Theorem mapdh9aOLDN 42375

Description: Lemma for part (9) in [Baer] p. 48. (Contributed by NM, 14-May-2015.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
mapdh8a.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdh8a.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapdh8a.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
mapdh8a.s	⊢ − = (-g‘𝑈)
mapdh8a.o	⊢ 0 = (0g‘𝑈)
mapdh8a.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
mapdh8a.c	⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
mapdh8a.d	⊢ 𝐷 = (Base‘𝐶)
mapdh8a.r	⊢ 𝑅 = (-g‘𝐶)
mapdh8a.q	⊢ 𝑄 = (0g‘𝐶)
mapdh8a.j	⊢ 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
mapdh8a.m	⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapdh8a.i	⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ V ↦ if((2nd ‘𝑥) = 0 , 𝑄, (℩ℎ ∈ 𝐷 ((𝑀‘(𝑁‘{(2nd ‘𝑥)})) = (𝐽‘{ℎ}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{((1st ‘(1st ‘𝑥)) − (2nd ‘𝑥))})) = (𝐽‘{((2nd ‘(1st ‘𝑥))𝑅ℎ)})))))
mapdh8a.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
mapdh8h.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐷)
mapdh8h.mn	⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐹}))
mapdh9a.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdh9a.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
mapdh9aOLDN	⊢ (𝜑 → ∃!𝑦 ∈ 𝐷 ∀𝑧 ∈ 𝑉 (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}) → 𝑦 = (𝐼‘⟨𝑧, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩)))

Distinct variable groups:   𝑥,ℎ, −   0 ,ℎ,𝑥   𝐶,ℎ   𝐷,ℎ,𝑥   ℎ,𝐹,𝑥   ℎ,𝐼   ℎ,𝐽,𝑥   ℎ,𝑀,𝑥   ℎ,𝑁,𝑥   𝜑,ℎ   𝑅,ℎ,𝑥   𝑥,𝑄   𝑇,ℎ,𝑥   𝑈,ℎ   ℎ,𝑋,𝑥   𝑥,𝐼   ℎ,𝑉   𝑦,𝑧,𝐷   𝑦,𝐹,𝑧   𝑦,𝐼,𝑧   𝑦,𝑁,𝑧   𝑦, 0 ,𝑧   𝑦,𝑇,𝑧   𝑧,𝑈   𝑦,𝑉,𝑧   𝑦,𝑋,𝑧   𝜑,𝑦,𝑧   𝑧,ℎ,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐶(𝑥,𝑦,𝑧)   𝑄(𝑦,𝑧,ℎ)   𝑅(𝑦,𝑧)   𝑈(𝑥,𝑦)   𝐻(𝑥,𝑦,𝑧,ℎ)   𝐽(𝑦,𝑧)   𝐾(𝑥,𝑦,𝑧,ℎ)   𝑀(𝑦,𝑧)   − (𝑦,𝑧)   𝑉(𝑥)   𝑊(𝑥,𝑦,𝑧,ℎ)

