Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lsmsnpridl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lsmsnpridl 32497
Description: The product of the ring with a single element is equal to the principal ideal generated by that element. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Jan-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
lsmsnpridl.1 𝐵 = (Base‘𝑅)
lsmsnpridl.2 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
lsmsnpridl.3 × = (LSSum‘𝐺)
lsmsnpridl.4 𝐾 = (RSpan‘𝑅)
lsmsnpridl.5 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
lsmsnpridl.6 (𝜑𝑋𝐵)
Assertion
Ref Expression
lsmsnpridl (𝜑 → (𝐵 × {𝑋}) = (𝐾‘{𝑋}))

Proof of Theorem lsmsnpridl
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lsmsnpridl.2 . . . . 5 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
2 lsmsnpridl.1 . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑅)
31, 2mgpbas 19988 . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐺)
4 eqid 2733 . . . . 5 (.r𝑅) = (.r𝑅)
51, 4mgpplusg 19986 . . . 4 (.r𝑅) = (+g𝐺)
6 lsmsnpridl.3 . . . 4 × = (LSSum‘𝐺)
71fvexi 6903 . . . . 5 𝐺 ∈ V
87a1i 11 . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ V)
9 ssidd 4005 . . . 4 (𝜑𝐵𝐵)
10 lsmsnpridl.6 . . . 4 (𝜑𝑋𝐵)
113, 5, 6, 8, 9, 10elgrplsmsn 32489 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐵 × {𝑋}) ↔ ∃𝑦𝐵 𝑥 = (𝑦(.r𝑅)𝑋)))
12 lsmsnpridl.5 . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
13 lsmsnpridl.4 . . . . 5 𝐾 = (RSpan‘𝑅)
142, 4, 13rspsnel 32473 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) → (𝑥 ∈ (𝐾‘{𝑋}) ↔ ∃𝑦𝐵 𝑥 = (𝑦(.r𝑅)𝑋)))
1512, 10, 14syl2anc 585 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐾‘{𝑋}) ↔ ∃𝑦𝐵 𝑥 = (𝑦(.r𝑅)𝑋)))
1611, 15bitr4d 282 . 2 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐵 × {𝑋}) ↔ 𝑥 ∈ (𝐾‘{𝑋})))
1716eqrdv 2731 1 (𝜑 → (𝐵 × {𝑋}) = (𝐾‘{𝑋}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205   = wceq 1542  wcel 2107  wrex 3071  Vcvv 3475  {csn 4628  cfv 6541  (class class class)co 7406  Basecbs 17141  .rcmulr 17195  LSSumclsm 19497  mulGrpcmgp 19982  Ringcrg 20050  RSpancrsp 20777
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-om 7853  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8368  df-rdg 8407  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-4 12274  df-5 12275  df-6 12276  df-7 12277  df-8 12278  df-sets 17094  df-slot 17112  df-ndx 17124  df-base 17142  df-ress 17171  df-plusg 17207  df-mulr 17208  df-sca 17210  df-vsca 17211  df-ip 17212  df-0g 17384  df-mgm 18558  df-sgrp 18607  df-mnd 18623  df-grp 18819  df-minusg 18820  df-sbg 18821  df-subg 18998  df-lsm 19499  df-mgp 19983  df-ur 20000  df-ring 20052  df-subrg 20354  df-lmod 20466  df-lss 20536  df-lsp 20576  df-sra 20778  df-rgmod 20779  df-rsp 20781
This theorem is referenced by:  lsmsnidl  32498
  Copyright terms: Public domain W3C validator