   𝑥,𝑅   𝑥,𝑈   𝑥, 0   𝑥,𝑉   𝑥,𝑌

Allowed substitution hint:   𝐶(𝑥)

Proof of Theorem frlmsslss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frlmsslss.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑥 ↾ 𝐽) = (𝐽 × { 0 })}
2		simp1 1136	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) → 𝑅 ∈ Ring)
3		simp2 1137	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) → 𝐼 ∈ 𝑉)
4		simp3 1138	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) → 𝐽 ⊆ 𝐼)
5	3, 4	ssexd 5257	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) → 𝐽 ∈ V)
6		eqid 2731	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 freeLMod 𝐽) = (𝑅 freeLMod 𝐽)
7		frlmsslss.z	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
8	6, 7	frlm0 21686	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐽 ∈ V) → (𝐽 × { 0 }) = (0g‘(𝑅 freeLMod 𝐽)))
9	2, 5, 8	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) → (𝐽 × { 0 }) = (0g‘(𝑅 freeLMod 𝐽)))
10	9	eqeq2d 2742	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) → ((𝑥 ↾ 𝐽) = (𝐽 × { 0 }) ↔ (𝑥 ↾ 𝐽) = (0g‘(𝑅 freeLMod 𝐽))))
11	10	rabbidv 3402	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) → {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑥 ↾ 𝐽) = (𝐽 × { 0 })} = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑥 ↾ 𝐽) = (0g‘(𝑅 freeLMod 𝐽))})
12	1, 11	eqtrid 2778	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) → 𝐶 = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑥 ↾ 𝐽) = (0g‘(𝑅 freeLMod 𝐽))})
13		frlmsslss.y	. . . 4 ⊢ 𝑌 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
14		frlmsslss.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
15		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐽)) = (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐽))
16		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 ↾ 𝐽)) = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 ↾ 𝐽))
17	13, 6, 14, 15, 16	frlmsplit2 21705	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 ↾ 𝐽)) ∈ (𝑌 LMHom (𝑅 freeLMod 𝐽)))
18		fvex 6830	. . . . . 6 ⊢ (0g‘(𝑅 freeLMod 𝐽)) ∈ V
19	16	mptiniseg 6181	. . . . . 6 ⊢ ((0g‘(𝑅 freeLMod 𝐽)) ∈ V → (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 ↾ 𝐽)) “ {(0g‘(𝑅 freeLMod 𝐽))}) = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑥 ↾ 𝐽) = (0g‘(𝑅 freeLMod 𝐽))})
20	18, 19	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 ↾ 𝐽)) “ {(0g‘(𝑅 freeLMod 𝐽))}) = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑥 ↾ 𝐽) = (0g‘(𝑅 freeLMod 𝐽))}
21	20	eqcomi 2740	. . . 4 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑥 ↾ 𝐽) = (0g‘(𝑅 freeLMod 𝐽))} = (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 ↾ 𝐽)) “ {(0g‘(𝑅 freeLMod 𝐽))})
22		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (0g‘(𝑅 freeLMod 𝐽)) = (0g‘(𝑅 freeLMod 𝐽))
23		frlmsslss.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (LSubSp‘𝑌)
24	21, 22, 23	lmhmkerlss 20980	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 ↾ 𝐽)) ∈ (𝑌 LMHom (𝑅 freeLMod 𝐽)) → {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑥 ↾ 𝐽) = (0g‘(𝑅 freeLMod 𝐽))} ∈ 𝑈)
25	17, 24	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) → {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑥 ↾ 𝐽) = (0g‘(𝑅 freeLMod 𝐽))} ∈ 𝑈)
26	12, 25	eqeltrd 2831	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) → 𝐶 ∈ 𝑈)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  {crab 3395  Vcvv 3436   ⊆ wss 3897  {csn 4571   ↦ cmpt 5167   × cxp 5609  ^◡ccnv 5610   ↾ cres 5613   “ cima 5614  ‘cfv 6476  (class class class)co 7341  Basecbs 17115  0_gc0g 17338  Ringcrg 20146  LSubSpclss 20859   LMHom clmhm 20948   freeLMod cfrlm 21678

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5212  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365  ax-un 7663  ax-cnex 11057  ax-resscn 11058  ax-1cn 11059  ax-icn 11060  ax-addcl 11061  ax-addrcl 11062  ax-mulcl 11063  ax-mulrcl 11064  ax-mulcom 11065  ax-addass 11066  ax-mulass 11067  ax-distr 11068  ax-i2m1 11069  ax-1ne0 11070  ax-1rid 11071  ax-rnegex 11072  ax-rrecex 11073  ax-cnre 11074  ax-pre-lttri 11075  ax-pre-lttrn 11076  ax-pre-ltadd 11077  ax-pre-mulgt0 11078

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-tp 4576  df-op 4578  df-uni 4855  df-iun 4938  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5506  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5564  df-we 5566  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-of 7605  df-om 7792  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-supp 8086  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-1o 8380  df-er 8617  df-map 8747  df-ixp 8817  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-fin 8868  df-fsupp 9241  df-sup 9321  df-pnf 11143  df-mnf 11144  df-xr 11145  df-ltxr 11146  df-le 11147  df-sub 11341  df-neg 11342  df-nn 12121  df-2 12183  df-3 12184  df-4 12185  df-5 12186  df-6 12187  df-7 12188  df-8 12189  df-9 12190  df-n0 12377  df-z 12464  df-dec 12584  df-uz 12728  df-fz 13403  df-struct 17053  df-sets 17070  df-slot 17088  df-ndx 17100  df-base 17116  df-ress 17137  df-plusg 17169  df-mulr 17170  df-sca 17172  df-vsca 17173  df-ip 17174  df-tset 17175  df-ple 17176  df-ds 17178  df-hom 17180  df-cco 17181  df-0g 17340  df-prds 17346  df-pws 17348  df-mgm 18543  df-sgrp 18622  df-mnd 18638  df-mhm 18686  df-submnd 18687  df-grp 18844  df-minusg 18845  df-sbg 18846  df-subg 19031  df-ghm 19120  df-cmn 19689  df-abl 19690  df-mgp 20054  df-rng 20066  df-ur 20095  df-ring 20148  df-subrg 20480  df-lmod 20790  df-lss 20860  df-lmhm 20951  df-sra 21102  df-rgmod 21103  df-dsmm 21664  df-frlm 21679

This theorem is referenced by:  frlmsslss2  21707