Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hdmap1l6i Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hdmap1l6i 41517
Description: Lemmma for hdmap1l6 41520. Eliminate auxiliary vector 𝑤. (Contributed by NM, 1-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hdmap1l6.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hdmap1l6.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hdmap1l6.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
hdmap1l6.p + = (+g𝑈)
hdmap1l6.s = (-g𝑈)
hdmap1l6c.o 0 = (0g𝑈)
hdmap1l6.n 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
hdmap1l6.c 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
hdmap1l6.d 𝐷 = (Base‘𝐶)
hdmap1l6.a = (+g𝐶)
hdmap1l6.r 𝑅 = (-g𝐶)
hdmap1l6.q 𝑄 = (0g𝐶)
hdmap1l6.l 𝐿 = (LSpan‘𝐶)
hdmap1l6.m 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
hdmap1l6.i 𝐼 = ((HDMap1‘𝐾)‘𝑊)
hdmap1l6.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
hdmap1l6.f (𝜑𝐹𝐷)
hdmap1l6cl.x (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
hdmap1l6.mn (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐿‘{𝐹}))
hdmap1l6i.xn (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
hdmap1l6i.y (𝜑𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
hdmap1l6i.z (𝜑𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
hdmap1l6i.yz (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) = (𝑁‘{𝑍}))
Assertion
Ref Expression
hdmap1l6i (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, (𝑌 + 𝑍)⟩) = ((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩)))

Proof of Theorem hdmap1l6i
Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hdmap1l6.h . . 3 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 hdmap1l6.u . . 3 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3 hdmap1l6.v . . 3 𝑉 = (Base‘𝑈)
4 hdmap1l6.n . . 3 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
5 hdmap1l6.k . . 3 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
6 hdmap1l6cl.x . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
76eldifad 3959 . . 3 (𝜑𝑋𝑉)
8 hdmap1l6i.y . . . 4 (𝜑𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
98eldifad 3959 . . 3 (𝜑𝑌𝑉)
101, 2, 3, 4, 5, 7, 9dvh3dim 41145 . 2 (𝜑 → ∃𝑤𝑉 ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
11 hdmap1l6.p . . . 4 + = (+g𝑈)
12 hdmap1l6.s . . . 4 = (-g𝑈)
13 hdmap1l6c.o . . . 4 0 = (0g𝑈)
14 hdmap1l6.c . . . 4 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
15 hdmap1l6.d . . . 4 𝐷 = (Base‘𝐶)
16 hdmap1l6.a . . . 4 = (+g𝐶)
17 hdmap1l6.r . . . 4 𝑅 = (-g𝐶)
18 hdmap1l6.q . . . 4 𝑄 = (0g𝐶)
19 hdmap1l6.l . . . 4 𝐿 = (LSpan‘𝐶)
20 hdmap1l6.m . . . 4 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
21 hdmap1l6.i . . . 4 𝐼 = ((HDMap1‘𝐾)‘𝑊)
2253ad2ant1 1130 . . . 4 ((𝜑𝑤𝑉 ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
23 hdmap1l6.f . . . . 5 (𝜑𝐹𝐷)
24233ad2ant1 1130 . . . 4 ((𝜑𝑤𝑉 ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) → 𝐹𝐷)
2563ad2ant1 1130 . . . 4 ((𝜑𝑤𝑉 ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
26 hdmap1l6.mn . . . . 5 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐿‘{𝐹}))
27263ad2ant1 1130 . . . 4 ((𝜑𝑤𝑉 ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐿‘{𝐹}))
28 hdmap1l6i.xn . . . . 5 (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
29283ad2ant1 1130 . . . 4 ((𝜑𝑤𝑉 ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
30 hdmap1l6i.yz . . . . 5 (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) = (𝑁‘{𝑍}))
31303ad2ant1 1130 . . . 4 ((𝜑𝑤𝑉 ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) → (𝑁‘{𝑌}) = (𝑁‘{𝑍}))
3283ad2ant1 1130 . . . 4 ((𝜑𝑤𝑉 ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
33 hdmap1l6i.z . . . . 5 (𝜑𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
34333ad2ant1 1130 . . . 4 ((𝜑𝑤𝑉 ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) → 𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
