Theorem mapdin 42436

Description: Subspace intersection is preserved by the map defined by df-mapd 42399. Part of property (e) in [Baer] p. 40. (Contributed by NM, 12-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mapdin.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdin.m	⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapdin.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapdin.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
mapdin.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
mapdin.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑆)
mapdin.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
mapdin	⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑋 ∩ 𝑌)) = ((𝑀‘𝑋) ∩ (𝑀‘𝑌)))

Proof of Theorem mapdin

Step	Hyp	Ref	Expression
1		inss1 4189	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∩ 𝑌) ⊆ 𝑋
2		mapdin.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3		mapdin.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
4		mapdin.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
5		mapdin.m	. . . . 5 ⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
6		mapdin.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
7	2, 3, 6	dvhlmod 41884	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
8		mapdin.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑆)
9		mapdin.y	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑆)
10	4	lssincl 21086	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑆) → (𝑋 ∩ 𝑌) ∈ 𝑆)
11	7, 8, 9, 10	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∩ 𝑌) ∈ 𝑆)
12	2, 3, 4, 5, 6, 11, 8	mapdord 42412	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘(𝑋 ∩ 𝑌)) ⊆ (𝑀‘𝑋) ↔ (𝑋 ∩ 𝑌) ⊆ 𝑋))
13	1, 12	mpbiri 261	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑋 ∩ 𝑌)) ⊆ (𝑀‘𝑋))
14		inss2 4190	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∩ 𝑌) ⊆ 𝑌
15	2, 3, 4, 5, 6, 11, 9	mapdord 42412	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘(𝑋 ∩ 𝑌)) ⊆ (𝑀‘𝑌) ↔ (𝑋 ∩ 𝑌) ⊆ 𝑌))
16	14, 15	mpbiri 261	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑋 ∩ 𝑌)) ⊆ (𝑀‘𝑌))
17	13, 16	ssind 4193	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑋 ∩ 𝑌)) ⊆ ((𝑀‘𝑋) ∩ (𝑀‘𝑌)))
18		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ ((LCDual‘𝐾)‘𝑊) = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
19		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (LSubSp‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)) = (LSubSp‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))
20	2, 5, 3, 4, 18, 19, 6, 8	mapdcl2 42430	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝑋) ∈ (LSubSp‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))
21	2, 5, 18, 19, 6	mapdrn2 42425	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ran 𝑀 = (LSubSp‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))
22	20, 21	eleqtrrd 2866	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝑋) ∈ ran 𝑀)
23	2, 5, 3, 4, 18, 19, 6, 9	mapdcl2 42430	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝑌) ∈ (LSubSp‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))
24	23, 21	eleqtrrd 2866	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝑌) ∈ ran 𝑀)
25	2, 5, 3, 18, 6, 22, 24	mapdincl 42435	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘𝑋) ∩ (𝑀‘𝑌)) ∈ ran 𝑀)
26	2, 5, 6, 25	mapdcnvid2 42431	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(◡𝑀‘((𝑀‘𝑋) ∩ (𝑀‘𝑌)))) = ((𝑀‘𝑋) ∩ (𝑀‘𝑌)))
27		inss1 4189	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀‘𝑋) ∩ (𝑀‘𝑌)) ⊆ (𝑀‘𝑋)
28	26, 27	eqsstrdi 3981	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(◡𝑀‘((𝑀‘𝑋) ∩ (𝑀‘𝑌)))) ⊆ (𝑀‘𝑋))
29	2, 18, 6	lcdlmod 42366	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((LCDual‘𝐾)‘𝑊) ∈ LMod)
30	19	lssincl 21086	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((LCDual‘𝐾)‘𝑊) ∈ LMod ∧ (𝑀‘𝑋) ∈ (LSubSp‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)) ∧ (𝑀‘𝑌) ∈ (LSubSp‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))) → ((𝑀‘𝑋) ∩ (𝑀‘𝑌)) ∈ (LSubSp‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))
31	29, 20, 23, 30	syl3anc 1398	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘𝑋) ∩ (𝑀‘𝑌)) ∈ (LSubSp‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))
32	31, 21	eleqtrrd 2866	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘𝑋) ∩ (𝑀‘𝑌)) ∈ ran 𝑀)
33	2, 5, 3, 4, 6, 32	mapdcnvcl 42426	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (◡𝑀‘((𝑀‘𝑋) ∩ (𝑀‘𝑌))) ∈ 𝑆)
34	2, 3, 4, 5, 6, 33, 8	mapdord 42412	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘(◡𝑀‘((𝑀‘𝑋) ∩ (𝑀‘𝑌)))) ⊆ (𝑀‘𝑋) ↔ (◡𝑀‘((𝑀‘𝑋) ∩ (𝑀‘𝑌))) ⊆ 𝑋))
35	28, 34	mpbid 235	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (◡𝑀‘((𝑀‘𝑋) ∩ (𝑀‘𝑌))) ⊆ 𝑋)
36	2, 5, 6, 32	mapdcnvid2 42431	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(◡𝑀‘((𝑀‘𝑋) ∩ (𝑀‘𝑌)))) = ((𝑀‘𝑋) ∩ (𝑀‘𝑌)))
37		inss2 4190	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀‘𝑋) ∩ (𝑀‘𝑌)) ⊆ (𝑀‘𝑌)
38	36, 37	eqsstrdi 3981	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(◡𝑀‘((𝑀‘𝑋) ∩ (𝑀‘𝑌)))) ⊆ (𝑀‘𝑌))
39	2, 3, 4, 5, 6, 33, 9	mapdord 42412	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘(◡𝑀‘((𝑀‘𝑋) ∩ (𝑀‘𝑌)))) ⊆ (𝑀‘𝑌) ↔ (◡𝑀‘((𝑀‘𝑋) ∩ (𝑀‘𝑌))) ⊆ 𝑌))
40	38, 39	mpbid 235	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (◡𝑀‘((𝑀‘𝑋) ∩ (𝑀‘𝑌))) ⊆ 𝑌)
41	35, 40	ssind 4193	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (◡𝑀‘((𝑀‘𝑋) ∩ (𝑀‘𝑌))) ⊆ (𝑋 ∩ 𝑌))
42	2, 3, 4, 5, 6, 33, 11	mapdord 42412	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘(◡𝑀‘((𝑀‘𝑋) ∩ (𝑀‘𝑌)))) ⊆ (𝑀‘(𝑋 ∩ 𝑌)) ↔ (◡𝑀‘((𝑀‘𝑋) ∩ (𝑀‘𝑌))) ⊆ (𝑋 ∩ 𝑌)))
43	41, 42	mpbird 260	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(◡𝑀‘((𝑀‘𝑋) ∩ (𝑀‘𝑌)))) ⊆ (𝑀‘(𝑋 ∩ 𝑌)))
44	26, 43	eqsstrrd 3972	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘𝑋) ∩ (𝑀‘𝑌)) ⊆ (𝑀‘(𝑋 ∩ 𝑌)))
45	17, 44	eqssd 3954	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑋 ∩ 𝑌)) = ((𝑀‘𝑋) ∩ (𝑀‘𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ∩ cin 3904   ⊆ wss 3905  ^◡ccnv 5660  ran crn 5662  ‘cfv 6536  LModclmod 20981  LSubSpclss 21052  HLchlt 40124  LHypclh 40758  DVecHcdvh 41852  LCDualclcd 42360  mapdcmpd 42398

