Theorem mapdh8ad 42594

Description: Part of Part (8) in [Baer] p. 48. (Contributed by NM, 13-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mapdh8a.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdh8a.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapdh8a.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
mapdh8a.s	⊢ − = (-g‘𝑈)
mapdh8a.o	⊢ 0 = (0g‘𝑈)
mapdh8a.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
mapdh8a.c	⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
mapdh8a.d	⊢ 𝐷 = (Base‘𝐶)
mapdh8a.r	⊢ 𝑅 = (-g‘𝐶)
mapdh8a.q	⊢ 𝑄 = (0g‘𝐶)
mapdh8a.j	⊢ 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
mapdh8a.m	⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapdh8a.i	⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ V ↦ if((2nd ‘𝑥) = 0 , 𝑄, (℩ℎ ∈ 𝐷 ((𝑀‘(𝑁‘{(2nd ‘𝑥)})) = (𝐽‘{ℎ}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{((1st ‘(1st ‘𝑥)) − (2nd ‘𝑥))})) = (𝐽‘{((2nd ‘(1st ‘𝑥))𝑅ℎ)})))))
mapdh8a.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
mapdh8ac.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐷)
mapdh8ac.mn	⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐹}))
mapdh8ac.eg	⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) = 𝐺)
mapdh8ac.ee	⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩) = 𝐸)
mapdh8ac.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdh8ac.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdh8ac.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdh8ac.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdh8ac.yn	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑇}))
mapdh8ad.xy	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
mapdh8ad.xz	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))

Assertion

Ref	Expression
mapdh8ad	⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑌, 𝐺, 𝑇⟩) = (𝐼‘⟨𝑍, 𝐸, 𝑇⟩))

Distinct variable groups:   𝑥,ℎ, −   0 ,ℎ,𝑥   𝐶,ℎ   𝐷,ℎ,𝑥   ℎ,𝐹,𝑥   ℎ,𝐼   ℎ,𝐺,𝑥   ℎ,𝐽,𝑥   ℎ,𝑀,𝑥   ℎ,𝑁,𝑥   𝜑,ℎ   𝑅,ℎ,𝑥   𝑥,𝑄   𝑇,ℎ,𝑥   𝑈,ℎ   ℎ,𝑋,𝑥   ℎ,𝑌,𝑥   ℎ,𝐸,𝑥   ℎ,𝑍,𝑥   𝑥,𝐼   ℎ,𝑉

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝑄(ℎ)   𝑈(𝑥)   𝐻(𝑥, ℎ)   𝐾(𝑥, ℎ)   𝑉(𝑥)   𝑊(𝑥, ℎ)

