Theorem mapdh9aOLDN 41174

Description: Lemma for part (9) in [Baer] p. 48. (Contributed by NM, 14-May-2015.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
mapdh8a.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdh8a.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapdh8a.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
mapdh8a.s	⊢ − = (-g‘𝑈)
mapdh8a.o	⊢ 0 = (0g‘𝑈)
mapdh8a.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
mapdh8a.c	⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
mapdh8a.d	⊢ 𝐷 = (Base‘𝐶)
mapdh8a.r	⊢ 𝑅 = (-g‘𝐶)
mapdh8a.q	⊢ 𝑄 = (0g‘𝐶)
mapdh8a.j	⊢ 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
mapdh8a.m	⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapdh8a.i	⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ V ↦ if((2nd ‘𝑥) = 0 , 𝑄, (℩ℎ ∈ 𝐷 ((𝑀‘(𝑁‘{(2nd ‘𝑥)})) = (𝐽‘{ℎ}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{((1st ‘(1st ‘𝑥)) − (2nd ‘𝑥))})) = (𝐽‘{((2nd ‘(1st ‘𝑥))𝑅ℎ)})))))
mapdh8a.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
mapdh8h.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐷)
mapdh8h.mn	⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐹}))
mapdh9a.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdh9a.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
mapdh9aOLDN	⊢ (𝜑 → ∃!𝑦 ∈ 𝐷 ∀𝑧 ∈ 𝑉 (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}) → 𝑦 = (𝐼‘⟨𝑧, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩)))

Distinct variable groups:   𝑥,ℎ, −   0 ,ℎ,𝑥   𝐶,ℎ   𝐷,ℎ,𝑥   ℎ,𝐹,𝑥   ℎ,𝐼   ℎ,𝐽,𝑥   ℎ,𝑀,𝑥   ℎ,𝑁,𝑥   𝜑,ℎ   𝑅,ℎ,𝑥   𝑥,𝑄   𝑇,ℎ,𝑥   𝑈,ℎ   ℎ,𝑋,𝑥   𝑥,𝐼   ℎ,𝑉   𝑦,𝑧,𝐷   𝑦,𝐹,𝑧   𝑦,𝐼,𝑧   𝑦,𝑁,𝑧   𝑦, 0 ,𝑧   𝑦,𝑇,𝑧   𝑧,𝑈   𝑦,𝑉,𝑧   𝑦,𝑋,𝑧   𝜑,𝑦,𝑧   𝑧,ℎ,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐶(𝑥,𝑦,𝑧)   𝑄(𝑦,𝑧,ℎ)   𝑅(𝑦,𝑧)   𝑈(𝑥,𝑦)   𝐻(𝑥,𝑦,𝑧,ℎ)   𝐽(𝑦,𝑧)   𝐾(𝑥,𝑦,𝑧,ℎ)   𝑀(𝑦,𝑧)   − (𝑦,𝑧)   𝑉(𝑥)   𝑊(𝑥,𝑦,𝑧,ℎ)

