Theorem mapdh9aOLDN 37860

Description: Lemma for part (9) in [Baer] p. 48. (Contributed by NM, 14-May-2015.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
mapdh8a.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdh8a.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapdh8a.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
mapdh8a.s	⊢ − = (-g‘𝑈)
mapdh8a.o	⊢ 0 = (0g‘𝑈)
mapdh8a.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
mapdh8a.c	⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
mapdh8a.d	⊢ 𝐷 = (Base‘𝐶)
mapdh8a.r	⊢ 𝑅 = (-g‘𝐶)
mapdh8a.q	⊢ 𝑄 = (0g‘𝐶)
mapdh8a.j	⊢ 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
mapdh8a.m	⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapdh8a.i	⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ V ↦ if((2nd ‘𝑥) = 0 , 𝑄, (℩ℎ ∈ 𝐷 ((𝑀‘(𝑁‘{(2nd ‘𝑥)})) = (𝐽‘{ℎ}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{((1st ‘(1st ‘𝑥)) − (2nd ‘𝑥))})) = (𝐽‘{((2nd ‘(1st ‘𝑥))𝑅ℎ)})))))
mapdh8a.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
mapdh8h.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐷)
mapdh8h.mn	⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐹}))
mapdh9a.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdh9a.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
mapdh9aOLDN	⊢ (𝜑 → ∃!𝑦 ∈ 𝐷 ∀𝑧 ∈ 𝑉 (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}) → 𝑦 = (𝐼‘⟨𝑧, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩)))

Distinct variable groups:   𝑥,ℎ, −   0 ,ℎ,𝑥   𝐶,ℎ   𝐷,ℎ,𝑥   ℎ,𝐹,𝑥   ℎ,𝐼   ℎ,𝐽,𝑥   ℎ,𝑀,𝑥   ℎ,𝑁,𝑥   𝜑,ℎ   𝑅,ℎ,𝑥   𝑥,𝑄   𝑇,ℎ,𝑥   𝑈,ℎ   ℎ,𝑋,𝑥   𝑥,𝐼   ℎ,𝑉   𝑦,𝑧,𝐷   𝑦,𝐹,𝑧   𝑦,𝐼,𝑧   𝑦,𝑁,𝑧   𝑦, 0 ,𝑧   𝑦,𝑇,𝑧   𝑧,𝑈   𝑦,𝑉,𝑧   𝑦,𝑋,𝑧   𝜑,𝑦,𝑧   𝑧,ℎ,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐶(𝑥,𝑦,𝑧)   𝑄(𝑦,𝑧,ℎ)   𝑅(𝑦,𝑧)   𝑈(𝑥,𝑦)   𝐻(𝑥,𝑦,𝑧,ℎ)   𝐽(𝑦,𝑧)   𝐾(𝑥,𝑦,𝑧,ℎ)   𝑀(𝑦,𝑧)   − (𝑦,𝑧)   𝑉(𝑥)   𝑊(𝑥,𝑦,𝑧,ℎ)

