Theorem lspindp2 21309

Description: Alternate way to say 3 vectors are mutually independent (rotate right). (Contributed by NM, 12-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspindp1.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspindp1.o	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
lspindp1.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lspindp1.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lspindp2.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
lspindp2.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
lspindp2.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)
lspindp2.q	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
lspindp2.e	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑍 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))

Assertion

Ref	Expression
lspindp2	⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑍}) ≠ (𝑁‘{𝑋}) ∧ ¬ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑋})))

Proof of Theorem lspindp2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lspindp1.v	. 2 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
2		lspindp1.o	. 2 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
3		lspindp1.n	. 2 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
4		lspindp1.w	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
5		lspindp2.y	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
6		lspindp2.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
7		lspindp2.z	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)
8		lspindp2.q	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
9	8	necomd 3015	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑋}))
10		lspindp2.e	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑍 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
11		prcom 4700	. . . . 5 ⊢ {𝑋, 𝑌} = {𝑌, 𝑋}
12	11	fveq2i 6888	. . . 4 ⊢ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) = (𝑁‘{𝑌, 𝑋})
13	12	eleq2i 2857	. . 3 ⊢ (𝑍 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ↔ 𝑍 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋}))
14	10, 13	sylnib 331	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑍 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋}))
15	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 14	lspindp1 21307	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑍}) ≠ (𝑁‘{𝑋}) ∧ ¬ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑋})))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2960   ∖ cdif 3903  {csn 4591  {cpr 4593  ‘cfv 6540  Basecbs 17291  0_gc0g 17514  LSpanclspn 21142  LVecclvec 21273

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11171  ax-resscn 11172  ax-1cn 11173  ax-icn 11174  ax-addcl 11175  ax-addrcl 11176  ax-mulcl 11177  ax-mulrcl 11178  ax-mulcom 11179  ax-addass 11180  ax-mulass 11181  ax-distr 11182  ax-i2m1 11183  ax-1ne0 11184  ax-1rid 11185  ax-rnegex 11186  ax-rrecex 11187  ax-cnre 11188  ax-pre-lttri 11189  ax-pre-lttrn 11190  ax-pre-ltadd 11191  ax-pre-mulgt0 11192

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-tpos 8228  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-pnf 11260  df-mnf 11261  df-xr 11262  df-ltxr 11263  df-le 11264  df-sub 11458  df-neg 11459  df-nn 12249  df-2 12318  df-3 12319  df-sets 17246  df-slot 17264  df-ndx 17276  df-base 17292  df-ress 17313  df-plusg 17345  df-mulr 17346  df-0g 17516  df-mgm 18720  df-sgrp 18809  df-mnd 18825  df-submnd 18879  df-grp 19047  df-minusg 19048  df-sbg 19049  df-subg 19233  df-cntz 19431  df-lsm 19750  df-cmn 19896  df-abl 19897  df-mgp 20261  df-rng 20275  df-ur 20308  df-ring 20361  df-oppr 20465  df-dvdsr 20485  df-unit 20486  df-invr 20516  df-drng 20879  df-lmod 21033  df-lss 21103  df-lsp 21143  df-lvec 21274

This theorem is used by:  mapdheq4lem  42563  mapdheq4  42564  mapdh6lem1N  42565  mapdh6lem2N  42566  mapdh6aN  42567  hdmap1l6lem1  42639  hdmap1l6lem2  42640  hdmap1l6a  42641