MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  chpscmatgsummon Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem chpscmatgsummon 22346
Description: The characteristic polynomial of a (nonempty!) scalar matrix, expressed as finite group sum of scaled monomials. (Contributed by AV, 2-Sep-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
chp0mat.c 𝐢 = (𝑁 CharPlyMat 𝑅)
chp0mat.p 𝑃 = (Poly1β€˜π‘…)
chp0mat.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
chp0mat.x 𝑋 = (var1β€˜π‘…)
chp0mat.g 𝐺 = (mulGrpβ€˜π‘ƒ)
chp0mat.m ↑ = (.gβ€˜πΊ)
chpscmat.d 𝐷 = {π‘š ∈ (Baseβ€˜π΄) ∣ βˆƒπ‘ ∈ (Baseβ€˜π‘…)βˆ€π‘– ∈ 𝑁 βˆ€π‘— ∈ 𝑁 (π‘–π‘šπ‘—) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑐, (0gβ€˜π‘…))}
chpscmat.s 𝑆 = (algScβ€˜π‘ƒ)
chpscmat.m βˆ’ = (-gβ€˜π‘ƒ)
chpscmatgsum.f 𝐹 = (.gβ€˜π‘ƒ)
chpscmatgsum.h 𝐻 = (mulGrpβ€˜π‘…)
chpscmatgsum.e 𝐸 = (.gβ€˜π»)
chpscmatgsum.i 𝐼 = (invgβ€˜π‘…)
chpscmatgsum.s Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)
chpscmatgsum.z 𝑍 = (.gβ€˜π‘…)
Assertion
Ref Expression
chpscmatgsummon (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) β†’ (πΆβ€˜π‘€) = (𝑃 Ξ£g (𝑙 ∈ (0...(β™―β€˜π‘)) ↦ ((((β™―β€˜π‘)C𝑙)𝑍(((β™―β€˜π‘) βˆ’ 𝑙)𝐸(πΌβ€˜(𝐽𝑀𝐽)))) Β· (𝑙 ↑ 𝑋)))))
Distinct variable groups:   𝑖,𝑗,𝐴   𝑖,𝑁,𝑗   𝑃,𝑖,𝑗   𝑅,𝑖,𝑗   𝑖,𝑋,𝑗   𝐴,𝑐,π‘š   𝐷,𝑛   𝑛,𝐸   𝑛,𝐼   𝑀,𝑐,𝑖,𝑗,π‘š,𝑛   𝑁,𝑐,π‘š,𝑛   𝑃,𝑛   𝑅,𝑐,π‘š,𝑛   𝑆,𝑛   𝐷,𝑙   𝐹,𝑙   𝐼,𝑙   𝐽,𝑙,𝑛   𝑀,𝑙   𝑁,𝑙   𝑃,𝑙   𝑅,𝑙   𝑆,𝑙   𝑋,𝑙   ↑ ,𝑙
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑛,𝑙)   𝐢(𝑖,𝑗,π‘š,𝑛,𝑐,𝑙)   𝐷(𝑖,𝑗,π‘š,𝑐)   𝑃(π‘š,𝑐)   𝑆(𝑖,𝑗,π‘š,𝑐)   Β· (𝑖,𝑗,π‘š,𝑛,𝑐,𝑙)   𝐸(𝑖,𝑗,π‘š,𝑐,𝑙)   ↑ (𝑖,𝑗,π‘š,𝑛,𝑐)   𝐹(𝑖,𝑗,π‘š,𝑛,𝑐)   𝐺(𝑖,𝑗,π‘š,𝑛,𝑐,𝑙)   𝐻(𝑖,𝑗,π‘š,𝑛,𝑐,𝑙)   𝐼(𝑖,𝑗,π‘š,𝑐)   𝐽(𝑖,𝑗,π‘š,𝑐)   βˆ’ (𝑖,𝑗,π‘š,𝑛,𝑐,𝑙)   𝑋(π‘š,𝑛,𝑐)   𝑍(𝑖,𝑗,π‘š,𝑛,𝑐,𝑙)

Proof of Theorem chpscmatgsummon
StepHypRef Expression
1 chp0mat.c . . 3 𝐢 = (𝑁 CharPlyMat 𝑅)
2 chp0mat.p . . 3 𝑃 = (Poly1β€˜π‘…)
3 chp0mat.a . . 3 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
4 chp0mat.x . . 3 𝑋 = (var1β€˜π‘…)
5 chp0mat.g . . 3 𝐺 = (mulGrpβ€˜π‘ƒ)
6 chp0mat.m . . 3 ↑ = (.gβ€˜πΊ)
7 chpscmat.d . . 3 𝐷 = {π‘š ∈ (Baseβ€˜π΄) ∣ βˆƒπ‘ ∈ (Baseβ€˜π‘…)βˆ€π‘– ∈ 𝑁 βˆ€π‘— ∈ 𝑁 (π‘–π‘šπ‘—) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑐, (0gβ€˜π‘…))}
8 chpscmat.s . . 3 𝑆 = (algScβ€˜π‘ƒ)
9 chpscmat.m . . 3 βˆ’ = (-gβ€˜π‘ƒ)
10 chpscmatgsum.f . . 3 𝐹 = (.gβ€˜π‘ƒ)
11 chpscmatgsum.h . . 3 𝐻 = (mulGrpβ€˜π‘…)
12 chpscmatgsum.e . . 3 𝐸 = (.gβ€˜π»)
13 chpscmatgsum.i . . 3 𝐼 = (invgβ€˜π‘…)
14 chpscmatgsum.s . . 3 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)
151, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14chpscmatgsumbin 22345 . 2 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) β†’ (πΆβ€˜π‘€) = (𝑃 Ξ£g (𝑙 ∈ (0...(β™―β€˜π‘)) ↦ (((β™―β€˜π‘)C𝑙)𝐹((((β™―β€˜π‘) βˆ’ 𝑙)𝐸(πΌβ€˜(𝐽𝑀𝐽))) Β· (𝑙 ↑ 𝑋))))))
16 crngring 20067 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ CRing β†’ 𝑅 ∈ Ring)
