Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdh6iN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mapdh6iN 39754
Description: Lemmma for mapdh6N 39757. Eliminate auxiliary vector 𝑤. (Contributed by NM, 1-May-2015.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdh.q 𝑄 = (0g𝐶)
mapdh.i 𝐼 = (𝑥 ∈ V ↦ if((2nd𝑥) = 0 , 𝑄, (𝐷 ((𝑀‘(𝑁‘{(2nd𝑥)})) = (𝐽‘{}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{((1st ‘(1st𝑥)) (2nd𝑥))})) = (𝐽‘{((2nd ‘(1st𝑥))𝑅)})))))
mapdh.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdh.m 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapdh.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapdh.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
mapdh.s = (-g𝑈)
mapdhc.o 0 = (0g𝑈)
mapdh.n 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
mapdh.c 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
mapdh.d 𝐷 = (Base‘𝐶)
mapdh.r 𝑅 = (-g𝐶)
mapdh.j 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
mapdh.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
mapdhc.f (𝜑𝐹𝐷)
mapdh.mn (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐹}))
mapdhcl.x (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdh.p + = (+g𝑈)
mapdh.a = (+g𝐶)
mapdh6i.xn (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
mapdh6i.y (𝜑𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdh6i.z (𝜑𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdh6i.yz (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) = (𝑁‘{𝑍}))
Assertion
Ref Expression
mapdh6iN (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, (𝑌 + 𝑍)⟩) = ((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐷,   ,𝐹,𝑥   𝑥,𝐽   𝑥,𝑀   𝑥,𝑁   𝑥, 0   𝑥,𝑄   𝑥,𝑅   𝑥,   ,𝑋,𝑥   ,𝑌,𝑥   𝜑,   0 ,   𝐶,   𝐷,   ,𝐽   ,𝑀   ,𝑁   𝑅,   𝑈,   ,   ,𝑍,𝑥   ,   ,𝐼,𝑥   + ,,𝑥   ,𝑉
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐶(𝑥)   (𝑥)   𝑄()   𝑈(𝑥)   𝐻(𝑥,)   𝐾(𝑥,)   𝑉(𝑥)   𝑊(𝑥,)

Proof of Theorem mapdh6iN
Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mapdh.h . . 3 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 mapdh.u . . 3 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3 mapdh.v . . 3 𝑉 = (Base‘𝑈)
4 mapdh.n . . 3 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
5 mapdh.k . . 3 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
6 mapdhcl.x . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
76eldifad 3904 . . 3 (𝜑𝑋𝑉)
8 mapdh6i.y . . . 4 (𝜑𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
98eldifad 3904 . . 3 (𝜑𝑌𝑉)
101, 2, 3, 4, 5, 7, 9dvh3dim 39456 . 2 (𝜑 → ∃𝑤𝑉 ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
11 mapdh.q . . . 4 𝑄 = (0g𝐶)
12 mapdh.i . . . 4 𝐼 = (𝑥 ∈ V ↦ if((2nd𝑥) = 0 , 𝑄, (𝐷 ((𝑀‘(𝑁‘{(2nd𝑥)})) = (𝐽‘{}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{((1st ‘(1st𝑥)) (2nd𝑥))})) = (𝐽‘{((2nd ‘(1st𝑥))𝑅)})))))
13 mapdh.m . . . 4 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
14 mapdh.s . . . 4 = (-g𝑈)
15 mapdhc.o . . . 4 0 = (0g𝑈)
16 mapdh.c . . . 4 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
17 mapdh.d . . . 4 𝐷 = (Base‘𝐶)
18 mapdh.r . . . 4 𝑅 = (-g𝐶)
19 mapdh.j . . . 4 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
2053ad2ant1 1132 . . . 4 ((𝜑𝑤𝑉 ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
21 mapdhc.f . . . . 5 (𝜑𝐹𝐷)
22213ad2ant1 1132 . . . 4 ((𝜑𝑤𝑉 ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) → 𝐹𝐷)
23 mapdh.mn . . . . 5 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐹}))
24233ad2ant1 1132 . . . 4 ((𝜑𝑤𝑉 ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐹}))
2563ad2ant1 1132 . . . 4 ((𝜑𝑤𝑉 ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
26 mapdh.p . . . 4 + = (+g𝑈)
27 mapdh.a . . . 4 = (+g𝐶)
28 mapdh6i.xn . . . . 5 (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
29283ad2ant1 1132 . . . 4 ((𝜑𝑤𝑉 ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
30 mapdh6i.yz . . . . 5 (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) = (𝑁‘{𝑍}))
31303ad2ant1 1132 . . . 4 ((𝜑𝑤𝑉 ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) → (𝑁‘{𝑌}) = (𝑁‘{𝑍}))
3283ad2ant1 1132 . . . 4 ((𝜑𝑤𝑉 ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
33 mapdh6i.z . . . . 5 (𝜑𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
34333ad2ant1 1132 . . . 4 ((𝜑𝑤𝑉 ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) → 𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
35 eqid 2740 . . . . 5 (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
