Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdh9aOLDN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mapdh9aOLDN 41303
Description: Lemma for part (9) in [Baer] p. 48. (Contributed by NM, 14-May-2015.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdh8a.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
mapdh8a.u π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
mapdh8a.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
mapdh8a.s βˆ’ = (-gβ€˜π‘ˆ)
mapdh8a.o 0 = (0gβ€˜π‘ˆ)
mapdh8a.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘ˆ)
mapdh8a.c 𝐢 = ((LCDualβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
mapdh8a.d 𝐷 = (Baseβ€˜πΆ)
mapdh8a.r 𝑅 = (-gβ€˜πΆ)
mapdh8a.q 𝑄 = (0gβ€˜πΆ)
mapdh8a.j 𝐽 = (LSpanβ€˜πΆ)
mapdh8a.m 𝑀 = ((mapdβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
mapdh8a.i 𝐼 = (π‘₯ ∈ V ↦ if((2nd β€˜π‘₯) = 0 , 𝑄, (β„©β„Ž ∈ 𝐷 ((π‘€β€˜(π‘β€˜{(2nd β€˜π‘₯)})) = (π½β€˜{β„Ž}) ∧ (π‘€β€˜(π‘β€˜{((1st β€˜(1st β€˜π‘₯)) βˆ’ (2nd β€˜π‘₯))})) = (π½β€˜{((2nd β€˜(1st β€˜π‘₯))π‘…β„Ž)})))))
mapdh8a.k (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
mapdh8h.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐷)
mapdh8h.mn (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜(π‘β€˜{𝑋})) = (π½β€˜{𝐹}))
mapdh9a.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
mapdh9a.t (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ 𝑉)
Assertion
Ref Expression
mapdh9aOLDN (πœ‘ β†’ βˆƒ!𝑦 ∈ 𝐷 βˆ€π‘§ ∈ 𝑉 (Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑇}) β†’ 𝑦 = (πΌβ€˜βŸ¨π‘§, (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘§βŸ©), π‘‡βŸ©)))
Distinct variable groups:   π‘₯,β„Ž, βˆ’   0 ,β„Ž,π‘₯   𝐢,β„Ž   𝐷,β„Ž,π‘₯   β„Ž,𝐹,π‘₯   β„Ž,𝐼   β„Ž,𝐽,π‘₯   β„Ž,𝑀,π‘₯   β„Ž,𝑁,π‘₯   πœ‘,β„Ž   𝑅,β„Ž,π‘₯   π‘₯,𝑄   𝑇,β„Ž,π‘₯   π‘ˆ,β„Ž   β„Ž,𝑋,π‘₯   π‘₯,𝐼   β„Ž,𝑉   𝑦,𝑧,𝐷   𝑦,𝐹,𝑧   𝑦,𝐼,𝑧   𝑦,𝑁,𝑧   𝑦, 0 ,𝑧   𝑦,𝑇,𝑧   𝑧,π‘ˆ   𝑦,𝑉,𝑧   𝑦,𝑋,𝑧   πœ‘,𝑦,𝑧   𝑧,β„Ž,π‘₯
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯)   𝐢(π‘₯,𝑦,𝑧)   𝑄(𝑦,𝑧,β„Ž)   𝑅(𝑦,𝑧)   π‘ˆ(π‘₯,𝑦)   𝐻(π‘₯,𝑦,𝑧,β„Ž)   𝐽(𝑦,𝑧)   𝐾(π‘₯,𝑦,𝑧,β„Ž)   𝑀(𝑦,𝑧)   βˆ’ (𝑦,𝑧)   𝑉(π‘₯)   π‘Š(π‘₯,𝑦,𝑧,β„Ž)

Proof of Theorem mapdh9aOLDN
Dummy variable 𝑀 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mapdh8a.h . . . . . 6 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
2 mapdh8a.u . . . . . 6 π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
3 mapdh8a.v . . . . . 6 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
4 mapdh8a.s . . . . . 6 βˆ’ = (-gβ€˜π‘ˆ)
5 mapdh8a.o . . . . . 6 0 = (0gβ€˜π‘ˆ)
6 mapdh8a.n . . . . . 6 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘ˆ)
7 mapdh8a.c . . . . . 6 𝐢 = ((LCDualβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
8 mapdh8a.d . . . . . 6 𝐷 = (Baseβ€˜πΆ)
9 mapdh8a.r . . . . . 6 𝑅 = (-gβ€˜πΆ)
10 mapdh8a.q . . . . . 6 𝑄 = (0gβ€˜πΆ)
11 mapdh8a.j . . . . . 6 𝐽 = (LSpanβ€˜πΆ)
12 mapdh8a.m . . . . . 6 𝑀 = ((mapdβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
13 mapdh8a.i . . . . . 6 𝐼 = (π‘₯ ∈ V ↦ if((2nd β€˜π‘₯) = 0 , 𝑄, (β„©β„Ž ∈ 𝐷 ((π‘€β€˜(π‘β€˜{(2nd β€˜π‘₯)})) = (π½β€˜{β„Ž}) ∧ (π‘€β€˜(π‘β€˜{((1st β€˜(1st β€˜π‘₯)) βˆ’ (2nd β€˜π‘₯))})) = (π½β€˜{((2nd β€˜(1st β€˜π‘₯))π‘…β„Ž)})))))
14 mapdh8a.k . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
15143ad2ant1 1130 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ 𝑉) ∧ (Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑇}) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑇}))) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
16 mapdh8h.f . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐷)
17163ad2ant1 1130 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ 𝑉) ∧ (Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑇}) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑇}))) β†’ 𝐹 ∈ 𝐷)
18 mapdh8h.mn . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜(π‘β€˜{𝑋})) = (π½β€˜{𝐹}))
19183ad2ant1 1130 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ 𝑉) ∧ (Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑇}) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑇}))) β†’ (π‘€β€˜(π‘β€˜{𝑋})) = (π½β€˜{𝐹}))
20 mapdh9a.x . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
21203ad2ant1 1130 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ 𝑉) ∧ (Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑇}) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑇}))) β†’ 𝑋 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
22 eqid 2728 . . . . . . 7 (LSubSpβ€˜π‘ˆ) = (LSubSpβ€˜π‘ˆ)
