Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdh8ad Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mapdh8ad 41252
Description: Part of Part (8) in [Baer] p. 48. (Contributed by NM, 13-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdh8a.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
mapdh8a.u π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
mapdh8a.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
mapdh8a.s βˆ’ = (-gβ€˜π‘ˆ)
mapdh8a.o 0 = (0gβ€˜π‘ˆ)
mapdh8a.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘ˆ)
mapdh8a.c 𝐢 = ((LCDualβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
mapdh8a.d 𝐷 = (Baseβ€˜πΆ)
mapdh8a.r 𝑅 = (-gβ€˜πΆ)
mapdh8a.q 𝑄 = (0gβ€˜πΆ)
mapdh8a.j 𝐽 = (LSpanβ€˜πΆ)
mapdh8a.m 𝑀 = ((mapdβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
mapdh8a.i 𝐼 = (π‘₯ ∈ V ↦ if((2nd β€˜π‘₯) = 0 , 𝑄, (β„©β„Ž ∈ 𝐷 ((π‘€β€˜(π‘β€˜{(2nd β€˜π‘₯)})) = (π½β€˜{β„Ž}) ∧ (π‘€β€˜(π‘β€˜{((1st β€˜(1st β€˜π‘₯)) βˆ’ (2nd β€˜π‘₯))})) = (π½β€˜{((2nd β€˜(1st β€˜π‘₯))π‘…β„Ž)})))))
mapdh8a.k (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
mapdh8ac.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐷)
mapdh8ac.mn (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜(π‘β€˜{𝑋})) = (π½β€˜{𝐹}))
mapdh8ac.eg (πœ‘ β†’ (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘ŒβŸ©) = 𝐺)
mapdh8ac.ee (πœ‘ β†’ (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘βŸ©) = 𝐸)
mapdh8ac.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
mapdh8ac.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
mapdh8ac.z (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
mapdh8ac.t (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
mapdh8ac.yn (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋}) = (π‘β€˜{𝑇}))
mapdh8ad.xy (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋}) β‰  (π‘β€˜{π‘Œ}))
mapdh8ad.xz (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋}) β‰  (π‘β€˜{𝑍}))
Assertion
Ref Expression
mapdh8ad (πœ‘ β†’ (πΌβ€˜βŸ¨π‘Œ, 𝐺, π‘‡βŸ©) = (πΌβ€˜βŸ¨π‘, 𝐸, π‘‡βŸ©))
Distinct variable groups:   π‘₯,β„Ž, βˆ’   0 ,β„Ž,π‘₯   𝐢,β„Ž   𝐷,β„Ž,π‘₯   β„Ž,𝐹,π‘₯   β„Ž,𝐼   β„Ž,𝐺,π‘₯   β„Ž,𝐽,π‘₯   β„Ž,𝑀,π‘₯   β„Ž,𝑁,π‘₯   πœ‘,β„Ž   𝑅,β„Ž,π‘₯   π‘₯,𝑄   𝑇,β„Ž,π‘₯   π‘ˆ,β„Ž   β„Ž,𝑋,π‘₯   β„Ž,π‘Œ,π‘₯   β„Ž,𝐸,π‘₯   β„Ž,𝑍,π‘₯   π‘₯,𝐼   β„Ž,𝑉
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯)   𝐢(π‘₯)   𝑄(β„Ž)   π‘ˆ(π‘₯)   𝐻(π‘₯,β„Ž)   𝐾(π‘₯,β„Ž)   𝑉(π‘₯)   π‘Š(π‘₯,β„Ž)

Proof of Theorem mapdh8ad
Dummy variable 𝑀 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mapdh8a.h . . 3 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
2 mapdh8a.u . . 3 π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
3 mapdh8a.v . . 3 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
4 mapdh8a.n . . 3 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘ˆ)
5 mapdh8a.k . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
6 mapdh8ac.x . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
76eldifad 3959 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
8 mapdh8ac.y . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
98eldifad 3959 . . 3 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
10 mapdh8ac.z . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
1110eldifad 3959 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ 𝑉)
121, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 11dvh3dim2 40921 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘€ ∈ 𝑉 (Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍})))
13 mapdh8a.s . . . 4 βˆ’ = (-gβ€˜π‘ˆ)
14 mapdh8a.o . . . 4 0 = (0gβ€˜π‘ˆ)
15 mapdh8a.c . . . 4 𝐢 = ((LCDualβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
16 mapdh8a.d . . . 4 𝐷 = (Baseβ€˜πΆ)
17 mapdh8a.r . . . 4 𝑅 = (-gβ€˜πΆ)
18 mapdh8a.q . . . 4 𝑄 = (0gβ€˜πΆ)
19 mapdh8a.j . . . 4 𝐽 = (LSpanβ€˜πΆ)
20 mapdh8a.m . . . 4 𝑀 = ((mapdβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
21 mapdh8a.i . . . 4 𝐼 = (π‘₯ ∈ V ↦ if((2nd β€˜π‘₯) = 0 , 𝑄, (β„©β„Ž ∈ 𝐷 ((π‘€β€˜(π‘β€˜{(2nd β€˜π‘₯)})) = (π½β€˜{β„Ž}) ∧ (π‘€β€˜(π‘β€˜{((1st β€˜(1st β€˜π‘₯)) βˆ’ (2nd β€˜π‘₯))})) = (π½β€˜{((2nd β€˜(1st β€˜π‘₯))π‘…β„Ž)})))))
2253ad2ant1 1131 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ (Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍}))) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
