Theorem hdmap14lem11 39819

Description: Part of proof of part 14 in [Baer] p. 50 line 3. (Contributed by NM, 3-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
hdmap14lem8.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hdmap14lem8.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hdmap14lem8.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
hdmap14lem8.q	⊢ + = (+g‘𝑈)
hdmap14lem8.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑈)
hdmap14lem8.o	⊢ 0 = (0g‘𝑈)
hdmap14lem8.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
hdmap14lem8.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
hdmap14lem8.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
hdmap14lem8.c	⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
hdmap14lem8.d	⊢ ✚ = (+g‘𝐶)
hdmap14lem8.e	⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘𝐶)
hdmap14lem8.p	⊢ 𝑃 = (Scalar‘𝐶)
hdmap14lem8.a	⊢ 𝐴 = (Base‘𝑃)
hdmap14lem8.s	⊢ 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
hdmap14lem8.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
hdmap14lem8.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
hdmap14lem8.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
hdmap14lem8.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
hdmap14lem8.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐴)
hdmap14lem8.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝐴)
hdmap14lem8.xx	⊢ (𝜑 → (𝑆‘(𝐹 · 𝑋)) = (𝐺 ∙ (𝑆‘𝑋)))
hdmap14lem8.yy	⊢ (𝜑 → (𝑆‘(𝐹 · 𝑌)) = (𝐼 ∙ (𝑆‘𝑌)))

Assertion

Ref	Expression
hdmap14lem11	⊢ (𝜑 → 𝐺 = 𝐼)

