Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hdmap1eulemOLDN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hdmap1eulemOLDN 41806
Description: Lemma for hdmap1euOLDN 41808. TODO: combine with hdmap1euOLDN 41808 or at least share some hypotheses. (Contributed by NM, 15-May-2015.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
hdmap1eulem.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hdmap1eulem.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hdmap1eulem.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
hdmap1eulem.s = (-g𝑈)
hdmap1eulem.o 0 = (0g𝑈)
hdmap1eulem.n 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
hdmap1eulem.c 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
hdmap1eulem.d 𝐷 = (Base‘𝐶)
hdmap1eulem.r 𝑅 = (-g𝐶)
hdmap1eulem.q 𝑄 = (0g𝐶)
hdmap1eulem.j 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
hdmap1eulem.m 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
hdmap1eulem.i 𝐼 = ((HDMap1‘𝐾)‘𝑊)
hdmap1eulem.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
hdmap1eulem.mn (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐹}))
hdmap1eulem.x (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
hdmap1eulem.f (𝜑𝐹𝐷)
hdmap1eulem.y (𝜑𝑇𝑉)
hdmap1eulem.l 𝐿 = (𝑥 ∈ V ↦ if((2nd𝑥) = 0 , 𝑄, (𝐷 ((𝑀‘(𝑁‘{(2nd𝑥)})) = (𝐽‘{}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{((1st ‘(1st𝑥)) (2nd𝑥))})) = (𝐽‘{((2nd ‘(1st𝑥))𝑅)})))))
Assertion
Ref Expression
hdmap1eulemOLDN (𝜑 → ∃!𝑦𝐷𝑧𝑉𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}) → 𝑦 = (𝐼‘⟨𝑧, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩)))
Distinct variable groups:   𝐶,   𝑥,,𝑦,𝑧,𝐷   ,𝐹,𝑥,𝑦,𝑧   ,𝐽,𝑥   ,𝐿,𝑥,𝑦,𝑧   ,𝑀,𝑥   ,𝑁,𝑥,𝑦,𝑧   0 ,,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥,𝑄   𝑅,,𝑥   ,,𝑥   𝑇,,𝑥,𝑦,𝑧   𝑈,,𝑧   ,𝑉,𝑦,𝑧   ,𝑋,𝑥,𝑦,𝑧   𝜑,,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐶(𝑥,𝑦,𝑧)   𝑄(𝑦,𝑧,)   𝑅(𝑦,𝑧)   𝑈(𝑥,𝑦)   𝐻(𝑥,𝑦,𝑧,)   𝐼(𝑥,𝑦,𝑧,)   𝐽(𝑦,𝑧)   𝐾(𝑥,𝑦,𝑧,)   𝑀(𝑦,𝑧)   (𝑦,𝑧)   𝑉(𝑥)   𝑊(𝑥,𝑦,𝑧,)

Proof of Theorem hdmap1eulemOLDN
StepHypRef Expression
1 hdmap1eulem.h . . 3 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 hdmap1eulem.u . . 3 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3 hdmap1eulem.v . . 3 𝑉 = (Base‘𝑈)
4 hdmap1eulem.s . . 3 = (-g𝑈)
5 hdmap1eulem.o . . 3 0 = (0g𝑈)
6 hdmap1eulem.n . . 3 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
7 hdmap1eulem.c . . 3 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
8 hdmap1eulem.d . . 3 𝐷 = (Base‘𝐶)
9 hdmap1eulem.r . . 3 𝑅 = (-g𝐶)
10 hdmap1eulem.q . . 3 𝑄 = (0g𝐶)
11 hdmap1eulem.j . . 3 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
12 hdmap1eulem.m . . 3 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
13 hdmap1eulem.l . . 3 𝐿 = (𝑥 ∈ V ↦ if((2nd𝑥) = 0 , 𝑄, (𝐷 ((𝑀‘(𝑁‘{(2nd𝑥)})) = (𝐽‘{}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{((1st ‘(1st𝑥)) (2nd𝑥))})) = (𝐽‘{((2nd ‘(1st𝑥))𝑅)})))))
14 hdmap1eulem.k . . 3 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
15 hdmap1eulem.f . . 3 (𝜑𝐹𝐷)
16 hdmap1eulem.mn . . 3 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐹}))
17 hdmap1eulem.x . . 3 (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
18 hdmap1eulem.y . . 3 (𝜑𝑇𝑉)
191, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18mapdh9aOLDN 41773 . 2 (𝜑 → ∃!𝑦𝐷𝑧𝑉𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}) → 𝑦 = (𝐿‘⟨𝑧, (𝐿‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩)))
20 hdmap1eulem.i . . . . . . . . . 10 𝐼 = ((HDMap1‘𝐾)‘𝑊)
2114ad2antrr 726 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇})) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
2217ad2antrr 726 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇})) → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
2315ad2antrr 726 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇})) → 𝐹𝐷)
24 simplr 769 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇})) → 𝑧𝑉)
251, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 20, 21, 22, 23, 24, 13hdmap1valc 41786 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑧𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇})) → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩) = (𝐿‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩))
2625oteq2d 4891 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇})) → ⟨𝑧, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩ = ⟨𝑧, (𝐿‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩)
2726fveq2d 6911 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇})) → (𝐼‘⟨𝑧, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩) = (𝐼‘⟨𝑧, (𝐿‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩))
28 eqid 2735 . . . . . . . . 9 (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
291, 2, 14dvhlmod 41093 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
3029ad2antrr 726 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑧𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇})) → 𝑈 ∈ LMod)
3117eldifad 3975 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑋𝑉)
323, 28, 6, 29, 31, 18lspprcl 20994 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, 𝑇}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
3332ad2antrr 726 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑧𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇})) → (𝑁‘{𝑋, 𝑇}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
34 simpr 484 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑧𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇})) → ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}))
