Theorem lsmsnpridl 33999

Description: The product of the ring with a single element is equal to the principal ideal generated by that element. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Jan-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
lsmsnpridl.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
lsmsnpridl.2	⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
lsmsnpridl.3	⊢ × = (LSSum‘𝐺)
lsmsnpridl.4	⊢ 𝐾 = (RSpan‘𝑅)
lsmsnpridl.5	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
lsmsnpridl.6	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
lsmsnpridl	⊢ (𝜑 → (𝐵 × {𝑋}) = (𝐾‘{𝑋}))

Proof of Theorem lsmsnpridl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lsmsnpridl.2	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
2		lsmsnpridl.1	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3	1, 2	mgpbas 20372	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
4		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
5	1, 4	mgpplusg 20371	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑅) = (+g‘𝐺)
6		lsmsnpridl.3	. . . 4 ⊢ × = (LSSum‘𝐺)
7	1	fvexi 6902	. . . . 5 ⊢ 𝐺 ∈ V
8	7	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ V)
9		ssidd 3932	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐵)
10		lsmsnpridl.6	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
11	3, 5, 6, 8, 9, 10	elgrplsmsn 33993	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐵 × {𝑋}) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 = (𝑦(.r‘𝑅)𝑋)))
12		lsmsnpridl.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
13		lsmsnpridl.4	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (RSpan‘𝑅)
14	2, 4, 13	elrspsn 21532	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ (𝐾‘{𝑋}) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 = (𝑦(.r‘𝑅)𝑋)))
15	12, 10, 14	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐾‘{𝑋}) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 = (𝑦(.r‘𝑅)𝑋)))
16	11, 15	bitr4d 285	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐵 × {𝑋}) ↔ 𝑥 ∈ (𝐾‘{𝑋})))
17	16	eqrdv 2758	1 ⊢ (𝜑 → (𝐵 × {𝑋}) = (𝐾‘{𝑋}))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∃wrex 3086  Vcvv 3450  {csn 4584  ‘cfv 6541  (class class class)co 7422  Basecbs 17394  ._rcmulr 17436  LSSumclsm 19855  mulGrpcmgp 20367  Ringcrg 20466  RSpancrsp 21492

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7753  ax-cnex 11261  ax-resscn 11262  ax-1cn 11263  ax-icn 11264  ax-addcl 11265  ax-addrcl 11266  ax-mulcl 11267  ax-mulrcl 11268  ax-mulcom 11269  ax-addass 11270  ax-mulass 11271  ax-distr 11272  ax-i2m1 11273  ax-1ne0 11274  ax-1rid 11275  ax-rnegex 11276  ax-rrecex 11277  ax-cnre 11278  ax-pre-lttri 11279  ax-pre-lttrn 11280  ax-pre-ltadd 11281  ax-pre-mulgt0 11282

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7379  df-ov 7425  df-oprab 7426  df-mpo 7427  df-om 7880  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8384  df-rdg 8423  df-er 8722  df-en 8979  df-dom 8980  df-sdom 8981  df-pnf 11350  df-mnf 11351  df-xr 11352  df-ltxr 11353  df-le 11354  df-sub 11548  df-neg 11549  df-nn 12341  df-2 12410  df-3 12411  df-4 12412  df-5 12413  df-6 12414  df-7 12415  df-8 12416  df-sets 17349  df-slot 17367  df-ndx 17379  df-base 17395  df-ress 17416  df-plusg 17448  df-mulr 17449  df-sca 17451  df-vsca 17452  df-ip 17453  df-0g 17619  df-mgm 18823  df-sgrp 18915  df-mnd 18931  df-grp 19154  df-minusg 19155  df-sbg 19156  df-subg 19340  df-lsm 19857  df-mgp 20368  df-ur 20415  df-ring 20468  df-subrg 20829  df-lmod 21144  df-lss 21214  df-lsp 21254  df-sra 21455  df-rgmod 21456  df-rsp 21494

This theorem is used by:  lsmsnidl  34000