Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | mapdh8a.h |
. . 3
β’ π» = (LHypβπΎ) |
2 | | mapdh8a.u |
. . 3
β’ π = ((DVecHβπΎ)βπ) |
3 | | mapdh8a.v |
. . 3
β’ π = (Baseβπ) |
4 | | mapdh8a.n |
. . 3
β’ π = (LSpanβπ) |
5 | | mapdh8a.k |
. . 3
β’ (π β (πΎ β HL β§ π β π»)) |
6 | | mapdh8ac.x |
. . . 4
β’ (π β π β (π β { 0 })) |
7 | 6 | eldifad 3926 |
. . 3
β’ (π β π β π) |
8 | | mapdh8ac.y |
. . . 4
β’ (π β π β (π β { 0 })) |
9 | 8 | eldifad 3926 |
. . 3
β’ (π β π β π) |
10 | | mapdh8ac.z |
. . . 4
β’ (π β π β (π β { 0 })) |
11 | 10 | eldifad 3926 |
. . 3
β’ (π β π β π) |
12 | 1, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 11 | dvh3dim2 39961 |
. 2
β’ (π β βπ€ β π (Β¬ π€ β (πβ{π, π}) β§ Β¬ π€ β (πβ{π, π}))) |
13 | | mapdh8a.s |
. . . 4
β’ β =
(-gβπ) |
14 | | mapdh8a.o |
. . . 4
β’ 0 =
(0gβπ) |
15 | | mapdh8a.c |
. . . 4
β’ πΆ = ((LCDualβπΎ)βπ) |
16 | | mapdh8a.d |
. . . 4
β’ π· = (BaseβπΆ) |
17 | | mapdh8a.r |
. . . 4
β’ π
= (-gβπΆ) |
18 | | mapdh8a.q |
. . . 4
β’ π = (0gβπΆ) |
19 | | mapdh8a.j |
. . . 4
β’ π½ = (LSpanβπΆ) |
20 | | mapdh8a.m |
. . . 4
β’ π = ((mapdβπΎ)βπ) |
21 | | mapdh8a.i |
. . . 4
β’ πΌ = (π₯ β V β¦ if((2nd
βπ₯) = 0 , π, (β©β β π· ((πβ(πβ{(2nd βπ₯)})) = (π½β{β}) β§ (πβ(πβ{((1st
β(1st βπ₯)) β (2nd
βπ₯))})) = (π½β{((2nd
β(1st βπ₯))π
β)}))))) |
22 | 5 | 3ad2ant1 1134 |
. . . 4
β’ ((π β§ π€ β π β§ (Β¬ π€ β (πβ{π, π}) β§ Β¬ π€ β (πβ{π, π}))) β (πΎ β HL β§ π β π»)) |
23 | | mapdh8ac.f |
. . . . 5
β’ (π β πΉ β π·) |
24 | 23 | 3ad2ant1 1134 |
. . . 4
β’ ((π β§ π€ β π β§ (Β¬ π€ β (πβ{π, π}) β§ Β¬ π€ β (πβ{π, π}))) β πΉ β π·) |
25 | | mapdh8ac.mn |
. . . . 5
β’ (π β (πβ(πβ{π})) = (π½β{πΉ})) |
26 | 25 | 3ad2ant1 1134 |
. . . 4
β’ ((π β§ π€ β π β§ (Β¬ π€ β (πβ{π, π}) β§ Β¬ π€ β (πβ{π, π}))) β (πβ(πβ{π})) = (π½β{πΉ})) |
27 | | mapdh8ac.eg |
. . . . 5
β’ (π β (πΌββ¨π, πΉ, πβ©) = πΊ) |
28 | 27 | 3ad2ant1 1134 |
. . . 4
β’ ((π β§ π€ β π β§ (Β¬ π€ β (πβ{π, π}) β§ Β¬ π€ β (πβ{π, π}))) β (πΌββ¨π, πΉ, πβ©) = πΊ) |
29 | | mapdh8ac.ee |
. . . . 5
β’ (π β (πΌββ¨π, πΉ, πβ©) = πΈ) |
30 | 29 | 3ad2ant1 1134 |
. . . 4
β’ ((π β§ π€ β π β§ (Β¬ π€ β (πβ{π, π}) β§ Β¬ π€ β (πβ{π, π}))) β (πΌββ¨π, πΉ, πβ©) = πΈ) |
