Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdin Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mapdin 38906
 Description: Subspace intersection is preserved by the map defined by df-mapd 38869. Part of property (e) in [Baer] p. 40. (Contributed by NM, 12-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdin.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdin.m 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapdin.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapdin.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
mapdin.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
mapdin.x (𝜑𝑋𝑆)
mapdin.y (𝜑𝑌𝑆)
Assertion
Ref Expression
mapdin (𝜑 → (𝑀‘(𝑋𝑌)) = ((𝑀𝑋) ∩ (𝑀𝑌)))

Proof of Theorem mapdin
StepHypRef Expression
1 inss1 4190 . . . 4 (𝑋𝑌) ⊆ 𝑋
2 mapdin.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3 mapdin.u . . . . 5 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
4 mapdin.s . . . . 5 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
5 mapdin.m . . . . 5 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
6 mapdin.k . . . . 5 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
72, 3, 6dvhlmod 38354 . . . . . 6 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
8 mapdin.x . . . . . 6 (𝜑𝑋𝑆)
9 mapdin.y . . . . . 6 (𝜑𝑌𝑆)
104lssincl 19737 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆𝑌𝑆) → (𝑋𝑌) ∈ 𝑆)
117, 8, 9, 10syl3anc 1368 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋𝑌) ∈ 𝑆)
122, 3, 4, 5, 6, 11, 8mapdord 38882 . . . 4 (𝜑 → ((𝑀‘(𝑋𝑌)) ⊆ (𝑀𝑋) ↔ (𝑋𝑌) ⊆ 𝑋))
131, 12mpbiri 261 . . 3 (𝜑 → (𝑀‘(𝑋𝑌)) ⊆ (𝑀𝑋))
14 inss2 4191 . . . 4 (𝑋𝑌) ⊆ 𝑌
152, 3, 4, 5, 6, 11, 9mapdord 38882 . . . 4 (𝜑 → ((𝑀‘(𝑋𝑌)) ⊆ (𝑀𝑌) ↔ (𝑋𝑌) ⊆ 𝑌))
1614, 15mpbiri 261 . . 3 (𝜑 → (𝑀‘(𝑋𝑌)) ⊆ (𝑀𝑌))
1713, 16ssind 4194 . 2 (𝜑 → (𝑀‘(𝑋𝑌)) ⊆ ((𝑀𝑋) ∩ (𝑀𝑌)))
18 eqid 2824 . . . . 5 ((LCDual‘𝐾)‘𝑊) = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
19 eqid 2824 . . . . . . 7 (LSubSp‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)) = (LSubSp‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))
202, 5, 3, 4, 18, 19, 6, 8mapdcl2 38900 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀𝑋) ∈ (LSubSp‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))
212, 5, 18, 19, 6mapdrn2 38895 . . . . . 6 (𝜑 → ran 𝑀 = (LSubSp‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))
2220, 21eleqtrrd 2919 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀𝑋) ∈ ran 𝑀)
232, 5, 3, 4, 18, 19, 6, 9mapdcl2 38900 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀𝑌) ∈ (LSubSp‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))
2423, 21eleqtrrd 2919 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀𝑌) ∈ ran 𝑀)
252, 5, 3, 18, 6, 22, 24mapdincl 38905 . . . 4 (𝜑 → ((𝑀𝑋) ∩ (𝑀𝑌)) ∈ ran 𝑀)
262, 5, 6, 25mapdcnvid2 38901 . . 3 (𝜑 → (𝑀‘(𝑀‘((𝑀𝑋) ∩ (𝑀𝑌)))) = ((𝑀𝑋) ∩ (𝑀𝑌)))
27 inss1 4190 . . . . . . 7 ((𝑀𝑋) ∩ (𝑀𝑌)) ⊆ (𝑀𝑋)
2826, 27eqsstrdi 4007 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀‘(𝑀‘((𝑀𝑋) ∩ (𝑀𝑌)))) ⊆ (𝑀𝑋))
292, 18, 6lcdlmod 38836 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((LCDual‘𝐾)‘𝑊) ∈ LMod)
3019lssincl 19737 . . . . . . . . . 10 ((((LCDual‘𝐾)‘𝑊) ∈ LMod ∧ (𝑀𝑋) ∈ (LSubSp‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)) ∧ (𝑀𝑌) ∈ (LSubSp‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))) → ((𝑀𝑋) ∩ (𝑀𝑌)) ∈ (LSubSp‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))
3129, 20, 23, 30syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑀𝑋) ∩ (𝑀𝑌)) ∈ (LSubSp‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))
3231, 21eleqtrrd 2919 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑀𝑋) ∩ (𝑀𝑌)) ∈ ran 𝑀)
