MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  chpscmatgsummon Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem chpscmatgsummon 22569
Description: The characteristic polynomial of a (nonempty!) scalar matrix, expressed as finite group sum of scaled monomials. (Contributed by AV, 2-Sep-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
chp0mat.c 𝐢 = (𝑁 CharPlyMat 𝑅)
chp0mat.p 𝑃 = (Poly1β€˜π‘…)
chp0mat.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
chp0mat.x 𝑋 = (var1β€˜π‘…)
chp0mat.g 𝐺 = (mulGrpβ€˜π‘ƒ)
chp0mat.m ↑ = (.gβ€˜πΊ)
chpscmat.d 𝐷 = {π‘š ∈ (Baseβ€˜π΄) ∣ βˆƒπ‘ ∈ (Baseβ€˜π‘…)βˆ€π‘– ∈ 𝑁 βˆ€π‘— ∈ 𝑁 (π‘–π‘šπ‘—) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑐, (0gβ€˜π‘…))}
chpscmat.s 𝑆 = (algScβ€˜π‘ƒ)
chpscmat.m βˆ’ = (-gβ€˜π‘ƒ)
chpscmatgsum.f 𝐹 = (.gβ€˜π‘ƒ)
chpscmatgsum.h 𝐻 = (mulGrpβ€˜π‘…)
chpscmatgsum.e 𝐸 = (.gβ€˜π»)
chpscmatgsum.i 𝐼 = (invgβ€˜π‘…)
chpscmatgsum.s Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)
chpscmatgsum.z 𝑍 = (.gβ€˜π‘…)
Assertion
Ref Expression
chpscmatgsummon (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) β†’ (πΆβ€˜π‘€) = (𝑃 Ξ£g (𝑙 ∈ (0...(β™―β€˜π‘)) ↦ ((((β™―β€˜π‘)C𝑙)𝑍(((β™―β€˜π‘) βˆ’ 𝑙)𝐸(πΌβ€˜(𝐽𝑀𝐽)))) Β· (𝑙 ↑ 𝑋)))))
Distinct variable groups:   𝑖,𝑗,𝐴   𝑖,𝑁,𝑗   𝑃,𝑖,𝑗   𝑅,𝑖,𝑗   𝑖,𝑋,𝑗   𝐴,𝑐,π‘š   𝐷,𝑛   𝑛,𝐸   𝑛,𝐼   𝑀,𝑐,𝑖,𝑗,π‘š,𝑛   𝑁,𝑐,π‘š,𝑛   𝑃,𝑛   𝑅,𝑐,π‘š,𝑛   𝑆,𝑛   𝐷,𝑙   𝐹,𝑙   𝐼,𝑙   𝐽,𝑙,𝑛   𝑀,𝑙   𝑁,𝑙   𝑃,𝑙   𝑅,𝑙   𝑆,𝑙   𝑋,𝑙   ↑ ,𝑙
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑛,𝑙)   𝐢(𝑖,𝑗,π‘š,𝑛,𝑐,𝑙)   𝐷(𝑖,𝑗,π‘š,𝑐)   𝑃(π‘š,𝑐)   𝑆(𝑖,𝑗,π‘š,𝑐)   Β· (𝑖,𝑗,π‘š,𝑛,𝑐,𝑙)   𝐸(𝑖,𝑗,π‘š,𝑐,𝑙)   ↑ (𝑖,𝑗,π‘š,𝑛,𝑐)   𝐹(𝑖,𝑗,π‘š,𝑛,𝑐)   𝐺(𝑖,𝑗,π‘š,𝑛,𝑐,𝑙)   𝐻(𝑖,𝑗,π‘š,𝑛,𝑐,𝑙)   𝐼(𝑖,𝑗,π‘š,𝑐)   𝐽(𝑖,𝑗,π‘š,𝑐)   βˆ’ (𝑖,𝑗,π‘š,𝑛,𝑐,𝑙)   𝑋(π‘š,𝑛,𝑐)   𝑍(𝑖,𝑗,π‘š,𝑛,𝑐,𝑙)

Proof of Theorem chpscmatgsummon
StepHypRef Expression
1 chp0mat.c . . 3 𝐢 = (𝑁 CharPlyMat 𝑅)
2 chp0mat.p . . 3 𝑃 = (Poly1β€˜π‘…)
3 chp0mat.a . . 3 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
4 chp0mat.x . . 3 𝑋 = (var1β€˜π‘…)
5 chp0mat.g . . 3 𝐺 = (mulGrpβ€˜π‘ƒ)
6 chp0mat.m . . 3 ↑ = (.gβ€˜πΊ)
7 chpscmat.d . . 3 𝐷 = {π‘š ∈ (Baseβ€˜π΄) ∣ βˆƒπ‘ ∈ (Baseβ€˜π‘…)βˆ€π‘– ∈ 𝑁 βˆ€π‘— ∈ 𝑁 (π‘–π‘šπ‘—) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑐, (0gβ€˜π‘…))}
8 chpscmat.s . . 3 𝑆 = (algScβ€˜π‘ƒ)
9 chpscmat.m . . 3 βˆ’ = (-gβ€˜π‘ƒ)
10 chpscmatgsum.f . . 3 𝐹 = (.gβ€˜π‘ƒ)
11 chpscmatgsum.h . . 3 𝐻 = (mulGrpβ€˜π‘…)
12 chpscmatgsum.e . . 3 𝐸 = (.gβ€˜π»)
13 chpscmatgsum.i . . 3 𝐼 = (invgβ€˜π‘…)
14 chpscmatgsum.s . . 3 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)
151, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14chpscmatgsumbin 22568 . 2 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) β†’ (πΆβ€˜π‘€) = (𝑃 Ξ£g (𝑙 ∈ (0...(β™―β€˜π‘)) ↦ (((β™―β€˜π‘)C𝑙)𝐹((((β™―β€˜π‘) βˆ’ 𝑙)𝐸(πΌβ€˜(𝐽𝑀𝐽))) Β· (𝑙 ↑ 𝑋))))))
16 crngring 20141 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ CRing β†’ 𝑅 ∈ Ring)
1716adantl 480 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