31 | 6 | 3ad2ant1 1134 |
. . . 4
β’ ((π β§ π€ β π β§ (Β¬ π€ β (πβ{π, π}) β§ Β¬ π€ β (πβ{π, π}))) β π β (π β { 0 })) |
32 | 8 | 3ad2ant1 1134 |
. . . 4
β’ ((π β§ π€ β π β§ (Β¬ π€ β (πβ{π, π}) β§ Β¬ π€ β (πβ{π, π}))) β π β (π β { 0 })) |
33 | 10 | 3ad2ant1 1134 |
. . . 4
β’ ((π β§ π€ β π β§ (Β¬ π€ β (πβ{π, π}) β§ Β¬ π€ β (πβ{π, π}))) β π β (π β { 0 })) |
34 | | mapdh8ac.t |
. . . . 5
β’ (π β π β (π β { 0 })) |
35 | 34 | 3ad2ant1 1134 |
. . . 4
β’ ((π β§ π€ β π β§ (Β¬ π€ β (πβ{π, π}) β§ Β¬ π€ β (πβ{π, π}))) β π β (π β { 0 })) |
36 | | mapdh8ac.yn |
. . . . 5
β’ (π β (πβ{π}) = (πβ{π})) |
37 | 36 | 3ad2ant1 1134 |
. . . 4
β’ ((π β§ π€ β π β§ (Β¬ π€ β (πβ{π, π}) β§ Β¬ π€ β (πβ{π, π}))) β (πβ{π}) = (πβ{π})) |
38 | | eqidd 2734 |
. . . 4
β’ ((π β§ π€ β π β§ (Β¬ π€ β (πβ{π, π}) β§ Β¬ π€ β (πβ{π, π}))) β (πΌββ¨π, πΉ, π€β©) = (πΌββ¨π, πΉ, π€β©)) |
39 | | eqid 2733 |
. . . . 5
β’
(LSubSpβπ) =
(LSubSpβπ) |
40 | 1, 2, 5 | dvhlmod 39623 |
. . . . . 6
β’ (π β π β LMod) |
41 | 40 | 3ad2ant1 1134 |
. . . . 5
β’ ((π β§ π€ β π β§ (Β¬ π€ β (πβ{π, π}) β§ Β¬ π€ β (πβ{π, π}))) β π β LMod) |
42 | 3, 39, 4, 40, 7, 9 | lspprcl 20483 |
. . . . . 6
β’ (π β (πβ{π, π}) β (LSubSpβπ)) |
43 | 42 | 3ad2ant1 1134 |
. . . . 5
β’ ((π β§ π€ β π β§ (Β¬ π€ β (πβ{π, π}) β§ Β¬ π€ β (πβ{π, π}))) β (πβ{π, π}) β (LSubSpβπ)) |
44 | | simp2 1138 |
. . . . 5
β’ ((π β§ π€ β π β§ (Β¬ π€ β (πβ{π, π}) β§ Β¬ π€ β (πβ{π, π}))) β π€ β π) |
45 | | simp3l 1202 |
. . . . 5
β’ ((π β§ π€ β π β§ (Β¬ π€ β (πβ{π, π}) β§ Β¬ π€ β (πβ{π, π}))) β Β¬ π€ β (πβ{π, π})) |
46 | 14, 39, 41, 43, 44, 45 | lssneln0 20457 |
. . . 4
β’ ((π β§ π€ β π β§ (Β¬ π€ β (πβ{π, π}) β§ Β¬ π€ β (πβ{π, π}))) β π€ β (π β { 0 })) |
47 | 1, 2, 5 | dvhlvec 39622 |
. . . . . . . 8
β’ (π β π β LVec) |
48 | 47 | 3ad2ant1 1134 |
. . . . . . 7
β’ ((π β§ π€ β π β§ (Β¬ π€ β (πβ{π, π}) β§ Β¬ π€ β (πβ{π, π}))) β π β LVec) |
49 | 7 | 3ad2ant1 1134 |
. . . . . . 7
β’ ((π β§ π€ β π β§ (Β¬ π€ β (πβ{π, π}) β§ Β¬ π€ β (πβ{π, π}))) β π β π) |
50 | 9 | 3ad2ant1 1134 |
. . . . . . 7
β’ ((π β§ π€ β π β§ (Β¬ π€ β (πβ{π, π}) β§ Β¬ π€ β (πβ{π, π}))) β π β π) |
51 | 3, 4, 48, 44, 49, 50, 45 | lspindpi 20638 |