Proof of Theorem mapdh8ad

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mapdh8a.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		mapdh8a.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3		mapdh8a.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
4		mapdh8a.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
5		mapdh8a.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
6		mapdh8ac.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
7	6	eldifad 3920	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
8		mapdh8ac.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
9	8	eldifad 3920	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
10		mapdh8ac.z	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
11	10	eldifad 3920	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)
12	1, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 11	dvh3dim2 42263	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑤 ∈ 𝑉 (¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})))
13		mapdh8a.s	. . . 4 ⊢ − = (-g‘𝑈)
14		mapdh8a.o	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑈)
15		mapdh8a.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
16		mapdh8a.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (Base‘𝐶)
17		mapdh8a.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = (-g‘𝐶)
18		mapdh8a.q	. . . 4 ⊢ 𝑄 = (0g‘𝐶)
19		mapdh8a.j	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
20		mapdh8a.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
21		mapdh8a.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ V ↦ if((2nd ‘𝑥) = 0 , 𝑄, (℩ℎ ∈ 𝐷 ((𝑀‘(𝑁‘{(2nd ‘𝑥)})) = (𝐽‘{ℎ}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{((1st ‘(1st ‘𝑥)) − (2nd ‘𝑥))})) = (𝐽‘{((2nd ‘(1st ‘𝑥))𝑅ℎ)})))))
22	5	3ad2ant1 1151	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ (¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
23		mapdh8ac.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐷)
24	23	3ad2ant1 1151	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ (¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))) → 𝐹 ∈ 𝐷)
25		mapdh8ac.mn	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐹}))
26	25	3ad2ant1 1151	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ (¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))) → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐹}))
27		mapdh8ac.eg	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) = 𝐺)
28	27	3ad2ant1 1151	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ (¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))) → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) = 𝐺)
29		mapdh8ac.ee	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩) = 𝐸)
30	29	3ad2ant1 1151	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ (¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))) → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩) = 𝐸)
31	6	3ad2ant1 1151	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ (¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))) → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
32	8	3ad2ant1 1151	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ (¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))) → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
33	10	3ad2ant1 1151	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ (¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))) → 𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
34		mapdh8ac.t	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
35	34	3ad2ant1 1151	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ (¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))) → 𝑇 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
36		mapdh8ac.yn	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑇}))
37	36	3ad2ant1 1151	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ (¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))) → (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑇}))
38		eqidd 2767	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ (¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))) → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑤⟩) = (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑤⟩))
39		eqid 2766	. . . . 5 ⊢ (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
40	1, 2, 5	dvhlmod 41925	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
41	40	3ad2ant1 1151	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ (¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))) → 𝑈 ∈ LMod)
42	3, 39, 4, 40, 7, 9	lspprcl 21136	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
43	42	3ad2ant1 1151	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ (¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))) → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
44		simp2 1155	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ (¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))) → 𝑤 ∈ 𝑉)
45		simp3l 1220	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ (¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))) → ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
46	14, 39, 41, 43, 44, 45	lssneln0 21111	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ (¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))) → 𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
47	1, 2, 5	dvhlvec 41924	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LVec)
48	47	3ad2ant1 1151	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ (¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))) → 𝑈 ∈ LVec)
49	7	3ad2ant1 1151	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ (¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))) → 𝑋 ∈ 𝑉)
50	9	3ad2ant1 1151	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ (¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))) → 𝑌 ∈ 𝑉)
51	3, 4, 48, 44, 49, 50, 45	lspindpi 21293	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ (¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))) → ((𝑁‘{𝑤}) ≠ (𝑁‘{𝑋}) ∧ (𝑁‘{𝑤}) ≠ (𝑁‘{𝑌})))
52	51	simprd 501	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ (¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))) → (𝑁‘{𝑤}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
53	52	necomd 3016	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ (¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))) → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑤}))
54		simpl1 1210	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ (¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))) ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑤})) → 𝜑)
55	54, 47	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ (¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))) ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑤})) → 𝑈 ∈ LVec)
56	54, 6	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ (¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))) ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑤})) → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
57		simpl2 1211	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ (¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))) ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑤})) → 𝑤 ∈ 𝑉)
58	54, 9	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ (¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))) ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑤})) → 𝑌 ∈ 𝑉)
59		mapdh8ad.xy	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
60	54, 59	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ (¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))) ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑤})) → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
61		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ (¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))) ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑤})) → 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑤}))
62		prcom 4703	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑌, 𝑤} = {𝑤, 𝑌}
63	62	fveq2i 6891	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁‘{𝑌, 𝑤}) = (𝑁‘{𝑤, 𝑌})
64	61, 63	eleqtrdi 2876	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ (¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))) ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑤})) → 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑤, 𝑌}))
65	3, 14, 4, 55, 56, 57, 58, 60, 64	lspexch 21290	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ (¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))) ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑤})) → 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
66	45, 65	mtand 828	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ (¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))) → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑤}))
67	11	3ad2ant1 1151	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ (¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))) → 𝑍 ∈ 𝑉)
68		simp3r 1221	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ (¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))) → ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))
69	3, 4, 48, 44, 49, 67, 68	lspindpi 21293	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ (¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))) → ((𝑁‘{𝑤}) ≠ (𝑁‘{𝑋}) ∧ (𝑁‘{𝑤}) ≠ (𝑁‘{𝑍})))
70	69	simprd 501	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ (¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))) → (𝑁‘{𝑤}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))
71		simpl1 1210	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ (¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))) ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑤, 𝑍})) → 𝜑)
72	71, 47	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ (¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))) ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑤, 𝑍})) → 𝑈 ∈ LVec)
73	71, 6	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ (¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))) ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑤, 𝑍})) → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
74		simpl2 1211	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ (¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))) ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑤, 𝑍})) → 𝑤 ∈ 𝑉)
75	71, 11	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ (¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))) ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑤, 𝑍})) → 𝑍 ∈ 𝑉)
76		mapdh8ad.xz	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))
77	71, 76	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ (¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))) ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑤, 𝑍})) → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))
78		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ (¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))) ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑤, 𝑍})) → 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑤, 𝑍}))
79	3, 14, 4, 72, 73, 74, 75, 77, 78	lspexch 21290	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ (¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))) ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑤, 𝑍})) → 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))
80	68, 79	mtand 828	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ (¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))) → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑤, 𝑍}))
81	1, 2, 3, 13, 14, 4, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 24, 26, 28, 30, 31, 32, 33, 35, 37, 38, 46, 53, 66, 70, 80	mapdh8ac 42593	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ (¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))) → (𝐼‘⟨𝑌, 𝐺, 𝑇⟩) = (𝐼‘⟨𝑍, 𝐸, 𝑇⟩))
82	81	rexlimdv3a 3173	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑤 ∈ 𝑉 (¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})) → (𝐼‘⟨𝑌, 𝐺, 𝑇⟩) = (𝐼‘⟨𝑍, 𝐸, 𝑇⟩)))
83	12, 82	mpd 16	1 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑌, 𝐺, 𝑇⟩) = (𝐼‘⟨𝑍, 𝐸, 𝑇⟩))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2961  ∃wrex 3092  Vcvv 3458   ∖ cdif 3905  ifcif 4492  {csn 4594  {cpr 4596  ⟨cotp 4602   ↦ cmpt 5197  ‘cfv 6543  ℩crio 7379  (class class class)co 7423  1^st c1st 7993  2^nd c2nd 7994  Basecbs 17294  0_gc0g 17517  -_gcsg 19033  LModclmod 21018  LSubSpclss 21089  LSpanclspn 21129  LVecclvec 21260  HLchlt 40165  LHypclh 40799  DVecHcdvh 41893  LCDualclcd 42401  mapdcmpd 42439

