MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  chpscmatgsummon Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem chpscmatgsummon 22217
Description: The characteristic polynomial of a (nonempty!) scalar matrix, expressed as finite group sum of scaled monomials. (Contributed by AV, 2-Sep-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
chp0mat.c 𝐢 = (𝑁 CharPlyMat 𝑅)
chp0mat.p 𝑃 = (Poly1β€˜π‘…)
chp0mat.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
chp0mat.x 𝑋 = (var1β€˜π‘…)
chp0mat.g 𝐺 = (mulGrpβ€˜π‘ƒ)
chp0mat.m ↑ = (.gβ€˜πΊ)
chpscmat.d 𝐷 = {π‘š ∈ (Baseβ€˜π΄) ∣ βˆƒπ‘ ∈ (Baseβ€˜π‘…)βˆ€π‘– ∈ 𝑁 βˆ€π‘— ∈ 𝑁 (π‘–π‘šπ‘—) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑐, (0gβ€˜π‘…))}
chpscmat.s 𝑆 = (algScβ€˜π‘ƒ)
chpscmat.m βˆ’ = (-gβ€˜π‘ƒ)
chpscmatgsum.f 𝐹 = (.gβ€˜π‘ƒ)
chpscmatgsum.h 𝐻 = (mulGrpβ€˜π‘…)
chpscmatgsum.e 𝐸 = (.gβ€˜π»)
chpscmatgsum.i 𝐼 = (invgβ€˜π‘…)
chpscmatgsum.s Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)
chpscmatgsum.z 𝑍 = (.gβ€˜π‘…)
Assertion
Ref Expression
chpscmatgsummon (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) β†’ (πΆβ€˜π‘€) = (𝑃 Ξ£g (𝑙 ∈ (0...(β™―β€˜π‘)) ↦ ((((β™―β€˜π‘)C𝑙)𝑍(((β™―β€˜π‘) βˆ’ 𝑙)𝐸(πΌβ€˜(𝐽𝑀𝐽)))) Β· (𝑙 ↑ 𝑋)))))
Distinct variable groups:   𝑖,𝑗,𝐴   𝑖,𝑁,𝑗   𝑃,𝑖,𝑗   𝑅,𝑖,𝑗   𝑖,𝑋,𝑗   𝐴,𝑐,π‘š   𝐷,𝑛   𝑛,𝐸   𝑛,𝐼   𝑀,𝑐,𝑖,𝑗,π‘š,𝑛   𝑁,𝑐,π‘š,𝑛   𝑃,𝑛   𝑅,𝑐,π‘š,𝑛   𝑆,𝑛   𝐷,𝑙   𝐹,𝑙   𝐼,𝑙   𝐽,𝑙,𝑛   𝑀,𝑙   𝑁,𝑙   𝑃,𝑙   𝑅,𝑙   𝑆,𝑙   𝑋,𝑙   ↑ ,𝑙
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑛,𝑙)   𝐢(𝑖,𝑗,π‘š,𝑛,𝑐,𝑙)   𝐷(𝑖,𝑗,π‘š,𝑐)   𝑃(π‘š,𝑐)   𝑆(𝑖,𝑗,π‘š,𝑐)   Β· (𝑖,𝑗,π‘š,𝑛,𝑐,𝑙)   𝐸(𝑖,𝑗,π‘š,𝑐,𝑙)   ↑ (𝑖,𝑗,π‘š,𝑛,𝑐)   𝐹(𝑖,𝑗,π‘š,𝑛,𝑐)   𝐺(𝑖,𝑗,π‘š,𝑛,𝑐,𝑙)   𝐻(𝑖,𝑗,π‘š,𝑛,𝑐,𝑙)   𝐼(𝑖,𝑗,π‘š,𝑐)   𝐽(𝑖,𝑗,π‘š,𝑐)   βˆ’ (𝑖,𝑗,π‘š,𝑛,𝑐,𝑙)   𝑋(π‘š,𝑛,𝑐)   𝑍(𝑖,𝑗,π‘š,𝑛,𝑐,𝑙)

Proof of Theorem chpscmatgsummon
StepHypRef Expression
1 chp0mat.c . . 3 𝐢 = (𝑁 CharPlyMat 𝑅)
2 chp0mat.p . . 3 𝑃 = (Poly1β€˜π‘…)
3 chp0mat.a . . 3 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
4 chp0mat.x . . 3 𝑋 = (var1β€˜π‘…)
5 chp0mat.g . . 3 𝐺 = (mulGrpβ€˜π‘ƒ)
6 chp0mat.m . . 3 ↑ = (.gβ€˜πΊ)
7 chpscmat.d . . 3 𝐷 = {π‘š ∈ (Baseβ€˜π΄) ∣ βˆƒπ‘ ∈ (Baseβ€˜π‘…)βˆ€π‘– ∈ 𝑁 βˆ€π‘— ∈ 𝑁 (π‘–π‘šπ‘—) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑐, (0gβ€˜π‘…))}
8 chpscmat.s . . 3 𝑆 = (algScβ€˜π‘ƒ)
9 chpscmat.m . . 3 βˆ’ = (-gβ€˜π‘ƒ)
10 chpscmatgsum.f . . 3 𝐹 = (.gβ€˜π‘ƒ)
11 chpscmatgsum.h . . 3 𝐻 = (mulGrpβ€˜π‘…)
12 chpscmatgsum.e . . 3 𝐸 = (.gβ€˜π»)
13 chpscmatgsum.i . . 3 𝐼 = (invgβ€˜π‘…)
14 chpscmatgsum.s . . 3 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)
151, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14chpscmatgsumbin 22216 . 2 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) β†’ (πΆβ€˜π‘€) = (𝑃 Ξ£g (𝑙 ∈ (0...(β™―β€˜π‘)) ↦ (((β™―β€˜π‘)C𝑙)𝐹((((β™―β€˜π‘) βˆ’ 𝑙)𝐸(πΌβ€˜(𝐽𝑀𝐽))) Β· (𝑙 ↑ 𝑋))))))
16 crngring 19984 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ CRing β†’ 𝑅 ∈ Ring)
1716adantl 483 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
