Theorem mapdh9aOLDN 40656

Description: Lemma for part (9) in [Baer] p. 48. (Contributed by NM, 14-May-2015.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
mapdh8a.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdh8a.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapdh8a.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
mapdh8a.s	⊢ − = (-g‘𝑈)
mapdh8a.o	⊢ 0 = (0g‘𝑈)
mapdh8a.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
mapdh8a.c	⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
mapdh8a.d	⊢ 𝐷 = (Base‘𝐶)
mapdh8a.r	⊢ 𝑅 = (-g‘𝐶)
mapdh8a.q	⊢ 𝑄 = (0g‘𝐶)
mapdh8a.j	⊢ 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
mapdh8a.m	⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapdh8a.i	⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ V ↦ if((2nd ‘𝑥) = 0 , 𝑄, (℩ℎ ∈ 𝐷 ((𝑀‘(𝑁‘{(2nd ‘𝑥)})) = (𝐽‘{ℎ}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{((1st ‘(1st ‘𝑥)) − (2nd ‘𝑥))})) = (𝐽‘{((2nd ‘(1st ‘𝑥))𝑅ℎ)})))))
mapdh8a.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
mapdh8h.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐷)
mapdh8h.mn	⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐹}))
mapdh9a.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdh9a.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
mapdh9aOLDN	⊢ (𝜑 → ∃!𝑦 ∈ 𝐷 ∀𝑧 ∈ 𝑉 (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}) → 𝑦 = (𝐼‘⟨𝑧, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩)))

Distinct variable groups:   𝑥,ℎ, −   0 ,ℎ,𝑥   𝐶,ℎ   𝐷,ℎ,𝑥   ℎ,𝐹,𝑥   ℎ,𝐼   ℎ,𝐽,𝑥   ℎ,𝑀,𝑥   ℎ,𝑁,𝑥   𝜑,ℎ   𝑅,ℎ,𝑥   𝑥,𝑄   𝑇,ℎ,𝑥   𝑈,ℎ   ℎ,𝑋,𝑥   𝑥,𝐼   ℎ,𝑉   𝑦,𝑧,𝐷   𝑦,𝐹,𝑧   𝑦,𝐼,𝑧   𝑦,𝑁,𝑧   𝑦, 0 ,𝑧   𝑦,𝑇,𝑧   𝑧,𝑈   𝑦,𝑉,𝑧   𝑦,𝑋,𝑧   𝜑,𝑦,𝑧   𝑧,ℎ,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐶(𝑥,𝑦,𝑧)   𝑄(𝑦,𝑧,ℎ)   𝑅(𝑦,𝑧)   𝑈(𝑥,𝑦)   𝐻(𝑥,𝑦,𝑧,ℎ)   𝐽(𝑦,𝑧)   𝐾(𝑥,𝑦,𝑧,ℎ)   𝑀(𝑦,𝑧)   − (𝑦,𝑧)   𝑉(𝑥)   𝑊(𝑥,𝑦,𝑧,ℎ)

