Theorem chpscmatgsummon 22885

Description: The characteristic polynomial of a (nonempty!) scalar matrix, expressed as finite group sum of scaled monomials. (Contributed by AV, 2-Sep-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
chp0mat.c	⊢ 𝐶 = (𝑁 CharPlyMat 𝑅)
chp0mat.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
chp0mat.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
chp0mat.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
chp0mat.g	⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑃)
chp0mat.m	⊢ ↑ = (.g‘𝐺)
chpscmat.d	⊢ 𝐷 = {𝑚 ∈ (Base‘𝐴) ∣ ∃𝑐 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖𝑚𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑐, (0g‘𝑅))}
chpscmat.s	⊢ 𝑆 = (algSc‘𝑃)
chpscmat.m	⊢ − = (-g‘𝑃)
chpscmatgsum.f	⊢ 𝐹 = (.g‘𝑃)
chpscmatgsum.h	⊢ 𝐻 = (mulGrp‘𝑅)
chpscmatgsum.e	⊢ 𝐸 = (.g‘𝐻)
chpscmatgsum.i	⊢ 𝐼 = (invg‘𝑅)
chpscmatgsum.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑃)
chpscmatgsum.z	⊢ 𝑍 = (.g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
chpscmatgsummon	⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) → (𝐶‘𝑀) = (𝑃 Σg (𝑙 ∈ (0...(♯‘𝑁)) ↦ ((((♯‘𝑁)C𝑙)𝑍(((♯‘𝑁) − 𝑙)𝐸(𝐼‘(𝐽𝑀𝐽)))) · (𝑙 ↑ 𝑋)))))

Distinct variable groups:   𝑖,𝑗,𝐴   𝑖,𝑁,𝑗   𝑃,𝑖,𝑗   𝑅,𝑖,𝑗   𝑖,𝑋,𝑗   𝐴,𝑐,𝑚   𝐷,𝑛   𝑛,𝐸   𝑛,𝐼   𝑀,𝑐,𝑖,𝑗,𝑚,𝑛   𝑁,𝑐,𝑚,𝑛   𝑃,𝑛   𝑅,𝑐,𝑚,𝑛   𝑆,𝑛   𝐷,𝑙   𝐹,𝑙   𝐼,𝑙   𝐽,𝑙,𝑛   𝑀,𝑙   𝑁,𝑙   𝑃,𝑙   𝑅,𝑙   𝑆,𝑙   𝑋,𝑙   ↑ ,𝑙

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑛,𝑙)   𝐶(𝑖,𝑗,𝑚,𝑛,𝑐,𝑙)   𝐷(𝑖,𝑗,𝑚,𝑐)   𝑃(𝑚,𝑐)   𝑆(𝑖,𝑗,𝑚,𝑐)   · (𝑖,𝑗,𝑚,𝑛,𝑐,𝑙)   𝐸(𝑖,𝑗,𝑚,𝑐,𝑙)   ↑ (𝑖,𝑗,𝑚,𝑛,𝑐)   𝐹(𝑖,𝑗,𝑚,𝑛,𝑐)   𝐺(𝑖,𝑗,𝑚,𝑛,𝑐,𝑙)   𝐻(𝑖,𝑗,𝑚,𝑛,𝑐,𝑙)   𝐼(𝑖,𝑗,𝑚,𝑐)   𝐽(𝑖,𝑗,𝑚,𝑐)   − (𝑖,𝑗,𝑚,𝑛,𝑐,𝑙)   𝑋(𝑚,𝑛,𝑐)   𝑍(𝑖,𝑗,𝑚,𝑛,𝑐,𝑙)

Proof of Theorem chpscmatgsummon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		chp0mat.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (𝑁 CharPlyMat 𝑅)
2		chp0mat.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
3		chp0mat.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
4		chp0mat.x	. . 3 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
5		chp0mat.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑃)
6		chp0mat.m	. . 3 ⊢ ↑ = (.g‘𝐺)
7		chpscmat.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = {𝑚 ∈ (Base‘𝐴) ∣ ∃𝑐 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖𝑚𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑐, (0g‘𝑅))}
8		chpscmat.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (algSc‘𝑃)
9		chpscmat.m	. . 3 ⊢ − = (-g‘𝑃)
10		chpscmatgsum.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (.g‘𝑃)
11		chpscmatgsum.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (mulGrp‘𝑅)
12		chpscmatgsum.e	. . 3 ⊢ 𝐸 = (.g‘𝐻)
13		chpscmatgsum.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (invg‘𝑅)
14		chpscmatgsum.s	. . 3 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑃)