182ply1lmod 21996 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑃 ∈ LMod)
1917, 18syl 17 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) β†’ 𝑃 ∈ LMod)
2019ad2antrr 722 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) ∧ 𝑙 ∈ (0...(β™―β€˜π‘))) β†’ 𝑃 ∈ LMod)
21 eqid 2730 . . . . . . . . 9 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
2211, 21mgpbas 20036 . . . . . . . 8 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π»)
2311ringmgp 20135 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝐻 ∈ Mnd)
2417, 23syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) β†’ 𝐻 ∈ Mnd)
2524ad2antrr 722 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) ∧ 𝑙 ∈ (0...(β™―β€˜π‘))) β†’ 𝐻 ∈ Mnd)
26 fznn0sub 13539 . . . . . . . . 9 (𝑙 ∈ (0...(β™―β€˜π‘)) β†’ ((β™―β€˜π‘) βˆ’ 𝑙) ∈ β„•0)
2726adantl 480 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) ∧ 𝑙 ∈ (0...(β™―β€˜π‘))) β†’ ((β™―β€˜π‘) βˆ’ 𝑙) ∈ β„•0)
28 ringgrp 20134 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑅 ∈ Grp)
2916, 28syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ CRing β†’ 𝑅 ∈ Grp)
3029adantl 480 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) β†’ 𝑅 ∈ Grp)
31 simp2 1135 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽)) β†’ 𝐽 ∈ 𝑁)
32 elrabi 3678 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀 ∈ {π‘š ∈ (Baseβ€˜π΄) ∣ βˆƒπ‘ ∈ (Baseβ€˜π‘…)βˆ€π‘– ∈ 𝑁 βˆ€π‘— ∈ 𝑁 (π‘–π‘šπ‘—) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑐, (0gβ€˜π‘…))} β†’ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜π΄))
3332, 7eleq2s 2849 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ 𝐷 β†’ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜π΄))
34333ad2ant1 1131 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽)) β†’ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜π΄))
3531, 31, 343jca 1126 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽)) β†’ (𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜π΄)))
3635adantl 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) β†’ (𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜π΄)))
373, 21matecl 22149 . . . . . . . . . . 11 ((𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜π΄)) β†’ (𝐽𝑀𝐽) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
3836, 37syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) β†’ (𝐽𝑀𝐽) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
3921, 13grpinvcl 18910 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝐽𝑀𝐽) ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ (πΌβ€˜(𝐽𝑀𝐽)) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
4030, 38, 39syl2an2r 681 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) β†’ (πΌβ€˜(𝐽𝑀𝐽)) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
4140adantr 479 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) ∧ 𝑙 ∈ (0...(β™―β€˜π‘))) β†’ (πΌβ€˜(𝐽𝑀𝐽)) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