1716adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
182ply1lmod 21773 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑃 ∈ LMod)
1917, 18syl 17 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) β†’ 𝑃 ∈ LMod)
2019ad2antrr 724 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) ∧ 𝑙 ∈ (0...(β™―β€˜π‘))) β†’ 𝑃 ∈ LMod)
21 eqid 2732 . . . . . . . . 9 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
2211, 21mgpbas 19992 . . . . . . . 8 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π»)
2311ringmgp 20061 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝐻 ∈ Mnd)
2417, 23syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) β†’ 𝐻 ∈ Mnd)
2524ad2antrr 724 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) ∧ 𝑙 ∈ (0...(β™―β€˜π‘))) β†’ 𝐻 ∈ Mnd)
26 fznn0sub 13532 . . . . . . . . 9 (𝑙 ∈ (0...(β™―β€˜π‘)) β†’ ((β™―β€˜π‘) βˆ’ 𝑙) ∈ β„•0)
2726adantl 482 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) ∧ 𝑙 ∈ (0...(β™―β€˜π‘))) β†’ ((β™―β€˜π‘) βˆ’ 𝑙) ∈ β„•0)
28 ringgrp 20060 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑅 ∈ Grp)
2916, 28syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ CRing β†’ 𝑅 ∈ Grp)
3029adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) β†’ 𝑅 ∈ Grp)
31 simp2 1137 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽)) β†’ 𝐽 ∈ 𝑁)
32 elrabi 3677 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀 ∈ {π‘š ∈ (Baseβ€˜π΄) ∣ βˆƒπ‘ ∈ (Baseβ€˜π‘…)βˆ€π‘– ∈ 𝑁 βˆ€π‘— ∈ 𝑁 (π‘–π‘šπ‘—) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑐, (0gβ€˜π‘…))} β†’ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜π΄))
3332, 7eleq2s 2851 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ 𝐷 β†’ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜π΄))
34333ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽)) β†’ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜π΄))
3531, 31, 343jca 1128 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽)) β†’ (𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜π΄)))
3635adantl 482 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) β†’ (𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜π΄)))
373, 21matecl 21926 . . . . . . . . . . 11 ((𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜π΄)) β†’ (𝐽𝑀𝐽) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
3836, 37syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) β†’ (𝐽𝑀𝐽) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
3921, 13grpinvcl 18871 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝐽𝑀𝐽) ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ (πΌβ€˜(𝐽𝑀𝐽)) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
4030, 38, 39syl2an2r 683 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) β†’ (πΌβ€˜(𝐽𝑀𝐽)) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