Proof of Theorem mapdh9aOLDN

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mapdh8a.h	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		mapdh8a.u	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3		mapdh8a.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
4		mapdh8a.s	. . . . . 6 ⊢ − = (-g‘𝑈)
5		mapdh8a.o	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑈)
6		mapdh8a.n	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
7		mapdh8a.c	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
8		mapdh8a.d	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = (Base‘𝐶)
9		mapdh8a.r	. . . . . 6 ⊢ 𝑅 = (-g‘𝐶)
10		mapdh8a.q	. . . . . 6 ⊢ 𝑄 = (0g‘𝐶)
11		mapdh8a.j	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
12		mapdh8a.m	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
13		mapdh8a.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ V ↦ if((2nd ‘𝑥) = 0 , 𝑄, (℩ℎ ∈ 𝐷 ((𝑀‘(𝑁‘{(2nd ‘𝑥)})) = (𝐽‘{ℎ}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{((1st ‘(1st ‘𝑥)) − (2nd ‘𝑥))})) = (𝐽‘{((2nd ‘(1st ‘𝑥))𝑅ℎ)})))))
14		mapdh8a.k	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
15	14	3ad2ant1 1130	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑉 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉) ∧ (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
16		mapdh8h.f	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐷)
17	16	3ad2ant1 1130	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑉 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉) ∧ (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}))) → 𝐹 ∈ 𝐷)
18		mapdh8h.mn	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐹}))
19	18	3ad2ant1 1130	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑉 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉) ∧ (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}))) → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐹}))
20		mapdh9a.x	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
21	20	3ad2ant1 1130	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑉 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉) ∧ (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}))) → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
22		eqid 2726	. . . . . . 7 ⊢ (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
23	1, 2, 14	dvhlmod 40494	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
24	23	3ad2ant1 1130	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑉 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉) ∧ (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}))) → 𝑈 ∈ LMod)
25	20	eldifad 3955	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
26		mapdh9a.t	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑉)
27	3, 22, 6, 23, 25, 26	lspprcl 20825	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, 𝑇}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
28	27	3ad2ant1 1130	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑉 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉) ∧ (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}))) → (𝑁‘{𝑋, 𝑇}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
29		simp2l 1196	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑉 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉) ∧ (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}))) → 𝑧 ∈ 𝑉)
30		simp3l 1198	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑉 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉) ∧ (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}))) → ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}))
31	5, 22, 24, 28, 29, 30	lssneln0 20800	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑉 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉) ∧ (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}))) → 𝑧 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
32		simp2r 1197	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑉 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉) ∧ (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}))) → 𝑤 ∈ 𝑉)
33		simp3r 1199	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑉 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉) ∧ (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}))) → ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}))
34	5, 22, 24, 28, 32, 33	lssneln0 20800	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑉 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉) ∧ (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}))) → 𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
35	1, 2, 14	dvhlvec 40493	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LVec)
36	35	3ad2ant1 1130	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑉 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉) ∧ (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}))) → 𝑈 ∈ LVec)
37	25	3ad2ant1 1130	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑉 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉) ∧ (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}))) → 𝑋 ∈ 𝑉)
38	26	3ad2ant1 1130	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑉 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉) ∧ (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}))) → 𝑇 ∈ 𝑉)
39	3, 6, 36, 29, 37, 38, 30	lspindpi 20983	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑉 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉) ∧ (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}))) → ((𝑁‘{𝑧}) ≠ (𝑁‘{𝑋}) ∧ (𝑁‘{𝑧}) ≠ (𝑁‘{𝑇})))
40	39	simpld 494	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑉 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉) ∧ (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}))) → (𝑁‘{𝑧}) ≠ (𝑁‘{𝑋}))
41	40	necomd 2990	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑉 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉) ∧ (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}))) → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑧}))
42	3, 6, 36, 32, 37, 38, 33	lspindpi 20983	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑉 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉) ∧ (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}))) → ((𝑁‘{𝑤}) ≠ (𝑁‘{𝑋}) ∧ (𝑁‘{𝑤}) ≠ (𝑁‘{𝑇})))
43	42	simpld 494	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑉 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉) ∧ (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}))) → (𝑁‘{𝑤}) ≠ (𝑁‘{𝑋}))
44	43	necomd 2990	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑉 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉) ∧ (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}))) → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑤}))
45	39	simprd 495	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑉 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉) ∧ (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}))) → (𝑁‘{𝑧}) ≠ (𝑁‘{𝑇}))
46	42	simprd 495	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑉 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉) ∧ (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}))) → (𝑁‘{𝑤}) ≠ (𝑁‘{𝑇}))
47	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 15, 17, 19, 21, 31, 34, 41, 44, 45, 46, 38	mapdh8 41172	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑉 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉) ∧ (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}))) → (𝐼‘⟨𝑧, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩) = (𝐼‘⟨𝑤, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑤⟩), 𝑇⟩))
48	47	3exp 1116	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑧 ∈ 𝑉 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉) → ((¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇})) → (𝐼‘⟨𝑧, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩) = (𝐼‘⟨𝑤, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑤⟩), 𝑇⟩))))
49	48	ralrimivv 3192	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ 𝑉 ((¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇})) → (𝐼‘⟨𝑧, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩) = (𝐼‘⟨𝑤, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑤⟩), 𝑇⟩)))
50	1, 2, 3, 6, 14, 25, 26	dvh3dim 40830	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∃𝑧 ∈ 𝑉 ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}))