Proof of Theorem mapdh9aOLDN

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mapdh8a.h	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		mapdh8a.u	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3		mapdh8a.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
4		mapdh8a.s	. . . . . 6 ⊢ − = (-g‘𝑈)
5		mapdh8a.o	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑈)
6		mapdh8a.n	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
7		mapdh8a.c	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
8		mapdh8a.d	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = (Base‘𝐶)
9		mapdh8a.r	. . . . . 6 ⊢ 𝑅 = (-g‘𝐶)
10		mapdh8a.q	. . . . . 6 ⊢ 𝑄 = (0g‘𝐶)
11		mapdh8a.j	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
12		mapdh8a.m	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
13		mapdh8a.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ V ↦ if((2nd ‘𝑥) = 0 , 𝑄, (℩ℎ ∈ 𝐷 ((𝑀‘(𝑁‘{(2nd ‘𝑥)})) = (𝐽‘{ℎ}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{((1st ‘(1st ‘𝑥)) − (2nd ‘𝑥))})) = (𝐽‘{((2nd ‘(1st ‘𝑥))𝑅ℎ)})))))
14		mapdh8a.k	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
15	14	3ad2ant1 1167	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑉 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉) ∧ (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
16		mapdh8h.f	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐷)
17	16	3ad2ant1 1167	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑉 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉) ∧ (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}))) → 𝐹 ∈ 𝐷)
18		mapdh8h.mn	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐹}))
19	18	3ad2ant1 1167	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑉 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉) ∧ (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}))) → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐹}))
20		mapdh9a.x	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
21	20	3ad2ant1 1167	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑉 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉) ∧ (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}))) → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
22		eqid 2825	. . . . . . 7 ⊢ (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
23	1, 2, 14	dvhlmod 37180	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
24	23	3ad2ant1 1167	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑉 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉) ∧ (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}))) → 𝑈 ∈ LMod)
25	20	eldifad 3810	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
26		mapdh9a.t	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑉)
27	3, 22, 6, 23, 25, 26	lspprcl 19344	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, 𝑇}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
28	27	3ad2ant1 1167	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑉 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉) ∧ (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}))) → (𝑁‘{𝑋, 𝑇}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
29		simp2l 1260	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑉 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉) ∧ (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}))) → 𝑧 ∈ 𝑉)
30		simp3l 1262	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑉 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉) ∧ (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}))) → ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}))
31	5, 22, 24, 28, 29, 30	lssneln0 19316	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑉 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉) ∧ (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}))) → 𝑧 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
32		simp2r 1261	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑉 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉) ∧ (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}))) → 𝑤 ∈ 𝑉)
33		simp3r 1263	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑉 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉) ∧ (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}))) → ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}))
34	5, 22, 24, 28, 32, 33	lssneln0 19316	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑉 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉) ∧ (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}))) → 𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
35	1, 2, 14	dvhlvec 37179	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LVec)
36	35	3ad2ant1 1167	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑉 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉) ∧ (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}))) → 𝑈 ∈ LVec)
37	25	3ad2ant1 1167	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑉 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉) ∧ (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}))) → 𝑋 ∈ 𝑉)
38	26	3ad2ant1 1167	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑉 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉) ∧ (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}))) → 𝑇 ∈ 𝑉)
39	3, 6, 36, 29, 37, 38, 30	lspindpi 19499	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑉 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉) ∧ (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}))) → ((𝑁‘{𝑧}) ≠ (𝑁‘{𝑋}) ∧ (𝑁‘{𝑧}) ≠ (𝑁‘{𝑇})))
40	39	simpld 490	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑉 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉) ∧ (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}))) → (𝑁‘{𝑧}) ≠ (𝑁‘{𝑋}))
41	40	necomd 3054	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑉 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉) ∧ (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}))) → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑧}))
42	3, 6, 36, 32, 37, 38, 33	lspindpi 19499	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑉 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉) ∧ (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}))) → ((𝑁‘{𝑤}) ≠ (𝑁‘{𝑋}) ∧ (𝑁‘{𝑤}) ≠ (𝑁‘{𝑇})))
43	42	simpld 490	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑉 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉) ∧ (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}))) → (𝑁‘{𝑤}) ≠ (𝑁‘{𝑋}))
44	43	necomd 3054	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑉 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉) ∧ (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}))) → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑤}))
45	39	simprd 491	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑉 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉) ∧ (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}))) → (𝑁‘{𝑧}) ≠ (𝑁‘{𝑇}))
46	42	simprd 491	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑉 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉) ∧ (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}))) → (𝑁‘{𝑤}) ≠ (𝑁‘{𝑇}))
47	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 15, 17, 19, 21, 31, 34, 41, 44, 45, 46, 38	mapdh8 37858	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑉 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉) ∧ (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}))) → (𝐼‘⟨𝑧, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩) = (𝐼‘⟨𝑤, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑤⟩), 𝑇⟩))
48	47	3exp 1152	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑧 ∈ 𝑉 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉) → ((¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇})) → (𝐼‘⟨𝑧, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩) = (𝐼‘⟨𝑤, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑤⟩), 𝑇⟩))))
49	48	ralrimivv 3179	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ 𝑉 ((¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇})) → (𝐼‘⟨𝑧, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩) = (𝐼‘⟨𝑤, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑤⟩), 𝑇⟩)))
50	1, 2, 3, 6, 14, 25, 26	dvh3dim 37516	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∃𝑧 ∈ 𝑉 ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}))
51	14	ad2antrr 717	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇})) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