231, 2, 14dvhlmod 40623 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ LMod)
24233ad2ant1 1130 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ 𝑉) ∧ (Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑇}) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑇}))) β†’ π‘ˆ ∈ LMod)
2520eldifad 3961 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
26 mapdh9a.t . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ 𝑉)
273, 22, 6, 23, 25, 26lspprcl 20876 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋, 𝑇}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ))
28273ad2ant1 1130 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ 𝑉) ∧ (Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑇}) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑇}))) β†’ (π‘β€˜{𝑋, 𝑇}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ))
29 simp2l 1196 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ 𝑉) ∧ (Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑇}) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑇}))) β†’ 𝑧 ∈ 𝑉)
30 simp3l 1198 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ 𝑉) ∧ (Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑇}) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑇}))) β†’ Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑇}))
315, 22, 24, 28, 29, 30lssneln0 20851 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ 𝑉) ∧ (Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑇}) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑇}))) β†’ 𝑧 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
32 simp2r 1197 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ 𝑉) ∧ (Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑇}) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑇}))) β†’ 𝑀 ∈ 𝑉)
33 simp3r 1199 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ 𝑉) ∧ (Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑇}) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑇}))) β†’ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑇}))
345, 22, 24, 28, 32, 33lssneln0 20851 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ 𝑉) ∧ (Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑇}) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑇}))) β†’ 𝑀 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
351, 2, 14dvhlvec 40622 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ LVec)
36353ad2ant1 1130 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ 𝑉) ∧ (Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑇}) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑇}))) β†’ π‘ˆ ∈ LVec)
37253ad2ant1 1130 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ 𝑉) ∧ (Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑇}) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑇}))) β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
38263ad2ant1 1130 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ 𝑉) ∧ (Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑇}) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑇}))) β†’ 𝑇 ∈ 𝑉)
393, 6, 36, 29, 37, 38, 30lspindpi 21034 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ 𝑉) ∧ (Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑇}) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑇}))) β†’ ((π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝑋}) ∧ (π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝑇})))
4039simpld 493 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ 𝑉) ∧ (Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑇}) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑇}))) β†’ (π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝑋}))
4140necomd 2993 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ 𝑉) ∧ (Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑇}) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑇}))) β†’ (π‘β€˜{𝑋}) β‰  (π‘β€˜{𝑧}))
423, 6, 36, 32, 37, 38, 33lspindpi 21034 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ 𝑉) ∧ (Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑇}) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑇}))) β†’ ((π‘β€˜{𝑀}) β‰  (π‘β€˜{𝑋}) ∧ (π‘β€˜{𝑀}) β‰  (π‘β€˜{𝑇})))
4342simpld 493 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ 𝑉) ∧ (Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑇}) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑇}))) β†’ (π‘β€˜{𝑀}) β‰  (π‘β€˜{𝑋}))
4443necomd 2993 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ 𝑉) ∧ (Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑇}) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑇}))) β†’ (π‘β€˜{𝑋}) β‰  (π‘β€˜{𝑀}))