355, 28, 30, 33, 24, 34lssneln0 20969 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇})) → 𝑧 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
3616ad2antrr 726 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑧𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇})) → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐹}))
371, 2, 14dvhlvec 41092 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑈 ∈ LVec)
3837ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑧𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇})) → 𝑈 ∈ LVec)
3931ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑧𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇})) → 𝑋𝑉)
4018ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑧𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇})) → 𝑇𝑉)
413, 6, 38, 24, 39, 40, 34lspindpi 21152 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑧𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇})) → ((𝑁‘{𝑧}) ≠ (𝑁‘{𝑋}) ∧ (𝑁‘{𝑧}) ≠ (𝑁‘{𝑇})))
4241simpld 494 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇})) → (𝑁‘{𝑧}) ≠ (𝑁‘{𝑋}))
4342necomd 2994 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑧𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇})) → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑧}))
4410, 13, 1, 12, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 21, 23, 36, 22, 24, 43mapdhcl 41710 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇})) → (𝐿‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩) ∈ 𝐷)
451, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 20, 21, 35, 44, 40, 13hdmap1valc 41786 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇})) → (𝐼‘⟨𝑧, (𝐿‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩) = (𝐿‘⟨𝑧, (𝐿‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩))
4627, 45eqtrd 2775 . . . . . 6 (((𝜑𝑧𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇})) → (𝐼‘⟨𝑧, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩) = (𝐿‘⟨𝑧, (𝐿‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩))
4746eqeq2d 2746 . . . . 5 (((𝜑𝑧𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇})) → (𝑦 = (𝐼‘⟨𝑧, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩) ↔ 𝑦 = (𝐿‘⟨𝑧, (𝐿‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩)))
4847pm5.74da 804 . . . 4 ((𝜑𝑧𝑉) → ((¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}) → 𝑦 = (𝐼‘⟨𝑧, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩)) ↔ (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}) → 𝑦 = (𝐿‘⟨𝑧, (𝐿‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩))))
4948ralbidva 3174 . . 3 (𝜑 → (∀𝑧𝑉𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}) → 𝑦 = (𝐼‘⟨𝑧, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩)) ↔ ∀𝑧𝑉𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}) → 𝑦 = (𝐿‘⟨𝑧, (𝐿‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩))))
5049reubidv 3396 . 2 (𝜑 → (∃!𝑦𝐷𝑧𝑉𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}) → 𝑦 = (𝐼‘⟨𝑧, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩)) ↔ ∃!𝑦𝐷𝑧𝑉𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}) → 𝑦 = (𝐿‘⟨𝑧, (𝐿‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩))))
5119, 50mpbird 257 1 (𝜑 → ∃!𝑦𝐷𝑧𝑉𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}) → 𝑦 = (𝐼‘⟨𝑧, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  wral 3059  ∃!wreu 3376  Vcvv 3478  cdif 3960  ifcif 4531  {csn 4631  {cpr 4633  cotp 4639  cmpt 5231  cfv 6563  crio 7387  (class class class)co 7431  1st c1st 8011  2nd c2nd 8012  Basecbs 17245  0gc0g 17486  -gcsg 18966  LModclmod 20875  LSubSpclss 20947  LSpanclspn 20987  LVecclvec 21119  HLchlt 39332  LHypclh 39967  DVecHcdvh 41061  LCDualclcd 41569  mapdcmpd 41607  HDMap1chdma1 41774
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-riotaBAD 38935
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-ot 4640  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-tpos 8250  df-undef 8297  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-0g 17488  df-mre 17631  df-mrc 17632  df-acs 17634  df-proset 18352  df-poset 18371  df-plt 18388  df-lub 18404  df-glb 18405  df-join 18406  df-meet 18407  df-p0 18483  df-p1 18484  df-lat 18490  df-clat 18557  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-submnd 18810  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-sbg 18969  df-subg 19154  df-cntz 19348  df-oppg 19377  df-lsm 19669  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-rng 20171  df-ur 20200  df-ring 20253  df-oppr 20351  df-dvdsr 20374  df-unit 20375  df-invr 20405  df-dvr 20418  df-nzr 20530  df-rlreg 20711  df-domn 20712  df-drng 20748  df-lmod 20877  df-lss 20948  df-lsp 20988  df-lvec 21120  df-lsatoms 38958  df-lshyp 38959  df-lcv 39001  df-lfl 39040  df-lkr 39068  df-ldual 39106  df-oposet 39158  df-ol 39160  df-oml 39161  df-covers 39248  df-ats 39249  df-atl 39280  df-cvlat 39304  df-hlat 39333  df-llines 39481  df-lplanes 39482  df-lvols 39483  df-lines 39484  df-psubsp 39486  df-pmap 39487  df-padd 39779  df-lhyp 39971  df-laut 39972  df-ldil 40087  df-ltrn 40088  df-trl 40142  df-tgrp 40726  df-tendo 40738  df-edring 40740  df-dveca 40986  df-disoa 41012  df-dvech 41062  df-dib 41122  df-dic 41156  df-dih 41212  df-doch 41331  df-djh 41378  df-lcdual 41570  df-mapd 41608  df-hdmap1 41776
This theorem is referenced by:  hdmap1euOLDN  41808
  Copyright terms: Public domain W3C validator