23 mapdh8ac.f . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐷)
24233ad2ant1 1131 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ (Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍}))) β†’ 𝐹 ∈ 𝐷)
25 mapdh8ac.mn . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜(π‘β€˜{𝑋})) = (π½β€˜{𝐹}))
26253ad2ant1 1131 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ (Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍}))) β†’ (π‘€β€˜(π‘β€˜{𝑋})) = (π½β€˜{𝐹}))
27 mapdh8ac.eg . . . . 5 (πœ‘ β†’ (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘ŒβŸ©) = 𝐺)
28273ad2ant1 1131 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ (Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍}))) β†’ (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘ŒβŸ©) = 𝐺)
29 mapdh8ac.ee . . . . 5 (πœ‘ β†’ (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘βŸ©) = 𝐸)
30293ad2ant1 1131 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ (Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍}))) β†’ (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘βŸ©) = 𝐸)
3163ad2ant1 1131 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ (Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍}))) β†’ 𝑋 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
3283ad2ant1 1131 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ (Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍}))) β†’ π‘Œ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
33103ad2ant1 1131 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ (Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍}))) β†’ 𝑍 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
34 mapdh8ac.t . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
35343ad2ant1 1131 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ (Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍}))) β†’ 𝑇 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
36 mapdh8ac.yn . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋}) = (π‘β€˜{𝑇}))
37363ad2ant1 1131 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ (Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍}))) β†’ (π‘β€˜{𝑋}) = (π‘β€˜{𝑇}))
38 eqidd 2729 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ (Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍}))) β†’ (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘€βŸ©) = (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘€βŸ©))
39 eqid 2728 . . . . 5 (LSubSpβ€˜π‘ˆ) = (LSubSpβ€˜π‘ˆ)
401, 2, 5dvhlmod 40583 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ LMod)
41403ad2ant1 1131 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ (Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍}))) β†’ π‘ˆ ∈ LMod)
423, 39, 4, 40, 7, 9lspprcl 20861 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ))
43423ad2ant1 1131 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ (Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍}))) β†’ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ))
44 simp2 1135 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ (Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍}))) β†’ 𝑀 ∈ 𝑉)
45 simp3l 1199 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ (Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍}))) β†’ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}))
4614, 39, 41, 43, 44, 45lssneln0 20836 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ (Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍}))) β†’ 𝑀 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
471, 2, 5dvhlvec 40582 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ LVec)
48473ad2ant1 1131 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ (Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍}))) β†’ π‘ˆ ∈ LVec)
4973ad2ant1 1131 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ (Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍}))) β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
5093ad2ant1 1131 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ (Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍}))) β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