4539simprd 494 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ 𝑉) ∧ (Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑇}) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑇}))) β†’ (π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝑇}))
4642simprd 494 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ 𝑉) ∧ (Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑇}) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑇}))) β†’ (π‘β€˜{𝑀}) β‰  (π‘β€˜{𝑇}))
471, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 15, 17, 19, 21, 31, 34, 41, 44, 45, 46, 38mapdh8 41301 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ 𝑉) ∧ (Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑇}) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑇}))) β†’ (πΌβ€˜βŸ¨π‘§, (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘§βŸ©), π‘‡βŸ©) = (πΌβ€˜βŸ¨π‘€, (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘€βŸ©), π‘‡βŸ©))
48473exp 1116 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝑧 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ 𝑉) β†’ ((Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑇}) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑇})) β†’ (πΌβ€˜βŸ¨π‘§, (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘§βŸ©), π‘‡βŸ©) = (πΌβ€˜βŸ¨π‘€, (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘€βŸ©), π‘‡βŸ©))))
4948ralrimivv 3196 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘§ ∈ 𝑉 βˆ€π‘€ ∈ 𝑉 ((Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑇}) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑇})) β†’ (πΌβ€˜βŸ¨π‘§, (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘§βŸ©), π‘‡βŸ©) = (πΌβ€˜βŸ¨π‘€, (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘€βŸ©), π‘‡βŸ©)))
501, 2, 3, 6, 14, 25, 26dvh3dim 40959 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑉 Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑇}))
5114ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑇})) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
5216ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑇})) β†’ 𝐹 ∈ 𝐷)
5318ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑇})) β†’ (π‘€β€˜(π‘β€˜{𝑋})) = (π½β€˜{𝐹}))
5420ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑇})) β†’ 𝑋 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
55 simplr 767 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑇})) β†’ 𝑧 ∈ 𝑉)
5635ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑇})) β†’ π‘ˆ ∈ LVec)
5725ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑇})) β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
5826ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑇})) β†’ 𝑇 ∈ 𝑉)
59 simpr 483 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑇})) β†’ Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑇}))
603, 6, 56, 55, 57, 58, 59lspindpi 21034 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑇})) β†’ ((π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝑋}) ∧ (π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝑇})))
6160simpld 493 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑇})) β†’ (π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝑋}))
6261necomd 2993 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑇})) β†’ (π‘β€˜{𝑋}) β‰  (π‘β€˜{𝑧}))
6310, 13, 1, 12, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 51, 52, 53, 54, 55, 62mapdhcl 41240 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑇})) β†’ (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘§βŸ©) ∈ 𝐷)
64 eqidd 2729 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑇})) β†’ (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘§βŸ©) = (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘§βŸ©))
6523ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑇})) β†’ π‘ˆ ∈ LMod)
6627ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑇})) β†’ (π‘β€˜{𝑋, 𝑇}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ))
675, 22, 65, 66, 55, 59lssneln0 20851 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑇})) β†’ 𝑧 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
6810, 13, 1, 12, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 51, 52, 53, 54, 67, 63, 62mapdheq 41241 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑇})) β†’ ((πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘§βŸ©) = (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘§βŸ©) ↔ ((π‘€β€˜(π‘β€˜{𝑧})) = (π½β€˜{(πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘§βŸ©)}) ∧ (π‘€β€˜(π‘β€˜{(𝑋 βˆ’ 𝑧)})) = (π½β€˜{(𝐹𝑅(πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘§βŸ©))}))))