Proof of Theorem hdmap14lem11

Dummy variables 𝑔 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hdmap14lem8.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		hdmap14lem8.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3		hdmap14lem8.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
4		hdmap14lem8.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
5		hdmap14lem8.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
6		hdmap14lem8.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
7	6	eldifad 3895	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
8		hdmap14lem8.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
9	8	eldifad 3895	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
10	1, 2, 3, 4, 5, 7, 9	dvh3dim 39387	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑧 ∈ 𝑉 ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
11		hdmap14lem8.t	. . . . 5 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑈)
12		hdmap14lem8.r	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
13		hdmap14lem8.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
14		hdmap14lem8.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
15		hdmap14lem8.e	. . . . 5 ⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘𝐶)
16		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (LSpan‘𝐶) = (LSpan‘𝐶)
17		hdmap14lem8.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Scalar‘𝐶)
18		hdmap14lem8.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (Base‘𝑃)
19		hdmap14lem8.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
20	5	3ad2ant1 1131	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
21		simp2 1135	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) → 𝑧 ∈ 𝑉)
22		hdmap14lem8.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
23	22	3ad2ant1 1131	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) → 𝐹 ∈ 𝐵)
24	1, 2, 3, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 23	hdmap14lem2a 39808	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) → ∃𝑔 ∈ 𝐴 (𝑆‘(𝐹 · 𝑧)) = (𝑔 ∙ (𝑆‘𝑧)))
25		hdmap14lem8.q	. . . . . . 7 ⊢ + = (+g‘𝑈)
26		hdmap14lem8.o	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0g‘𝑈)
27		hdmap14lem8.d	. . . . . . 7 ⊢ ✚ = (+g‘𝐶)
28		simp11 1201	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) ∧ 𝑔 ∈ 𝐴 ∧ (𝑆‘(𝐹 · 𝑧)) = (𝑔 ∙ (𝑆‘𝑧))) → 𝜑)
29	28, 5	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) ∧ 𝑔 ∈ 𝐴 ∧ (𝑆‘(𝐹 · 𝑧)) = (𝑔 ∙ (𝑆‘𝑧))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
30		eqid 2738	. . . . . . . 8 ⊢ (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
31	1, 2, 5	dvhlmod 39051	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
32	28, 31	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) ∧ 𝑔 ∈ 𝐴 ∧ (𝑆‘(𝐹 · 𝑧)) = (𝑔 ∙ (𝑆‘𝑧))) → 𝑈 ∈ LMod)
33	3, 30, 4, 31, 7, 9	lspprcl 20155	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
34	28, 33	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) ∧ 𝑔 ∈ 𝐴 ∧ (𝑆‘(𝐹 · 𝑧)) = (𝑔 ∙ (𝑆‘𝑧))) → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
35		simp12 1202	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) ∧ 𝑔 ∈ 𝐴 ∧ (𝑆‘(𝐹 · 𝑧)) = (𝑔 ∙ (𝑆‘𝑧))) → 𝑧 ∈ 𝑉)
36		simp13 1203	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) ∧ 𝑔 ∈ 𝐴 ∧ (𝑆‘(𝐹 · 𝑧)) = (𝑔 ∙ (𝑆‘𝑧))) → ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
37	26, 30, 32, 34, 35, 36	lssneln0 20129	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) ∧ 𝑔 ∈ 𝐴 ∧ (𝑆‘(𝐹 · 𝑧)) = (𝑔 ∙ (𝑆‘𝑧))) → 𝑧 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
38	28, 6	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) ∧ 𝑔 ∈ 𝐴 ∧ (𝑆‘(𝐹 · 𝑧)) = (𝑔 ∙ (𝑆‘𝑧))) → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
39	28, 22	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) ∧ 𝑔 ∈ 𝐴 ∧ (𝑆‘(𝐹 · 𝑧)) = (𝑔 ∙ (𝑆‘𝑧))) → 𝐹 ∈ 𝐵)
40		simp2 1135	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) ∧ 𝑔 ∈ 𝐴 ∧ (𝑆‘(𝐹 · 𝑧)) = (𝑔 ∙ (𝑆‘𝑧))) → 𝑔 ∈ 𝐴)
41		hdmap14lem8.g	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐴)
42	28, 41	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) ∧ 𝑔 ∈ 𝐴 ∧ (𝑆‘(𝐹 · 𝑧)) = (𝑔 ∙ (𝑆‘𝑧))) → 𝐺 ∈ 𝐴)
43		simp3 1136	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) ∧ 𝑔 ∈ 𝐴 ∧ (𝑆‘(𝐹 · 𝑧)) = (𝑔 ∙ (𝑆‘𝑧))) → (𝑆‘(𝐹 · 𝑧)) = (𝑔 ∙ (𝑆‘𝑧)))
44		hdmap14lem8.xx	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘(𝐹 · 𝑋)) = (𝐺 ∙ (𝑆‘𝑋)))
45	28, 44	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) ∧ 𝑔 ∈ 𝐴 ∧ (𝑆‘(𝐹 · 𝑧)) = (𝑔 ∙ (𝑆‘𝑧))) → (𝑆‘(𝐹 · 𝑋)) = (𝐺 ∙ (𝑆‘𝑋)))
46	1, 2, 5	dvhlvec 39050	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LVec)
47	28, 46	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) ∧ 𝑔 ∈ 𝐴 ∧ (𝑆‘(𝐹 · 𝑧)) = (𝑔 ∙ (𝑆‘𝑧))) → 𝑈 ∈ LVec)
48	28, 7	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) ∧ 𝑔 ∈ 𝐴 ∧ (𝑆‘(𝐹 · 𝑧)) = (𝑔 ∙ (𝑆‘𝑧))) → 𝑋 ∈ 𝑉)
49	28, 9	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) ∧ 𝑔 ∈ 𝐴 ∧ (𝑆‘(𝐹 · 𝑧)) = (𝑔 ∙ (𝑆‘𝑧))) → 𝑌 ∈ 𝑉)
50	3, 4, 47, 35, 48, 49, 36	lspindpi 20309	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) ∧ 𝑔 ∈ 𝐴 ∧ (𝑆‘(𝐹 · 𝑧)) = (𝑔 ∙ (𝑆‘𝑧))) → ((𝑁‘{𝑧}) ≠ (𝑁‘{𝑋}) ∧ (𝑁‘{𝑧}) ≠ (𝑁‘{𝑌})))
51	50	simpld 494	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) ∧ 𝑔 ∈ 𝐴 ∧ (𝑆‘(𝐹 · 𝑧)) = (𝑔 ∙ (𝑆‘𝑧))) → (𝑁‘{𝑧}) ≠ (𝑁‘{𝑋}))
52	1, 2, 3, 25, 11, 26, 4, 12, 13, 14, 27, 15, 17, 18, 19, 29, 37, 38, 39, 40, 42, 43, 45, 51	hdmap14lem10 39818	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) ∧ 𝑔 ∈ 𝐴 ∧ (𝑆‘(𝐹 · 𝑧)) = (𝑔 ∙ (𝑆‘𝑧))) → 𝑔 = 𝐺)
53	28, 8	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) ∧ 𝑔 ∈ 𝐴 ∧ (𝑆‘(𝐹 · 𝑧)) = (𝑔 ∙ (𝑆‘𝑧))) → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
54		hdmap14lem8.i	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝐴)
55	28, 54	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) ∧ 𝑔 ∈ 𝐴 ∧ (𝑆‘(𝐹 · 𝑧)) = (𝑔 ∙ (𝑆‘𝑧))) → 𝐼 ∈ 𝐴)
56		hdmap14lem8.yy	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘(𝐹 · 𝑌)) = (𝐼 ∙ (𝑆‘𝑌)))
57	28, 56	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) ∧ 𝑔 ∈ 𝐴 ∧ (𝑆‘(𝐹 · 𝑧)) = (𝑔 ∙ (𝑆‘𝑧))) → (𝑆‘(𝐹 · 𝑌)) = (𝐼 ∙ (𝑆‘𝑌)))
58	50	simprd 495	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) ∧ 𝑔 ∈ 𝐴 ∧ (𝑆‘(𝐹 · 𝑧)) = (𝑔 ∙ (𝑆‘𝑧))) → (𝑁‘{𝑧}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
59	1, 2, 3, 25, 11, 26, 4, 12, 13, 14, 27, 15, 17, 18, 19, 29, 37, 53, 39, 40, 55, 43, 57, 58	hdmap14lem10 39818	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) ∧ 𝑔 ∈ 𝐴 ∧ (𝑆‘(𝐹 · 𝑧)) = (𝑔 ∙ (𝑆‘𝑧))) → 𝑔 = 𝐼)
60	52, 59	eqtr3d 2780	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) ∧ 𝑔 ∈ 𝐴 ∧ (𝑆‘(𝐹 · 𝑧)) = (𝑔 ∙ (𝑆‘𝑧))) → 𝐺 = 𝐼)
61	60	rexlimdv3a 3214	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) → (∃𝑔 ∈ 𝐴 (𝑆‘(𝐹 · 𝑧)) = (𝑔 ∙ (𝑆‘𝑧)) → 𝐺 = 𝐼))
62	24, 61	mpd 15	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) → 𝐺 = 𝐼)
63	62	rexlimdv3a 3214	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑧 ∈ 𝑉 ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) → 𝐺 = 𝐼))
64	10, 63	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = 𝐼)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  ∃wrex 3064   ∖ cdif 3880  {csn 4558  {cpr 4560  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  Basecbs 16840  +_gcplusg 16888  Scalarcsca 16891   ·_𝑠 cvsca 16892  0_gc0g 17067  LModclmod 20038  LSubSpclss 20108  LSpanclspn 20148  LVecclvec 20279  HLchlt 37291  LHypclh 37925  DVecHcdvh 39019  LCDualclcd 39527  HDMapchdma 39733