4222, 12, 25, 27, 41mulgnn0cld 19013 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) ∧ 𝑙 ∈ (0...(β™―β€˜π‘))) β†’ (((β™―β€˜π‘) βˆ’ 𝑙)𝐸(πΌβ€˜(𝐽𝑀𝐽))) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
432ply1sca 21997 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ CRing β†’ 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘ƒ))
4443adantl 480 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) β†’ 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘ƒ))
4544eqcomd 2736 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) β†’ (Scalarβ€˜π‘ƒ) = 𝑅)
4645fveq2d 6896 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) β†’ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)) = (Baseβ€˜π‘…))
4746ad2antrr 722 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) ∧ 𝑙 ∈ (0...(β™―β€˜π‘))) β†’ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)) = (Baseβ€˜π‘…))
4842, 47eleqtrrd 2834 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) ∧ 𝑙 ∈ (0...(β™―β€˜π‘))) β†’ (((β™―β€˜π‘) βˆ’ 𝑙)𝐸(πΌβ€˜(𝐽𝑀𝐽))) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)))
49 hashcl 14322 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ Fin β†’ (β™―β€˜π‘) ∈ β„•0)
5049ad2antrr 722 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) β†’ (β™―β€˜π‘) ∈ β„•0)
51 elfzelz 13507 . . . . . . 7 (𝑙 ∈ (0...(β™―β€˜π‘)) β†’ 𝑙 ∈ β„€)
52 bccl 14288 . . . . . . 7 (((β™―β€˜π‘) ∈ β„•0 ∧ 𝑙 ∈ β„€) β†’ ((β™―β€˜π‘)C𝑙) ∈ β„•0)
5350, 51, 52syl2an 594 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) ∧ 𝑙 ∈ (0...(β™―β€˜π‘))) β†’ ((β™―β€˜π‘)C𝑙) ∈ β„•0)
54 eqid 2730 . . . . . . . 8 (Baseβ€˜π‘ƒ) = (Baseβ€˜π‘ƒ)
555, 54mgpbas 20036 . . . . . . 7 (Baseβ€˜π‘ƒ) = (Baseβ€˜πΊ)
562ply1ring 21992 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑃 ∈ Ring)
575ringmgp 20135 . . . . . . . . . 10 (𝑃 ∈ Ring β†’ 𝐺 ∈ Mnd)
5816, 56, 573syl 18 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ CRing β†’ 𝐺 ∈ Mnd)
5958adantl 480 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) β†’ 𝐺 ∈ Mnd)
6059ad2antrr 722 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) ∧ 𝑙 ∈ (0...(β™―β€˜π‘))) β†’ 𝐺 ∈ Mnd)
61 elfznn0 13600 . . . . . . . 8 (𝑙 ∈ (0...(β™―β€˜π‘)) β†’ 𝑙 ∈ β„•0)
6261adantl 480 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) ∧ 𝑙 ∈ (0...(β™―β€˜π‘))) β†’ 𝑙 ∈ β„•0)
634, 2, 54vr1cl 21962 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
6417, 63syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
6564ad2antrr 722 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) ∧ 𝑙 ∈ (0...(β™―β€˜π‘))) β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
6655, 6, 60, 62, 65mulgnn0cld 19013 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) ∧ 𝑙 ∈ (0...(β™―β€˜π‘))) β†’ (𝑙 ↑ 𝑋) ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
67 eqid 2730 . . . . . . 7 (Scalarβ€˜π‘ƒ) = (Scalarβ€˜π‘ƒ)
68 eqid 2730 . . . . . . 7 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ))
69 eqid 2730 . . . . . . 7 (.gβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)) = (.gβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ))