52	16	ad2antrr 717	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇})) → 𝐹 ∈ 𝐷)
53	18	ad2antrr 717	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇})) → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐹}))
54	20	ad2antrr 717	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇})) → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
55		simplr 785	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇})) → 𝑧 ∈ 𝑉)
56	35	ad2antrr 717	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇})) → 𝑈 ∈ LVec)
57	25	ad2antrr 717	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇})) → 𝑋 ∈ 𝑉)
58	26	ad2antrr 717	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇})) → 𝑇 ∈ 𝑉)
59		simpr 479	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇})) → ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}))
60	3, 6, 56, 55, 57, 58, 59	lspindpi 19499	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇})) → ((𝑁‘{𝑧}) ≠ (𝑁‘{𝑋}) ∧ (𝑁‘{𝑧}) ≠ (𝑁‘{𝑇})))
61	60	simpld 490	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇})) → (𝑁‘{𝑧}) ≠ (𝑁‘{𝑋}))
62	61	necomd 3054	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇})) → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑧}))
63	10, 13, 1, 12, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 51, 52, 53, 54, 55, 62	mapdhcl 37797	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇})) → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩) ∈ 𝐷)
64		eqidd 2826	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇})) → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩) = (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩))
65	23	ad2antrr 717	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇})) → 𝑈 ∈ LMod)
66	27	ad2antrr 717	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇})) → (𝑁‘{𝑋, 𝑇}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
67	5, 22, 65, 66, 55, 59	lssneln0 19316	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇})) → 𝑧 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
68	10, 13, 1, 12, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 51, 52, 53, 54, 67, 63, 62	mapdheq 37798	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇})) → ((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩) = (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩) ↔ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑧})) = (𝐽‘{(𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩)}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑧)})) = (𝐽‘{(𝐹𝑅(𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩))}))))
69	64, 68	mpbid 224	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇})) → ((𝑀‘(𝑁‘{𝑧})) = (𝐽‘{(𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩)}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑧)})) = (𝐽‘{(𝐹𝑅(𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩))})))
70	69	simpld 490	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇})) → (𝑀‘(𝑁‘{𝑧})) = (𝐽‘{(𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩)}))
71	60	simprd 491	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇})) → (𝑁‘{𝑧}) ≠ (𝑁‘{𝑇}))
72	10, 13, 1, 12, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 51, 63, 70, 67, 58, 71	mapdhcl 37797	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇})) → (𝐼‘⟨𝑧, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩) ∈ 𝐷)
73	72	ex 403	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) → (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}) → (𝐼‘⟨𝑧, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩) ∈ 𝐷))
74	73	ancld 546	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) → (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}) → (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}) ∧ (𝐼‘⟨𝑧, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩) ∈ 𝐷)))
75	74	reximdva 3225	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∃𝑧 ∈ 𝑉 ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}) → ∃𝑧 ∈ 𝑉 (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}) ∧ (𝐼‘⟨𝑧, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩) ∈ 𝐷)))
76	50, 75	mpd 15	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑧 ∈ 𝑉 (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}) ∧ (𝐼‘⟨𝑧, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩) ∈ 𝐷))
77		eleq1w 2889	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}) ↔ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇})))
78	77	notbid 310	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}) ↔ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇})))
79		oteq1 4634	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → ⟨𝑧, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩ = ⟨𝑤, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩)
80		oteq3 4636	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → ⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩ = ⟨𝑋, 𝐹, 𝑤⟩)
81	80	fveq2d 6441	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩) = (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑤⟩))
82	81	oteq2d 4638	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → ⟨𝑤, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩ = ⟨𝑤, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑤⟩), 𝑇⟩)
83	79, 82	eqtrd 2861	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → ⟨𝑧, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩ = ⟨𝑤, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑤⟩), 𝑇⟩)
84	83	fveq2d 6441	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (𝐼‘⟨𝑧, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩) = (𝐼‘⟨𝑤, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑤⟩), 𝑇⟩))
85	78, 84	reusv3 5107	. . . 4 ⊢ (∃𝑧 ∈ 𝑉 (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}) ∧ (𝐼‘⟨𝑧, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩) ∈ 𝐷) → (∀𝑧 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ 𝑉 ((¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇})) → (𝐼‘⟨𝑧, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩) = (𝐼‘⟨𝑤, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑤⟩), 𝑇⟩)) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐷 ∀𝑧 ∈ 𝑉 (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}) → 𝑦 = (𝐼‘⟨𝑧, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩))))
86	76, 85	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑧 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ 𝑉 ((¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇})) → (𝐼‘⟨𝑧, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩) = (𝐼‘⟨𝑤, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑤⟩), 𝑇⟩)) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐷 ∀𝑧 ∈ 𝑉 (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}) → 𝑦 = (𝐼‘⟨𝑧, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩))))
87	49, 86	mpbid 224	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ 𝐷 ∀𝑧 ∈ 𝑉 (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}) → 𝑦 = (𝐼‘⟨𝑧, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩)))
88		reusv1 5099	. . 3 ⊢ (∃𝑧 ∈ 𝑉 ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}) → (∃!𝑦 ∈ 𝐷 ∀𝑧 ∈ 𝑉 (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}) → 𝑦 = (𝐼‘⟨𝑧, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩)) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐷 ∀𝑧 ∈ 𝑉 (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}) → 𝑦 = (𝐼‘⟨𝑧, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩))))
89	50, 88	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃!𝑦 ∈ 𝐷 ∀𝑧 ∈ 𝑉 (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}) → 𝑦 = (𝐼‘⟨𝑧, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩)) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐷 ∀𝑧 ∈ 𝑉 (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}) → 𝑦 = (𝐼‘⟨𝑧, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩))))
90	87, 89	mpbird 249	1 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑦 ∈ 𝐷 ∀𝑧 ∈ 𝑉 (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}) → 𝑦 = (𝐼‘⟨𝑧, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 386   ∧ w3a 1111   = wceq 1656   ∈ wcel 2164   ≠ wne 2999  ∀wral 3117  ∃wrex 3118  ∃!wreu 3119  Vcvv 3414   ∖ cdif 3795  ifcif 4308  {csn 4399  {cpr 4401  ⟨cotp 4407   ↦ cmpt 4954  ‘cfv 6127  ℩crio 6870  (class class class)co 6910  1^st c1st 7431  2^nd c2nd 7432  Basecbs 16229  0_gc0g 16460  -_gcsg 17785  LModclmod 19226  LSubSpclss 19295  LSpanclspn 19337  LVecclvec 19468  HLchlt 35420  LHypclh 36054  DVecHcdvh 37148  LCDualclcd 37656  mapdcmpd 37694