Proof of Theorem mapdh9aOLDN

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mapdh8a.h	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		mapdh8a.u	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3		mapdh8a.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
4		mapdh8a.s	. . . . . 6 ⊢ − = (-g‘𝑈)
5		mapdh8a.o	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑈)
6		mapdh8a.n	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
7		mapdh8a.c	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
8		mapdh8a.d	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = (Base‘𝐶)
9		mapdh8a.r	. . . . . 6 ⊢ 𝑅 = (-g‘𝐶)
10		mapdh8a.q	. . . . . 6 ⊢ 𝑄 = (0g‘𝐶)
11		mapdh8a.j	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
12		mapdh8a.m	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
13		mapdh8a.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ V ↦ if((2nd ‘𝑥) = 0 , 𝑄, (℩ℎ ∈ 𝐷 ((𝑀‘(𝑁‘{(2nd ‘𝑥)})) = (𝐽‘{ℎ}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{((1st ‘(1st ‘𝑥)) − (2nd ‘𝑥))})) = (𝐽‘{((2nd ‘(1st ‘𝑥))𝑅ℎ)})))))
14		mapdh8a.k	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
15	14	3ad2ant1 1133	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑉 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉) ∧ (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
16		mapdh8h.f	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐷)
17	16	3ad2ant1 1133	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑉 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉) ∧ (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}))) → 𝐹 ∈ 𝐷)
18		mapdh8h.mn	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐹}))
19	18	3ad2ant1 1133	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑉 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉) ∧ (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}))) → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐹}))
20		mapdh9a.x	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
21	20	3ad2ant1 1133	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑉 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉) ∧ (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}))) → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
22		eqid 2732	. . . . . . 7 ⊢ (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
23	1, 2, 14	dvhlmod 39976	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
24	23	3ad2ant1 1133	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑉 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉) ∧ (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}))) → 𝑈 ∈ LMod)
25	20	eldifad 3960	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
26		mapdh9a.t	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑉)
27	3, 22, 6, 23, 25, 26	lspprcl 20588	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, 𝑇}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
28	27	3ad2ant1 1133	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑉 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉) ∧ (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}))) → (𝑁‘{𝑋, 𝑇}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
29		simp2l 1199	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑉 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉) ∧ (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}))) → 𝑧 ∈ 𝑉)
30		simp3l 1201	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑉 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉) ∧ (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}))) → ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}))
31	5, 22, 24, 28, 29, 30	lssneln0 20562	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑉 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉) ∧ (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}))) → 𝑧 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
32		simp2r 1200	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑉 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉) ∧ (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}))) → 𝑤 ∈ 𝑉)
33		simp3r 1202	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑉 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉) ∧ (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}))) → ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}))
34	5, 22, 24, 28, 32, 33	lssneln0 20562	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑉 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉) ∧ (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}))) → 𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
35	1, 2, 14	dvhlvec 39975	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LVec)
36	35	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑉 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉) ∧ (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}))) → 𝑈 ∈ LVec)
37	25	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑉 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉) ∧ (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}))) → 𝑋 ∈ 𝑉)
38	26	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑉 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉) ∧ (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}))) → 𝑇 ∈ 𝑉)
39	3, 6, 36, 29, 37, 38, 30	lspindpi 20744	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑉 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉) ∧ (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}))) → ((𝑁‘{𝑧}) ≠ (𝑁‘{𝑋}) ∧ (𝑁‘{𝑧}) ≠ (𝑁‘{𝑇})))
40	39	simpld 495	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑉 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉) ∧ (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}))) → (𝑁‘{𝑧}) ≠ (𝑁‘{𝑋}))
41	40	necomd 2996	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑉 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉) ∧ (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}))) → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑧}))
42	3, 6, 36, 32, 37, 38, 33	lspindpi 20744	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑉 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉) ∧ (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}))) → ((𝑁‘{𝑤}) ≠ (𝑁‘{𝑋}) ∧ (𝑁‘{𝑤}) ≠ (𝑁‘{𝑇})))
43	42	simpld 495	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑉 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉) ∧ (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}))) → (𝑁‘{𝑤}) ≠ (𝑁‘{𝑋}))
44	43	necomd 2996	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑉 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉) ∧ (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}))) → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑤}))
45	39	simprd 496	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑉 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉) ∧ (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}))) → (𝑁‘{𝑧}) ≠ (𝑁‘{𝑇}))
46	42	simprd 496	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑉 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉) ∧ (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}))) → (𝑁‘{𝑤}) ≠ (𝑁‘{𝑇}))
47	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 15, 17, 19, 21, 31, 34, 41, 44, 45, 46, 38	mapdh8 40654	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑉 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉) ∧ (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}))) → (𝐼‘⟨𝑧, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩) = (𝐼‘⟨𝑤, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑤⟩), 𝑇⟩))
48	47	3exp 1119	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑧 ∈ 𝑉 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉) → ((¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇})) → (𝐼‘⟨𝑧, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩) = (𝐼‘⟨𝑤, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑤⟩), 𝑇⟩))))
49	48	ralrimivv 3198	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ 𝑉 ((¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇})) → (𝐼‘⟨𝑧, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩) = (𝐼‘⟨𝑤, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑤⟩), 𝑇⟩)))
50	1, 2, 3, 6, 14, 25, 26	dvh3dim 40312	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∃𝑧 ∈ 𝑉 ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}))
51	14	ad2antrr 724	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇})) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