Proof of Theorem mapdh9aOLDN

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mapdh8a.h	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		mapdh8a.u	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3		mapdh8a.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
4		mapdh8a.s	. . . . . 6 ⊢ − = (-g‘𝑈)
5		mapdh8a.o	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑈)
6		mapdh8a.n	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
7		mapdh8a.c	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
8		mapdh8a.d	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = (Base‘𝐶)
9		mapdh8a.r	. . . . . 6 ⊢ 𝑅 = (-g‘𝐶)
10		mapdh8a.q	. . . . . 6 ⊢ 𝑄 = (0g‘𝐶)
11		mapdh8a.j	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
12		mapdh8a.m	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
13		mapdh8a.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ V ↦ if((2nd ‘𝑥) = 0 , 𝑄, (℩ℎ ∈ 𝐷 ((𝑀‘(𝑁‘{(2nd ‘𝑥)})) = (𝐽‘{ℎ}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{((1st ‘(1st ‘𝑥)) − (2nd ‘𝑥))})) = (𝐽‘{((2nd ‘(1st ‘𝑥))𝑅ℎ)})))))
14		mapdh8a.k	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
15	14	3ad2ant1 1145	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑉 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉) ∧ (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
16		mapdh8h.f	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐷)
17	16	3ad2ant1 1145	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑉 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉) ∧ (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}))) → 𝐹 ∈ 𝐷)
18		mapdh8h.mn	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐹}))
19	18	3ad2ant1 1145	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑉 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉) ∧ (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}))) → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐹}))
20		mapdh9a.x	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
21	20	3ad2ant1 1145	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑉 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉) ∧ (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}))) → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
22		eqid 2761	. . . . . . 7 ⊢ (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
23	1, 2, 14	dvhlmod 41695	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
24	23	3ad2ant1 1145	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑉 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉) ∧ (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}))) → 𝑈 ∈ LMod)
25	20	eldifad 3914	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
26		mapdh9a.t	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑉)
27	3, 22, 6, 23, 25, 26	lspprcl 21033	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, 𝑇}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
28	27	3ad2ant1 1145	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑉 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉) ∧ (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}))) → (𝑁‘{𝑋, 𝑇}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
29		simp2l 1212	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑉 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉) ∧ (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}))) → 𝑧 ∈ 𝑉)
30		simp3l 1214	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑉 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉) ∧ (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}))) → ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}))
31	5, 22, 24, 28, 29, 30	lssneln0 21008	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑉 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉) ∧ (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}))) → 𝑧 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
32		simp2r 1213	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑉 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉) ∧ (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}))) → 𝑤 ∈ 𝑉)
33		simp3r 1215	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑉 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉) ∧ (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}))) → ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}))
34	5, 22, 24, 28, 32, 33	lssneln0 21008	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑉 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉) ∧ (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}))) → 𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
35	1, 2, 14	dvhlvec 41694	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LVec)
36	35	3ad2ant1 1145	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑉 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉) ∧ (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}))) → 𝑈 ∈ LVec)
37	25	3ad2ant1 1145	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑉 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉) ∧ (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}))) → 𝑋 ∈ 𝑉)
38	26	3ad2ant1 1145	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑉 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉) ∧ (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}))) → 𝑇 ∈ 𝑉)
39	3, 6, 36, 29, 37, 38, 30	lspindpi 21190	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑉 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉) ∧ (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}))) → ((𝑁‘{𝑧}) ≠ (𝑁‘{𝑋}) ∧ (𝑁‘{𝑧}) ≠ (𝑁‘{𝑇})))
40	39	simpld 498	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑉 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉) ∧ (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}))) → (𝑁‘{𝑧}) ≠ (𝑁‘{𝑋}))
41	40	necomd 3011	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑉 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉) ∧ (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}))) → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑧}))
42	3, 6, 36, 32, 37, 38, 33	lspindpi 21190	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑉 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉) ∧ (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}))) → ((𝑁‘{𝑤}) ≠ (𝑁‘{𝑋}) ∧ (𝑁‘{𝑤}) ≠ (𝑁‘{𝑇})))
43	42	simpld 498	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑉 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉) ∧ (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}))) → (𝑁‘{𝑤}) ≠ (𝑁‘{𝑋}))
44	43	necomd 3011	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑉 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉) ∧ (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}))) → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑤}))
45	39	simprd 499	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑉 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉) ∧ (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}))) → (𝑁‘{𝑧}) ≠ (𝑁‘{𝑇}))
46	42	simprd 499	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑉 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉) ∧ (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}))) → (𝑁‘{𝑤}) ≠ (𝑁‘{𝑇}))
47	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 15, 17, 19, 21, 31, 34, 41, 44, 45, 46, 38	mapdh8 42373	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑉 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉) ∧ (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}))) → (𝐼‘⟨𝑧, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩) = (𝐼‘⟨𝑤, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑤⟩), 𝑇⟩))
48	47	3exp 1131	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑧 ∈ 𝑉 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉) → ((¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇})) → (𝐼‘⟨𝑧, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩) = (𝐼‘⟨𝑤, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑤⟩), 𝑇⟩))))
49	48	ralrimivv 3202	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ 𝑉 ((¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇})) → (𝐼‘⟨𝑧, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩) = (𝐼‘⟨𝑤, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑤⟩), 𝑇⟩)))
50	1, 2, 3, 6, 14, 25, 26	dvh3dim 42031	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∃𝑧 ∈ 𝑉 ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}))
51	14	ad2antrr 736	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇})) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