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-rep 4996  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214  ax-cnex 10315  ax-resscn 10316  ax-1cn 10317  ax-icn 10318  ax-addcl 10319  ax-addrcl 10320  ax-mulcl 10321  ax-mulrcl 10322  ax-mulcom 10323  ax-addass 10324  ax-mulass 10325  ax-distr 10326  ax-i2m1 10327  ax-1ne0 10328  ax-1rid 10329  ax-rnegex 10330  ax-rrecex 10331  ax-cnre 10332  ax-pre-lttri 10333  ax-pre-lttrn 10334  ax-pre-ltadd 10335  ax-pre-mulgt0 10336  ax-riotaBAD 35023

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-fal 1670  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-tp 4404  df-op 4406  df-ot 4408  df-uni 4661  df-int 4700  df-iun 4744  df-iin 4745  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-tr 4978  df-id 5252  df-eprel 5257  df-po 5265  df-so 5266  df-fr 5305  df-we 5307  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-pred 5924  df-ord 5970  df-on 5971  df-lim 5972  df-suc 5973  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-riota 6871  df-ov 6913  df-oprab 6914  df-mpt2 6915  df-of 7162  df-om 7332  df-1st 7433  df-2nd 7434  df-tpos 7622  df-undef 7669  df-wrecs 7677  df-recs 7739  df-rdg 7777  df-1o 7831  df-oadd 7835  df-er 8014  df-map 8129  df-en 8229  df-dom 8230  df-sdom 8231  df-fin 8232  df-pnf 10400  df-mnf 10401  df-xr 10402  df-ltxr 10403  df-le 10404  df-sub 10594  df-neg 10595  df-nn 11358  df-2 11421  df-3 11422  df-4 11423  df-5 11424  df-6 11425  df-n0 11626  df-z 11712  df-uz 11976  df-fz 12627  df-struct 16231  df-ndx 16232  df-slot 16233  df-base 16235  df-sets 16236  df-ress 16237  df-plusg 16325  df-mulr 16326  df-sca 16328  df-vsca 16329  df-0g 16462  df-mre 16606  df-mrc 16607  df-acs 16609  df-proset 17288  df-poset 17306  df-plt 17318  df-lub 17334  df-glb 17335  df-join 17336  df-meet 17337  df-p0 17399  df-p1 17400  df-lat 17406  df-clat 17468  df-mgm 17602  df-sgrp 17644  df-mnd 17655  df-submnd 17696  df-grp 17786  df-minusg 17787  df-sbg 17788  df-subg 17949  df-cntz 18107  df-oppg 18133  df-lsm 18409  df-cmn 18555  df-abl 18556  df-mgp 18851  df-ur 18863  df-ring 18910  df-oppr 18984  df-dvdsr 19002  df-unit 19003  df-invr 19033  df-dvr 19044  df-drng 19112  df-lmod 19228  df-lss 19296  df-lsp 19338  df-lvec 19469  df-lsatoms 35046  df-lshyp 35047  df-lcv 35089  df-lfl 35128  df-lkr 35156  df-ldual 35194  df-oposet 35246  df-ol 35248  df-oml 35249  df-covers 35336  df-ats 35337  df-atl 35368  df-cvlat 35392  df-hlat 35421  df-llines 35568  df-lplanes 35569  df-lvols 35570  df-lines 35571  df-psubsp 35573  df-pmap 35574  df-padd 35866  df-lhyp 36058  df-laut 36059  df-ldil 36174  df-ltrn 36175  df-trl 36229  df-tgrp 36813  df-tendo 36825  df-edring 36827  df-dveca 37073  df-disoa 37099  df-dvech 37149  df-dib 37209  df-dic 37243  df-dih 37299  df-doch 37418  df-djh 37465  df-lcdual 37657  df-mapd 37695

This theorem is referenced by:  hdmap1eulemOLDN  37893