7054, 67, 14, 68, 10, 69lmodvsmmulgdi 20653 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ LMod ∧ ((((β™―β€˜π‘) βˆ’ 𝑙)𝐸(πΌβ€˜(𝐽𝑀𝐽))) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)) ∧ ((β™―β€˜π‘)C𝑙) ∈ β„•0 ∧ (𝑙 ↑ 𝑋) ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))) β†’ (((β™―β€˜π‘)C𝑙)𝐹((((β™―β€˜π‘) βˆ’ 𝑙)𝐸(πΌβ€˜(𝐽𝑀𝐽))) Β· (𝑙 ↑ 𝑋))) = ((((β™―β€˜π‘)C𝑙)(.gβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ))(((β™―β€˜π‘) βˆ’ 𝑙)𝐸(πΌβ€˜(𝐽𝑀𝐽)))) Β· (𝑙 ↑ 𝑋)))
7120, 48, 53, 66, 70syl13anc 1370 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) ∧ 𝑙 ∈ (0...(β™―β€˜π‘))) β†’ (((β™―β€˜π‘)C𝑙)𝐹((((β™―β€˜π‘) βˆ’ 𝑙)𝐸(πΌβ€˜(𝐽𝑀𝐽))) Β· (𝑙 ↑ 𝑋))) = ((((β™―β€˜π‘)C𝑙)(.gβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ))(((β™―β€˜π‘) βˆ’ 𝑙)𝐸(πΌβ€˜(𝐽𝑀𝐽)))) Β· (𝑙 ↑ 𝑋)))
72 chpscmatgsum.z . . . . . . . . 9 𝑍 = (.gβ€˜π‘…)
7344fveq2d 6896 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) β†’ (.gβ€˜π‘…) = (.gβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)))
7472, 73eqtr2id 2783 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) β†’ (.gβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)) = 𝑍)
7574ad2antrr 722 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) ∧ 𝑙 ∈ (0...(β™―β€˜π‘))) β†’ (.gβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)) = 𝑍)
7675oveqd 7430 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) ∧ 𝑙 ∈ (0...(β™―β€˜π‘))) β†’ (((β™―β€˜π‘)C𝑙)(.gβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ))(((β™―β€˜π‘) βˆ’ 𝑙)𝐸(πΌβ€˜(𝐽𝑀𝐽)))) = (((β™―β€˜π‘)C𝑙)𝑍(((β™―β€˜π‘) βˆ’ 𝑙)𝐸(πΌβ€˜(𝐽𝑀𝐽)))))
7776oveq1d 7428 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) ∧ 𝑙 ∈ (0...(β™―β€˜π‘))) β†’ ((((β™―β€˜π‘)C𝑙)(.gβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ))(((β™―β€˜π‘) βˆ’ 𝑙)𝐸(πΌβ€˜(𝐽𝑀𝐽)))) Β· (𝑙 ↑ 𝑋)) = ((((β™―β€˜π‘)C𝑙)𝑍(((β™―β€˜π‘) βˆ’ 𝑙)𝐸(πΌβ€˜(𝐽𝑀𝐽)))) Β· (𝑙 ↑ 𝑋)))
7871, 77eqtrd 2770 . . . 4 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) ∧ 𝑙 ∈ (0...(β™―β€˜π‘))) β†’ (((β™―β€˜π‘)C𝑙)𝐹((((β™―β€˜π‘) βˆ’ 𝑙)𝐸(πΌβ€˜(𝐽𝑀𝐽))) Β· (𝑙 ↑ 𝑋))) = ((((β™―β€˜π‘)C𝑙)𝑍(((β™―β€˜π‘) βˆ’ 𝑙)𝐸(πΌβ€˜(𝐽𝑀𝐽)))) Β· (𝑙 ↑ 𝑋)))
7978mpteq2dva 5249 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) β†’ (𝑙 ∈ (0...(β™―β€˜π‘)) ↦ (((β™―β€˜π‘)C𝑙)𝐹((((β™―β€˜π‘) βˆ’ 𝑙)𝐸(πΌβ€˜(𝐽𝑀𝐽))) Β· (𝑙 ↑ 𝑋)))) = (𝑙 ∈ (0...(β™―β€˜π‘)) ↦ ((((β™―β€˜π‘)C𝑙)𝑍(((β™―β€˜π‘) βˆ’ 𝑙)𝐸(πΌβ€˜(𝐽𝑀𝐽)))) Β· (𝑙 ↑ 𝑋))))
8079oveq2d 7429 . 2 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) β†’ (𝑃 Ξ£g (𝑙 ∈ (0...(β™―β€˜π‘)) ↦ (((β™―β€˜π‘)C𝑙)𝐹((((β™―β€˜π‘) βˆ’ 𝑙)𝐸(πΌβ€˜(𝐽𝑀𝐽))) Β· (𝑙 ↑ 𝑋))))) = (𝑃 Ξ£g (𝑙 ∈ (0...(β™―β€˜π‘)) ↦ ((((β™―β€˜π‘)C𝑙)𝑍(((β™―β€˜π‘) βˆ’ 𝑙)𝐸(πΌβ€˜(𝐽𝑀𝐽)))) Β· (𝑙 ↑ 𝑋)))))
