Theorem mapdin 42985

Description: Subspace intersection is preserved by the map defined by df-mapd 42948. Part of property (e) in [Baer] p. 40. (Contributed by NM, 12-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mapdin.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdin.m	⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapdin.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapdin.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
mapdin.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
mapdin.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑆)
mapdin.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
mapdin	⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑋 ∩ 𝑌)) = ((𝑀‘𝑋) ∩ (𝑀‘𝑌)))

Proof of Theorem mapdin

Step	Hyp	Ref	Expression
1		inss1 4136	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∩ 𝑌) ⊆ 𝑋
2		mapdin.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3		mapdin.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
4		mapdin.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
5		mapdin.m	. . . . 5 ⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
6		mapdin.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
7	2, 3, 6	dvhlmod 42433	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
8		mapdin.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑆)
9		mapdin.y	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑆)
10	4	lssincl 21291	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑆) → (𝑋 ∩ 𝑌) ∈ 𝑆)
11	7, 8, 9, 10	syl3anc 1399	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∩ 𝑌) ∈ 𝑆)
12	2, 3, 4, 5, 6, 11, 8	mapdord 42961	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘(𝑋 ∩ 𝑌)) ⊆ (𝑀‘𝑋) ↔ (𝑋 ∩ 𝑌) ⊆ 𝑋))
13	1, 12	mpbiri 261	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑋 ∩ 𝑌)) ⊆ (𝑀‘𝑋))
14		inss2 4137	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∩ 𝑌) ⊆ 𝑌
15	2, 3, 4, 5, 6, 11, 9	mapdord 42961	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘(𝑋 ∩ 𝑌)) ⊆ (𝑀‘𝑌) ↔ (𝑋 ∩ 𝑌) ⊆ 𝑌))
16	14, 15	mpbiri 261	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑋 ∩ 𝑌)) ⊆ (𝑀‘𝑌))
17	13, 16	ssind 4140	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑋 ∩ 𝑌)) ⊆ ((𝑀‘𝑋) ∩ (𝑀‘𝑌)))
18		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ ((LCDual‘𝐾)‘𝑊) = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
19		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (LSubSp‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)) = (LSubSp‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))
20	2, 5, 3, 4, 18, 19, 6, 8	mapdcl2 42979	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝑋) ∈ (LSubSp‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))
21	2, 5, 18, 19, 6	mapdrn2 42974	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ran 𝑀 = (LSubSp‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))
22	20, 21	eleqtrrd 2867	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝑋) ∈ ran 𝑀)
23	2, 5, 3, 4, 18, 19, 6, 9	mapdcl2 42979	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝑌) ∈ (LSubSp‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))
24	23, 21	eleqtrrd 2867	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝑌) ∈ ran 𝑀)
25	2, 5, 3, 18, 6, 22, 24	mapdincl 42984	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘𝑋) ∩ (𝑀‘𝑌)) ∈ ran 𝑀)
26	2, 5, 6, 25	mapdcnvid2 42980	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(◡𝑀‘((𝑀‘𝑋) ∩ (𝑀‘𝑌)))) = ((𝑀‘𝑋) ∩ (𝑀‘𝑌)))
27		inss1 4136	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀‘𝑋) ∩ (𝑀‘𝑌)) ⊆ (𝑀‘𝑋)
28	26, 27	eqsstrdi 3957	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(◡𝑀‘((𝑀‘𝑋) ∩ (𝑀‘𝑌)))) ⊆ (𝑀‘𝑋))
29	2, 18, 6	lcdlmod 42915	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((LCDual‘𝐾)‘𝑊) ∈ LMod)
30	19	lssincl 21291	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((LCDual‘𝐾)‘𝑊) ∈ LMod ∧ (𝑀‘𝑋) ∈ (LSubSp‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)) ∧ (𝑀‘𝑌) ∈ (LSubSp‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))) → ((𝑀‘𝑋) ∩ (𝑀‘𝑌)) ∈ (LSubSp‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))
31	29, 20, 23, 30	syl3anc 1399	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘𝑋) ∩ (𝑀‘𝑌)) ∈ (LSubSp‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))
32	31, 21	eleqtrrd 2867	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘𝑋) ∩ (𝑀‘𝑌)) ∈ ran 𝑀)
33	2, 5, 3, 4, 6, 32	mapdcnvcl 42975	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (◡𝑀‘((𝑀‘𝑋) ∩ (𝑀‘𝑌))) ∈ 𝑆)
34	2, 3, 4, 5, 6, 33, 8	mapdord 42961	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘(◡𝑀‘((𝑀‘𝑋) ∩ (𝑀‘𝑌)))) ⊆ (𝑀‘𝑋) ↔ (◡𝑀‘((𝑀‘𝑋) ∩ (𝑀‘𝑌))) ⊆ 𝑋))
35	28, 34	mpbid 235	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (◡𝑀‘((𝑀‘𝑋) ∩ (𝑀‘𝑌))) ⊆ 𝑋)
36	2, 5, 6, 32	mapdcnvid2 42980	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(◡𝑀‘((𝑀‘𝑋) ∩ (𝑀‘𝑌)))) = ((𝑀‘𝑋) ∩ (𝑀‘𝑌)))
37		inss2 4137	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀‘𝑋) ∩ (𝑀‘𝑌)) ⊆ (𝑀‘𝑌)
38	36, 37	eqsstrdi 3957	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(◡𝑀‘((𝑀‘𝑋) ∩ (𝑀‘𝑌)))) ⊆ (𝑀‘𝑌))
39	2, 3, 4, 5, 6, 33, 9	mapdord 42961	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘(◡𝑀‘((𝑀‘𝑋) ∩ (𝑀‘𝑌)))) ⊆ (𝑀‘𝑌) ↔ (◡𝑀‘((𝑀‘𝑋) ∩ (𝑀‘𝑌))) ⊆ 𝑌))
40	38, 39	mpbid 235	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (◡𝑀‘((𝑀‘𝑋) ∩ (𝑀‘𝑌))) ⊆ 𝑌)
41	35, 40	ssind 4140	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (◡𝑀‘((𝑀‘𝑋) ∩ (𝑀‘𝑌))) ⊆ (𝑋 ∩ 𝑌))
42	2, 3, 4, 5, 6, 33, 11	mapdord 42961	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘(◡𝑀‘((𝑀‘𝑋) ∩ (𝑀‘𝑌)))) ⊆ (𝑀‘(𝑋 ∩ 𝑌)) ↔ (◡𝑀‘((𝑀‘𝑋) ∩ (𝑀‘𝑌))) ⊆ (𝑋 ∩ 𝑌)))
43	41, 42	mpbird 260	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(◡𝑀‘((𝑀‘𝑋) ∩ (𝑀‘𝑌)))) ⊆ (𝑀‘(𝑋 ∩ 𝑌)))
44	26, 43	eqsstrrd 3948	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘𝑋) ∩ (𝑀‘𝑌)) ⊆ (𝑀‘(𝑋 ∩ 𝑌)))
45	17, 44	eqssd 3930	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑋 ∩ 𝑌)) = ((𝑀‘𝑋) ∩ (𝑀‘𝑌)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ⊆ wss 3900   ∩ cin 4092  ^◡ccnv 5657  ran crn 5659  ‘cfv 6566  LModclmod 21186  LSubSpclss 21257  HLchlt 40673  LHypclh 41307  DVecHcdvh 42401  LCDualclcd 42909  mapdcmpd 42947

