Theorem lsmsnpridl 31111

Description: The product of the ring with a single element is equal to the principal ideal generated by that element. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Jan-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
lsmsnpridl.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
lsmsnpridl.2	⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
lsmsnpridl.3	⊢ × = (LSSum‘𝐺)
lsmsnpridl.4	⊢ 𝐾 = (RSpan‘𝑅)
lsmsnpridl.5	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
lsmsnpridl.6	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
lsmsnpridl	⊢ (𝜑 → (𝐵 × {𝑋}) = (𝐾‘{𝑋}))

Proof of Theorem lsmsnpridl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lsmsnpridl.2	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
2		lsmsnpridl.1	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3	1, 2	mgpbas 19318	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
4		eqid 2758	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
5	1, 4	mgpplusg 19316	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑅) = (+g‘𝐺)
6		lsmsnpridl.3	. . . 4 ⊢ × = (LSSum‘𝐺)
7	1	fvexi 6676	. . . . 5 ⊢ 𝐺 ∈ V
8	7	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ V)
9		ssidd 3917	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐵)
10		lsmsnpridl.6	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
11	3, 5, 6, 8, 9, 10	elgrplsmsn 31103	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐵 × {𝑋}) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 = (𝑦(.r‘𝑅)𝑋)))
12		lsmsnpridl.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
13		lsmsnpridl.4	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (RSpan‘𝑅)
14	2, 4, 13	rspsnel 31092	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ (𝐾‘{𝑋}) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 = (𝑦(.r‘𝑅)𝑋)))
15	12, 10, 14	syl2anc 587	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐾‘{𝑋}) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 = (𝑦(.r‘𝑅)𝑋)))
16	11, 15	bitr4d 285	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐵 × {𝑋}) ↔ 𝑥 ∈ (𝐾‘{𝑋})))
17	16	eqrdv 2756	1 ⊢ (𝜑 → (𝐵 × {𝑋}) = (𝐾‘{𝑋}))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∃wrex 3071  Vcvv 3409  {csn 4525  ‘cfv 6339  (class class class)co 7155  Basecbs 16546  ._rcmulr 16629  LSSumclsm 18831  mulGrpcmgp 19312  Ringcrg 19370  RSpancrsp 20016

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5159  ax-sep 5172  ax-nul 5179  ax-pow 5237  ax-pr 5301  ax-un 7464  ax-cnex 10636  ax-resscn 10637  ax-1cn 10638  ax-icn 10639  ax-addcl 10640  ax-addrcl 10641  ax-mulcl 10642  ax-mulrcl 10643  ax-mulcom 10644  ax-addass 10645  ax-mulass 10646  ax-distr 10647  ax-i2m1 10648  ax-1ne0 10649  ax-1rid 10650  ax-rnegex 10651  ax-rrecex 10652  ax-cnre 10653  ax-pre-lttri 10654  ax-pre-lttrn 10655  ax-pre-ltadd 10656  ax-pre-mulgt0 10657

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-pss 3879  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-int 4842  df-iun 4888  df-br 5036  df-opab 5098  df-mpt 5116  df-tr 5142  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5446  df-so 5447  df-fr 5486  df-we 5488  df-xp 5533  df-rel 5534  df-cnv 5535  df-co 5536  df-dm 5537  df-rn 5538  df-res 5539  df-ima 5540  df-pred 6130  df-ord 6176  df-on 6177  df-lim 6178  df-suc 6179  df-iota 6298  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-om 7585  df-1st 7698  df-2nd 7699  df-wrecs 7962  df-recs 8023  df-rdg 8061  df-er 8304  df-en 8533  df-dom 8534  df-sdom 8535  df-pnf 10720  df-mnf 10721  df-xr 10722  df-ltxr 10723  df-le 10724  df-sub 10915  df-neg 10916  df-nn 11680  df-2 11742  df-3 11743  df-4 11744  df-5 11745  df-6 11746  df-7 11747  df-8 11748  df-ndx 16549  df-slot 16550  df-base 16552  df-sets 16553  df-ress 16554  df-plusg 16641  df-mulr 16642  df-sca 16644  df-vsca 16645  df-ip 16646  df-0g 16778  df-mgm 17923  df-sgrp 17972  df-mnd 17983  df-grp 18177  df-minusg 18178  df-sbg 18179  df-subg 18348  df-lsm 18833  df-mgp 19313  df-ur 19325  df-ring 19372  df-subrg 19606  df-lmod 19709  df-lss 19777  df-lsp 19817  df-sra 20017  df-rgmod 20018  df-rsp 20020

This theorem is referenced by:  lsmsnidl  31112