182ply1lmod 21646 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑃 ∈ LMod)
1917, 18syl 17 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) β†’ 𝑃 ∈ LMod)
2019ad2antrr 725 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) ∧ 𝑙 ∈ (0...(β™―β€˜π‘))) β†’ 𝑃 ∈ LMod)
21 eqid 2733 . . . . . . . . 9 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
2211, 21mgpbas 19910 . . . . . . . 8 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π»)
2311ringmgp 19978 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝐻 ∈ Mnd)
2417, 23syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) β†’ 𝐻 ∈ Mnd)
2524ad2antrr 725 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) ∧ 𝑙 ∈ (0...(β™―β€˜π‘))) β†’ 𝐻 ∈ Mnd)
26 fznn0sub 13482 . . . . . . . . 9 (𝑙 ∈ (0...(β™―β€˜π‘)) β†’ ((β™―β€˜π‘) βˆ’ 𝑙) ∈ β„•0)
2726adantl 483 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) ∧ 𝑙 ∈ (0...(β™―β€˜π‘))) β†’ ((β™―β€˜π‘) βˆ’ 𝑙) ∈ β„•0)
28 ringgrp 19977 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑅 ∈ Grp)
2916, 28syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ CRing β†’ 𝑅 ∈ Grp)
3029adantl 483 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) β†’ 𝑅 ∈ Grp)
31 simp2 1138 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽)) β†’ 𝐽 ∈ 𝑁)
32 elrabi 3643 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀 ∈ {π‘š ∈ (Baseβ€˜π΄) ∣ βˆƒπ‘ ∈ (Baseβ€˜π‘…)βˆ€π‘– ∈ 𝑁 βˆ€π‘— ∈ 𝑁 (π‘–π‘šπ‘—) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑐, (0gβ€˜π‘…))} β†’ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜π΄))
3332, 7eleq2s 2852 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ 𝐷 β†’ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜π΄))
34333ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽)) β†’ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜π΄))
3531, 31, 343jca 1129 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽)) β†’ (𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜π΄)))
3635adantl 483 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) β†’ (𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜π΄)))
373, 21matecl 21797 . . . . . . . . . . 11 ((𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜π΄)) β†’ (𝐽𝑀𝐽) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
3836, 37syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) β†’ (𝐽𝑀𝐽) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
3921, 13grpinvcl 18806 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝐽𝑀𝐽) ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ (πΌβ€˜(𝐽𝑀𝐽)) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
4030, 38, 39syl2an2r 684 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) β†’ (πΌβ€˜(𝐽𝑀𝐽)) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
4140adantr 482 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) ∧ 𝑙 ∈ (0...(β™―β€˜π‘))) β†’ (πΌβ€˜(𝐽𝑀𝐽)) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