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316  ax-riotaBAD 40276

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4841  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-iin 4959  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-of 7725  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-tpos 8281  df-undef 8328  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-2o 8515  df-er 8755  df-map 8887  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-4 12447  df-5 12448  df-6 12449  df-n0 12647  df-z 12734  df-uz 13006  df-fz 13680  df-struct 17369  df-sets 17386  df-slot 17404  df-ndx 17416  df-base 17432  df-ress 17453  df-plusg 17486  df-mulr 17487  df-sca 17489  df-vsca 17490  df-0g 17662  df-mre 17806  df-mrc 17807  df-acs 17809  df-proset 18518  df-poset 18537  df-plt 18552  df-lub 18568  df-glb 18569  df-join 18570  df-meet 18571  df-p0 18647  df-p1 18648  df-lat 18656  df-clat 18723  df-mgm 18866  df-sgrp 18958  df-mnd 18974  df-submnd 19029  df-grp 19197  df-minusg 19198  df-sbg 19199  df-subg 19383  df-cntz 19582  df-oppg 19611  df-lsm 19901  df-cmn 20047  df-abl 20048  df-mgp 20412  df-rng 20426  df-ur 20459  df-ring 20512  df-oppr 20618  df-dvdsr 20638  df-unit 20639  df-invr 20669  df-dvr 20682  df-nzr 20814  df-rlreg 20997  df-domn 20998  df-drng 21033  df-lmod 21188  df-lss 21258  df-lsp 21298  df-lvec 21429  df-lsatoms 40299  df-lshyp 40300  df-lcv 40342  df-lfl 40381  df-lkr 40409  df-ldual 40447  df-oposet 40499  df-ol 40501  df-oml 40502  df-covers 40589  df-ats 40590  df-atl 40621  df-cvlat 40645  df-hlat 40674  df-llines 40821  df-lplanes 40822  df-lvols 40823  df-lines 40824  df-psubsp 40826  df-pmap 40827  df-padd 41119  df-lhyp 41311  df-laut 41312  df-ldil 41427  df-ltrn 41428  df-trl 41482  df-tgrp 42066  df-tendo 42078  df-edring 42080  df-dveca 42326  df-disoa 42352  df-dvech 42402  df-dib 42462  df-dic 42496  df-dih 42552  df-doch 42671  df-djh 42718  df-lcdual 42910  df-mapd 42948

This theorem is used by:  mapdheq4lem  43054  mapdh6lem1N  43056  mapdh6lem2N  43057  hdmap1l6lem1  43130  hdmap1l6lem2  43131