Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hdmap14lem11 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hdmap14lem11 39167
Description: Part of proof of part 14 in [Baer] p. 50 line 3. (Contributed by NM, 3-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hdmap14lem8.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hdmap14lem8.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hdmap14lem8.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
hdmap14lem8.q + = (+g𝑈)
hdmap14lem8.t · = ( ·𝑠𝑈)
hdmap14lem8.o 0 = (0g𝑈)
hdmap14lem8.n 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
hdmap14lem8.r 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
hdmap14lem8.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
hdmap14lem8.c 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
hdmap14lem8.d = (+g𝐶)
hdmap14lem8.e = ( ·𝑠𝐶)
hdmap14lem8.p 𝑃 = (Scalar‘𝐶)
hdmap14lem8.a 𝐴 = (Base‘𝑃)
hdmap14lem8.s 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
hdmap14lem8.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
hdmap14lem8.x (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
hdmap14lem8.y (𝜑𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
hdmap14lem8.f (𝜑𝐹𝐵)
hdmap14lem8.g (𝜑𝐺𝐴)
hdmap14lem8.i (𝜑𝐼𝐴)
hdmap14lem8.xx (𝜑 → (𝑆‘(𝐹 · 𝑋)) = (𝐺 (𝑆𝑋)))
hdmap14lem8.yy (𝜑 → (𝑆‘(𝐹 · 𝑌)) = (𝐼 (𝑆𝑌)))
Assertion
Ref Expression
hdmap14lem11 (𝜑𝐺 = 𝐼)

Proof of Theorem hdmap14lem11
Dummy variables 𝑔 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hdmap14lem8.h . . 3 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 hdmap14lem8.u . . 3 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3 hdmap14lem8.v . . 3 𝑉 = (Base‘𝑈)
4 hdmap14lem8.n . . 3 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
5 hdmap14lem8.k . . 3 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
6 hdmap14lem8.x . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
76eldifad 3896 . . 3 (𝜑𝑋𝑉)
8 hdmap14lem8.y . . . 4 (𝜑𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
98eldifad 3896 . . 3 (𝜑𝑌𝑉)
101, 2, 3, 4, 5, 7, 9dvh3dim 38735 . 2 (𝜑 → ∃𝑧𝑉 ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
11 hdmap14lem8.t . . . . 5 · = ( ·𝑠𝑈)
12 hdmap14lem8.r . . . . 5 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
13 hdmap14lem8.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑅)
14 hdmap14lem8.c . . . . 5 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
15 hdmap14lem8.e . . . . 5 = ( ·𝑠𝐶)
16 eqid 2801 . . . . 5 (LSpan‘𝐶) = (LSpan‘𝐶)
17 hdmap14lem8.p . . . . 5 𝑃 = (Scalar‘𝐶)
18 hdmap14lem8.a . . . . 5 𝐴 = (Base‘𝑃)
19 hdmap14lem8.s . . . . 5 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
2053ad2ant1 1130 . . . . 5 ((𝜑𝑧𝑉 ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
21 simp2 1134 . . . . 5 ((𝜑𝑧𝑉 ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) → 𝑧𝑉)
22 hdmap14lem8.f . . . . . 6 (𝜑𝐹𝐵)
23223ad2ant1 1130 . . . . 5 ((𝜑𝑧𝑉 ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) → 𝐹𝐵)
241, 2, 3, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 23hdmap14lem2a 39156 . . . 4 ((𝜑𝑧𝑉 ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) → ∃𝑔𝐴 (𝑆‘(𝐹 · 𝑧)) = (𝑔 (𝑆𝑧)))
25 hdmap14lem8.q . . . . . . 7 + = (+g𝑈)
26 hdmap14lem8.o . . . . . . 7 0 = (0g𝑈)
27 hdmap14lem8.d . . . . . . 7 = (+g𝐶)
28 simp11 1200 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧𝑉 ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) ∧ 𝑔𝐴 ∧ (𝑆‘(𝐹 · 𝑧)) = (𝑔 (𝑆𝑧))) → 𝜑)