513, 4, 48, 44, 49, 50, 45lspindpi 21019 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ (Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍}))) β†’ ((π‘β€˜{𝑀}) β‰  (π‘β€˜{𝑋}) ∧ (π‘β€˜{𝑀}) β‰  (π‘β€˜{π‘Œ})))
5251simprd 495 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ (Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍}))) β†’ (π‘β€˜{𝑀}) β‰  (π‘β€˜{π‘Œ}))
5352necomd 2993 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ (Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍}))) β†’ (π‘β€˜{π‘Œ}) β‰  (π‘β€˜{𝑀}))
54 simpl1 1189 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ (Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍}))) ∧ 𝑋 ∈ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑀})) β†’ πœ‘)
5554, 47syl 17 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ (Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍}))) ∧ 𝑋 ∈ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑀})) β†’ π‘ˆ ∈ LVec)
5654, 6syl 17 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ (Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍}))) ∧ 𝑋 ∈ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑀})) β†’ 𝑋 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
57 simpl2 1190 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ (Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍}))) ∧ 𝑋 ∈ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑀})) β†’ 𝑀 ∈ 𝑉)
5854, 9syl 17 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ (Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍}))) ∧ 𝑋 ∈ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑀})) β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
59 mapdh8ad.xy . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋}) β‰  (π‘β€˜{π‘Œ}))
6054, 59syl 17 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ (Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍}))) ∧ 𝑋 ∈ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑀})) β†’ (π‘β€˜{𝑋}) β‰  (π‘β€˜{π‘Œ}))
61 simpr 484 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ (Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍}))) ∧ 𝑋 ∈ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑀})) β†’ 𝑋 ∈ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑀}))
62 prcom 4737 . . . . . . . 8 {π‘Œ, 𝑀} = {𝑀, π‘Œ}
6362fveq2i 6900 . . . . . . 7 (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑀}) = (π‘β€˜{𝑀, π‘Œ})
6461, 63eleqtrdi 2839 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ (Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍}))) ∧ 𝑋 ∈ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑀})) β†’ 𝑋 ∈ (π‘β€˜{𝑀, π‘Œ}))
653, 14, 4, 55, 56, 57, 58, 60, 64lspexch 21016 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ (Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍}))) ∧ 𝑋 ∈ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑀})) β†’ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}))
6645, 65mtand 815 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ (Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍}))) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑀}))
67113ad2ant1 1131 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ (Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍}))) β†’ 𝑍 ∈ 𝑉)
68 simp3r 1200 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ (Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍}))) β†’ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍}))
693, 4, 48, 44, 49, 67, 68lspindpi 21019 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ (Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍}))) β†’ ((π‘β€˜{𝑀}) β‰  (π‘β€˜{𝑋}) ∧ (π‘β€˜{𝑀}) β‰  (π‘β€˜{𝑍})))
7069simprd 495 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ (Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍}))) β†’ (π‘β€˜{𝑀}) β‰  (π‘β€˜{𝑍}))
71 simpl1 1189 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ (Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍}))) ∧ 𝑋 ∈ (π‘β€˜{𝑀, 𝑍})) β†’ πœ‘)
7271, 47syl 17 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ (Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍}))) ∧ 𝑋 ∈ (π‘β€˜{𝑀, 𝑍})) β†’ π‘ˆ ∈ LVec)
7371, 6syl 17 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ (Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍}))) ∧ 𝑋 ∈ (π‘β€˜{𝑀, 𝑍})) β†’ 𝑋 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