. . . . . 6
β’ ((π β§ π€ β π β§ (Β¬ π€ β (πβ{π, π}) β§ Β¬ π€ β (πβ{π, π}))) β ((πβ{π€}) β (πβ{π}) β§ (πβ{π€}) β (πβ{π}))) |
52 | 51 | simprd 497 |
. . . . 5
β’ ((π β§ π€ β π β§ (Β¬ π€ β (πβ{π, π}) β§ Β¬ π€ β (πβ{π, π}))) β (πβ{π€}) β (πβ{π})) |
53 | 52 | necomd 2996 |
. . . 4
β’ ((π β§ π€ β π β§ (Β¬ π€ β (πβ{π, π}) β§ Β¬ π€ β (πβ{π, π}))) β (πβ{π}) β (πβ{π€})) |
54 | | simpl1 1192 |
. . . . . . 7
β’ (((π β§ π€ β π β§ (Β¬ π€ β (πβ{π, π}) β§ Β¬ π€ β (πβ{π, π}))) β§ π β (πβ{π, π€})) β π) |
55 | 54, 47 | syl 17 |
. . . . . 6
β’ (((π β§ π€ β π β§ (Β¬ π€ β (πβ{π, π}) β§ Β¬ π€ β (πβ{π, π}))) β§ π β (πβ{π, π€})) β π β LVec) |
56 | 54, 6 | syl 17 |
. . . . . 6
β’ (((π β§ π€ β π β§ (Β¬ π€ β (πβ{π, π}) β§ Β¬ π€ β (πβ{π, π}))) β§ π β (πβ{π, π€})) β π β (π β { 0 })) |
57 | | simpl2 1193 |
. . . . . 6
β’ (((π β§ π€ β π β§ (Β¬ π€ β (πβ{π, π}) β§ Β¬ π€ β (πβ{π, π}))) β§ π β (πβ{π, π€})) β π€ β π) |
58 | 54, 9 | syl 17 |
. . . . . 6
β’ (((π β§ π€ β π β§ (Β¬ π€ β (πβ{π, π}) β§ Β¬ π€ β (πβ{π, π}))) β§ π β (πβ{π, π€})) β π β π) |
59 | | mapdh8ad.xy |
. . . . . . 7
β’ (π β (πβ{π}) β (πβ{π})) |
60 | 54, 59 | syl 17 |
. . . . . 6
β’ (((π β§ π€ β π β§ (Β¬ π€ β (πβ{π, π}) β§ Β¬ π€ β (πβ{π, π}))) β§ π β (πβ{π, π€})) β (πβ{π}) β (πβ{π})) |
61 | | simpr 486 |
. . . . . . 7
β’ (((π β§ π€ β π β§ (Β¬ π€ β (πβ{π, π}) β§ Β¬ π€ β (πβ{π, π}))) β§ π β (πβ{π, π€})) β π β (πβ{π, π€})) |
62 | | prcom 4697 |
. . . . . . . 8
β’ {π, π€} = {π€, π} |
63 | 62 | fveq2i 6849 |
. . . . . . 7
β’ (πβ{π, π€}) = (πβ{π€, π}) |
64 | 61, 63 | eleqtrdi 2844 |
. . . . . 6
β’ (((π β§ π€ β π β§ (Β¬ π€ β (πβ{π, π}) β§ Β¬ π€ β (πβ{π, π}))) β§ π β (πβ{π, π€})) β π β (πβ{π€, π})) |
65 | 3, 14, 4, 55, 56, 57, 58, 60, 64 | lspexch 20635 |
. . . . 5
β’ (((π β§ π€ β π β§ (Β¬ π€ β (πβ{π, π}) β§ Β¬ π€ β (πβ{π, π}))) β§ π β (πβ{π, π€})) β π€ β (πβ{π, π})) |
66 | 45, 65 | mtand 815 |
. . . 4
β’ ((π β§ π€ β π β§ (Β¬ π€ β (πβ{π, π}) β§ Β¬ π€ β (πβ{π, π}))) β Β¬ π β (πβ{π, π€})) |
67 | 11 | 3ad2ant1 1134 |
. . . . . 6
β’ ((π β§ π€ β π β§ (Β¬ π€ β (πβ{π, π}) β§ Β¬ π€ β (πβ{π, π}))) β π β π) |
68 | | simp3r 1203 |
. . . . . 6