332, 5, 3, 4, 6, 32mapdcnvcl 38896 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑀‘((𝑀𝑋) ∩ (𝑀𝑌))) ∈ 𝑆)
342, 3, 4, 5, 6, 33, 8mapdord 38882 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑀‘(𝑀‘((𝑀𝑋) ∩ (𝑀𝑌)))) ⊆ (𝑀𝑋) ↔ (𝑀‘((𝑀𝑋) ∩ (𝑀𝑌))) ⊆ 𝑋))
3528, 34mpbid 235 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀‘((𝑀𝑋) ∩ (𝑀𝑌))) ⊆ 𝑋)
362, 5, 6, 32mapdcnvid2 38901 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑀‘(𝑀‘((𝑀𝑋) ∩ (𝑀𝑌)))) = ((𝑀𝑋) ∩ (𝑀𝑌)))
37 inss2 4191 . . . . . . 7 ((𝑀𝑋) ∩ (𝑀𝑌)) ⊆ (𝑀𝑌)
3836, 37eqsstrdi 4007 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀‘(𝑀‘((𝑀𝑋) ∩ (𝑀𝑌)))) ⊆ (𝑀𝑌))
392, 3, 4, 5, 6, 33, 9mapdord 38882 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑀‘(𝑀‘((𝑀𝑋) ∩ (𝑀𝑌)))) ⊆ (𝑀𝑌) ↔ (𝑀‘((𝑀𝑋) ∩ (𝑀𝑌))) ⊆ 𝑌))
4038, 39mpbid 235 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀‘((𝑀𝑋) ∩ (𝑀𝑌))) ⊆ 𝑌)
4135, 40ssind 4194 . . . 4 (𝜑 → (𝑀‘((𝑀𝑋) ∩ (𝑀𝑌))) ⊆ (𝑋𝑌))
422, 3, 4, 5, 6, 33, 11mapdord 38882 . . . 4 (𝜑 → ((𝑀‘(𝑀‘((𝑀𝑋) ∩ (𝑀𝑌)))) ⊆ (𝑀‘(𝑋𝑌)) ↔ (𝑀‘((𝑀𝑋) ∩ (𝑀𝑌))) ⊆ (𝑋𝑌)))
4341, 42mpbird 260 . . 3 (𝜑 → (𝑀‘(𝑀‘((𝑀𝑋) ∩ (𝑀𝑌)))) ⊆ (𝑀‘(𝑋𝑌)))
4426, 43eqsstrrd 3992 . 2 (𝜑 → ((𝑀𝑋) ∩ (𝑀𝑌)) ⊆ (𝑀‘(𝑋𝑌)))
4517, 44eqssd 3970 1 (𝜑 → (𝑀‘(𝑋𝑌)) = ((𝑀𝑋) ∩ (𝑀𝑌)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2115   ∩ cin 3918   ⊆ wss 3919  ◡ccnv 5541  ran crn 5543  ‘cfv 6343  LModclmod 19634  LSubSpclss 19703  HLchlt 36594  LHypclh 37228  DVecHcdvh 38322  LCDualclcd 38830  mapdcmpd 38868 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-cnex 10591  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611  ax-pre-mulgt0 10612  ax-riotaBAD 36197 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-iin 4908  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-of 7403  df-om 7575  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-tpos 7888  df-undef 7935  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-1o 8098  df-oadd 8102  df-er 8285  df-map 8404  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-fin 8509  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-le 10679  df-sub 10870  df-neg 10871  df-nn 11635  df-2 11697  df-3 11698  df-4 11699  df-5 11700  df-6 11701  df-n0 11895  df-z 11979  df-uz 12241  df-fz 12895  df-struct 16485  df-ndx 16486  df-slot 16487  df-base 16489  df-sets 16490  df-ress 16491  df-plusg 16578  df-mulr 16579  df-sca 16581  df-vsca 16582  df-0g 16715  df-mre 16857  df-mrc 16858  df-acs 16860  df-proset 17538  df-poset 17556  df-plt 17568  df-lub 17584  df-glb 17585  df-join 17586  df-meet 17587  df-p0 17649  df-p1 17650  df-lat 17656  df-clat 17718  df-mgm 17852  df-sgrp 17901  df-mnd 17912  df-submnd 17957  df-grp 18106  df-minusg 18107  df-sbg 18108  df-subg 18276  df-cntz 18447  df-oppg 18474  df-lsm 18761  df-cmn 18908  df-abl 18909  df-mgp 19240  df-ur 19252  df-ring 19299  df-oppr 19376  df-dvdsr 19394  df-unit 19395  df-invr 19425  df-dvr 19436  df-drng 19504  df-lmod 19636  df-lss 19704  df-lsp 19744  df-lvec 19875  df-lsatoms 36220  df-lshyp 36221  df-lcv 36263  df-lfl 36302  df-lkr 36330  df-ldual 36368  df-oposet 36420  df-ol 36422  df-oml 36423  df-covers 36510  df-ats 36511  df-atl 36542  df-cvlat 36566  df-hlat 36595  df-llines 36742  df-lplanes 36743  df-lvols 36744  df-lines 36745  df-psubsp 36747  df-pmap 36748  df-padd 37040  df-lhyp 37232  df-laut 37233  df-ldil 37348  df-ltrn 37349  df-trl 37403  df-tgrp 37987  df-tendo 37999  df-edring 38001  df-dveca 38247  df-disoa 38273  df-dvech 38323  df-dib 38383  df-dic 38417  df-dih 38473  df-doch 38592  df-djh 38639  df-lcdual 38831  df-mapd 38869 This theorem is referenced by:  mapdheq4lem  38975  mapdh6lem1N  38977  mapdh6lem2N  38978  hdmap1l6lem1  39051  hdmap1l6lem2  39052
 Copyright terms: Public domain W3C validator