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-riotaBAD 36894

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-ot 4567  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-of 7511  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-tpos 8013  df-undef 8060  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-map 8575  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-fz 13169  df-struct 16776  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-mulr 16902  df-sca 16904  df-vsca 16905  df-0g 17069  df-mre 17212  df-mrc 17213  df-acs 17215  df-proset 17928  df-poset 17946  df-plt 17963  df-lub 17979  df-glb 17980  df-join 17981  df-meet 17982  df-p0 18058  df-p1 18059  df-lat 18065  df-clat 18132  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-submnd 18346  df-grp 18495  df-minusg 18496  df-sbg 18497  df-subg 18667  df-cntz 18838  df-oppg 18865  df-lsm 19156  df-cmn 19303  df-abl 19304  df-mgp 19636  df-ur 19653  df-ring 19700  df-oppr 19777  df-dvdsr 19798  df-unit 19799  df-invr 19829  df-dvr 19840  df-drng 19908  df-lmod 20040  df-lss 20109  df-lsp 20149  df-lvec 20280  df-lsatoms 36917  df-lshyp 36918  df-lcv 36960  df-lfl 36999  df-lkr 37027  df-ldual 37065  df-oposet 37117  df-ol 37119  df-oml 37120  df-covers 37207  df-ats 37208  df-atl 37239  df-cvlat 37263  df-hlat 37292  df-llines 37439  df-lplanes 37440  df-lvols 37441  df-lines 37442  df-psubsp 37444  df-pmap 37445  df-padd 37737  df-lhyp 37929  df-laut 37930  df-ldil 38045  df-ltrn 38046  df-trl 38100  df-tgrp 38684  df-tendo 38696  df-edring 38698  df-dveca 38944  df-disoa 38970  df-dvech 39020  df-dib 39080  df-dic 39114  df-dih 39170  df-doch 39289  df-djh 39336  df-lcdual 39528  df-mapd 39566  df-hvmap 39698  df-hdmap1 39734  df-hdmap 39735

This theorem is referenced by:  hdmap14lem12  39820