8115, 80eqtrd 2770 1 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) β†’ (πΆβ€˜π‘€) = (𝑃 Ξ£g (𝑙 ∈ (0...(β™―β€˜π‘)) ↦ ((((β™―β€˜π‘)C𝑙)𝑍(((β™―β€˜π‘) βˆ’ 𝑙)𝐸(πΌβ€˜(𝐽𝑀𝐽)))) Β· (𝑙 ↑ 𝑋)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  βˆ€wral 3059  βˆƒwrex 3068  {crab 3430  ifcif 4529   ↦ cmpt 5232  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7413  Fincfn 8943  0cc0 11114   βˆ’ cmin 11450  β„•0cn0 12478  β„€cz 12564  ...cfz 13490  Ccbc 14268  β™―chash 14296  Basecbs 17150  Scalarcsca 17206   ·𝑠 cvsca 17207  0gc0g 17391   Ξ£g cgsu 17392  Mndcmnd 18661  Grpcgrp 18857  invgcminusg 18858  -gcsg 18859  .gcmg 18988  mulGrpcmgp 20030  Ringcrg 20129  CRingccrg 20130  LModclmod 20616  algSccascl 21628  var1cv1 21921  Poly1cpl1 21922   Mat cmat 22129   CharPlyMat cchpmat 22550
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7729  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191  ax-addf 11193  ax-mulf 11194
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-xor 1508  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-ot 4638  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-of 7674  df-ofr 7675  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-supp 8151  df-tpos 8215  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-2o 8471  df-er 8707  df-map 8826  df-pm 8827  df-ixp 8896  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-fsupp 9366  df-sup 9441  df-oi 9509  df-card 9938  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11452  df-neg 11453  df-div 11878  df-nn 12219  df-2 12281  df-3 12282  df-4 12283  df-5 12284  df-6 12285  df-7 12286  df-8 12287  df-9 12288  df-n0 12479  df-xnn0 12551  df-z 12565  df-dec 12684  df-uz 12829  df-rp 12981  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-seq 13973  df-exp 14034  df-fac 14240  df-bc 14269  df-hash 14297  df-word 14471  df-lsw 14519  df-concat 14527  df-s1 14552  df-substr 14597  df-pfx 14627  df-splice 14706  df-reverse 14715  df-s2 14805  df-struct 17086  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17151  df-ress 17180  df-plusg 17216  df-mulr 17217  df-starv 17218  df-sca 17219  df-vsca 17220  df-ip 17221  df-tset 17222  df-ple 17223  df-ds 17225  df-unif 17226  df-hom 17227  df-cco 17228  df-0g 17393  df-gsum 17394  df-prds 17399  df-pws 17401  df-mre 17536  df-mrc 17537  df-acs 17539  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-mhm 18707  df-submnd 18708  df-efmnd 18788  df-grp 18860  df-minusg 18861  df-sbg 18862  df-mulg 18989  df-subg 19041  df-ghm 19130  df-gim 19175  df-cntz 19224  df-oppg 19253  df-symg 19278  df-pmtr 19353  df-psgn 19402  df-cmn 19693  df-abl 19694  df-mgp 20031  df-rng 20049  df-ur 20078  df-srg 20083  df-ring 20131  df-cring 20132  df-oppr 20227  df-dvdsr 20250  df-unit 20251  df-invr 20281  df-dvr 20294  df-rhm 20365  df-subrng 20436  df-subrg 20461  df-drng 20504  df-lmod 20618  df-lss 20689  df-sra 20932  df-rgmod 20933  df-cnfld 21147  df-zring 21220  df-zrh 21274  df-dsmm 21508  df-frlm 21523  df-assa 21629  df-ascl 21631  df-psr 21683  df-mvr 21684  df-mpl 21685  df-opsr 21687  df-psr1 21925  df-vr1 21926  df-ply1 21927  df-mamu 22108  df-mat 22130  df-mdet 22309  df-mat2pmat 22431  df-chpmat 22551
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator