Theorem mapdh8ad 40242

Description: Part of Part (8) in [Baer] p. 48. (Contributed by NM, 13-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mapdh8a.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdh8a.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapdh8a.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
mapdh8a.s	⊢ − = (-g‘𝑈)
mapdh8a.o	⊢ 0 = (0g‘𝑈)
mapdh8a.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
mapdh8a.c	⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
mapdh8a.d	⊢ 𝐷 = (Base‘𝐶)
mapdh8a.r	⊢ 𝑅 = (-g‘𝐶)
mapdh8a.q	⊢ 𝑄 = (0g‘𝐶)
mapdh8a.j	⊢ 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
mapdh8a.m	⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapdh8a.i	⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ V ↦ if((2nd ‘𝑥) = 0 , 𝑄, (℩ℎ ∈ 𝐷 ((𝑀‘(𝑁‘{(2nd ‘𝑥)})) = (𝐽‘{ℎ}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{((1st ‘(1st ‘𝑥)) − (2nd ‘𝑥))})) = (𝐽‘{((2nd ‘(1st ‘𝑥))𝑅ℎ)})))))
mapdh8a.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
mapdh8ac.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐷)
mapdh8ac.mn	⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐹}))
mapdh8ac.eg	⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) = 𝐺)
mapdh8ac.ee	⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩) = 𝐸)
mapdh8ac.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdh8ac.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdh8ac.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdh8ac.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdh8ac.yn	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑇}))
mapdh8ad.xy	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
mapdh8ad.xz	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))

Assertion

Ref	Expression
mapdh8ad	⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑌, 𝐺, 𝑇⟩) = (𝐼‘⟨𝑍, 𝐸, 𝑇⟩))

Distinct variable groups:   𝑥,ℎ, −   0 ,ℎ,𝑥   𝐶,ℎ   𝐷,ℎ,𝑥   ℎ,𝐹,𝑥   ℎ,𝐼   ℎ,𝐺,𝑥   ℎ,𝐽,𝑥   ℎ,𝑀,𝑥   ℎ,𝑁,𝑥   𝜑,ℎ   𝑅,ℎ,𝑥   𝑥,𝑄   𝑇,ℎ,𝑥   𝑈,ℎ   ℎ,𝑋,𝑥   ℎ,𝑌,𝑥   ℎ,𝐸,𝑥   ℎ,𝑍,𝑥   𝑥,𝐼   ℎ,𝑉

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝑄(ℎ)   𝑈(𝑥)   𝐻(𝑥,ℎ)   𝐾(𝑥,ℎ)   𝑉(𝑥)   𝑊(𝑥,ℎ)

Proof of Theorem mapdh8ad

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mapdh8a.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		mapdh8a.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3		mapdh8a.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
4		mapdh8a.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
5		mapdh8a.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
6		mapdh8ac.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
7	6	eldifad 3922	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
8		mapdh8ac.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
9	8	eldifad 3922	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
10		mapdh8ac.z	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
11	10	eldifad 3922	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)
12	1, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 11	dvh3dim2 39911	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑤 ∈ 𝑉 (¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})))
13		mapdh8a.s	. . . 4 ⊢ − = (-g‘𝑈)
14		mapdh8a.o	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑈)
15		mapdh8a.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
16		mapdh8a.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (Base‘𝐶)
17		mapdh8a.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = (-g‘𝐶)
18		mapdh8a.q	. . . 4 ⊢ 𝑄 = (0g‘𝐶)
19		mapdh8a.j	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
20		mapdh8a.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
21		mapdh8a.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ V ↦ if((2nd ‘𝑥) = 0 , 𝑄, (℩ℎ ∈ 𝐷 ((𝑀‘(𝑁‘{(2nd ‘𝑥)})) = (𝐽‘{ℎ}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{((1st ‘(1st ‘𝑥)) − (2nd ‘𝑥))})) = (𝐽‘{((2nd ‘(1st ‘𝑥))𝑅ℎ)})))))
22	5	3ad2ant1 1133	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ (¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
23		mapdh8ac.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐷)
24	23	3ad2ant1 1133	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ (¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))) → 𝐹 ∈ 𝐷)
25		mapdh8ac.mn	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐹}))
26	25	3ad2ant1 1133	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ (¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))) → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐹}))
27		mapdh8ac.eg	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) = 𝐺)
28	27	3ad2ant1 1133	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ (¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))) → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) = 𝐺)
29		mapdh8ac.ee	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩) = 𝐸)
30	29	3ad2ant1 1133	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ (¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))) → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩) = 𝐸)
31	6	3ad2ant1 1133	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ (¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))) → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
32	8	3ad2ant1 1133	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ (¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))) → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
33	10	3ad2ant1 1133	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ (¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))) → 𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
34		mapdh8ac.t	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
35	34	3ad2ant1 1133	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ (¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))) → 𝑇 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
36		mapdh8ac.yn	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑇}))
37	36	3ad2ant1 1133	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ (¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))) → (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑇}))
38		eqidd 2737	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ (¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))) → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑤⟩) = (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑤⟩))
39		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
40	1, 2, 5	dvhlmod 39573	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
41	40	3ad2ant1 1133	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ (¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))) → 𝑈 ∈ LMod)
42	3, 39, 4, 40, 7, 9	lspprcl 20439	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
43	42	3ad2ant1 1133	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ (¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))) → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
44		simp2 1137	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ (¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))) → 𝑤 ∈ 𝑉)
45		simp3l 1201	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ (¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))) → ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
46	14, 39, 41, 43, 44, 45	lssneln0 20413	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ (¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))) → 𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
47	1, 2, 5	dvhlvec 39572	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LVec)
48	47	3ad2ant1 1133	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ (¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))) → 𝑈 ∈ LVec)
49	7	3ad2ant1 1133	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ (¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))) → 𝑋 ∈ 𝑉)
50	9	3ad2ant1 1133	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ (¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))) → 𝑌 ∈ 𝑉)
51	3, 4, 48, 44, 49, 50, 45	lspindpi 20593	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ (¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))) → ((𝑁‘{𝑤}) ≠ (𝑁‘{𝑋}) ∧ (𝑁‘{𝑤}) ≠ (𝑁‘{𝑌})))
52	51	simprd 496	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ (¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))) → (𝑁‘{𝑤}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
53	52	necomd 2999	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ (¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))) → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑤}))
54		simpl1 1191	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ (¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))) ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑤})) → 𝜑)
55	54, 47	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ (¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))) ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑤})) → 𝑈 ∈ LVec)
56	54, 6	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ (¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))) ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑤})) → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
57		simpl2 1192	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ (¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))) ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑤})) → 𝑤 ∈ 𝑉)
58	54, 9	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ (¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))) ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑤})) → 𝑌 ∈ 𝑉)
59		mapdh8ad.xy	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
60	54, 59	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ (¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))) ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑤})) → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
61		simpr 485	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ (¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))) ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑤})) → 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑤}))
62		prcom 4693	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑌, 𝑤} = {𝑤, 𝑌}
63	62	fveq2i 6845	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁‘{𝑌, 𝑤}) = (𝑁‘{𝑤, 𝑌})
64	61, 63	eleqtrdi 2848	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ (¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))) ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑤})) → 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑤, 𝑌}))
65	3, 14, 4, 55, 56, 57, 58, 60, 64	lspexch 20590	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ (¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))) ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑤})) → 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
66	45, 65	mtand 814	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ (¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))) → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑤}))
67	11	3ad2ant1 1133	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ (¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))) → 𝑍 ∈ 𝑉)
68		simp3r 1202	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ (¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))) → ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))
69	3, 4, 48, 44, 49, 67, 68	lspindpi 20593	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ (¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))) → ((𝑁‘{𝑤}) ≠ (𝑁‘{𝑋}) ∧ (𝑁‘{𝑤}) ≠ (𝑁‘{𝑍})))
70	69	simprd 496	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ (¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))) → (𝑁‘{𝑤}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))
71		simpl1 1191	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ (¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))) ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑤, 𝑍})) → 𝜑)
72	71, 47	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ (¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))) ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑤, 𝑍})) → 𝑈 ∈ LVec)
73	71, 6	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ (¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))) ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑤, 𝑍})) → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
74		simpl2 1192	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ (¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))) ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑤, 𝑍})) → 𝑤 ∈ 𝑉)
75	71, 11	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ (¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))) ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑤, 𝑍})) → 𝑍 ∈ 𝑉)
76		mapdh8ad.xz	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))
77	71, 76	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ (¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))) ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑤, 𝑍})) → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))
78		simpr 485	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ (¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))) ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑤, 𝑍})) → 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑤, 𝑍}))
79	3, 14, 4, 72, 73, 74, 75, 77, 78	lspexch 20590	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ (¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))) ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑤, 𝑍})) → 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))
80	68, 79	mtand 814	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ (¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))) → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑤, 𝑍}))
81	1, 2, 3, 13, 14, 4, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 24, 26, 28, 30, 31, 32, 33, 35, 37, 38, 46, 53, 66, 70, 80	mapdh8ac 40241	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ (¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))) → (𝐼‘⟨𝑌, 𝐺, 𝑇⟩) = (𝐼‘⟨𝑍, 𝐸, 𝑇⟩))
82	81	rexlimdv3a 3156	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑤 ∈ 𝑉 (¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})) → (𝐼‘⟨𝑌, 𝐺, 𝑇⟩) = (𝐼‘⟨𝑍, 𝐸, 𝑇⟩)))
83	12, 82	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑌, 𝐺, 𝑇⟩) = (𝐼‘⟨𝑍, 𝐸, 𝑇⟩))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  ∃wrex 3073  Vcvv 3445   ∖ cdif 3907  ifcif 4486  {csn 4586  {cpr 4588  ⟨cotp 4594   ↦ cmpt 5188  ‘cfv 6496  ℩crio 7312  (class class class)co 7357  1^st c1st 7919  2^nd c2nd 7920  Basecbs 17083  0_gc0g 17321  -_gcsg 18750  LModclmod 20322  LSubSpclss 20392  LSpanclspn 20432  LVecclvec 20563  HLchlt 37812  LHypclh 38447  DVecHcdvh 39541  LCDualclcd 40049  mapdcmpd 40087