β’ ((π β§ π€ β π β§ (Β¬ π€ β (πβ{π, π}) β§ Β¬ π€ β (πβ{π, π}))) β Β¬ π€ β (πβ{π, π})) |
69 | 3, 4, 48, 44, 49, 67, 68 | lspindpi 20638 |
. . . . 5
β’ ((π β§ π€ β π β§ (Β¬ π€ β (πβ{π, π}) β§ Β¬ π€ β (πβ{π, π}))) β ((πβ{π€}) β (πβ{π}) β§ (πβ{π€}) β (πβ{π}))) |
70 | 69 | simprd 497 |
. . . 4
β’ ((π β§ π€ β π β§ (Β¬ π€ β (πβ{π, π}) β§ Β¬ π€ β (πβ{π, π}))) β (πβ{π€}) β (πβ{π})) |
71 | | simpl1 1192 |
. . . . . . 7
β’ (((π β§ π€ β π β§ (Β¬ π€ β (πβ{π, π}) β§ Β¬ π€ β (πβ{π, π}))) β§ π β (πβ{π€, π})) β π) |
72 | 71, 47 | syl 17 |
. . . . . 6
β’ (((π β§ π€ β π β§ (Β¬ π€ β (πβ{π, π}) β§ Β¬ π€ β (πβ{π, π}))) β§ π β (πβ{π€, π})) β π β LVec) |
73 | 71, 6 | syl 17 |
. . . . . 6
β’ (((π β§ π€ β π β§ (Β¬ π€ β (πβ{π, π}) β§ Β¬ π€ β (πβ{π, π}))) β§ π β (πβ{π€, π})) β π β (π β { 0 })) |
74 | | simpl2 1193 |
. . . . . 6
β’ (((π β§ π€ β π β§ (Β¬ π€ β (πβ{π, π}) β§ Β¬ π€ β (πβ{π, π}))) β§ π β (πβ{π€, π})) β π€ β π) |
75 | 71, 11 | syl 17 |
. . . . . 6
β’ (((π β§ π€ β π β§ (Β¬ π€ β (πβ{π, π}) β§ Β¬ π€ β (πβ{π, π}))) β§ π β (πβ{π€, π})) β π β π) |
76 | | mapdh8ad.xz |
. . . . . . 7
β’ (π β (πβ{π}) β (πβ{π})) |
77 | 71, 76 | syl 17 |
. . . . . 6
β’ (((π β§ π€ β π β§ (Β¬ π€ β (πβ{π, π}) β§ Β¬ π€ β (πβ{π, π}))) β§ π β (πβ{π€, π})) β (πβ{π}) β (πβ{π})) |
78 | | simpr 486 |
. . . . . 6
β’ (((π β§ π€ β π β§ (Β¬ π€ β (πβ{π, π}) β§ Β¬ π€ β (πβ{π, π}))) β§ π β (πβ{π€, π})) β π β (πβ{π€, π})) |
79 | 3, 14, 4, 72, 73, 74, 75, 77, 78 | lspexch 20635 |
. . . . 5
β’ (((π β§ π€ β π β§ (Β¬ π€ β (πβ{π, π}) β§ Β¬ π€ β (πβ{π, π}))) β§ π β (πβ{π€, π})) β π€ β (πβ{π, π})) |
80 | 68, 79 | mtand 815 |
. . . 4
β’ ((π β§ π€ β π β§ (Β¬ π€ β (πβ{π, π}) β§ Β¬ π€ β (πβ{π, π}))) β Β¬ π β (πβ{π€, π})) |
81 | 1, 2, 3, 13, 14, 4, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 24, 26, 28, 30, 31, 32, 33, 35, 37, 38, 46, 53, 66, 70, 80 | mapdh8ac 40291 |
. . 3
β’ ((π β§ π€ β π β§ (Β¬ π€ β (πβ{π, π}) β§ Β¬ π€ β (πβ{π, π}))) β (πΌββ¨π, πΊ, πβ©) = (πΌββ¨π, πΈ, πβ©)) |
82 | 81 | rexlimdv3a 3153 |
. 2
β’ (π β (βπ€ β π (Β¬ π€ β (πβ{π, π}) β§ Β¬ π€ β (πβ{π, π})) β (πΌββ¨π, πΊ, πβ©) = (πΌββ¨π, πΈ, πβ©))) |
83 | 12, 82 | mpd 15 |
1
β’ (π β (πΌββ¨π, πΊ, πβ©) = (πΌββ¨π, πΈ, πβ©)) |