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Theorem mapdh8ad 40292
Description: Part of Part (8) in [Baer] p. 48. (Contributed by NM, 13-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdh8a.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
mapdh8a.u π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
mapdh8a.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
mapdh8a.s βˆ’ = (-gβ€˜π‘ˆ)
mapdh8a.o 0 = (0gβ€˜π‘ˆ)
mapdh8a.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘ˆ)
mapdh8a.c 𝐢 = ((LCDualβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
mapdh8a.d 𝐷 = (Baseβ€˜πΆ)
mapdh8a.r 𝑅 = (-gβ€˜πΆ)
mapdh8a.q 𝑄 = (0gβ€˜πΆ)
mapdh8a.j 𝐽 = (LSpanβ€˜πΆ)
mapdh8a.m 𝑀 = ((mapdβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
mapdh8a.i 𝐼 = (π‘₯ ∈ V ↦ if((2nd β€˜π‘₯) = 0 , 𝑄, (β„©β„Ž ∈ 𝐷 ((π‘€β€˜(π‘β€˜{(2nd β€˜π‘₯)})) = (π½β€˜{β„Ž}) ∧ (π‘€β€˜(π‘β€˜{((1st β€˜(1st β€˜π‘₯)) βˆ’ (2nd β€˜π‘₯))})) = (π½β€˜{((2nd β€˜(1st β€˜π‘₯))π‘…β„Ž)})))))
mapdh8a.k (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
mapdh8ac.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐷)
mapdh8ac.mn (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜(π‘β€˜{𝑋})) = (π½β€˜{𝐹}))
mapdh8ac.eg (πœ‘ β†’ (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘ŒβŸ©) = 𝐺)
mapdh8ac.ee (πœ‘ β†’ (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘βŸ©) = 𝐸)
mapdh8ac.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
mapdh8ac.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
mapdh8ac.z (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
mapdh8ac.t (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
mapdh8ac.yn (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋}) = (π‘β€˜{𝑇}))
mapdh8ad.xy (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋}) β‰  (π‘β€˜{π‘Œ}))
mapdh8ad.xz (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋}) β‰  (π‘β€˜{𝑍}))
Assertion
Ref Expression
mapdh8ad (πœ‘ β†’ (πΌβ€˜βŸ¨π‘Œ, 𝐺, π‘‡βŸ©) = (πΌβ€˜βŸ¨π‘, 𝐸, π‘‡βŸ©))
Distinct variable groups:   π‘₯,β„Ž, βˆ’   0 ,β„Ž,π‘₯   𝐢,β„Ž   𝐷,β„Ž,π‘₯   β„Ž,𝐹,π‘₯   β„Ž,𝐼   β„Ž,𝐺,π‘₯   β„Ž,𝐽,π‘₯   β„Ž,𝑀,π‘₯   β„Ž,𝑁,π‘₯   πœ‘,β„Ž   𝑅,β„Ž,π‘₯   π‘₯,𝑄   𝑇,β„Ž,π‘₯   π‘ˆ,β„Ž   β„Ž,𝑋,π‘₯   β„Ž,π‘Œ,π‘₯   β„Ž,𝐸,π‘₯   β„Ž,𝑍,π‘₯   π‘₯,𝐼   β„Ž,𝑉
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯)   𝐢(π‘₯)   𝑄(β„Ž)   π‘ˆ(π‘₯)   𝐻(π‘₯,β„Ž)   𝐾(π‘₯,β„Ž)   𝑉(π‘₯)   π‘Š(π‘₯,β„Ž)

Proof of Theorem mapdh8ad
Dummy variable 𝑀 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mapdh8a.h . . 3 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
2 mapdh8a.u . . 3 π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
3 mapdh8a.v . . 3 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
4 mapdh8a.n . . 3 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘ˆ)
5 mapdh8a.k . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
6 mapdh8ac.x . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
76eldifad 3926 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
8 mapdh8ac.y . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
98eldifad 3926 . . 3 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
10 mapdh8ac.z . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
1110eldifad 3926 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ 𝑉)
121, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 11dvh3dim2 39961 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘€ ∈ 𝑉 (Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍})))
13 mapdh8a.s . . . 4 βˆ’ = (-gβ€˜π‘ˆ)
14 mapdh8a.o . . . 4 0 = (0gβ€˜π‘ˆ)
15 mapdh8a.c . . . 4 𝐢 = ((LCDualβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
16 mapdh8a.d . . . 4 𝐷 = (Baseβ€˜πΆ)
17 mapdh8a.r . . . 4 𝑅 = (-gβ€˜πΆ)
18 mapdh8a.q . . . 4 𝑄 = (0gβ€˜πΆ)
19 mapdh8a.j . . . 4 𝐽 = (LSpanβ€˜πΆ)
20 mapdh8a.m . . . 4 𝑀 = ((mapdβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
21 mapdh8a.i . . . 4 𝐼 = (π‘₯ ∈ V ↦ if((2nd β€˜π‘₯) = 0 , 𝑄, (β„©β„Ž ∈ 𝐷 ((π‘€β€˜(π‘β€˜{(2nd β€˜π‘₯)})) = (π½β€˜{β„Ž}) ∧ (π‘€β€˜(π‘β€˜{((1st β€˜(1st β€˜π‘₯)) βˆ’ (2nd β€˜π‘₯))})) = (π½β€˜{((2nd β€˜(1st β€˜π‘₯))π‘…β„Ž)})))))
2253ad2ant1 1134 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ (Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍}))) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