52	16	ad2antrr 736	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇})) → 𝐹 ∈ 𝐷)
53	18	ad2antrr 736	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇})) → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐹}))
54	20	ad2antrr 736	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇})) → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
55		simplr 778	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇})) → 𝑧 ∈ 𝑉)
56	35	ad2antrr 736	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇})) → 𝑈 ∈ LVec)
57	25	ad2antrr 736	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇})) → 𝑋 ∈ 𝑉)
58	26	ad2antrr 736	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇})) → 𝑇 ∈ 𝑉)
59		simpr 488	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇})) → ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}))
60	3, 6, 56, 55, 57, 58, 59	lspindpi 21190	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇})) → ((𝑁‘{𝑧}) ≠ (𝑁‘{𝑋}) ∧ (𝑁‘{𝑧}) ≠ (𝑁‘{𝑇})))
61	60	simpld 498	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇})) → (𝑁‘{𝑧}) ≠ (𝑁‘{𝑋}))
62	61	necomd 3011	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇})) → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑧}))
63	10, 13, 1, 12, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 51, 52, 53, 54, 55, 62	mapdhcl 42312	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇})) → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩) ∈ 𝐷)
64		eqidd 2762	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇})) → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩) = (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩))
65	23	ad2antrr 736	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇})) → 𝑈 ∈ LMod)
66	27	ad2antrr 736	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇})) → (𝑁‘{𝑋, 𝑇}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
67	5, 22, 65, 66, 55, 59	lssneln0 21008	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇})) → 𝑧 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
68	10, 13, 1, 12, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 51, 52, 53, 54, 67, 63, 62	mapdheq 42313	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇})) → ((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩) = (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩) ↔ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑧})) = (𝐽‘{(𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩)}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑧)})) = (𝐽‘{(𝐹𝑅(𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩))}))))
69	64, 68	mpbid 234	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇})) → ((𝑀‘(𝑁‘{𝑧})) = (𝐽‘{(𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩)}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑧)})) = (𝐽‘{(𝐹𝑅(𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩))})))
70	69	simpld 498	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇})) → (𝑀‘(𝑁‘{𝑧})) = (𝐽‘{(𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩)}))
71	60	simprd 499	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇})) → (𝑁‘{𝑧}) ≠ (𝑁‘{𝑇}))
72	10, 13, 1, 12, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 51, 63, 70, 67, 58, 71	mapdhcl 42312	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇})) → (𝐼‘⟨𝑧, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩) ∈ 𝐷)
73	72	ex 416	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) → (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}) → (𝐼‘⟨𝑧, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩) ∈ 𝐷))
74	73	ancld 558	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) → (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}) → (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}) ∧ (𝐼‘⟨𝑧, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩) ∈ 𝐷)))
75	74	reximdva 3174	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∃𝑧 ∈ 𝑉 ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}) → ∃𝑧 ∈ 𝑉 (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}) ∧ (𝐼‘⟨𝑧, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩) ∈ 𝐷)))
76	50, 75	mpd 15	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑧 ∈ 𝑉 (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}) ∧ (𝐼‘⟨𝑧, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩) ∈ 𝐷))
77		eleq1w 2844	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}) ↔ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇})))
78	77	notbid 320	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}) ↔ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇})))
79		oteq1 4837	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → ⟨𝑧, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩ = ⟨𝑤, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩)
80		oteq3 4839	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → ⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩ = ⟨𝑋, 𝐹, 𝑤⟩)
81	80	fveq2d 6866	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩) = (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑤⟩))
82	81	oteq2d 4841	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → ⟨𝑤, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩ = ⟨𝑤, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑤⟩), 𝑇⟩)
83	79, 82	eqtrd 2796	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → ⟨𝑧, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩ = ⟨𝑤, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑤⟩), 𝑇⟩)
84	83	fveq2d 6866	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (𝐼‘⟨𝑧, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩) = (𝐼‘⟨𝑤, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑤⟩), 𝑇⟩))
85	78, 84	reusv3 5359	. . . 4 ⊢ (∃𝑧 ∈ 𝑉 (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}) ∧ (𝐼‘⟨𝑧, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩) ∈ 𝐷) → (∀𝑧 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ 𝑉 ((¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇})) → (𝐼‘⟨𝑧, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩) = (𝐼‘⟨𝑤, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑤⟩), 𝑇⟩)) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐷 ∀𝑧 ∈ 𝑉 (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}) → 𝑦 = (𝐼‘⟨𝑧, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩))))
86	76, 85	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑧 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ 𝑉 ((¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇})) → (𝐼‘⟨𝑧, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩) = (𝐼‘⟨𝑤, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑤⟩), 𝑇⟩)) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐷 ∀𝑧 ∈ 𝑉 (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}) → 𝑦 = (𝐼‘⟨𝑧, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩))))
87	49, 86	mpbid 234	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ 𝐷 ∀𝑧 ∈ 𝑉 (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}) → 𝑦 = (𝐼‘⟨𝑧, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩)))
88		reusv1 5351	. . 3 ⊢ (∃𝑧 ∈ 𝑉 ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}) → (∃!𝑦 ∈ 𝐷 ∀𝑧 ∈ 𝑉 (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}) → 𝑦 = (𝐼‘⟨𝑧, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩)) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐷 ∀𝑧 ∈ 𝑉 (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}) → 𝑦 = (𝐼‘⟨𝑧, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩))))
89	50, 88	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃!𝑦 ∈ 𝐷 ∀𝑧 ∈ 𝑉 (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}) → 𝑦 = (𝐼‘⟨𝑧, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩)) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐷 ∀𝑧 ∈ 𝑉 (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}) → 𝑦 = (𝐼‘⟨𝑧, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩))))
90	87, 89	mpbird 259	1 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑦 ∈ 𝐷 ∀𝑧 ∈ 𝑉 (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}) → 𝑦 = (𝐼‘⟨𝑧, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∧ w3a 1097   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956  ∀wral 3075  ∃wrex 3085  ∃!wreu 3364  Vcvv 3453   ∖ cdif 3899  ifcif 4477  {csn 4579  {cpr 4581  ⟨cotp 4587   ↦ cmpt 5178  ‘cfv 6516  ℩crio 7347  (class class class)co 7391  1^st c1st 7963  2^nd c2nd 7964  Basecbs 17236  0_gc0g 17459  -_gcsg 18968  LModclmod 20915  LSubSpclss 20986  LSpanclspn 21026  LVecclvec 21157  HLchlt 39935  LHypclh 40569  DVecHcdvh 41663  LCDualclcd 42171  mapdcmpd 42209