74 simpl2 1190 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ (Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍}))) ∧ 𝑋 ∈ (π‘β€˜{𝑀, 𝑍})) β†’ 𝑀 ∈ 𝑉)
7571, 11syl 17 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ (Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍}))) ∧ 𝑋 ∈ (π‘β€˜{𝑀, 𝑍})) β†’ 𝑍 ∈ 𝑉)
76 mapdh8ad.xz . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋}) β‰  (π‘β€˜{𝑍}))
7771, 76syl 17 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ (Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍}))) ∧ 𝑋 ∈ (π‘β€˜{𝑀, 𝑍})) β†’ (π‘β€˜{𝑋}) β‰  (π‘β€˜{𝑍}))
78 simpr 484 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ (Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍}))) ∧ 𝑋 ∈ (π‘β€˜{𝑀, 𝑍})) β†’ 𝑋 ∈ (π‘β€˜{𝑀, 𝑍}))
793, 14, 4, 72, 73, 74, 75, 77, 78lspexch 21016 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ (Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍}))) ∧ 𝑋 ∈ (π‘β€˜{𝑀, 𝑍})) β†’ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍}))
8068, 79mtand 815 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ (Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍}))) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ (π‘β€˜{𝑀, 𝑍}))
811, 2, 3, 13, 14, 4, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 24, 26, 28, 30, 31, 32, 33, 35, 37, 38, 46, 53, 66, 70, 80mapdh8ac 41251 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ (Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍}))) β†’ (πΌβ€˜βŸ¨π‘Œ, 𝐺, π‘‡βŸ©) = (πΌβ€˜βŸ¨π‘, 𝐸, π‘‡βŸ©))
8281rexlimdv3a 3156 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘€ ∈ 𝑉 (Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍})) β†’ (πΌβ€˜βŸ¨π‘Œ, 𝐺, π‘‡βŸ©) = (πΌβ€˜βŸ¨π‘, 𝐸, π‘‡βŸ©)))
8312, 82mpd 15 1 (πœ‘ β†’ (πΌβ€˜βŸ¨π‘Œ, 𝐺, π‘‡βŸ©) = (πΌβ€˜βŸ¨π‘, 𝐸, π‘‡βŸ©))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   β‰  wne 2937  βˆƒwrex 3067  Vcvv 3471   βˆ– cdif 3944  ifcif 4529  {csn 4629  {cpr 4631  βŸ¨cotp 4637   ↦ cmpt 5231  β€˜cfv 6548  β„©crio 7375  (class class class)co 7420  1st c1st 7991  2nd c2nd 7992  Basecbs 17179  0gc0g 17420  -gcsg 18891  LModclmod 20742  LSubSpclss 20814  LSpanclspn 20854  LVecclvec 20986  HLchlt 38822  LHypclh 39457  DVecHcdvh 40551  LCDualclcd 41059  mapdcmpd 41097
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-riotaBAD 38425
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-ot 4638  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7685  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-tpos 8231  df-undef 8278  df-frecs 8286  df-wrecs 8317  df-recs 8391  df-rdg 8430  df-1o 8486  df-er 8724  df-map 8846  df-en 8964  df-dom 8965  df-sdom 8966  df-fin 8967  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-fz 13517  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-ress 17209  df-plusg 17245  df-mulr 17246  df-sca 17248  df-vsca 17249  df-0g 17422  df-mre 17565  df-mrc 17566  df-acs 17568  df-proset 18286  df-poset 18304  df-plt 18321  df-lub 18337  df-glb 18338  df-join 18339  df-meet 18340  df-p0 18416  df-p1 18417  df-lat 18423  df-clat 18490  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-submnd 18740  df-grp 18892  df-minusg 18893  df-sbg 18894  df-subg 19077  df-cntz 19267  df-oppg 19296  df-lsm 19590  df-cmn 19736  df-abl 19737  df-mgp 20074  df-rng 20092  df-ur 20121  df-ring 20174  df-oppr 20272  df-dvdsr 20295  df-unit 20296  df-invr 20326  df-dvr 20339  df-drng 20625  df-lmod 20744  df-lss 20815  df-lsp 20855  df-lvec 20987  df-lsatoms 38448  df-lshyp 38449  df-lcv 38491  df-lfl 38530  df-lkr 38558  df-ldual 38596  df-oposet 38648  df-ol 38650  df-oml 38651  df-covers 38738  df-ats 38739  df-atl 38770  df-cvlat 38794  df-hlat 38823  df-llines 38971  df-lplanes 38972  df-lvols 38973  df-lines 38974  df-psubsp 38976  df-pmap 38977  df-padd 39269  df-lhyp 39461  df-laut 39462  df-ldil 39577  df-ltrn 39578  df-trl 39632  df-tgrp 40216  df-tendo 40228  df-edring 40230  df-dveca 40476  df-disoa 40502  df-dvech 40552  df-dib 40612  df-dic 40646  df-dih 40702  df-doch 40821  df-djh 40868  df-lcdual 41060  df-mapd 41098
This theorem is referenced by:  mapdh8j  41260
  Copyright terms: Public domain W3C validator