51	14	ad2antrr 723	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇})) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
52	16	ad2antrr 723	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇})) → 𝐹 ∈ 𝐷)
53	18	ad2antrr 723	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇})) → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐹}))
54	20	ad2antrr 723	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇})) → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
55		simplr 766	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇})) → 𝑧 ∈ 𝑉)
56	35	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇})) → 𝑈 ∈ LVec)
57	25	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇})) → 𝑋 ∈ 𝑉)
58	26	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇})) → 𝑇 ∈ 𝑉)
59		simpr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇})) → ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}))
60	3, 6, 56, 55, 57, 58, 59	lspindpi 20983	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇})) → ((𝑁‘{𝑧}) ≠ (𝑁‘{𝑋}) ∧ (𝑁‘{𝑧}) ≠ (𝑁‘{𝑇})))
61	60	simpld 494	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇})) → (𝑁‘{𝑧}) ≠ (𝑁‘{𝑋}))
62	61	necomd 2990	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇})) → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑧}))
63	10, 13, 1, 12, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 51, 52, 53, 54, 55, 62	mapdhcl 41111	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇})) → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩) ∈ 𝐷)
64		eqidd 2727	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇})) → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩) = (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩))
65	23	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇})) → 𝑈 ∈ LMod)
66	27	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇})) → (𝑁‘{𝑋, 𝑇}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
67	5, 22, 65, 66, 55, 59	lssneln0 20800	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇})) → 𝑧 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
68	10, 13, 1, 12, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 51, 52, 53, 54, 67, 63, 62	mapdheq 41112	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇})) → ((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩) = (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩) ↔ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑧})) = (𝐽‘{(𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩)}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑧)})) = (𝐽‘{(𝐹𝑅(𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩))}))))
69	64, 68	mpbid 231	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇})) → ((𝑀‘(𝑁‘{𝑧})) = (𝐽‘{(𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩)}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑧)})) = (𝐽‘{(𝐹𝑅(𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩))})))
70	69	simpld 494	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇})) → (𝑀‘(𝑁‘{𝑧})) = (𝐽‘{(𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩)}))
71	60	simprd 495	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇})) → (𝑁‘{𝑧}) ≠ (𝑁‘{𝑇}))
72	10, 13, 1, 12, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 51, 63, 70, 67, 58, 71	mapdhcl 41111	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇})) → (𝐼‘⟨𝑧, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩) ∈ 𝐷)
73	72	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) → (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}) → (𝐼‘⟨𝑧, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩) ∈ 𝐷))
74	73	ancld 550	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) → (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}) → (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}) ∧ (𝐼‘⟨𝑧, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩) ∈ 𝐷)))
75	74	reximdva 3162	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∃𝑧 ∈ 𝑉 ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}) → ∃𝑧 ∈ 𝑉 (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}) ∧ (𝐼‘⟨𝑧, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩) ∈ 𝐷)))
76	50, 75	mpd 15	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑧 ∈ 𝑉 (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}) ∧ (𝐼‘⟨𝑧, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩) ∈ 𝐷))
77		eleq1w 2810	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}) ↔ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇})))
78	77	notbid 318	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}) ↔ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇})))
79		oteq1 4877	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → ⟨𝑧, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩ = ⟨𝑤, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩)
80		oteq3 4879	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → ⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩ = ⟨𝑋, 𝐹, 𝑤⟩)
81	80	fveq2d 6889	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩) = (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑤⟩))
82	81	oteq2d 4881	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → ⟨𝑤, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩ = ⟨𝑤, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑤⟩), 𝑇⟩)
83	79, 82	eqtrd 2766	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → ⟨𝑧, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩ = ⟨𝑤, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑤⟩), 𝑇⟩)
84	83	fveq2d 6889	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (𝐼‘⟨𝑧, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩) = (𝐼‘⟨𝑤, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑤⟩), 𝑇⟩))
85	78, 84	reusv3 5396	. . . 4 ⊢ (∃𝑧 ∈ 𝑉 (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}) ∧ (𝐼‘⟨𝑧, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩) ∈ 𝐷) → (∀𝑧 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ 𝑉 ((¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇})) → (𝐼‘⟨𝑧, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩) = (𝐼‘⟨𝑤, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑤⟩), 𝑇⟩)) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐷 ∀𝑧 ∈ 𝑉 (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}) → 𝑦 = (𝐼‘⟨𝑧, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩))))
86	76, 85	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑧 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ 𝑉 ((¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇})) → (𝐼‘⟨𝑧, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩) = (𝐼‘⟨𝑤, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑤⟩), 𝑇⟩)) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐷 ∀𝑧 ∈ 𝑉 (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}) → 𝑦 = (𝐼‘⟨𝑧, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩))))
87	49, 86	mpbid 231	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ 𝐷 ∀𝑧 ∈ 𝑉 (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}) → 𝑦 = (𝐼‘⟨𝑧, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩)))
88		reusv1 5388	. . 3 ⊢ (∃𝑧 ∈ 𝑉 ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}) → (∃!𝑦 ∈ 𝐷 ∀𝑧 ∈ 𝑉 (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}) → 𝑦 = (𝐼‘⟨𝑧, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩)) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐷 ∀𝑧 ∈ 𝑉 (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}) → 𝑦 = (𝐼‘⟨𝑧, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩))))
89	50, 88	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃!𝑦 ∈ 𝐷 ∀𝑧 ∈ 𝑉 (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}) → 𝑦 = (𝐼‘⟨𝑧, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩)) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐷 ∀𝑧 ∈ 𝑉 (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}) → 𝑦 = (𝐼‘⟨𝑧, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩))))
90	87, 89	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑦 ∈ 𝐷 ∀𝑧 ∈ 𝑉 (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}) → 𝑦 = (𝐼‘⟨𝑧, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2934  ∀wral 3055  ∃wrex 3064  ∃!wreu 3368  Vcvv 3468   ∖ cdif 3940  ifcif 4523  {csn 4623  {cpr 4625  ⟨cotp 4631   ↦ cmpt 5224  ‘cfv 6537  ℩crio 7360  (class class class)co 7405  1^st c1st 7972  2^nd c2nd 7973  Basecbs 17153  0_gc0g 17394  -_gcsg 18865  LModclmod 20706  LSubSpclss 20778  LSpanclspn 20818  LVecclvec 20950  HLchlt 38733  LHypclh 39368  DVecHcdvh 40462  LCDualclcd 40970  mapdcmpd 41008