4222, 12, 25, 27, 41mulgnn0cld 18905 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) ∧ 𝑙 ∈ (0...(β™―β€˜π‘))) β†’ (((β™―β€˜π‘) βˆ’ 𝑙)𝐸(πΌβ€˜(𝐽𝑀𝐽))) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
432ply1sca 21647 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ CRing β†’ 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘ƒ))
4443adantl 483 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) β†’ 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘ƒ))
4544eqcomd 2739 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) β†’ (Scalarβ€˜π‘ƒ) = 𝑅)
4645fveq2d 6850 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) β†’ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)) = (Baseβ€˜π‘…))
4746ad2antrr 725 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) ∧ 𝑙 ∈ (0...(β™―β€˜π‘))) β†’ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)) = (Baseβ€˜π‘…))
4842, 47eleqtrrd 2837 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) ∧ 𝑙 ∈ (0...(β™―β€˜π‘))) β†’ (((β™―β€˜π‘) βˆ’ 𝑙)𝐸(πΌβ€˜(𝐽𝑀𝐽))) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)))
49 hashcl 14265 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ Fin β†’ (β™―β€˜π‘) ∈ β„•0)
5049ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) β†’ (β™―β€˜π‘) ∈ β„•0)
51 elfzelz 13450 . . . . . . 7 (𝑙 ∈ (0...(β™―β€˜π‘)) β†’ 𝑙 ∈ β„€)
52 bccl 14231 . . . . . . 7 (((β™―β€˜π‘) ∈ β„•0 ∧ 𝑙 ∈ β„€) β†’ ((β™―β€˜π‘)C𝑙) ∈ β„•0)
5350, 51, 52syl2an 597 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) ∧ 𝑙 ∈ (0...(β™―β€˜π‘))) β†’ ((β™―β€˜π‘)C𝑙) ∈ β„•0)
54 eqid 2733 . . . . . . . 8 (Baseβ€˜π‘ƒ) = (Baseβ€˜π‘ƒ)
555, 54mgpbas 19910 . . . . . . 7 (Baseβ€˜π‘ƒ) = (Baseβ€˜πΊ)
562ply1ring 21642 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑃 ∈ Ring)
575ringmgp 19978 . . . . . . . . . 10 (𝑃 ∈ Ring β†’ 𝐺 ∈ Mnd)
5816, 56, 573syl 18 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ CRing β†’ 𝐺 ∈ Mnd)
5958adantl 483 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) β†’ 𝐺 ∈ Mnd)
6059ad2antrr 725 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) ∧ 𝑙 ∈ (0...(β™―β€˜π‘))) β†’ 𝐺 ∈ Mnd)
61 elfznn0 13543 . . . . . . . 8 (𝑙 ∈ (0...(β™―β€˜π‘)) β†’ 𝑙 ∈ β„•0)
6261adantl 483 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) ∧ 𝑙 ∈ (0...(β™―β€˜π‘))) β†’ 𝑙 ∈ β„•0)
634, 2, 54vr1cl 21611 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
6417, 63syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
6564ad2antrr 725 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) ∧ 𝑙 ∈ (0...(β™―β€˜π‘))) β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
6655, 6, 60, 62, 65mulgnn0cld 18905 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) ∧ 𝑙 ∈ (0...(β™―β€˜π‘))) β†’ (𝑙 ↑ 𝑋) ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
67 eqid 2733 . . . . . . 7 (Scalarβ€˜π‘ƒ) = (Scalarβ€˜π‘ƒ)
68 eqid 2733 . . . . . . 7 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ))
