Theorem lsmsnpridl 30971

Description: The product of the ring with a single element is equal to the principal ideal generated by that element. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Jan-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
lsmsnpridl.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
lsmsnpridl.2	⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
lsmsnpridl.3	⊢ × = (LSSum‘𝐺)
lsmsnpridl.4	⊢ 𝐾 = (RSpan‘𝑅)
lsmsnpridl.5	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
lsmsnpridl.6	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
lsmsnpridl	⊢ (𝜑 → (𝐵 × {𝑋}) = (𝐾‘{𝑋}))

Proof of Theorem lsmsnpridl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lsmsnpridl.2	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
2		lsmsnpridl.1	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3	1, 2	mgpbas 19241	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
4		eqid 2820	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
5	1, 4	mgpplusg 19239	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑅) = (+g‘𝐺)
6		lsmsnpridl.3	. . . 4 ⊢ × = (LSSum‘𝐺)
7	1	fvexi 6681	. . . . 5 ⊢ 𝐺 ∈ V
8	7	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ V)
9		ssidd 3987	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐵)
10		lsmsnpridl.6	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
11	3, 5, 6, 8, 9, 10	elgrplsmsn 30966	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐵 × {𝑋}) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 = (𝑦(.r‘𝑅)𝑋)))
12		lsmsnpridl.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
13		lsmsnpridl.4	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (RSpan‘𝑅)
14	2, 4, 13	rspsnel 30957	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ (𝐾‘{𝑋}) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 = (𝑦(.r‘𝑅)𝑋)))
15	12, 10, 14	syl2anc 586	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐾‘{𝑋}) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 = (𝑦(.r‘𝑅)𝑋)))
16	11, 15	bitr4d 284	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐵 × {𝑋}) ↔ 𝑥 ∈ (𝐾‘{𝑋})))
17	16	eqrdv 2818	1 ⊢ (𝜑 → (𝐵 × {𝑋}) = (𝐾‘{𝑋}))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   = wceq 1536   ∈ wcel 2113  ∃wrex 3138  Vcvv 3493  {csn 4564  ‘cfv 6352  (class class class)co 7153  Basecbs 16479  ._rcmulr 16562  LSSumclsm 18755  mulGrpcmgp 19235  Ringcrg 19293  RSpancrsp 19939

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2792  ax-rep 5187  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5327  ax-un 7458  ax-cnex 10590  ax-resscn 10591  ax-1cn 10592  ax-icn 10593  ax-addcl 10594  ax-addrcl 10595  ax-mulcl 10596  ax-mulrcl 10597  ax-mulcom 10598  ax-addass 10599  ax-mulass 10600  ax-distr 10601  ax-i2m1 10602  ax-1ne0 10603  ax-1rid 10604  ax-rnegex 10605  ax-rrecex 10606  ax-cnre 10607  ax-pre-lttri 10608  ax-pre-lttrn 10609  ax-pre-ltadd 10610  ax-pre-mulgt0 10611

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1083  df-3an 1084  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2892  df-nfc 2962  df-ne 3016  df-nel 3123  df-ral 3142  df-rex 3143  df-reu 3144  df-rmo 3145  df-rab 3146  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4465  df-pw 4538  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4836  df-int 4874  df-iun 4918  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5457  df-eprel 5462  df-po 5471  df-so 5472  df-fr 5511  df-we 5513  df-xp 5558  df-rel 5559  df-cnv 5560  df-co 5561  df-dm 5562  df-rn 5563  df-res 5564  df-ima 5565  df-pred 6145  df-ord 6191  df-on 6192  df-lim 6193  df-suc 6194  df-iota 6311  df-fun 6354  df-fn 6355  df-f 6356  df-f1 6357  df-fo 6358  df-f1o 6359  df-fv 6360  df-riota 7111  df-ov 7156  df-oprab 7157  df-mpo 7158  df-om 7578  df-1st 7686  df-2nd 7687  df-wrecs 7944  df-recs 8005  df-rdg 8043  df-er 8286  df-en 8507  df-dom 8508  df-sdom 8509  df-pnf 10674  df-mnf 10675  df-xr 10676  df-ltxr 10677  df-le 10678  df-sub 10869  df-neg 10870  df-nn 11636  df-2 11698  df-3 11699  df-4 11700  df-5 11701  df-6 11702  df-7 11703  df-8 11704  df-ndx 16482  df-slot 16483  df-base 16485  df-sets 16486  df-ress 16487  df-plusg 16574  df-mulr 16575  df-sca 16577  df-vsca 16578  df-ip 16579  df-0g 16711  df-mgm 17848  df-sgrp 17897  df-mnd 17908  df-grp 18102  df-minusg 18103  df-sbg 18104  df-subg 18272  df-lsm 18757  df-mgp 19236  df-ur 19248  df-ring 19295  df-subrg 19529  df-lmod 19632  df-lss 19700  df-lsp 19740  df-sra 19940  df-rgmod 19941  df-rsp 19943

This theorem is referenced by:  lsmsnidl  30972