Theorem lsmsnpridl 33740

Description: The product of the ring with a single element is equal to the principal ideal generated by that element. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Jan-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
lsmsnpridl.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
lsmsnpridl.2	⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
lsmsnpridl.3	⊢ × = (LSSum‘𝐺)
lsmsnpridl.4	⊢ 𝐾 = (RSpan‘𝑅)
lsmsnpridl.5	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
lsmsnpridl.6	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
lsmsnpridl	⊢ (𝜑 → (𝐵 × {𝑋}) = (𝐾‘{𝑋}))

Proof of Theorem lsmsnpridl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lsmsnpridl.2	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
2		lsmsnpridl.1	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3	1, 2	mgpbas 20252	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
4		eqid 2766	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
5	1, 4	mgpplusg 20251	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑅) = (+g‘𝐺)
6		lsmsnpridl.3	. . . 4 ⊢ × = (LSSum‘𝐺)
7	1	fvexi 6902	. . . . 5 ⊢ 𝐺 ∈ V
8	7	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ V)
9		ssidd 3963	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐵)
10		lsmsnpridl.6	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
11	3, 5, 6, 8, 9, 10	elgrplsmsn 33734	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐵 × {𝑋}) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 = (𝑦(.r‘𝑅)𝑋)))
12		lsmsnpridl.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
13		lsmsnpridl.4	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (RSpan‘𝑅)
14	2, 4, 13	elrspsn 21408	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ (𝐾‘{𝑋}) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 = (𝑦(.r‘𝑅)𝑋)))
15	12, 10, 14	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐾‘{𝑋}) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 = (𝑦(.r‘𝑅)𝑋)))
16	11, 15	bitr4d 285	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐵 × {𝑋}) ↔ 𝑥 ∈ (𝐾‘{𝑋})))
17	16	eqrdv 2764	1 ⊢ (𝜑 → (𝐵 × {𝑋}) = (𝐾‘{𝑋}))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∃wrex 3092  Vcvv 3458  {csn 4594  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423  Basecbs 17294  ._rcmulr 17336  LSSumclsm 19735  mulGrpcmgp 20247  Ringcrg 20346  RSpancrsp 21368

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-int 4918  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8703  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-nn 12252  df-2 12321  df-3 12322  df-4 12323  df-5 12324  df-6 12325  df-7 12326  df-8 12327  df-sets 17249  df-slot 17267  df-ndx 17279  df-base 17295  df-ress 17316  df-plusg 17348  df-mulr 17349  df-sca 17351  df-vsca 17352  df-ip 17353  df-0g 17519  df-mgm 18723  df-sgrp 18806  df-mnd 18822  df-grp 19034  df-minusg 19035  df-sbg 19036  df-subg 19220  df-lsm 19737  df-mgp 20248  df-ur 20295  df-ring 20348  df-subrg 20706  df-lmod 21020  df-lss 21090  df-lsp 21130  df-sra 21331  df-rgmod 21332  df-rsp 21370

This theorem is used by:  lsmsnidl  33741