15	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14	chpscmatgsumbin 22884	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) → (𝐶‘𝑀) = (𝑃 Σg (𝑙 ∈ (0...(♯‘𝑁)) ↦ (((♯‘𝑁)C𝑙)𝐹((((♯‘𝑁) − 𝑙)𝐸(𝐼‘(𝐽𝑀𝐽))) · (𝑙 ↑ 𝑋))))))
16		crngring 20274	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
17	16	adantl 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑅 ∈ Ring)
18	2	ply1lmod 22293	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ LMod)
19	17, 18	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑃 ∈ LMod)
20	19	ad2antrr 736	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) ∧ 𝑙 ∈ (0...(♯‘𝑁))) → 𝑃 ∈ LMod)
21		eqid 2761	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
22	11, 21	mgpbas 20174	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝐻)
23	11	ringmgp 20268	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐻 ∈ Mnd)
24	17, 23	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝐻 ∈ Mnd)
25	24	ad2antrr 736	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) ∧ 𝑙 ∈ (0...(♯‘𝑁))) → 𝐻 ∈ Mnd)
26		fznn0sub 13558	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑙 ∈ (0...(♯‘𝑁)) → ((♯‘𝑁) − 𝑙) ∈ ℕ0)
27	26	adantl 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) ∧ 𝑙 ∈ (0...(♯‘𝑁))) → ((♯‘𝑁) − 𝑙) ∈ ℕ0)
28		ringgrp 20267	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
29	16, 28	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Grp)
30	29	adantl 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑅 ∈ Grp)
31		simp2 1149	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽)) → 𝐽 ∈ 𝑁)
32		elrabi 3646	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑀 ∈ {𝑚 ∈ (Base‘𝐴) ∣ ∃𝑐 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖𝑚𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑐, (0g‘𝑅))} → 𝑀 ∈ (Base‘𝐴))
33	32, 7	eleq2s 2879	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐷 → 𝑀 ∈ (Base‘𝐴))
34	33	3ad2ant1 1145	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽)) → 𝑀 ∈ (Base‘𝐴))
35	31, 31, 34	3jca 1140	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽)) → (𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝑀 ∈ (Base‘𝐴)))
36	35	adantl 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) → (𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝑀 ∈ (Base‘𝐴)))
37	3, 21	matecl 22465	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝑀 ∈ (Base‘𝐴)) → (𝐽𝑀𝐽) ∈ (Base‘𝑅))
38	36, 37	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) → (𝐽𝑀𝐽) ∈ (Base‘𝑅))
39	21, 13	grpinvcl 19012	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝐽𝑀𝐽) ∈ (Base‘𝑅)) → (𝐼‘(𝐽𝑀𝐽)) ∈ (Base‘𝑅))
40	30, 38, 39	syl2an2r 695	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) → (𝐼‘(𝐽𝑀𝐽)) ∈ (Base‘𝑅))
41	40	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) ∧ 𝑙 ∈ (0...(♯‘𝑁))) → (𝐼‘(𝐽𝑀𝐽)) ∈ (Base‘𝑅))
42	22, 12, 25, 27, 41	mulgnn0cld 19120	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) ∧ 𝑙 ∈ (0...(♯‘𝑁))) → (((♯‘𝑁) − 𝑙)𝐸(𝐼‘(𝐽𝑀𝐽))) ∈ (Base‘𝑅))
43	2	ply1sca 22294	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
44	43	adantl 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
45	44	eqcomd 2767	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (Scalar‘𝑃) = 𝑅)
46	45	fveq2d 6867	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (Base‘(Scalar‘𝑃)) = (Base‘𝑅))
47	46	ad2antrr 736	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) ∧ 𝑙 ∈ (0...(♯‘𝑁))) → (Base‘(Scalar‘𝑃)) = (Base‘𝑅))
48	42, 47	eleqtrrd 2864	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) ∧ 𝑙 ∈ (0...(♯‘𝑁))) → (((♯‘𝑁) − 𝑙)𝐸(𝐼‘(𝐽𝑀𝐽))) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)))
49		hashcl 14366	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ Fin → (♯‘𝑁) ∈ ℕ0)
50	49	ad2antrr 736	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) → (♯‘𝑁) ∈ ℕ0)
51		elfzelz 13526	. . . . . . 7 ⊢ (𝑙 ∈ (0...(♯‘𝑁)) → 𝑙 ∈ ℤ)
52		bccl 14332	. . . . . . 7 ⊢ (((♯‘𝑁) ∈ ℕ0 ∧ 𝑙 ∈ ℤ) → ((♯‘𝑁)C𝑙) ∈ ℕ0)
53	50, 51, 52	syl2an 605	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) ∧ 𝑙 ∈ (0...(♯‘𝑁))) → ((♯‘𝑁)C𝑙) ∈ ℕ0)
54		eqid 2761	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
55	5, 54	mgpbas 20174	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝐺)
56	2	ply1ring 22289	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
57	5	ringmgp 20268	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ Ring → 𝐺 ∈ Mnd)
58	16, 56, 57	3syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝐺 ∈ Mnd)
59	58	adantl 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝐺 ∈ Mnd)
60	59	ad2antrr 736	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) ∧ 𝑙 ∈ (0...(♯‘𝑁))) → 𝐺 ∈ Mnd)
61		elfznn0 13622	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑙 ∈ (0...(♯‘𝑁)) → 𝑙 ∈ ℕ0)
62	61	adantl 485	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) ∧ 𝑙 ∈ (0...(♯‘𝑁))) → 𝑙 ∈ ℕ0)
63	4, 2, 54	vr1cl 22259	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
64	17, 63	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
65	64	ad2antrr 736	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) ∧ 𝑙 ∈ (0...(♯‘𝑁))) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
66	55, 6, 60, 62, 65	mulgnn0cld 19120	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) ∧ 𝑙 ∈ (0...(♯‘𝑁))) → (𝑙 ↑ 𝑋) ∈ (Base‘𝑃))
67		eqid 2761	. . . . . . 7 ⊢ (Scalar‘𝑃) = (Scalar‘𝑃)
68		eqid 2761	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑃)) = (Base‘(Scalar‘𝑃))
69		eqid 2761	. . . . . . 7 ⊢ (.g‘(Scalar‘𝑃)) = (.g‘(Scalar‘𝑃))
70	54, 67, 14, 68, 10, 69	lmodvsmmulgdi 20944	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ LMod ∧ ((((♯‘𝑁) − 𝑙)𝐸(𝐼‘(𝐽𝑀𝐽))) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ ((♯‘𝑁)C𝑙) ∈ ℕ0 ∧ (𝑙 ↑ 𝑋) ∈ (Base‘𝑃))) → (((♯‘𝑁)C𝑙)𝐹((((♯‘𝑁) − 𝑙)𝐸(𝐼‘(𝐽𝑀𝐽))) · (𝑙 ↑ 𝑋))) = ((((♯‘𝑁)C𝑙)(.g‘(Scalar‘𝑃))(((♯‘𝑁) − 𝑙)𝐸(𝐼‘(𝐽𝑀𝐽)))) · (𝑙 ↑ 𝑋)))