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-riotaBAD 38336

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-ot 4632  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7667  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-tpos 8212  df-undef 8259  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13491  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-0g 17396  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-proset 18260  df-poset 18278  df-plt 18295  df-lub 18311  df-glb 18312  df-join 18313  df-meet 18314  df-p0 18390  df-p1 18391  df-lat 18397  df-clat 18464  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-submnd 18714  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-sbg 18868  df-subg 19050  df-cntz 19233  df-oppg 19262  df-lsm 19556  df-cmn 19702  df-abl 19703  df-mgp 20040  df-rng 20058  df-ur 20087  df-ring 20140  df-oppr 20236  df-dvdsr 20259  df-unit 20260  df-invr 20290  df-dvr 20303  df-drng 20589  df-lmod 20708  df-lss 20779  df-lsp 20819  df-lvec 20951  df-lsatoms 38359  df-lshyp 38360  df-lcv 38402  df-lfl 38441  df-lkr 38469  df-ldual 38507  df-oposet 38559  df-ol 38561  df-oml 38562  df-covers 38649  df-ats 38650  df-atl 38681  df-cvlat 38705  df-hlat 38734  df-llines 38882  df-lplanes 38883  df-lvols 38884  df-lines 38885  df-psubsp 38887  df-pmap 38888  df-padd 39180  df-lhyp 39372  df-laut 39373  df-ldil 39488  df-ltrn 39489  df-trl 39543  df-tgrp 40127  df-tendo 40139  df-edring 40141  df-dveca 40387  df-disoa 40413  df-dvech 40463  df-dib 40523  df-dic 40557  df-dih 40613  df-doch 40732  df-djh 40779  df-lcdual 40971  df-mapd 41009

This theorem is referenced by:  hdmap1eulemOLDN  41207