23 mapdh8ac.f . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐷)
24233ad2ant1 1134 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ (Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍}))) β†’ 𝐹 ∈ 𝐷)
25 mapdh8ac.mn . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜(π‘β€˜{𝑋})) = (π½β€˜{𝐹}))
26253ad2ant1 1134 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ (Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍}))) β†’ (π‘€β€˜(π‘β€˜{𝑋})) = (π½β€˜{𝐹}))
27 mapdh8ac.eg . . . . 5 (πœ‘ β†’ (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘ŒβŸ©) = 𝐺)
28273ad2ant1 1134 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ (Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍}))) β†’ (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘ŒβŸ©) = 𝐺)
29 mapdh8ac.ee . . . . 5 (πœ‘ β†’ (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘βŸ©) = 𝐸)
30293ad2ant1 1134 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ (Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍}))) β†’ (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘βŸ©) = 𝐸)
3163ad2ant1 1134 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ (Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍}))) β†’ 𝑋 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
3283ad2ant1 1134 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ (Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍}))) β†’ π‘Œ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
33103ad2ant1 1134 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ (Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍}))) β†’ 𝑍 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
34 mapdh8ac.t . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
35343ad2ant1 1134 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ (Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍}))) β†’ 𝑇 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
36 mapdh8ac.yn . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋}) = (π‘β€˜{𝑇}))
37363ad2ant1 1134 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ (Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍}))) β†’ (π‘β€˜{𝑋}) = (π‘β€˜{𝑇}))
38 eqidd 2734 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ (Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍}))) β†’ (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘€βŸ©) = (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘€βŸ©))
39 eqid 2733 . . . . 5 (LSubSpβ€˜π‘ˆ) = (LSubSpβ€˜π‘ˆ)
401, 2, 5dvhlmod 39623 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ LMod)
41403ad2ant1 1134 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ (Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍}))) β†’ π‘ˆ ∈ LMod)
423, 39, 4, 40, 7, 9lspprcl 20483 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ))
43423ad2ant1 1134 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ (Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍}))) β†’ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ))
44 simp2 1138 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ (Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍}))) β†’ 𝑀 ∈ 𝑉)
45 simp3l 1202 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ (Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍}))) β†’ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}))
4614, 39, 41, 43, 44, 45lssneln0 20457 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ (Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍}))) β†’ 𝑀 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
471, 2, 5dvhlvec 39622 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ LVec)
48473ad2ant1 1134 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ (Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍}))) β†’ π‘ˆ ∈ LVec)
4973ad2ant1 1134 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ (Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍}))) β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
5093ad2ant1 1134 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ (Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍}))) β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
513, 4, 48, 44, 49, 50, 45lspindpi 20638 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ (Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍}))) β†’ ((π‘β€˜{𝑀}) β‰  (π‘β€˜{𝑋}) ∧ (π‘β€˜{𝑀}) β‰  (π‘β€˜{π‘Œ})))
5251simprd 497 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ (Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍}))) β†’ (π‘β€˜{𝑀}) β‰  (π‘β€˜{π‘Œ}))
5352necomd 2996 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ (Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍}))) β†’ (π‘β€˜{π‘Œ}) β‰  (π‘β€˜{𝑀}))
54 simpl1 1192 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ (Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍}))) ∧ 𝑋 ∈ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑀})) β†’ πœ‘)
5554, 47syl 17 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ (Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍}))) ∧ 𝑋 ∈ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑀})) β†’ π‘ˆ ∈ LVec)
5654, 6syl 17 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ (Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍}))) ∧ 𝑋 ∈ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑀})) β†’ 𝑋 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
57 simpl2 1193 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ (Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍}))) ∧ 𝑋 ∈ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑀})) β†’ 𝑀 ∈ 𝑉)
5854, 9syl 17 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ (Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍}))) ∧ 𝑋 ∈ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑀})) β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
59 mapdh8ad.xy . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋}) β‰  (π‘β€˜{π‘Œ}))
6054, 59syl 17 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ (Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍}))) ∧ 𝑋 ∈ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑀})) β†’ (π‘β€˜{𝑋}) β‰  (π‘β€˜{π‘Œ}))
61 simpr 486 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ (Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍}))) ∧ 𝑋 ∈ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑀})) β†’ 𝑋 ∈ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑀}))
62 prcom 4697 . . . . . . . 8 {π‘Œ, 𝑀} = {𝑀, π‘Œ}
6362fveq2i 6849 . . . . . . 7 (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑀}) = (π‘β€˜{𝑀, π‘Œ})
6461, 63eleqtrdi 2844 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ (Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍}))) ∧ 𝑋 ∈ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑀})) β†’ 𝑋 ∈ (π‘β€˜{𝑀, π‘Œ}))
653, 14, 4, 55, 56, 57, 58, 60, 64lspexch 20635 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ (Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍}))) ∧ 𝑋 ∈ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑀})) β†’ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}))
6645, 65mtand 815 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ (Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍}))) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑀}))
67113ad2ant1 1134 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ (Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍}))) β†’ 𝑍 ∈ 𝑉)
68 simp3r 1203 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ (Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍}))) β†’ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍}))
693, 4, 48, 44, 49, 67, 68lspindpi 20638 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ (Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍}))) β†’ ((π‘β€˜{𝑀}) β‰  (π‘β€˜{𝑋}) ∧ (π‘β€˜{𝑀}) β‰  (π‘β€˜{𝑍})))
7069simprd 497 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ (Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍}))) β†’ (π‘β€˜{𝑀}) β‰  (π‘β€˜{𝑍}))
71 simpl1 1192 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ (Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍}))) ∧ 𝑋 ∈ (π‘β€˜{𝑀, 𝑍})) β†’ πœ‘)
7271, 47syl 17 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ (Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍}))) ∧ 𝑋 ∈ (π‘β€˜{𝑀, 𝑍})) β†’ π‘ˆ ∈ LVec)
7371, 6syl 17 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ (Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍}))) ∧ 𝑋 ∈ (π‘β€˜{𝑀, 𝑍})) β†’ 𝑋 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
74 simpl2 1193 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ (Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍}))) ∧ 𝑋 ∈ (π‘β€˜{𝑀, 𝑍})) β†’ 𝑀 ∈ 𝑉)
7571, 11syl 17 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ (Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍}))) ∧ 𝑋 ∈ (π‘β€˜{𝑀, 𝑍})) β†’ 𝑍 ∈ 𝑉)
76 mapdh8ad.xz . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋}) β‰  (π‘β€˜{𝑍}))
7771, 76syl 17 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ (Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍}))) ∧ 𝑋 ∈ (π‘β€˜{𝑀, 𝑍})) β†’ (π‘β€˜{𝑋}) β‰  (π‘β€˜{𝑍}))
78 simpr 486 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ (Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍}))) ∧ 𝑋 ∈ (π‘β€˜{𝑀, 𝑍})) β†’ 𝑋 ∈ (π‘β€˜{𝑀, 𝑍}))
793, 14, 4, 72, 73, 74, 75, 77, 78lspexch 20635 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ (Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍}))) ∧ 𝑋 ∈ (π‘β€˜{𝑀, 𝑍})) β†’ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍}))
8068, 79mtand 815 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ (Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍}))) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ (π‘β€˜{𝑀, 𝑍}))
811, 2, 3, 13, 14, 4, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 24, 26, 28, 30, 31, 32, 33, 35, 37, 38, 46, 53, 66, 70, 80mapdh8ac 40291 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ (Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍}))) β†’ (πΌβ€˜βŸ¨π‘Œ, 𝐺, π‘‡βŸ©) = (πΌβ€˜βŸ¨π‘, 𝐸, π‘‡βŸ©))
8281rexlimdv3a 3153 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘€ ∈ 𝑉 (Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍})) β†’ (πΌβ€˜βŸ¨π‘Œ, 𝐺, π‘‡βŸ©) = (πΌβ€˜βŸ¨π‘, 𝐸, π‘‡βŸ©)))
8312, 82mpd 15 1 (πœ‘ β†’ (πΌβ€˜βŸ¨π‘Œ, 𝐺, π‘‡βŸ©) = (πΌβ€˜βŸ¨π‘, 𝐸, π‘‡βŸ©))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940  βˆƒwrex 3070  Vcvv 3447   βˆ– cdif 3911  ifcif 4490  {csn 4590  {cpr 4592  βŸ¨cotp 4598   ↦ cmpt 5192  β€˜cfv 6500  β„©crio 7316  (class class class)co 7361  1st c1st 7923  2nd c2nd 7924  Basecbs 17091  0gc0g 17329  -gcsg 18758  LModclmod 20365  LSubSpclss 20436  LSpanclspn 20476  LVecclvec 20607  HLchlt 37862  LHypclh 38497  DVecHcdvh 39591  LCDualclcd 40099  mapdcmpd 40137
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-riotaBAD 37465
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-ot 4599  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-of 7621  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-tpos 8161  df-undef 8208  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-er 8654  df-map 8773  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-4 12226  df-5 12227  df-6 12228  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-fz 13434  df-struct 17027  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-ress 17121  df-plusg 17154  df-mulr 17155  df-sca 17157  df-vsca 17158  df-0g 17331  df-mre 17474  df-mrc 17475  df-acs 17477  df-proset 18192  df-poset 18210  df-plt 18227  df-lub 18243  df-glb 18244  df-join 18245  df-meet 18246  df-p0 18322  df-p1 18323  df-lat 18329  df-clat 18396  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-submnd 18610  df-grp 18759  df-minusg 18760  df-sbg 18761  df-subg 18933  df-cntz 19105  df-oppg 19132  df-lsm 19426  df-cmn 19572  df-abl 19573  df-mgp 19905  df-ur 19922  df-ring 19974  df-oppr 20057  df-dvdsr 20078  df-unit 20079  df-invr 20109  df-dvr 20120  df-drng 20221  df-lmod 20367  df-lss 20437  df-lsp 20477  df-lvec 20608  df-lsatoms 37488  df-lshyp 37489  df-lcv 37531  df-lfl 37570  df-lkr 37598  df-ldual 37636  df-oposet 37688  df-ol 37690  df-oml 37691  df-covers 37778  df-ats 37779  df-atl 37810  df-cvlat 37834  df-hlat 37863  df-llines 38011  df-lplanes 38012  df-lvols 38013  df-lines 38014  df-psubsp 38016  df-pmap 38017  df-padd 38309  df-lhyp 38501  df-laut 38502  df-ldil 38617  df-ltrn 38618  df-trl 38672  df-tgrp 39256  df-tendo 39268  df-edring 39270  df-dveca 39516  df-disoa 39542  df-dvech 39592  df-dib 39652  df-dic 39686  df-dih 39742  df-doch 39861  df-djh 39908  df-lcdual 40100  df-mapd 40138
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