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5224  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7713  ax-cnex 11123  ax-resscn 11124  ax-1cn 11125  ax-icn 11126  ax-addcl 11127  ax-addrcl 11128  ax-mulcl 11129  ax-mulrcl 11130  ax-mulcom 11131  ax-addass 11132  ax-mulass 11133  ax-distr 11134  ax-i2m1 11135  ax-1ne0 11136  ax-1rid 11137  ax-rnegex 11138  ax-rrecex 11139  ax-cnre 11140  ax-pre-lttri 11141  ax-pre-lttrn 11142  ax-pre-ltadd 11143  ax-pre-mulgt0 11144  ax-riotaBAD 39538

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-ot 4588  df-uni 4863  df-int 4903  df-iun 4948  df-iin 4949  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6283  df-ord 6344  df-on 6345  df-lim 6346  df-suc 6347  df-iota 6472  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-riota 7348  df-ov 7394  df-oprab 7395  df-mpo 7396  df-of 7655  df-om 7842  df-1st 7965  df-2nd 7966  df-tpos 8200  df-undef 8247  df-frecs 8256  df-wrecs 8287  df-recs 8336  df-rdg 8375  df-1o 8431  df-2o 8432  df-er 8672  df-map 8804  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-pnf 11212  df-mnf 11213  df-xr 11214  df-ltxr 11215  df-le 11216  df-sub 11410  df-neg 11411  df-nn 12205  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-n0 12476  df-z 12563  df-uz 12834  df-fz 13507  df-struct 17174  df-sets 17191  df-slot 17209  df-ndx 17221  df-base 17237  df-ress 17258  df-plusg 17290  df-mulr 17291  df-sca 17293  df-vsca 17294  df-0g 17461  df-mre 17605  df-mrc 17606  df-acs 17608  df-proset 18317  df-poset 18336  df-plt 18351  df-lub 18367  df-glb 18368  df-join 18369  df-meet 18370  df-p0 18446  df-p1 18447  df-lat 18455  df-clat 18522  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-submnd 18809  df-grp 18969  df-minusg 18970  df-sbg 18971  df-subg 19156  df-cntz 19348  df-oppg 19377  df-lsm 19667  df-cmn 19813  df-abl 19814  df-mgp 20178  df-rng 20190  df-ur 20219  df-ring 20272  df-oppr 20373  df-dvdsr 20393  df-unit 20394  df-invr 20424  df-dvr 20437  df-nzr 20550  df-rlreg 20731  df-domn 20732  df-drng 20768  df-lmod 20917  df-lss 20987  df-lsp 21027  df-lvec 21158  df-lsatoms 39561  df-lshyp 39562  df-lcv 39604  df-lfl 39643  df-lkr 39671  df-ldual 39709  df-oposet 39761  df-ol 39763  df-oml 39764  df-covers 39851  df-ats 39852  df-atl 39883  df-cvlat 39907  df-hlat 39936  df-llines 40083  df-lplanes 40084  df-lvols 40085  df-lines 40086  df-psubsp 40088  df-pmap 40089  df-padd 40381  df-lhyp 40573  df-laut 40574  df-ldil 40689  df-ltrn 40690  df-trl 40744  df-tgrp 41328  df-tendo 41340  df-edring 41342  df-dveca 41588  df-disoa 41614  df-dvech 41664  df-dib 41724  df-dic 41758  df-dih 41814  df-doch 41933  df-djh 41980  df-lcdual 42172  df-mapd 42210

This theorem is referenced by:  hdmap1eulemOLDN  42408