4140adantr 481 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) ∧ 𝑙 ∈ (0...(β™―β€˜π‘))) β†’ (πΌβ€˜(𝐽𝑀𝐽)) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
4222, 12, 25, 27, 41mulgnn0cld 18974 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) ∧ 𝑙 ∈ (0...(β™―β€˜π‘))) β†’ (((β™―β€˜π‘) βˆ’ 𝑙)𝐸(πΌβ€˜(𝐽𝑀𝐽))) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
432ply1sca 21774 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ CRing β†’ 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘ƒ))
4443adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) β†’ 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘ƒ))
4544eqcomd 2738 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) β†’ (Scalarβ€˜π‘ƒ) = 𝑅)
4645fveq2d 6895 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) β†’ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)) = (Baseβ€˜π‘…))
4746ad2antrr 724 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) ∧ 𝑙 ∈ (0...(β™―β€˜π‘))) β†’ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)) = (Baseβ€˜π‘…))
4842, 47eleqtrrd 2836 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) ∧ 𝑙 ∈ (0...(β™―β€˜π‘))) β†’ (((β™―β€˜π‘) βˆ’ 𝑙)𝐸(πΌβ€˜(𝐽𝑀𝐽))) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)))
49 hashcl 14315 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ Fin β†’ (β™―β€˜π‘) ∈ β„•0)
5049ad2antrr 724 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) β†’ (β™―β€˜π‘) ∈ β„•0)
51 elfzelz 13500 . . . . . . 7 (𝑙 ∈ (0...(β™―β€˜π‘)) β†’ 𝑙 ∈ β„€)
52 bccl 14281 . . . . . . 7 (((β™―β€˜π‘) ∈ β„•0 ∧ 𝑙 ∈ β„€) β†’ ((β™―β€˜π‘)C𝑙) ∈ β„•0)
5350, 51, 52syl2an 596 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) ∧ 𝑙 ∈ (0...(β™―β€˜π‘))) β†’ ((β™―β€˜π‘)C𝑙) ∈ β„•0)
54 eqid 2732 . . . . . . . 8 (Baseβ€˜π‘ƒ) = (Baseβ€˜π‘ƒ)
555, 54mgpbas 19992 . . . . . . 7 (Baseβ€˜π‘ƒ) = (Baseβ€˜πΊ)
562ply1ring 21769 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑃 ∈ Ring)
575ringmgp 20061 . . . . . . . . . 10 (𝑃 ∈ Ring β†’ 𝐺 ∈ Mnd)
5816, 56, 573syl 18 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ CRing β†’ 𝐺 ∈ Mnd)
5958adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) β†’ 𝐺 ∈ Mnd)
6059ad2antrr 724 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) ∧ 𝑙 ∈ (0...(β™―β€˜π‘))) β†’ 𝐺 ∈ Mnd)
61 elfznn0 13593 . . . . . . . 8 (𝑙 ∈ (0...(β™―β€˜π‘)) β†’ 𝑙 ∈ β„•0)
6261adantl 482 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) ∧ 𝑙 ∈ (0...(β™―β€˜π‘))) β†’ 𝑙 ∈ β„•0)
634, 2, 54vr1cl 21740 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
6417, 63syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
6564ad2antrr 724 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) ∧ 𝑙 ∈ (0...(β™―β€˜π‘))) β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
6655, 6, 60, 62, 65mulgnn0cld 18974 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) ∧ 𝑙 ∈ (0...(β™―β€˜π‘))) β†’ (𝑙 ↑ 𝑋) ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
67 eqid 2732 . . . . . . 7 (Scalarβ€˜π‘ƒ) = (Scalarβ€˜π‘ƒ)