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195  ax-riotaBAD 39768

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-ot 4603  df-uni 4878  df-int 4918  df-iun 4963  df-iin 4964  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-of 7687  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-tpos 8231  df-undef 8278  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-er 8703  df-map 8835  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-nn 12252  df-2 12321  df-3 12322  df-4 12323  df-5 12324  df-6 12325  df-n0 12523  df-z 12610  df-uz 12881  df-fz 13554  df-struct 17232  df-sets 17249  df-slot 17267  df-ndx 17279  df-base 17295  df-ress 17316  df-plusg 17348  df-mulr 17349  df-sca 17351  df-vsca 17352  df-0g 17519  df-mre 17663  df-mrc 17664  df-acs 17666  df-proset 18375  df-poset 18394  df-plt 18409  df-lub 18425  df-glb 18426  df-join 18427  df-meet 18428  df-p0 18504  df-p1 18505  df-lat 18513  df-clat 18580  df-mgm 18723  df-sgrp 18806  df-mnd 18822  df-submnd 18873  df-grp 19034  df-minusg 19035  df-sbg 19036  df-subg 19220  df-cntz 19418  df-oppg 19447  df-lsm 19737  df-cmn 19883  df-abl 19884  df-mgp 20248  df-rng 20262  df-ur 20295  df-ring 20348  df-oppr 20452  df-dvdsr 20472  df-unit 20473  df-invr 20503  df-dvr 20516  df-nzr 20647  df-rlreg 20830  df-domn 20831  df-drng 20866  df-lmod 21020  df-lss 21090  df-lsp 21130  df-lvec 21261  df-lsatoms 39791  df-lshyp 39792  df-lcv 39834  df-lfl 39873  df-lkr 39901  df-ldual 39939  df-oposet 39991  df-ol 39993  df-oml 39994  df-covers 40081  df-ats 40082  df-atl 40113  df-cvlat 40137  df-hlat 40166  df-llines 40313  df-lplanes 40314  df-lvols 40315  df-lines 40316  df-psubsp 40318  df-pmap 40319  df-padd 40611  df-lhyp 40803  df-laut 40804  df-ldil 40919  df-ltrn 40920  df-trl 40974  df-tgrp 41558  df-tendo 41570  df-edring 41572  df-dveca 41818  df-disoa 41844  df-dvech 41894  df-dib 41954  df-dic 41988  df-dih 42044  df-doch 42163  df-djh 42210  df-lcdual 42402  df-mapd 42440

This theorem is used by:  mapdh8j  42602