52	16	ad2antrr 724	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇})) → 𝐹 ∈ 𝐷)
53	18	ad2antrr 724	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇})) → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐹}))
54	20	ad2antrr 724	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇})) → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
55		simplr 767	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇})) → 𝑧 ∈ 𝑉)
56	35	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇})) → 𝑈 ∈ LVec)
57	25	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇})) → 𝑋 ∈ 𝑉)
58	26	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇})) → 𝑇 ∈ 𝑉)
59		simpr 485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇})) → ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}))
60	3, 6, 56, 55, 57, 58, 59	lspindpi 20744	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇})) → ((𝑁‘{𝑧}) ≠ (𝑁‘{𝑋}) ∧ (𝑁‘{𝑧}) ≠ (𝑁‘{𝑇})))
61	60	simpld 495	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇})) → (𝑁‘{𝑧}) ≠ (𝑁‘{𝑋}))
62	61	necomd 2996	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇})) → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑧}))
63	10, 13, 1, 12, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 51, 52, 53, 54, 55, 62	mapdhcl 40593	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇})) → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩) ∈ 𝐷)
64		eqidd 2733	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇})) → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩) = (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩))
65	23	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇})) → 𝑈 ∈ LMod)
66	27	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇})) → (𝑁‘{𝑋, 𝑇}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
67	5, 22, 65, 66, 55, 59	lssneln0 20562	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇})) → 𝑧 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
68	10, 13, 1, 12, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 51, 52, 53, 54, 67, 63, 62	mapdheq 40594	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇})) → ((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩) = (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩) ↔ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑧})) = (𝐽‘{(𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩)}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑧)})) = (𝐽‘{(𝐹𝑅(𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩))}))))
69	64, 68	mpbid 231	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇})) → ((𝑀‘(𝑁‘{𝑧})) = (𝐽‘{(𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩)}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑧)})) = (𝐽‘{(𝐹𝑅(𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩))})))
70	69	simpld 495	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇})) → (𝑀‘(𝑁‘{𝑧})) = (𝐽‘{(𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩)}))
71	60	simprd 496	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇})) → (𝑁‘{𝑧}) ≠ (𝑁‘{𝑇}))
72	10, 13, 1, 12, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 51, 63, 70, 67, 58, 71	mapdhcl 40593	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇})) → (𝐼‘⟨𝑧, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩) ∈ 𝐷)
73	72	ex 413	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) → (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}) → (𝐼‘⟨𝑧, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩) ∈ 𝐷))
74	73	ancld 551	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) → (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}) → (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}) ∧ (𝐼‘⟨𝑧, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩) ∈ 𝐷)))
75	74	reximdva 3168	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∃𝑧 ∈ 𝑉 ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}) → ∃𝑧 ∈ 𝑉 (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}) ∧ (𝐼‘⟨𝑧, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩) ∈ 𝐷)))
76	50, 75	mpd 15	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑧 ∈ 𝑉 (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}) ∧ (𝐼‘⟨𝑧, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩) ∈ 𝐷))
77		eleq1w 2816	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}) ↔ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇})))
78	77	notbid 317	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}) ↔ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇})))
79		oteq1 4882	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → ⟨𝑧, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩ = ⟨𝑤, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩)
80		oteq3 4884	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → ⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩ = ⟨𝑋, 𝐹, 𝑤⟩)
81	80	fveq2d 6895	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩) = (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑤⟩))
82	81	oteq2d 4886	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → ⟨𝑤, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩ = ⟨𝑤, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑤⟩), 𝑇⟩)
83	79, 82	eqtrd 2772	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → ⟨𝑧, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩ = ⟨𝑤, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑤⟩), 𝑇⟩)
84	83	fveq2d 6895	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (𝐼‘⟨𝑧, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩) = (𝐼‘⟨𝑤, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑤⟩), 𝑇⟩))
85	78, 84	reusv3 5403	. . . 4 ⊢ (∃𝑧 ∈ 𝑉 (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}) ∧ (𝐼‘⟨𝑧, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩) ∈ 𝐷) → (∀𝑧 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ 𝑉 ((¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇})) → (𝐼‘⟨𝑧, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩) = (𝐼‘⟨𝑤, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑤⟩), 𝑇⟩)) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐷 ∀𝑧 ∈ 𝑉 (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}) → 𝑦 = (𝐼‘⟨𝑧, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩))))
86	76, 85	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑧 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ 𝑉 ((¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇})) → (𝐼‘⟨𝑧, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩) = (𝐼‘⟨𝑤, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑤⟩), 𝑇⟩)) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐷 ∀𝑧 ∈ 𝑉 (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}) → 𝑦 = (𝐼‘⟨𝑧, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩))))
87	49, 86	mpbid 231	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ 𝐷 ∀𝑧 ∈ 𝑉 (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}) → 𝑦 = (𝐼‘⟨𝑧, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩)))
88		reusv1 5395	. . 3 ⊢ (∃𝑧 ∈ 𝑉 ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}) → (∃!𝑦 ∈ 𝐷 ∀𝑧 ∈ 𝑉 (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}) → 𝑦 = (𝐼‘⟨𝑧, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩)) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐷 ∀𝑧 ∈ 𝑉 (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}) → 𝑦 = (𝐼‘⟨𝑧, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩))))
89	50, 88	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃!𝑦 ∈ 𝐷 ∀𝑧 ∈ 𝑉 (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}) → 𝑦 = (𝐼‘⟨𝑧, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩)) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐷 ∀𝑧 ∈ 𝑉 (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}) → 𝑦 = (𝐼‘⟨𝑧, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩))))
90	87, 89	mpbird 256	1 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑦 ∈ 𝐷 ∀𝑧 ∈ 𝑉 (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}) → 𝑦 = (𝐼‘⟨𝑧, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2940  ∀wral 3061  ∃wrex 3070  ∃!wreu 3374  Vcvv 3474   ∖ cdif 3945  ifcif 4528  {csn 4628  {cpr 4630  ⟨cotp 4636   ↦ cmpt 5231  ‘cfv 6543  ℩crio 7363  (class class class)co 7408  1^st c1st 7972  2^nd c2nd 7973  Basecbs 17143  0_gc0g 17384  -_gcsg 18820  LModclmod 20470  LSubSpclss 20541  LSpanclspn 20581  LVecclvec 20712  HLchlt 38215  LHypclh 38850  DVecHcdvh 39944  LCDualclcd 40452  mapdcmpd 40490

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-riotaBAD 37818

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-ot 4637  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7669  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-tpos 8210  df-undef 8257  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-fz 13484  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-0g 17386  df-mre 17529  df-mrc 17530  df-acs 17532  df-proset 18247  df-poset 18265  df-plt 18282  df-lub 18298  df-glb 18299  df-join 18300  df-meet 18301  df-p0 18377  df-p1 18378  df-lat 18384  df-clat 18451  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-submnd 18671  df-grp 18821  df-minusg 18822  df-sbg 18823  df-subg 19002  df-cntz 19180  df-oppg 19209  df-lsm 19503  df-cmn 19649  df-abl 19650  df-mgp 19987  df-ur 20004  df-ring 20057  df-oppr 20149  df-dvdsr 20170  df-unit 20171  df-invr 20201  df-dvr 20214  df-drng 20358  df-lmod 20472  df-lss 20542  df-lsp 20582  df-lvec 20713  df-lsatoms 37841  df-lshyp 37842  df-lcv 37884  df-lfl 37923  df-lkr 37951  df-ldual 37989  df-oposet 38041  df-ol 38043  df-oml 38044  df-covers 38131  df-ats 38132  df-atl 38163  df-cvlat 38187  df-hlat 38216  df-llines 38364  df-lplanes 38365  df-lvols 38366  df-lines 38367  df-psubsp 38369  df-pmap 38370  df-padd 38662  df-lhyp 38854  df-laut 38855  df-ldil 38970  df-ltrn 38971  df-trl 39025  df-tgrp 39609  df-tendo 39621  df-edring 39623  df-dveca 39869  df-disoa 39895  df-dvech 39945  df-dib 40005  df-dic 40039  df-dih 40095  df-doch 40214  df-djh 40261  df-lcdual 40453  df-mapd 40491

This theorem is referenced by:  hdmap1eulemOLDN  40689