Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdh8ad Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mapdh8ad 41762
Description: Part of Part (8) in [Baer] p. 48. (Contributed by NM, 13-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdh8a.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdh8a.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapdh8a.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
mapdh8a.s = (-g𝑈)
mapdh8a.o 0 = (0g𝑈)
mapdh8a.n 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
mapdh8a.c 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
mapdh8a.d 𝐷 = (Base‘𝐶)
mapdh8a.r 𝑅 = (-g𝐶)
mapdh8a.q 𝑄 = (0g𝐶)
mapdh8a.j 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
mapdh8a.m 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapdh8a.i 𝐼 = (𝑥 ∈ V ↦ if((2nd𝑥) = 0 , 𝑄, (𝐷 ((𝑀‘(𝑁‘{(2nd𝑥)})) = (𝐽‘{}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{((1st ‘(1st𝑥)) (2nd𝑥))})) = (𝐽‘{((2nd ‘(1st𝑥))𝑅)})))))
mapdh8a.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
mapdh8ac.f (𝜑𝐹𝐷)
mapdh8ac.mn (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐹}))
mapdh8ac.eg (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) = 𝐺)
mapdh8ac.ee (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩) = 𝐸)
mapdh8ac.x (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdh8ac.y (𝜑𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdh8ac.z (𝜑𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdh8ac.t (𝜑𝑇 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdh8ac.yn (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑇}))
mapdh8ad.xy (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
mapdh8ad.xz (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))
Assertion
Ref Expression
mapdh8ad (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑌, 𝐺, 𝑇⟩) = (𝐼‘⟨𝑍, 𝐸, 𝑇⟩))
Distinct variable groups:   𝑥,,   0 ,,𝑥   𝐶,   𝐷,,𝑥   ,𝐹,𝑥   ,𝐼   ,𝐺,𝑥   ,𝐽,𝑥   ,𝑀,𝑥   ,𝑁,𝑥   𝜑,   𝑅,,𝑥   𝑥,𝑄   𝑇,,𝑥   𝑈,   ,𝑋,𝑥   ,𝑌,𝑥   ,𝐸,𝑥   ,𝑍,𝑥   𝑥,𝐼   ,𝑉
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝑄()   𝑈(𝑥)   𝐻(𝑥,)   𝐾(𝑥,)   𝑉(𝑥)   𝑊(𝑥,)

Proof of Theorem mapdh8ad
Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mapdh8a.h . . 3 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 mapdh8a.u . . 3 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3 mapdh8a.v . . 3 𝑉 = (Base‘𝑈)
4 mapdh8a.n . . 3 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
5 mapdh8a.k . . 3 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
6 mapdh8ac.x . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
76eldifad 3975 . . 3 (𝜑𝑋𝑉)
8 mapdh8ac.y . . . 4 (𝜑𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
98eldifad 3975 . . 3 (𝜑𝑌𝑉)
10 mapdh8ac.z . . . 4 (𝜑𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
1110eldifad 3975 . . 3 (𝜑𝑍𝑉)
121, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 11dvh3dim2 41431 . 2 (𝜑 → ∃𝑤𝑉𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})))
13 mapdh8a.s . . . 4 = (-g𝑈)
14 mapdh8a.o . . . 4 0 = (0g𝑈)
15 mapdh8a.c . . . 4 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
16 mapdh8a.d . . . 4 𝐷 = (Base‘𝐶)
17 mapdh8a.r . . . 4 𝑅 = (-g𝐶)
18 mapdh8a.q . . . 4 𝑄 = (0g𝐶)
19 mapdh8a.j . . . 4 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
20 mapdh8a.m . . . 4 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
21 mapdh8a.i . . . 4 𝐼 = (𝑥 ∈ V ↦ if((2nd𝑥) = 0 , 𝑄, (𝐷 ((𝑀‘(𝑁‘{(2nd𝑥)})) = (𝐽‘{}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{((1st ‘(1st𝑥)) (2nd𝑥))})) = (𝐽‘{((2nd ‘(1st𝑥))𝑅)})))))
2253ad2ant1 1132 . . . 4 ((𝜑𝑤𝑉 ∧ (¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
23 mapdh8ac.f . . . . 5 (𝜑𝐹𝐷)
24233ad2ant1 1132 . . . 4 ((𝜑𝑤𝑉 ∧ (¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))) → 𝐹𝐷)
25 mapdh8ac.mn . . . . 5 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐹}))
26253ad2ant1 1132 . . . 4 ((𝜑𝑤𝑉 ∧ (¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))) → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐹}))
27 mapdh8ac.eg . . . . 5 (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) = 𝐺)
28273ad2ant1 1132 . . . 4 ((𝜑𝑤𝑉 ∧ (¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))) → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) = 𝐺)
29 mapdh8ac.ee . . . . 5 (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩) = 𝐸)
30293ad2ant1 1132 . . . 4 ((𝜑𝑤𝑉 ∧ (¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))) → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩) = 𝐸)
3163ad2ant1 1132 . . . 4 ((𝜑𝑤𝑉 ∧ (¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))) → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
3283ad2ant1 1132 . . . 4 ((𝜑𝑤𝑉 ∧ (¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))) → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
33103ad2ant1 1132 . . . 4 ((𝜑𝑤𝑉 ∧ (¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))) → 𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
34 mapdh8ac.t . . . . 5 (𝜑𝑇 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
35343ad2ant1 1132 . . . 4 ((𝜑𝑤𝑉 ∧ (¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))) → 𝑇 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
36 mapdh8ac.yn . . . . 5 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑇}))
37363ad2ant1 1132 . . . 4 ((𝜑𝑤𝑉 ∧ (¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))) → (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑇}))
38 eqidd 2736 . . . 4 ((𝜑𝑤𝑉 ∧ (¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))) → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑤⟩) = (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑤⟩))
39 eqid 2735 . . . . 5 (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
401, 2, 5dvhlmod 41093 . . . . . 6 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
41403ad2ant1 1132 . . . . 5 ((𝜑𝑤𝑉 ∧ (¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))) → 𝑈 ∈ LMod)
423, 39, 4, 40, 7, 9lspprcl 20994 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
43423ad2ant1 1132 . . . . 5 ((𝜑𝑤𝑉 ∧ (¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))) → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
44 simp2 1136 . . . . 5 ((𝜑𝑤𝑉 ∧ (¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))) → 𝑤𝑉)
45 simp3l 1200 . . . . 5 ((𝜑𝑤𝑉 ∧ (¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))) → ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
4614, 39, 41, 43, 44, 45lssneln0 20969 . . . 4 ((𝜑𝑤𝑉 ∧ (¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))) → 𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
471, 2, 5dvhlvec 41092 . . . . . . . 8 (𝜑𝑈 ∈ LVec)
48473ad2ant1 1132 . . . . . . 7 ((𝜑𝑤𝑉 ∧ (¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))) → 𝑈 ∈ LVec)
4973ad2ant1 1132 . . . . . . 7 ((𝜑𝑤𝑉 ∧ (¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))) → 𝑋𝑉)
5093ad2ant1 1132 . . . . . . 7 ((𝜑𝑤𝑉 ∧ (¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))) → 𝑌𝑉)
513, 4, 48, 44, 49, 50, 45lspindpi 21152 . . . . . 6 ((𝜑𝑤𝑉 ∧ (¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))) → ((𝑁‘{𝑤}) ≠ (𝑁‘{𝑋}) ∧ (𝑁‘{𝑤}) ≠ (𝑁‘{𝑌})))
5251simprd 495 . . . . 5 ((𝜑𝑤𝑉 ∧ (¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))) → (𝑁‘{𝑤}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
5352necomd 2994 . . . 4 ((𝜑𝑤𝑉 ∧ (¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))) → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑤}))
54 simpl1 1190 . . . . . . 7 (((𝜑𝑤𝑉 ∧ (¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))) ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑤})) → 𝜑)
5554, 47syl 17 . . . . . 6 (((𝜑𝑤𝑉 ∧ (¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))) ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑤})) → 𝑈 ∈ LVec)
5654, 6syl 17 . . . . . 6 (((𝜑𝑤𝑉 ∧ (¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))) ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑤})) → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
57 simpl2 1191 . . . . . 6 (((𝜑𝑤𝑉 ∧ (¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))) ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑤})) → 𝑤𝑉)
5854, 9syl 17 . . . . . 6 (((𝜑𝑤𝑉 ∧ (¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))) ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑤})) → 𝑌𝑉)
59 mapdh8ad.xy . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
6054, 59syl 17 . . . . . 6 (((𝜑𝑤𝑉 ∧ (¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))) ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑤})) → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
61 simpr 484 . . . . . . 7 (((𝜑𝑤𝑉 ∧ (¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))) ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑤})) → 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑤}))
62 prcom 4737 . . . . . . . 8 {𝑌, 𝑤} = {𝑤, 𝑌}
6362fveq2i 6910 . . . . . . 7 (𝑁‘{𝑌, 𝑤}) = (𝑁‘{𝑤, 𝑌})
6461, 63eleqtrdi 2849 . . . . . 6 (((𝜑𝑤𝑉 ∧ (¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))) ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑤})) → 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑤, 𝑌}))
653, 14, 4, 55, 56, 57, 58, 60, 64lspexch 21149 . . . . 5 (((𝜑𝑤𝑉 ∧ (¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))) ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑤})) → 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
6645, 65mtand 816 . . . 4 ((𝜑𝑤𝑉 ∧ (¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))) → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑤}))
67113ad2ant1 1132 . . . . . 6 ((𝜑𝑤𝑉 ∧ (¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))) → 𝑍𝑉)
68 simp3r 1201 . . . . . 6 ((𝜑𝑤𝑉 ∧ (¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))) → ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))
693, 4, 48, 44, 49, 67, 68lspindpi 21152 . . . . 5 ((𝜑𝑤𝑉 ∧ (¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))) → ((𝑁‘{𝑤}) ≠ (𝑁‘{𝑋}) ∧ (𝑁‘{𝑤}) ≠ (𝑁‘{𝑍})))
7069simprd 495 . . . 4 ((𝜑𝑤𝑉 ∧ (¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))) → (𝑁‘{𝑤}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))
71 simpl1 1190 . . . . . . 7 (((𝜑𝑤𝑉 ∧ (¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))) ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑤, 𝑍})) → 𝜑)
7271, 47syl 17 . . . . . 6 (((𝜑𝑤𝑉 ∧ (¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))) ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑤, 𝑍})) → 𝑈 ∈ LVec)
7371, 6syl 17 . . . . . 6 (((𝜑𝑤𝑉 ∧ (¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))) ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑤, 𝑍})) → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
74 simpl2 1191 . . . . . 6 (((𝜑𝑤𝑉 ∧ (¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))) ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑤, 𝑍})) → 𝑤𝑉)
7571, 11syl 17 . . . . . 6 (((𝜑𝑤𝑉 ∧ (¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))) ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑤, 𝑍})) → 𝑍𝑉)
76 mapdh8ad.xz . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))
7771, 76syl 17 . . . . . 6 (((𝜑𝑤𝑉 ∧ (¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))) ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑤, 𝑍})) → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))
78 simpr 484 . . . . . 6 (((𝜑𝑤𝑉 ∧ (¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))) ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑤, 𝑍})) → 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑤, 𝑍}))
793, 14, 4, 72, 73, 74, 75, 77, 78lspexch 21149 . . . . 5 (((𝜑𝑤𝑉 ∧ (¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))) ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑤, 𝑍})) → 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))
8068, 79mtand 816 . . . 4 ((𝜑𝑤𝑉 ∧ (¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))) → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑤, 𝑍}))
811, 2, 3, 13, 14, 4, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 24, 26, 28, 30, 31, 32, 33, 35, 37, 38, 46, 53, 66, 70, 80mapdh8ac 41761 . . 3 ((𝜑𝑤𝑉 ∧ (¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))) → (𝐼‘⟨𝑌, 𝐺, 𝑇⟩) = (𝐼‘⟨𝑍, 𝐸, 𝑇⟩))
8281rexlimdv3a 3157 . 2 (𝜑 → (∃𝑤𝑉𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})) → (𝐼‘⟨𝑌, 𝐺, 𝑇⟩) = (𝐼‘⟨𝑍, 𝐸, 𝑇⟩)))
8312, 82mpd 15 1 (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑌, 𝐺, 𝑇⟩) = (𝐼‘⟨𝑍, 𝐸, 𝑇⟩))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  wrex 3068  Vcvv 3478  cdif 3960  ifcif 4531  {csn 4631  {cpr 4633  cotp 4639  cmpt 5231  cfv 6563  crio 7387  (class class class)co 7431  1st c1st 8011  2nd c2nd 8012  Basecbs 17245  0gc0g 17486  -gcsg 18966  LModclmod 20875  LSubSpclss 20947  LSpanclspn 20987  LVecclvec 21119  HLchlt 39332  LHypclh 39967  DVecHcdvh 41061  LCDualclcd 41569  mapdcmpd 41607
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-riotaBAD 38935
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-ot 4640  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-tpos 8250  df-undef 8297  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-0g 17488  df-mre 17631  df-mrc 17632  df-acs 17634  df-proset 18352  df-poset 18371  df-plt 18388  df-lub 18404  df-glb 18405  df-join 18406  df-meet 18407  df-p0 18483  df-p1 18484  df-lat 18490  df-clat 18557  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-submnd 18810  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-sbg 18969  df-subg 19154  df-cntz 19348  df-oppg 19377  df-lsm 19669  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-rng 20171  df-ur 20200  df-ring 20253  df-oppr 20351  df-dvdsr 20374  df-unit 20375  df-invr 20405  df-dvr 20418  df-nzr 20530  df-rlreg 20711  df-domn 20712  df-drng 20748  df-lmod 20877  df-lss 20948  df-lsp 20988  df-lvec 21120  df-lsatoms 38958  df-lshyp 38959  df-lcv 39001  df-lfl 39040  df-lkr 39068  df-ldual 39106  df-oposet 39158  df-ol 39160  df-oml 39161  df-covers 39248  df-ats 39249  df-atl 39280  df-cvlat 39304  df-hlat 39333  df-llines 39481  df-lplanes 39482  df-lvols 39483  df-lines 39484  df-psubsp 39486  df-pmap 39487  df-padd 39779  df-lhyp 39971  df-laut 39972  df-ldil 40087  df-ltrn 40088  df-trl 40142  df-tgrp 40726  df-tendo 40738  df-edring 40740  df-dveca 40986  df-disoa 41012  df-dvech 41062  df-dib 41122  df-dic 41156  df-dih 41212  df-doch 41331  df-djh 41378  df-lcdual 41570  df-mapd 41608
This theorem is referenced by:  mapdh8j  41770
  Copyright terms: Public domain W3C validator