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172  ax-riotaBAD 39727

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-iin 4959  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-of 7674  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-tpos 8218  df-undef 8265  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-2o 8450  df-er 8690  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-nn 12229  df-2 12298  df-3 12299  df-4 12300  df-5 12301  df-6 12302  df-n0 12500  df-z 12587  df-uz 12858  df-fz 13531  df-struct 17202  df-sets 17219  df-slot 17237  df-ndx 17249  df-base 17265  df-ress 17286  df-plusg 17318  df-mulr 17319  df-sca 17321  df-vsca 17322  df-0g 17489  df-mre 17633  df-mrc 17634  df-acs 17636  df-proset 18345  df-poset 18364  df-plt 18379  df-lub 18395  df-glb 18396  df-join 18397  df-meet 18398  df-p0 18474  df-p1 18475  df-lat 18483  df-clat 18550  df-mgm 18693  df-sgrp 18772  df-mnd 18788  df-submnd 18837  df-grp 18998  df-minusg 18999  df-sbg 19000  df-subg 19184  df-cntz 19382  df-oppg 19411  df-lsm 19701  df-cmn 19847  df-abl 19848  df-mgp 20212  df-rng 20226  df-ur 20259  df-ring 20312  df-oppr 20415  df-dvdsr 20435  df-unit 20436  df-invr 20466  df-dvr 20479  df-nzr 20610  df-rlreg 20793  df-domn 20794  df-drng 20829  df-lmod 20983  df-lss 21053  df-lsp 21093  df-lvec 21224  df-lsatoms 39750  df-lshyp 39751  df-lcv 39793  df-lfl 39832  df-lkr 39860  df-ldual 39898  df-oposet 39950  df-ol 39952  df-oml 39953  df-covers 40040  df-ats 40041  df-atl 40072  df-cvlat 40096  df-hlat 40125  df-llines 40272  df-lplanes 40273  df-lvols 40274  df-lines 40275  df-psubsp 40277  df-pmap 40278  df-padd 40570  df-lhyp 40762  df-laut 40763  df-ldil 40878  df-ltrn 40879  df-trl 40933  df-tgrp 41517  df-tendo 41529  df-edring 41531  df-dveca 41777  df-disoa 41803  df-dvech 41853  df-dib 41913  df-dic 41947  df-dih 42003  df-doch 42122  df-djh 42169  df-lcdual 42361  df-mapd 42399

This theorem is referenced by:  mapdheq4lem  42505  mapdh6lem1N  42507  mapdh6lem2N  42508  hdmap1l6lem1  42581  hdmap1l6lem2  42582