68 eqid 2732 . . . . . . 7 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ))
69 eqid 2732 . . . . . . 7 (.gβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)) = (.gβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ))
7054, 67, 14, 68, 10, 69lmodvsmmulgdi 20506 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ LMod ∧ ((((β™―β€˜π‘) βˆ’ 𝑙)𝐸(πΌβ€˜(𝐽𝑀𝐽))) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)) ∧ ((β™―β€˜π‘)C𝑙) ∈ β„•0 ∧ (𝑙 ↑ 𝑋) ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))) β†’ (((β™―β€˜π‘)C𝑙)𝐹((((β™―β€˜π‘) βˆ’ 𝑙)𝐸(πΌβ€˜(𝐽𝑀𝐽))) Β· (𝑙 ↑ 𝑋))) = ((((β™―β€˜π‘)C𝑙)(.gβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ))(((β™―β€˜π‘) βˆ’ 𝑙)𝐸(πΌβ€˜(𝐽𝑀𝐽)))) Β· (𝑙 ↑ 𝑋)))
7120, 48, 53, 66, 70syl13anc 1372 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) ∧ 𝑙 ∈ (0...(β™―β€˜π‘))) β†’ (((β™―β€˜π‘)C𝑙)𝐹((((β™―β€˜π‘) βˆ’ 𝑙)𝐸(πΌβ€˜(𝐽𝑀𝐽))) Β· (𝑙 ↑ 𝑋))) = ((((β™―β€˜π‘)C𝑙)(.gβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ))(((β™―β€˜π‘) βˆ’ 𝑙)𝐸(πΌβ€˜(𝐽𝑀𝐽)))) Β· (𝑙 ↑ 𝑋)))
72 chpscmatgsum.z . . . . . . . . 9 𝑍 = (.gβ€˜π‘…)
7344fveq2d 6895 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) β†’ (.gβ€˜π‘…) = (.gβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)))
7472, 73eqtr2id 2785 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) β†’ (.gβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)) = 𝑍)
7574ad2antrr 724 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) ∧ 𝑙 ∈ (0...(β™―β€˜π‘))) β†’ (.gβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)) = 𝑍)
7675oveqd 7425 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) ∧ 𝑙 ∈ (0...(β™―β€˜π‘))) β†’ (((β™―β€˜π‘)C𝑙)(.gβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ))(((β™―β€˜π‘) βˆ’ 𝑙)𝐸(πΌβ€˜(𝐽𝑀𝐽)))) = (((β™―β€˜π‘)C𝑙)𝑍(((β™―β€˜π‘) βˆ’ 𝑙)𝐸(πΌβ€˜(𝐽𝑀𝐽)))))
7776oveq1d 7423 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) ∧ 𝑙 ∈ (0...(β™―β€˜π‘))) β†’ ((((β™―β€˜π‘)C𝑙)(.gβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ))(((β™―β€˜π‘) βˆ’ 𝑙)𝐸(πΌβ€˜(𝐽𝑀𝐽)))) Β· (𝑙 ↑ 𝑋)) = ((((β™―β€˜π‘)C𝑙)𝑍(((β™―β€˜π‘) βˆ’ 𝑙)𝐸(πΌβ€˜(𝐽𝑀𝐽)))) Β· (𝑙 ↑ 𝑋)))
7871, 77eqtrd 2772 . . . 4 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) ∧ 𝑙 ∈ (0...(β™―β€˜π‘))) β†’ (((β™―β€˜π‘)C𝑙)𝐹((((β™―β€˜π‘) βˆ’ 𝑙)𝐸(πΌβ€˜(𝐽𝑀𝐽))) Β· (𝑙 ↑ 𝑋))) = ((((β™―β€˜π‘)C𝑙)𝑍(((β™―β€˜π‘) βˆ’ 𝑙)𝐸(πΌβ€˜(𝐽𝑀𝐽)))) Β· (𝑙 ↑ 𝑋)))
7978mpteq2dva 5248 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) β†’ (𝑙 ∈ (0...(β™―β€˜π‘)) ↦ (((β™―β€˜π‘)C𝑙)𝐹((((β™―β€˜π‘) βˆ’ 𝑙)𝐸(πΌβ€˜(𝐽𝑀𝐽))) Β· (𝑙 ↑ 𝑋)))) = (𝑙 ∈ (0...(β™―β€˜π‘)) ↦ ((((β™―β€˜π‘)C𝑙)𝑍(((β™―β€˜π‘) βˆ’ 𝑙)𝐸(πΌβ€˜(𝐽𝑀𝐽)))) Β· (𝑙 ↑ 𝑋))))
8079oveq2d 7424 . 2 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) β†’ (𝑃 Ξ£g (𝑙 ∈ (0...(β™―β€˜π‘)) ↦ (((β™―β€˜π‘)C𝑙)𝐹((((β™―β€˜π‘) βˆ’ 𝑙)𝐸(πΌβ€˜(𝐽𝑀𝐽))) Β· (𝑙 ↑ 𝑋))))) = (𝑃 Ξ£g (𝑙 ∈ (0...(β™―β€˜π‘)) ↦ ((((β™―β€˜π‘)C𝑙)𝑍(((β™―β€˜π‘) βˆ’ 𝑙)𝐸(πΌβ€˜(𝐽𝑀𝐽)))) Β· (𝑙 ↑ 𝑋)))))
8115, 80eqtrd 2772 1 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) β†’ (πΆβ€˜π‘€) = (𝑃 Ξ£g (𝑙 ∈ (0...(β™―β€˜π‘)) ↦ ((((β™―β€˜π‘)C𝑙)𝑍(((β™―β€˜π‘) βˆ’ 𝑙)𝐸(πΌβ€˜(𝐽𝑀𝐽)))) Β· (𝑙 ↑ 𝑋)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  {crab 3432  ifcif 4528   ↦ cmpt 5231  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  Fincfn 8938  0cc0 11109   βˆ’ cmin 11443  β„•0cn0 12471  β„€cz 12557  ...cfz 13483  Ccbc 14261  β™―chash 14289  Basecbs 17143  Scalarcsca 17199   ·𝑠 cvsca 17200  0gc0g 17384   Ξ£g cgsu 17385  Mndcmnd 18624  Grpcgrp 18818  invgcminusg 18819  -gcsg 18820  .gcmg 18949  mulGrpcmgp 19986  Ringcrg 20055  CRingccrg 20056  LModclmod 20470  algSccascl 21406  var1cv1 21699  Poly1cpl1 21700   Mat cmat 21906   CharPlyMat cchpmat 22327
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-addf 11188  ax-mulf 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-xor 1510  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-ot 4637  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7669  df-ofr 7670  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8146  df-tpos 8210  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-2o 8466  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-ixp 8891  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fsupp 9361  df-sup 9436  df-oi 9504  df-card 9933  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-xnn0 12544  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-rp 12974  df-fz 13484  df-fzo 13627  df-seq 13966  df-exp 14027  df-fac 14233  df-bc 14262  df-hash 14290  df-word 14464  df-lsw 14512  df-concat 14520  df-s1 14545  df-substr 14590  df-pfx 14620  df-splice 14699  df-reverse 14708  df-s2 14798  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-starv 17211  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-unif 17219  df-hom 17220  df-cco 17221  df-0g 17386  df-gsum 17387  df-prds 17392  df-pws 17394  df-mre 17529  df-mrc 17530  df-acs 17532  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-mhm 18670  df-submnd 18671  df-efmnd 18749  df-grp 18821  df-minusg 18822  df-sbg 18823  df-mulg 18950  df-subg 19002  df-ghm 19089  df-gim 19132  df-cntz 19180  df-oppg 19209  df-symg 19234  df-pmtr 19309  df-psgn 19358  df-cmn 19649  df-abl 19650  df-mgp 19987  df-ur 20004  df-srg 20009  df-ring 20057  df-cring 20058  df-oppr 20149  df-dvdsr 20170  df-unit 20171  df-invr 20201  df-dvr 20214  df-rnghom 20250  df-subrg 20316  df-drng 20358  df-lmod 20472  df-lss 20542  df-sra 20784  df-rgmod 20785  df-cnfld 20944  df-zring 21017  df-zrh 21052  df-dsmm 21286  df-frlm 21301  df-assa 21407  df-ascl 21409  df-psr 21461  df-mvr 21462  df-mpl 21463  df-opsr 21465  df-psr1 21703  df-vr1 21704  df-ply1 21705  df-mamu 21885  df-mat 21907  df-mdet 22086  df-mat2pmat 22208  df-chpmat 22328
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator