Theorem mapdh8ad 41153

Description: Part of Part (8) in [Baer] p. 48. (Contributed by NM, 13-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mapdh8a.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdh8a.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapdh8a.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
mapdh8a.s	⊢ − = (-g‘𝑈)
mapdh8a.o	⊢ 0 = (0g‘𝑈)
mapdh8a.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
mapdh8a.c	⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
mapdh8a.d	⊢ 𝐷 = (Base‘𝐶)
mapdh8a.r	⊢ 𝑅 = (-g‘𝐶)
mapdh8a.q	⊢ 𝑄 = (0g‘𝐶)
mapdh8a.j	⊢ 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
mapdh8a.m	⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapdh8a.i	⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ V ↦ if((2nd ‘𝑥) = 0 , 𝑄, (℩ℎ ∈ 𝐷 ((𝑀‘(𝑁‘{(2nd ‘𝑥)})) = (𝐽‘{ℎ}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{((1st ‘(1st ‘𝑥)) − (2nd ‘𝑥))})) = (𝐽‘{((2nd ‘(1st ‘𝑥))𝑅ℎ)})))))
mapdh8a.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
mapdh8ac.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐷)
mapdh8ac.mn	⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐹}))
mapdh8ac.eg	⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) = 𝐺)
mapdh8ac.ee	⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩) = 𝐸)
mapdh8ac.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdh8ac.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdh8ac.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdh8ac.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdh8ac.yn	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑇}))
mapdh8ad.xy	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
mapdh8ad.xz	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))

Assertion

Ref	Expression
mapdh8ad	⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑌, 𝐺, 𝑇⟩) = (𝐼‘⟨𝑍, 𝐸, 𝑇⟩))

Distinct variable groups:   𝑥,ℎ, −   0 ,ℎ,𝑥   𝐶,ℎ   𝐷,ℎ,𝑥   ℎ,𝐹,𝑥   ℎ,𝐼   ℎ,𝐺,𝑥   ℎ,𝐽,𝑥   ℎ,𝑀,𝑥   ℎ,𝑁,𝑥   𝜑,ℎ   𝑅,ℎ,𝑥   𝑥,𝑄   𝑇,ℎ,𝑥   𝑈,ℎ   ℎ,𝑋,𝑥   ℎ,𝑌,𝑥   ℎ,𝐸,𝑥   ℎ,𝑍,𝑥   𝑥,𝐼   ℎ,𝑉

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝑄(ℎ)   𝑈(𝑥)   𝐻(𝑥,ℎ)   𝐾(𝑥,ℎ)   𝑉(𝑥)   𝑊(𝑥,ℎ)

Proof of Theorem mapdh8ad

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mapdh8a.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		mapdh8a.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3		mapdh8a.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
4		mapdh8a.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
5		mapdh8a.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
6		mapdh8ac.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
7	6	eldifad 3953	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
8		mapdh8ac.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
9	8	eldifad 3953	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
10		mapdh8ac.z	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
11	10	eldifad 3953	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)
12	1, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 11	dvh3dim2 40822	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑤 ∈ 𝑉 (¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})))
13		mapdh8a.s	. . . 4 ⊢ − = (-g‘𝑈)
14		mapdh8a.o	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑈)
15		mapdh8a.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
16		mapdh8a.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (Base‘𝐶)
17		mapdh8a.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = (-g‘𝐶)
18		mapdh8a.q	. . . 4 ⊢ 𝑄 = (0g‘𝐶)
19		mapdh8a.j	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
20		mapdh8a.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
21		mapdh8a.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ V ↦ if((2nd ‘𝑥) = 0 , 𝑄, (℩ℎ ∈ 𝐷 ((𝑀‘(𝑁‘{(2nd ‘𝑥)})) = (𝐽‘{ℎ}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{((1st ‘(1st ‘𝑥)) − (2nd ‘𝑥))})) = (𝐽‘{((2nd ‘(1st ‘𝑥))𝑅ℎ)})))))
22	5	3ad2ant1 1130	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ (¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
23		mapdh8ac.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐷)
24	23	3ad2ant1 1130	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ (¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))) → 𝐹 ∈ 𝐷)
25		mapdh8ac.mn	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐹}))
26	25	3ad2ant1 1130	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ (¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))) → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐹}))
27		mapdh8ac.eg	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) = 𝐺)
28	27	3ad2ant1 1130	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ (¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))) → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) = 𝐺)
29		mapdh8ac.ee	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩) = 𝐸)
30	29	3ad2ant1 1130	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ (¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))) → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩) = 𝐸)
31	6	3ad2ant1 1130	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ (¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))) → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
32	8	3ad2ant1 1130	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ (¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))) → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
33	10	3ad2ant1 1130	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ (¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))) → 𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
34		mapdh8ac.t	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
35	34	3ad2ant1 1130	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ (¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))) → 𝑇 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
36		mapdh8ac.yn	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑇}))
37	36	3ad2ant1 1130	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ (¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))) → (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑇}))
38		eqidd 2725	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ (¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))) → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑤⟩) = (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑤⟩))
39		eqid 2724	. . . . 5 ⊢ (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
40	1, 2, 5	dvhlmod 40484	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
41	40	3ad2ant1 1130	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ (¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))) → 𝑈 ∈ LMod)
42	3, 39, 4, 40, 7, 9	lspprcl 20821	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
43	42	3ad2ant1 1130	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ (¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))) → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
44		simp2 1134	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ (¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))) → 𝑤 ∈ 𝑉)
45		simp3l 1198	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ (¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))) → ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
46	14, 39, 41, 43, 44, 45	lssneln0 20796	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ (¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))) → 𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
47	1, 2, 5	dvhlvec 40483	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LVec)
48	47	3ad2ant1 1130	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ (¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))) → 𝑈 ∈ LVec)
49	7	3ad2ant1 1130	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ (¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))) → 𝑋 ∈ 𝑉)
50	9	3ad2ant1 1130	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ (¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))) → 𝑌 ∈ 𝑉)
51	3, 4, 48, 44, 49, 50, 45	lspindpi 20979	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ (¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))) → ((𝑁‘{𝑤}) ≠ (𝑁‘{𝑋}) ∧ (𝑁‘{𝑤}) ≠ (𝑁‘{𝑌})))
52	51	simprd 495	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ (¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))) → (𝑁‘{𝑤}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
53	52	necomd 2988	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ (¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))) → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑤}))
54		simpl1 1188	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ (¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))) ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑤})) → 𝜑)
55	54, 47	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ (¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))) ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑤})) → 𝑈 ∈ LVec)
56	54, 6	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ (¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))) ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑤})) → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
57		simpl2 1189	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ (¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))) ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑤})) → 𝑤 ∈ 𝑉)
58	54, 9	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ (¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))) ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑤})) → 𝑌 ∈ 𝑉)
59		mapdh8ad.xy	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
60	54, 59	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ (¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))) ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑤})) → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
61		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ (¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))) ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑤})) → 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑤}))
62		prcom 4729	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑌, 𝑤} = {𝑤, 𝑌}
63	62	fveq2i 6885	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁‘{𝑌, 𝑤}) = (𝑁‘{𝑤, 𝑌})
64	61, 63	eleqtrdi 2835	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ (¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))) ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑤})) → 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑤, 𝑌}))
65	3, 14, 4, 55, 56, 57, 58, 60, 64	lspexch 20976	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ (¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))) ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑤})) → 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
66	45, 65	mtand 813	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ (¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))) → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑤}))
67	11	3ad2ant1 1130	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ (¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))) → 𝑍 ∈ 𝑉)
68		simp3r 1199	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ (¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))) → ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))
69	3, 4, 48, 44, 49, 67, 68	lspindpi 20979	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ (¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))) → ((𝑁‘{𝑤}) ≠ (𝑁‘{𝑋}) ∧ (𝑁‘{𝑤}) ≠ (𝑁‘{𝑍})))
70	69	simprd 495	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ (¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))) → (𝑁‘{𝑤}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))
71		simpl1 1188	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ (¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))) ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑤, 𝑍})) → 𝜑)
72	71, 47	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ (¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))) ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑤, 𝑍})) → 𝑈 ∈ LVec)
73	71, 6	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ (¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))) ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑤, 𝑍})) → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
74		simpl2 1189	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ (¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))) ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑤, 𝑍})) → 𝑤 ∈ 𝑉)
75	71, 11	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ (¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))) ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑤, 𝑍})) → 𝑍 ∈ 𝑉)
76		mapdh8ad.xz	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))
77	71, 76	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ (¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))) ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑤, 𝑍})) → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))
78		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ (¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))) ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑤, 𝑍})) → 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑤, 𝑍}))
79	3, 14, 4, 72, 73, 74, 75, 77, 78	lspexch 20976	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ (¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))) ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑤, 𝑍})) → 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))
80	68, 79	mtand 813	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ (¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))) → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑤, 𝑍}))
81	1, 2, 3, 13, 14, 4, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 24, 26, 28, 30, 31, 32, 33, 35, 37, 38, 46, 53, 66, 70, 80	mapdh8ac 41152	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ (¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))) → (𝐼‘⟨𝑌, 𝐺, 𝑇⟩) = (𝐼‘⟨𝑍, 𝐸, 𝑇⟩))
82	81	rexlimdv3a 3151	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑤 ∈ 𝑉 (¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})) → (𝐼‘⟨𝑌, 𝐺, 𝑇⟩) = (𝐼‘⟨𝑍, 𝐸, 𝑇⟩)))
83	12, 82	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑌, 𝐺, 𝑇⟩) = (𝐼‘⟨𝑍, 𝐸, 𝑇⟩))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2932  ∃wrex 3062  Vcvv 3466   ∖ cdif 3938  ifcif 4521  {csn 4621  {cpr 4623  ⟨cotp 4629   ↦ cmpt 5222  ‘cfv 6534  ℩crio 7357  (class class class)co 7402  1^st c1st 7967  2^nd c2nd 7968  Basecbs 17149  0_gc0g 17390  -_gcsg 18861  LModclmod 20702  LSubSpclss 20774  LSpanclspn 20814  LVecclvec 20946  HLchlt 38723  LHypclh 39358  DVecHcdvh 40452  LCDualclcd 40960  mapdcmpd 40998

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-riotaBAD 38326

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-tp 4626  df-op 4628  df-ot 4630  df-uni 4901  df-int 4942  df-iun 4990  df-iin 4991  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-of 7664  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-tpos 8207  df-undef 8254  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8700  df-map 8819  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-fz 13486  df-struct 17085  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-sca 17218  df-vsca 17219  df-0g 17392  df-mre 17535  df-mrc 17536  df-acs 17538  df-proset 18256  df-poset 18274  df-plt 18291  df-lub 18307  df-glb 18308  df-join 18309  df-meet 18310  df-p0 18386  df-p1 18387  df-lat 18393  df-clat 18460  df-mgm 18569  df-sgrp 18648  df-mnd 18664  df-submnd 18710  df-grp 18862  df-minusg 18863  df-sbg 18864  df-subg 19046  df-cntz 19229  df-oppg 19258  df-lsm 19552  df-cmn 19698  df-abl 19699  df-mgp 20036  df-rng 20054  df-ur 20083  df-ring 20136  df-oppr 20232  df-dvdsr 20255  df-unit 20256  df-invr 20286  df-dvr 20299  df-drng 20585  df-lmod 20704  df-lss 20775  df-lsp 20815  df-lvec 20947  df-lsatoms 38349  df-lshyp 38350  df-lcv 38392  df-lfl 38431  df-lkr 38459  df-ldual 38497  df-oposet 38549  df-ol 38551  df-oml 38552  df-covers 38639  df-ats 38640  df-atl 38671  df-cvlat 38695  df-hlat 38724  df-llines 38872  df-lplanes 38873  df-lvols 38874  df-lines 38875  df-psubsp 38877  df-pmap 38878  df-padd 39170  df-lhyp 39362  df-laut 39363  df-ldil 39478  df-ltrn 39479  df-trl 39533  df-tgrp 40117  df-tendo 40129  df-edring 40131  df-dveca 40377  df-disoa 40403  df-dvech 40453  df-dib 40513  df-dic 40547  df-dih 40603  df-doch 40722  df-djh 40769  df-lcdual 40961  df-mapd 40999

This theorem is referenced by:  mapdh8j  41161