6964, 68mpbid 231 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑇})) β†’ ((π‘€β€˜(π‘β€˜{𝑧})) = (π½β€˜{(πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘§βŸ©)}) ∧ (π‘€β€˜(π‘β€˜{(𝑋 βˆ’ 𝑧)})) = (π½β€˜{(𝐹𝑅(πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘§βŸ©))})))
7069simpld 493 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑇})) β†’ (π‘€β€˜(π‘β€˜{𝑧})) = (π½β€˜{(πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘§βŸ©)}))
7160simprd 494 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑇})) β†’ (π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝑇}))
7210, 13, 1, 12, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 51, 63, 70, 67, 58, 71mapdhcl 41240 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑇})) β†’ (πΌβ€˜βŸ¨π‘§, (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘§βŸ©), π‘‡βŸ©) ∈ 𝐷)
7372ex 411 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) β†’ (Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑇}) β†’ (πΌβ€˜βŸ¨π‘§, (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘§βŸ©), π‘‡βŸ©) ∈ 𝐷))
7473ancld 549 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) β†’ (Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑇}) β†’ (Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑇}) ∧ (πΌβ€˜βŸ¨π‘§, (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘§βŸ©), π‘‡βŸ©) ∈ 𝐷)))
7574reximdva 3165 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ 𝑉 Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑇}) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑉 (Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑇}) ∧ (πΌβ€˜βŸ¨π‘§, (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘§βŸ©), π‘‡βŸ©) ∈ 𝐷)))
7650, 75mpd 15 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑉 (Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑇}) ∧ (πΌβ€˜βŸ¨π‘§, (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘§βŸ©), π‘‡βŸ©) ∈ 𝐷))
77 eleq1w 2812 . . . . . 6 (𝑧 = 𝑀 β†’ (𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑇}) ↔ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑇})))
7877notbid 317 . . . . 5 (𝑧 = 𝑀 β†’ (Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑇}) ↔ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑇})))
79 oteq1 4887 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑀 β†’ βŸ¨π‘§, (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘§βŸ©), π‘‡βŸ© = βŸ¨π‘€, (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘§βŸ©), π‘‡βŸ©)
80 oteq3 4889 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝑀 β†’ βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘§βŸ© = βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘€βŸ©)
8180fveq2d 6906 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑀 β†’ (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘§βŸ©) = (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘€βŸ©))
8281oteq2d 4891 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑀 β†’ βŸ¨π‘€, (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘§βŸ©), π‘‡βŸ© = βŸ¨π‘€, (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘€βŸ©), π‘‡βŸ©)
8379, 82eqtrd 2768 . . . . . 6 (𝑧 = 𝑀 β†’ βŸ¨π‘§, (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘§βŸ©), π‘‡βŸ© = βŸ¨π‘€, (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘€βŸ©), π‘‡βŸ©)
8483fveq2d 6906 . . . . 5 (𝑧 = 𝑀 β†’ (πΌβ€˜βŸ¨π‘§, (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘§βŸ©), π‘‡βŸ©) = (πΌβ€˜βŸ¨π‘€, (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘€βŸ©), π‘‡βŸ©))
8578, 84reusv3 5409 . . . 4 (βˆƒπ‘§ ∈ 𝑉 (Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑇}) ∧ (πΌβ€˜βŸ¨π‘§, (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘§βŸ©), π‘‡βŸ©) ∈ 𝐷) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ 𝑉 βˆ€π‘€ ∈ 𝑉 ((Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑇}) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑇})) β†’ (πΌβ€˜βŸ¨π‘§, (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘§βŸ©), π‘‡βŸ©) = (πΌβ€˜βŸ¨π‘€, (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘€βŸ©), π‘‡βŸ©)) ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐷 βˆ€π‘§ ∈ 𝑉 (Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑇}) β†’ 𝑦 = (πΌβ€˜βŸ¨π‘§, (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘§βŸ©), π‘‡βŸ©))))