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-riotaBAD 37415

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-ot 4595  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-tpos 8157  df-undef 8204  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-map 8767  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-fz 13425  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-0g 17323  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-proset 18184  df-poset 18202  df-plt 18219  df-lub 18235  df-glb 18236  df-join 18237  df-meet 18238  df-p0 18314  df-p1 18315  df-lat 18321  df-clat 18388  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-submnd 18602  df-grp 18751  df-minusg 18752  df-sbg 18753  df-subg 18925  df-cntz 19097  df-oppg 19124  df-lsm 19418  df-cmn 19564  df-abl 19565  df-mgp 19897  df-ur 19914  df-ring 19966  df-oppr 20049  df-dvdsr 20070  df-unit 20071  df-invr 20101  df-dvr 20112  df-drng 20187  df-lmod 20324  df-lss 20393  df-lsp 20433  df-lvec 20564  df-lsatoms 37438  df-lshyp 37439  df-lcv 37481  df-lfl 37520  df-lkr 37548  df-ldual 37586  df-oposet 37638  df-ol 37640  df-oml 37641  df-covers 37728  df-ats 37729  df-atl 37760  df-cvlat 37784  df-hlat 37813  df-llines 37961  df-lplanes 37962  df-lvols 37963  df-lines 37964  df-psubsp 37966  df-pmap 37967  df-padd 38259  df-lhyp 38451  df-laut 38452  df-ldil 38567  df-ltrn 38568  df-trl 38622  df-tgrp 39206  df-tendo 39218  df-edring 39220  df-dveca 39466  df-disoa 39492  df-dvech 39542  df-dib 39602  df-dic 39636  df-dih 39692  df-doch 39811  df-djh 39858  df-lcdual 40050  df-mapd 40088

This theorem is referenced by:  mapdh8j  40250