MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lspindp2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lspindp2 19907
Description: Alternate way to say 3 vectors are mutually independent (rotate right). (Contributed by NM, 12-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lspindp1.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspindp1.o 0 = (0g𝑊)
lspindp1.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lspindp1.w (𝜑𝑊 ∈ LVec)
lspindp2.x (𝜑𝑋𝑉)
lspindp2.y (𝜑𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
lspindp2.z (𝜑𝑍𝑉)
lspindp2.q (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
lspindp2.e (𝜑 → ¬ 𝑍 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
Assertion
Ref Expression
lspindp2 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑍}) ≠ (𝑁‘{𝑋}) ∧ ¬ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑋})))

Proof of Theorem lspindp2
StepHypRef Expression
1 lspindp1.v . 2 𝑉 = (Base‘𝑊)
2 lspindp1.o . 2 0 = (0g𝑊)
3 lspindp1.n . 2 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
4 lspindp1.w . 2 (𝜑𝑊 ∈ LVec)
5 lspindp2.y . 2 (𝜑𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
6 lspindp2.x . 2 (𝜑𝑋𝑉)
7 lspindp2.z . 2 (𝜑𝑍𝑉)
8 lspindp2.q . . 3 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
98necomd 3069 . 2 (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑋}))
10 lspindp2.e . . 3 (𝜑 → ¬ 𝑍 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
11 prcom 4653 . . . . 5 {𝑋, 𝑌} = {𝑌, 𝑋}
1211fveq2i 6664 . . . 4 (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) = (𝑁‘{𝑌, 𝑋})
1312eleq2i 2907 . . 3 (𝑍 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ↔ 𝑍 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋}))
1410, 13sylnib 331 . 2 (𝜑 → ¬ 𝑍 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋}))
151, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 14lspindp1 19905 1 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑍}) ≠ (𝑁‘{𝑋}) ∧ ¬ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑋})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 399   = wceq 1538  wcel 2115  wne 3014  cdif 3916  {csn 4550  {cpr 4552  cfv 6343  Basecbs 16483  0gc0g 16713  LSpanclspn 19743  LVecclvec 19874
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-cnex 10591  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611  ax-pre-mulgt0 10612
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-om 7575  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-tpos 7888  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-er 8285  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-le 10679  df-sub 10870  df-neg 10871  df-nn 11635  df-2 11697  df-3 11698  df-ndx 16486  df-slot 16487  df-base 16489  df-sets 16490  df-ress 16491  df-plusg 16578  df-mulr 16579  df-0g 16715  df-mgm 17852  df-sgrp 17901  df-mnd 17912  df-submnd 17957  df-grp 18106  df-minusg 18107  df-sbg 18108  df-subg 18276  df-cntz 18447  df-lsm 18761  df-cmn 18908  df-abl 18909  df-mgp 19240  df-ur 19252  df-ring 19299  df-oppr 19376  df-dvdsr 19394  df-unit 19395  df-invr 19425  df-drng 19504  df-lmod 19636  df-lss 19704  df-lsp 19744  df-lvec 19875
This theorem is referenced by:  mapdheq4lem  38972  mapdheq4  38973  mapdh6lem1N  38974  mapdh6lem2N  38975  mapdh6aN  38976  hdmap1l6lem1  39048  hdmap1l6lem2  39049  hdmap1l6a  39050
  Copyright terms: Public domain W3C validator