69 eqid 2733 . . . . . . 7 (.gβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)) = (.gβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ))
7054, 67, 14, 68, 10, 69lmodvsmmulgdi 20401 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ LMod ∧ ((((β™―β€˜π‘) βˆ’ 𝑙)𝐸(πΌβ€˜(𝐽𝑀𝐽))) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)) ∧ ((β™―β€˜π‘)C𝑙) ∈ β„•0 ∧ (𝑙 ↑ 𝑋) ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))) β†’ (((β™―β€˜π‘)C𝑙)𝐹((((β™―β€˜π‘) βˆ’ 𝑙)𝐸(πΌβ€˜(𝐽𝑀𝐽))) Β· (𝑙 ↑ 𝑋))) = ((((β™―β€˜π‘)C𝑙)(.gβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ))(((β™―β€˜π‘) βˆ’ 𝑙)𝐸(πΌβ€˜(𝐽𝑀𝐽)))) Β· (𝑙 ↑ 𝑋)))
7120, 48, 53, 66, 70syl13anc 1373 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) ∧ 𝑙 ∈ (0...(β™―β€˜π‘))) β†’ (((β™―β€˜π‘)C𝑙)𝐹((((β™―β€˜π‘) βˆ’ 𝑙)𝐸(πΌβ€˜(𝐽𝑀𝐽))) Β· (𝑙 ↑ 𝑋))) = ((((β™―β€˜π‘)C𝑙)(.gβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ))(((β™―β€˜π‘) βˆ’ 𝑙)𝐸(πΌβ€˜(𝐽𝑀𝐽)))) Β· (𝑙 ↑ 𝑋)))
72 chpscmatgsum.z . . . . . . . . 9 𝑍 = (.gβ€˜π‘…)
7344fveq2d 6850 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) β†’ (.gβ€˜π‘…) = (.gβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)))
7472, 73eqtr2id 2786 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) β†’ (.gβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)) = 𝑍)
7574ad2antrr 725 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) ∧ 𝑙 ∈ (0...(β™―β€˜π‘))) β†’ (.gβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)) = 𝑍)
7675oveqd 7378 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) ∧ 𝑙 ∈ (0...(β™―β€˜π‘))) β†’ (((β™―β€˜π‘)C𝑙)(.gβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ))(((β™―β€˜π‘) βˆ’ 𝑙)𝐸(πΌβ€˜(𝐽𝑀𝐽)))) = (((β™―β€˜π‘)C𝑙)𝑍(((β™―β€˜π‘) βˆ’ 𝑙)𝐸(πΌβ€˜(𝐽𝑀𝐽)))))
7776oveq1d 7376 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) ∧ 𝑙 ∈ (0...(β™―β€˜π‘))) β†’ ((((β™―β€˜π‘)C𝑙)(.gβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ))(((β™―β€˜π‘) βˆ’ 𝑙)𝐸(πΌβ€˜(𝐽𝑀𝐽)))) Β· (𝑙 ↑ 𝑋)) = ((((β™―β€˜π‘)C𝑙)𝑍(((β™―β€˜π‘) βˆ’ 𝑙)𝐸(πΌβ€˜(𝐽𝑀𝐽)))) Β· (𝑙 ↑ 𝑋)))
7871, 77eqtrd 2773 . . . 4 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) ∧ 𝑙 ∈ (0...(β™―β€˜π‘))) β†’ (((β™―β€˜π‘)C𝑙)𝐹((((β™―β€˜π‘) βˆ’ 𝑙)𝐸(πΌβ€˜(𝐽𝑀𝐽))) Β· (𝑙 ↑ 𝑋))) = ((((β™―β€˜π‘)C𝑙)𝑍(((β™―β€˜π‘) βˆ’ 𝑙)𝐸(πΌβ€˜(𝐽𝑀𝐽)))) Β· (𝑙 ↑ 𝑋)))
7978mpteq2dva 5209 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) β†’ (𝑙 ∈ (0...(β™―β€˜π‘)) ↦ (((β™―β€˜π‘)C𝑙)𝐹((((β™―β€˜π‘) βˆ’ 𝑙)𝐸(πΌβ€˜(𝐽𝑀𝐽))) Β· (𝑙 ↑ 𝑋)))) = (𝑙 ∈ (0...(β™―β€˜π‘)) ↦ ((((β™―β€˜π‘)C𝑙)𝑍(((β™―β€˜π‘) βˆ’ 𝑙)𝐸(πΌβ€˜(𝐽𝑀𝐽)))) Β· (𝑙 ↑ 𝑋))))
8079oveq2d 7377 . 2 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) β†’ (𝑃 Ξ£g (𝑙 ∈ (0...(β™―β€˜π‘)) ↦ (((β™―β€˜π‘)C𝑙)𝐹((((β™―β€˜π‘) βˆ’ 𝑙)𝐸(πΌβ€˜(𝐽𝑀𝐽))) Β· (𝑙 ↑ 𝑋))))) = (𝑃 Ξ£g (𝑙 ∈ (0...(β™―β€˜π‘)) ↦ ((((β™―β€˜π‘)C𝑙)𝑍(((β™―β€˜π‘) βˆ’ 𝑙)𝐸(πΌβ€˜(𝐽𝑀𝐽)))) Β· (𝑙 ↑ 𝑋)))))