71	20, 48, 53, 66, 70	syl13anc 1390	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) ∧ 𝑙 ∈ (0...(♯‘𝑁))) → (((♯‘𝑁)C𝑙)𝐹((((♯‘𝑁) − 𝑙)𝐸(𝐼‘(𝐽𝑀𝐽))) · (𝑙 ↑ 𝑋))) = ((((♯‘𝑁)C𝑙)(.g‘(Scalar‘𝑃))(((♯‘𝑁) − 𝑙)𝐸(𝐼‘(𝐽𝑀𝐽)))) · (𝑙 ↑ 𝑋)))
72		chpscmatgsum.z	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑍 = (.g‘𝑅)
73	44	fveq2d 6867	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (.g‘𝑅) = (.g‘(Scalar‘𝑃)))
74	72, 73	eqtr2id 2809	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (.g‘(Scalar‘𝑃)) = 𝑍)
75	74	ad2antrr 736	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) ∧ 𝑙 ∈ (0...(♯‘𝑁))) → (.g‘(Scalar‘𝑃)) = 𝑍)
76	75	oveqd 7409	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) ∧ 𝑙 ∈ (0...(♯‘𝑁))) → (((♯‘𝑁)C𝑙)(.g‘(Scalar‘𝑃))(((♯‘𝑁) − 𝑙)𝐸(𝐼‘(𝐽𝑀𝐽)))) = (((♯‘𝑁)C𝑙)𝑍(((♯‘𝑁) − 𝑙)𝐸(𝐼‘(𝐽𝑀𝐽)))))
77	76	oveq1d 7407	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) ∧ 𝑙 ∈ (0...(♯‘𝑁))) → ((((♯‘𝑁)C𝑙)(.g‘(Scalar‘𝑃))(((♯‘𝑁) − 𝑙)𝐸(𝐼‘(𝐽𝑀𝐽)))) · (𝑙 ↑ 𝑋)) = ((((♯‘𝑁)C𝑙)𝑍(((♯‘𝑁) − 𝑙)𝐸(𝐼‘(𝐽𝑀𝐽)))) · (𝑙 ↑ 𝑋)))
78	71, 77	eqtrd 2796	. . . 4 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) ∧ 𝑙 ∈ (0...(♯‘𝑁))) → (((♯‘𝑁)C𝑙)𝐹((((♯‘𝑁) − 𝑙)𝐸(𝐼‘(𝐽𝑀𝐽))) · (𝑙 ↑ 𝑋))) = ((((♯‘𝑁)C𝑙)𝑍(((♯‘𝑁) − 𝑙)𝐸(𝐼‘(𝐽𝑀𝐽)))) · (𝑙 ↑ 𝑋)))
79	78	mpteq2dva 5192	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) → (𝑙 ∈ (0...(♯‘𝑁)) ↦ (((♯‘𝑁)C𝑙)𝐹((((♯‘𝑁) − 𝑙)𝐸(𝐼‘(𝐽𝑀𝐽))) · (𝑙 ↑ 𝑋)))) = (𝑙 ∈ (0...(♯‘𝑁)) ↦ ((((♯‘𝑁)C𝑙)𝑍(((♯‘𝑁) − 𝑙)𝐸(𝐼‘(𝐽𝑀𝐽)))) · (𝑙 ↑ 𝑋))))
80	79	oveq2d 7408	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) → (𝑃 Σg (𝑙 ∈ (0...(♯‘𝑁)) ↦ (((♯‘𝑁)C𝑙)𝐹((((♯‘𝑁) − 𝑙)𝐸(𝐼‘(𝐽𝑀𝐽))) · (𝑙 ↑ 𝑋))))) = (𝑃 Σg (𝑙 ∈ (0...(♯‘𝑁)) ↦ ((((♯‘𝑁)C𝑙)𝑍(((♯‘𝑁) − 𝑙)𝐸(𝐼‘(𝐽𝑀𝐽)))) · (𝑙 ↑ 𝑋)))))
81	15, 80	eqtrd 2796	1 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) → (𝐶‘𝑀) = (𝑃 Σg (𝑙 ∈ (0...(♯‘𝑁)) ↦ ((((♯‘𝑁)C𝑙)𝑍(((♯‘𝑁) − 𝑙)𝐸(𝐼‘(𝐽𝑀𝐽)))) · (𝑙 ↑ 𝑋)))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1097   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  ∀wral 3075  ∃wrex 3085  {crab 3413  ifcif 4479   ↦ cmpt 5180  ‘cfv 6517  (class class class)co 7392  Fincfn 8923  0cc0 11070   − cmin 11411  ℕ₀cn0 12478  ℤcz 12565  ...cfz 13509  Ccbc 14312  ♯chash 14340  Basecbs 17228  Scalarcsca 17272   ·_𝑠 cvsca 17273  0_gc0g 17451   Σ_g cgsu 17452  Mndcmnd 18751  Grpcgrp 18958  inv_gcminusg 18959  -_gcsg 18960  ._gcmg 19092  mulGrpcmgp 20169  Ringcrg 20262  CRingccrg 20263  LModclmod 20907  algSccascl 21884  var₁cv1 22218  Poly₁cpl1 22219   Mat cmat 22447   CharPlyMat cchpmat 22866