35 eqid 2726 . . . . 5 (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
361, 2, 5dvhlmod 40809 . . . . . 6 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
37363ad2ant1 1130 . . . . 5 ((𝜑𝑤𝑉 ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) → 𝑈 ∈ LMod)
383, 35, 4, 36, 7, 9lspprcl 20955 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
39383ad2ant1 1130 . . . . 5 ((𝜑𝑤𝑉 ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
40 simp2 1134 . . . . 5 ((𝜑𝑤𝑉 ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) → 𝑤𝑉)
41 simp3 1135 . . . . 5 ((𝜑𝑤𝑉 ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) → ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
4213, 35, 37, 39, 40, 41lssneln0 20930 . . . 4 ((𝜑𝑤𝑉 ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) → 𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
431, 2, 3, 11, 12, 13, 4, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 24, 25, 27, 29, 31, 32, 34, 42, 41hdmap1l6h 41516 . . 3 ((𝜑𝑤𝑉 ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, (𝑌 + 𝑍)⟩) = ((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩)))
4443rexlimdv3a 3149 . 2 (𝜑 → (∃𝑤𝑉 ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, (𝑌 + 𝑍)⟩) = ((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩))))
4510, 44mpd 15 1 (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, (𝑌 + 𝑍)⟩) = ((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 394  w3a 1084   = wceq 1534  wcel 2099  wrex 3060  cdif 3944  {csn 4633  {cpr 4635  cotp 4641  cfv 6554  (class class class)co 7424  Basecbs 17213  +gcplusg 17266  0gc0g 17454  -gcsg 18930  LModclmod 20836  LSubSpclss 20908  LSpanclspn 20948  HLchlt 39048  LHypclh 39683  DVecHcdvh 40777  LCDualclcd 41285  mapdcmpd 41323  HDMap1chdma1 41490
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5290  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235  ax-riotaBAD 38651
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-tp 4638  df-op 4640  df-ot 4642  df-uni 4914  df-int 4955  df-iun 5003  df-iin 5004  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-of 7690  df-om 7877  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-tpos 8241  df-undef 8288  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-rdg 8440  df-1o 8496  df-2o 8497  df-er 8734  df-map 8857  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-n0 12525  df-z 12611  df-uz 12875  df-fz 13539  df-struct 17149  df-sets 17166  df-slot 17184  df-ndx 17196  df-base 17214  df-ress 17243  df-plusg 17279  df-mulr 17280  df-sca 17282  df-vsca 17283  df-0g 17456  df-mre 17599  df-mrc 17600  df-acs 17602  df-proset 18320  df-poset 18338  df-plt 18355  df-lub 18371  df-glb 18372  df-join 18373  df-meet 18374  df-p0 18450  df-p1 18451  df-lat 18457  df-clat 18524  df-mgm 18633  df-sgrp 18712  df-mnd 18728  df-submnd 18774  df-grp 18931  df-minusg 18932  df-sbg 18933  df-subg 19117  df-cntz 19311  df-oppg 19340  df-lsm 19634  df-cmn 19780  df-abl 19781  df-mgp 20118  df-rng 20136  df-ur 20165  df-ring 20218  df-oppr 20316  df-dvdsr 20339  df-unit 20340  df-invr 20370  df-dvr 20383  df-nzr 20495  df-rlreg 20672  df-domn 20673  df-drng 20709  df-lmod 20838  df-lss 20909  df-lsp 20949  df-lvec 21081  df-lsatoms 38674  df-lshyp 38675  df-lcv 38717  df-lfl 38756  df-lkr 38784  df-ldual 38822  df-oposet 38874  df-ol 38876  df-oml 38877  df-covers 38964  df-ats 38965  df-atl 38996  df-cvlat 39020  df-hlat 39049  df-llines 39197  df-lplanes 39198  df-lvols 39199  df-lines 39200  df-psubsp 39202  df-pmap 39203  df-padd 39495  df-lhyp 39687  df-laut 39688  df-ldil 39803  df-ltrn 39804  df-trl 39858  df-tgrp 40442  df-tendo 40454  df-edring 40456  df-dveca 40702  df-disoa 40728  df-dvech 40778  df-dib 40838  df-dic 40872  df-dih 40928  df-doch 41047  df-djh 41094  df-lcdual 41286  df-mapd 41324  df-hdmap1 41492
This theorem is referenced by:  hdmap1l6j  41518
  Copyright terms: Public domain W3C validator