8115, 80eqtrd 2773 1 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) β†’ (πΆβ€˜π‘€) = (𝑃 Ξ£g (𝑙 ∈ (0...(β™―β€˜π‘)) ↦ ((((β™―β€˜π‘)C𝑙)𝑍(((β™―β€˜π‘) βˆ’ 𝑙)𝐸(πΌβ€˜(𝐽𝑀𝐽)))) Β· (𝑙 ↑ 𝑋)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  {crab 3406  ifcif 4490   ↦ cmpt 5192  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  Fincfn 8889  0cc0 11059   βˆ’ cmin 11393  β„•0cn0 12421  β„€cz 12507  ...cfz 13433  Ccbc 14211  β™―chash 14239  Basecbs 17091  Scalarcsca 17144   ·𝑠 cvsca 17145  0gc0g 17329   Ξ£g cgsu 17330  Mndcmnd 18564  Grpcgrp 18756  invgcminusg 18757  -gcsg 18758  .gcmg 18880  mulGrpcmgp 19904  Ringcrg 19972  CRingccrg 19973  LModclmod 20365  algSccascl 21281  var1cv1 21570  Poly1cpl1 21571   Mat cmat 21777   CharPlyMat cchpmat 22198
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-addf 11138  ax-mulf 11139
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-xor 1511  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-ot 4599  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-se 5593  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-of 7621  df-ofr 7622  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-supp 8097  df-tpos 8161  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-2o 8417  df-er 8654  df-map 8773  df-pm 8774  df-ixp 8842  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-fsupp 9312  df-sup 9386  df-oi 9454  df-card 9883  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-4 12226  df-5 12227  df-6 12228  df-7 12229  df-8 12230  df-9 12231  df-n0 12422  df-xnn0 12494  df-z 12508  df-dec 12627  df-uz 12772  df-rp 12924  df-fz 13434  df-fzo 13577  df-seq 13916  df-exp 13977  df-fac 14183  df-bc 14212  df-hash 14240  df-word 14412  df-lsw 14460  df-concat 14468  df-s1 14493  df-substr 14538  df-pfx 14568  df-splice 14647  df-reverse 14656  df-s2 14746  df-struct 17027  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-ress 17121  df-plusg 17154  df-mulr 17155  df-starv 17156  df-sca 17157  df-vsca 17158  df-ip 17159  df-tset 17160  df-ple 17161  df-ds 17163  df-unif 17164  df-hom 17165  df-cco 17166  df-0g 17331  df-gsum 17332  df-prds 17337  df-pws 17339  df-mre 17474  df-mrc 17475  df-acs 17477  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-mhm 18609  df-submnd 18610  df-efmnd 18687  df-grp 18759  df-minusg 18760  df-sbg 18761  df-mulg 18881  df-subg 18933  df-ghm 19014  df-gim 19057  df-cntz 19105  df-oppg 19132  df-symg 19157  df-pmtr 19232  df-psgn 19281  df-cmn 19572  df-abl 19573  df-mgp 19905  df-ur 19922  df-srg 19926  df-ring 19974  df-cring 19975  df-oppr 20057  df-dvdsr 20078  df-unit 20079  df-invr 20109  df-dvr 20120  df-rnghom 20156  df-drng 20221  df-subrg 20262  df-lmod 20367  df-lss 20437  df-sra 20678  df-rgmod 20679  df-cnfld 20820  df-zring 20893  df-zrh 20927  df-dsmm 21161  df-frlm 21176  df-assa 21282  df-ascl 21284  df-psr 21334  df-mvr 21335  df-mpl 21336  df-opsr 21338  df-psr1 21574  df-vr1 21575  df-ply1 21576  df-mamu 21756  df-mat 21778  df-mdet 21957  df-mat2pmat 22079  df-chpmat 22199
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator