Theorem lsmsnpridl 33544

Description: The product of the ring with a single element is equal to the principal ideal generated by that element. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Jan-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
lsmsnpridl.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
lsmsnpridl.2	⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
lsmsnpridl.3	⊢ × = (LSSum‘𝐺)
lsmsnpridl.4	⊢ 𝐾 = (RSpan‘𝑅)
lsmsnpridl.5	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
lsmsnpridl.6	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
lsmsnpridl	⊢ (𝜑 → (𝐵 × {𝑋}) = (𝐾‘{𝑋}))

Proof of Theorem lsmsnpridl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lsmsnpridl.2	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
2		lsmsnpridl.1	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3	1, 2	mgpbas 20181	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
4		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
5	1, 4	mgpplusg 20180	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑅) = (+g‘𝐺)
6		lsmsnpridl.3	. . . 4 ⊢ × = (LSSum‘𝐺)
7	1	fvexi 6875	. . . . 5 ⊢ 𝐺 ∈ V
8	7	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ V)
9		ssidd 3957	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐵)
10		lsmsnpridl.6	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
11	3, 5, 6, 8, 9, 10	elgrplsmsn 33536	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐵 × {𝑋}) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 = (𝑦(.r‘𝑅)𝑋)))
12		lsmsnpridl.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
13		lsmsnpridl.4	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (RSpan‘𝑅)
14	2, 4, 13	elrspsn 21297	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ (𝐾‘{𝑋}) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 = (𝑦(.r‘𝑅)𝑋)))
15	12, 10, 14	syl2anc 593	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐾‘{𝑋}) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 = (𝑦(.r‘𝑅)𝑋)))
16	11, 15	bitr4d 284	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐵 × {𝑋}) ↔ 𝑥 ∈ (𝐾‘{𝑋})))
17	16	eqrdv 2759	1 ⊢ (𝜑 → (𝐵 × {𝑋}) = (𝐾‘{𝑋}))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  ∃wrex 3085  Vcvv 3453  {csn 4579  ‘cfv 6515  (class class class)co 7390  Basecbs 17235  ._rcmulr 17277  LSSumclsm 19664  mulGrpcmgp 20176  Ringcrg 20269  RSpancrsp 21264

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5224  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7712  ax-cnex 11122  ax-resscn 11123  ax-1cn 11124  ax-icn 11125  ax-addcl 11126  ax-addrcl 11127  ax-mulcl 11128  ax-mulrcl 11129  ax-mulcom 11130  ax-addass 11131  ax-mulass 11132  ax-distr 11133  ax-i2m1 11134  ax-1ne0 11135  ax-1rid 11136  ax-rnegex 11137  ax-rrecex 11138  ax-cnre 11139  ax-pre-lttri 11140  ax-pre-lttrn 11141  ax-pre-ltadd 11142  ax-pre-mulgt0 11143

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6282  df-ord 6343  df-on 6344  df-lim 6345  df-suc 6346  df-iota 6471  df-fun 6517  df-fn 6518  df-f 6519  df-f1 6520  df-fo 6521  df-f1o 6522  df-fv 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7841  df-1st 7964  df-2nd 7965  df-frecs 8255  df-wrecs 8286  df-recs 8335  df-rdg 8374  df-er 8671  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-pnf 11211  df-mnf 11212  df-xr 11213  df-ltxr 11214  df-le 11215  df-sub 11409  df-neg 11410  df-nn 12204  df-2 12273  df-3 12274  df-4 12275  df-5 12276  df-6 12277  df-7 12278  df-8 12279  df-sets 17190  df-slot 17208  df-ndx 17220  df-base 17236  df-ress 17257  df-plusg 17289  df-mulr 17290  df-sca 17292  df-vsca 17293  df-ip 17294  df-0g 17460  df-mgm 18664  df-sgrp 18743  df-mnd 18759  df-grp 18968  df-minusg 18969  df-sbg 18970  df-subg 19155  df-lsm 19666  df-mgp 20177  df-ur 20218  df-ring 20271  df-subrg 20606  df-lmod 20916  df-lss 20986  df-lsp 21026  df-sra 21227  df-rgmod 21228  df-rsp 21266

This theorem is referenced by:  lsmsnidl  33545