8676, 85syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘§ ∈ 𝑉 βˆ€π‘€ ∈ 𝑉 ((Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑇}) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑇})) β†’ (πΌβ€˜βŸ¨π‘§, (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘§βŸ©), π‘‡βŸ©) = (πΌβ€˜βŸ¨π‘€, (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘€βŸ©), π‘‡βŸ©)) ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐷 βˆ€π‘§ ∈ 𝑉 (Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑇}) β†’ 𝑦 = (πΌβ€˜βŸ¨π‘§, (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘§βŸ©), π‘‡βŸ©))))
8749, 86mpbid 231 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐷 βˆ€π‘§ ∈ 𝑉 (Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑇}) β†’ 𝑦 = (πΌβ€˜βŸ¨π‘§, (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘§βŸ©), π‘‡βŸ©)))
88 reusv1 5401 . . 3 (βˆƒπ‘§ ∈ 𝑉 Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑇}) β†’ (βˆƒ!𝑦 ∈ 𝐷 βˆ€π‘§ ∈ 𝑉 (Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑇}) β†’ 𝑦 = (πΌβ€˜βŸ¨π‘§, (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘§βŸ©), π‘‡βŸ©)) ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐷 βˆ€π‘§ ∈ 𝑉 (Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑇}) β†’ 𝑦 = (πΌβ€˜βŸ¨π‘§, (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘§βŸ©), π‘‡βŸ©))))
8950, 88syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆƒ!𝑦 ∈ 𝐷 βˆ€π‘§ ∈ 𝑉 (Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑇}) β†’ 𝑦 = (πΌβ€˜βŸ¨π‘§, (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘§βŸ©), π‘‡βŸ©)) ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐷 βˆ€π‘§ ∈ 𝑉 (Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑇}) β†’ 𝑦 = (πΌβ€˜βŸ¨π‘§, (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘§βŸ©), π‘‡βŸ©))))
9087, 89mpbird 256 1 (πœ‘ β†’ βˆƒ!𝑦 ∈ 𝐷 βˆ€π‘§ ∈ 𝑉 (Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑇}) β†’ 𝑦 = (πΌβ€˜βŸ¨π‘§, (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘§βŸ©), π‘‡βŸ©)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2937  βˆ€wral 3058  βˆƒwrex 3067  βˆƒ!wreu 3372  Vcvv 3473   βˆ– cdif 3946  ifcif 4532  {csn 4632  {cpr 4634  βŸ¨cotp 4640   ↦ cmpt 5235  β€˜cfv 6553  β„©crio 7381  (class class class)co 7426  1st c1st 7999  2nd c2nd 8000  Basecbs 17189  0gc0g 17430  -gcsg 18906  LModclmod 20757  LSubSpclss 20829  LSpanclspn 20869  LVecclvec 21001  HLchlt 38862  LHypclh 39497  DVecHcdvh 40591  LCDualclcd 41099  mapdcmpd 41137
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225  ax-riotaBAD 38465
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-ot 4641  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-iin 5003  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-of 7692  df-om 7879  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-tpos 8240  df-undef 8287  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-1o 8495  df-er 8733  df-map 8855  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-fin 8976  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-nn 12253  df-2 12315  df-3 12316  df-4 12317  df-5 12318  df-6 12319  df-n0 12513  df-z 12599  df-uz 12863  df-fz 13527  df-struct 17125  df-sets 17142  df-slot 17160  df-ndx 17172  df-base 17190  df-ress 17219  df-plusg 17255  df-mulr 17256  df-sca 17258  df-vsca 17259  df-0g 17432  df-mre 17575  df-mrc 17576  df-acs 17578  df-proset 18296  df-poset 18314  df-plt 18331  df-lub 18347  df-glb 18348  df-join 18349  df-meet 18350  df-p0 18426  df-p1 18427  df-lat 18433  df-clat 18500  df-mgm 18609  df-sgrp 18688  df-mnd 18704  df-submnd 18750  df-grp 18907  df-minusg 18908  df-sbg 18909  df-subg 19092  df-cntz 19282  df-oppg 19311  df-lsm 19605  df-cmn 19751  df-abl 19752  df-mgp 20089  df-rng 20107  df-ur 20136  df-ring 20189  df-oppr 20287  df-dvdsr 20310  df-unit 20311  df-invr 20341  df-dvr 20354  df-drng 20640  df-lmod 20759  df-lss 20830  df-lsp 20870  df-lvec 21002  df-lsatoms 38488  df-lshyp 38489  df-lcv 38531  df-lfl 38570  df-lkr 38598  df-ldual 38636  df-oposet 38688  df-ol 38690  df-oml 38691  df-covers 38778  df-ats 38779  df-atl 38810  df-cvlat 38834  df-hlat 38863  df-llines 39011  df-lplanes 39012  df-lvols 39013  df-lines 39014  df-psubsp 39016  df-pmap 39017  df-padd 39309  df-lhyp 39501  df-laut 39502  df-ldil 39617  df-ltrn 39618  df-trl 39672  df-tgrp 40256  df-tendo 40268  df-edring 40270  df-dveca 40516  df-disoa 40542  df-dvech 40592  df-dib 40652  df-dic 40686  df-dih 40742  df-doch 40861  df-djh 40908  df-lcdual 41100  df-mapd 41138
This theorem is referenced by:  hdmap1eulemOLDN  41336
  Copyright terms: Public domain W3C validator