361, 2, 5dvhlmod 39120 . . . . . 6 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
37363ad2ant1 1132 . . . . 5 ((𝜑𝑤𝑉 ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) → 𝑈 ∈ LMod)
383, 35, 4, 36, 7, 9lspprcl 20238 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
39383ad2ant1 1132 . . . . 5 ((𝜑𝑤𝑉 ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
40 simp2 1136 . . . . 5 ((𝜑𝑤𝑉 ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) → 𝑤𝑉)
41 simp3 1137 . . . . 5 ((𝜑𝑤𝑉 ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) → ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
4215, 35, 37, 39, 40, 41lssneln0 20212 . . . 4 ((𝜑𝑤𝑉 ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) → 𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
4311, 12, 1, 13, 2, 3, 14, 15, 4, 16, 17, 18, 19, 20, 22, 24, 25, 26, 27, 29, 31, 32, 34, 42, 41mapdh6hN 39753 . . 3 ((𝜑𝑤𝑉 ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, (𝑌 + 𝑍)⟩) = ((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩)))
4443rexlimdv3a 3217 . 2 (𝜑 → (∃𝑤𝑉 ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, (𝑌 + 𝑍)⟩) = ((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩))))
4510, 44mpd 15 1 (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, (𝑌 + 𝑍)⟩) = ((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396  w3a 1086   = wceq 1542  wcel 2110  wrex 3067  Vcvv 3431  cdif 3889  ifcif 4465  {csn 4567  {cpr 4569  cotp 4575  cmpt 5162  cfv 6432  crio 7227  (class class class)co 7271  1st c1st 7822  2nd c2nd 7823  Basecbs 16910  +gcplusg 16960  0gc0g 17148  -gcsg 18577  LModclmod 20121  LSubSpclss 20191  LSpanclspn 20231  HLchlt 37360  LHypclh 37994  DVecHcdvh 39088  LCDualclcd 39596  mapdcmpd 39634
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-rep 5214  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7582  ax-cnex 10928  ax-resscn 10929  ax-1cn 10930  ax-icn 10931  ax-addcl 10932  ax-addrcl 10933  ax-mulcl 10934  ax-mulrcl 10935  ax-mulcom 10936  ax-addass 10937  ax-mulass 10938  ax-distr 10939  ax-i2m1 10940  ax-1ne0 10941  ax-1rid 10942  ax-rnegex 10943  ax-rrecex 10944  ax-cnre 10945  ax-pre-lttri 10946  ax-pre-lttrn 10947  ax-pre-ltadd 10948  ax-pre-mulgt0 10949  ax-riotaBAD 36963
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rmo 3074  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-ot 4576  df-uni 4846  df-int 4886  df-iun 4932  df-iin 4933  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6201  df-ord 6268  df-on 6269  df-lim 6270  df-suc 6271  df-iota 6390  df-fun 6434  df-fn 6435  df-f 6436  df-f1 6437  df-fo 6438  df-f1o 6439  df-fv 6440  df-riota 7228  df-ov 7274  df-oprab 7275  df-mpo 7276  df-of 7527  df-om 7707  df-1st 7824  df-2nd 7825  df-tpos 8033  df-undef 8080  df-frecs 8088  df-wrecs 8119  df-recs 8193  df-rdg 8232  df-1o 8288  df-er 8481  df-map 8600  df-en 8717  df-dom 8718  df-sdom 8719  df-fin 8720  df-pnf 11012  df-mnf 11013  df-xr 11014  df-ltxr 11015  df-le 11016  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12582  df-fz 13239  df-struct 16846  df-sets 16863  df-slot 16881  df-ndx 16893  df-base 16911  df-ress 16940  df-plusg 16973  df-mulr 16974  df-sca 16976  df-vsca 16977  df-0g 17150  df-mre 17293  df-mrc 17294  df-acs 17296  df-proset 18011  df-poset 18029  df-plt 18046  df-lub 18062  df-glb 18063  df-join 18064  df-meet 18065  df-p0 18141  df-p1 18142  df-lat 18148  df-clat 18215  df-mgm 18324  df-sgrp 18373  df-mnd 18384  df-submnd 18429  df-grp 18578  df-minusg 18579  df-sbg 18580  df-subg 18750  df-cntz 18921  df-oppg 18948  df-lsm 19239  df-cmn 19386  df-abl 19387  df-mgp 19719  df-ur 19736  df-ring 19783  df-oppr 19860  df-dvdsr 19881  df-unit 19882  df-invr 19912  df-dvr 19923  df-drng 19991  df-lmod 20123  df-lss 20192  df-lsp 20232  df-lvec 20363  df-lsatoms 36986  df-lshyp 36987  df-lcv 37029  df-lfl 37068  df-lkr 37096  df-ldual 37134  df-oposet 37186  df-ol 37188  df-oml 37189  df-covers 37276  df-ats 37277  df-atl 37308  df-cvlat 37332  df-hlat 37361  df-llines 37508  df-lplanes 37509  df-lvols 37510  df-lines 37511  df-psubsp 37513  df-pmap 37514  df-padd 37806  df-lhyp 37998  df-laut 37999  df-ldil 38114  df-ltrn 38115  df-trl 38169  df-tgrp 38753  df-tendo 38765  df-edring 38767  df-dveca 39013  df-disoa 39039  df-dvech 39089  df-dib 39149  df-dic 39183  df-dih 39239  df-doch 39358  df-djh 39405  df-lcdual 39597  df-mapd 39635
This theorem is referenced by:  mapdh6jN  39755
  Copyright terms: Public domain W3C validator