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-cnex 11126  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-mulcom 11134  ax-addass 11135  ax-mulass 11136  ax-distr 11137  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-1rid 11140  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145  ax-pre-ltadd 11146  ax-pre-mulgt0 11147  ax-addf 11149  ax-mulf 11150

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-xor 1531  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-tp 4586  df-op 4588  df-ot 4590  df-uni 4865  df-int 4905  df-iun 4950  df-iin 4951  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-se 5599  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6284  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-isom 6526  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-of 7656  df-ofr 7657  df-om 7843  df-1st 7966  df-2nd 7967  df-supp 8136  df-tpos 8201  df-frecs 8257  df-wrecs 8288  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-1o 8432  df-2o 8433  df-er 8673  df-map 8805  df-pm 8806  df-ixp 8876  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-fin 8927  df-fsupp 9305  df-sup 9385  df-oi 9455  df-card 9894  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11413  df-neg 11414  df-div 11842  df-nn 12208  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-5 12280  df-6 12281  df-7 12282  df-8 12283  df-9 12284  df-n0 12479  df-xnn0 12552  df-z 12566  df-dec 12686  df-uz 12837  df-rp 12991  df-fz 13510  df-fzo 13657  df-seq 14012  df-exp 14072  df-fac 14284  df-bc 14313  df-hash 14341  df-word 14524  df-lsw 14573  df-concat 14581  df-s1 14607  df-substr 14652  df-pfx 14682  df-splice 14760  df-reverse 14769  df-s2 14858  df-struct 17166  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-ress 17250  df-plusg 17282  df-mulr 17283  df-starv 17284  df-sca 17285  df-vsca 17286  df-ip 17287  df-tset 17288  df-ple 17289  df-ds 17291  df-unif 17292  df-hom 17293  df-cco 17294  df-0g 17453  df-gsum 17454  df-prds 17459  df-pws 17461  df-mre 17597  df-mrc 17598  df-acs 17600  df-mgm 18657  df-sgrp 18736  df-mnd 18752  df-mhm 18800  df-submnd 18801  df-efmnd 18886  df-grp 18961  df-minusg 18962  df-sbg 18963  df-mulg 19093  df-subg 19148  df-ghm 19237  df-gim 19282  df-cntz 19340  df-oppg 19369  df-symg 19393  df-pmtr 19465  df-psgn 19514  df-cmn 19805  df-abl 19806  df-mgp 20170  df-rng 20182  df-ur 20211  df-srg 20216  df-ring 20264  df-cring 20265  df-oppr 20365  df-dvdsr 20385  df-unit 20386  df-invr 20416  df-dvr 20429  df-rhm 20500  df-subrng 20575  df-subrg 20599  df-drng 20760  df-lmod 20909  df-lss 20979  df-sra 21220  df-rgmod 21221  df-cnfld 21405  df-zring 21479  df-zrh 21535  df-dsmm 21764  df-frlm 21779  df-assa 21885  df-ascl 21887  df-psr 21941  df-mvr 21942  df-mpl 21943  df-opsr 21945  df-psr1 22222  df-vr1 22223  df-ply1 22224  df-mamu 22431  df-mat 22448  df-mdet 22625  df-mat2pmat 22747  df-chpmat 22867

This theorem is referenced by: (None)