2928, 5syl 17 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧𝑉 ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) ∧ 𝑔𝐴 ∧ (𝑆‘(𝐹 · 𝑧)) = (𝑔 (𝑆𝑧))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
30 eqid 2801 . . . . . . . 8 (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
311, 2, 5dvhlmod 38399 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
3228, 31syl 17 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧𝑉 ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) ∧ 𝑔𝐴 ∧ (𝑆‘(𝐹 · 𝑧)) = (𝑔 (𝑆𝑧))) → 𝑈 ∈ LMod)
333, 30, 4, 31, 7, 9lspprcl 19746 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
3428, 33syl 17 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧𝑉 ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) ∧ 𝑔𝐴 ∧ (𝑆‘(𝐹 · 𝑧)) = (𝑔 (𝑆𝑧))) → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
35 simp12 1201 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧𝑉 ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) ∧ 𝑔𝐴 ∧ (𝑆‘(𝐹 · 𝑧)) = (𝑔 (𝑆𝑧))) → 𝑧𝑉)
36 simp13 1202 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧𝑉 ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) ∧ 𝑔𝐴 ∧ (𝑆‘(𝐹 · 𝑧)) = (𝑔 (𝑆𝑧))) → ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
3726, 30, 32, 34, 35, 36lssneln0 19720 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧𝑉 ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) ∧ 𝑔𝐴 ∧ (𝑆‘(𝐹 · 𝑧)) = (𝑔 (𝑆𝑧))) → 𝑧 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
3828, 6syl 17 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧𝑉 ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) ∧ 𝑔𝐴 ∧ (𝑆‘(𝐹 · 𝑧)) = (𝑔 (𝑆𝑧))) → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
3928, 22syl 17 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧𝑉 ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) ∧ 𝑔𝐴 ∧ (𝑆‘(𝐹 · 𝑧)) = (𝑔 (𝑆𝑧))) → 𝐹𝐵)
40 simp2 1134 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧𝑉 ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) ∧ 𝑔𝐴 ∧ (𝑆‘(𝐹 · 𝑧)) = (𝑔 (𝑆𝑧))) → 𝑔𝐴)
41 hdmap14lem8.g . . . . . . . 8 (𝜑𝐺𝐴)
4228, 41syl 17 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧𝑉 ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) ∧ 𝑔𝐴 ∧ (𝑆‘(𝐹 · 𝑧)) = (𝑔 (𝑆𝑧))) → 𝐺𝐴)
43 simp3 1135 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧𝑉 ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) ∧ 𝑔𝐴 ∧ (𝑆‘(𝐹 · 𝑧)) = (𝑔 (𝑆𝑧))) → (𝑆‘(𝐹 · 𝑧)) = (𝑔 (𝑆𝑧)))
44 hdmap14lem8.xx . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑆‘(𝐹 · 𝑋)) = (𝐺 (𝑆𝑋)))
4528, 44syl 17 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧𝑉 ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) ∧ 𝑔𝐴 ∧ (𝑆‘(𝐹 · 𝑧)) = (𝑔 (𝑆𝑧))) → (𝑆‘(𝐹 · 𝑋)) = (𝐺 (𝑆𝑋)))
461, 2, 5dvhlvec 38398 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑈 ∈ LVec)
4728, 46syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑧𝑉 ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) ∧ 𝑔𝐴 ∧ (𝑆‘(𝐹 · 𝑧)) = (𝑔 (𝑆𝑧))) → 𝑈 ∈ LVec)
4828, 7syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑧𝑉 ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) ∧ 𝑔𝐴 ∧ (𝑆‘(𝐹 · 𝑧)) = (𝑔 (𝑆𝑧))) → 𝑋𝑉)
4928, 9syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑧𝑉 ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) ∧ 𝑔𝐴 ∧ (𝑆‘(𝐹 · 𝑧)) = (𝑔 (𝑆𝑧))) → 𝑌𝑉)
503, 4, 47, 35, 48, 49, 36lspindpi 19900 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧𝑉 ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) ∧ 𝑔𝐴 ∧ (𝑆‘(𝐹 · 𝑧)) = (𝑔 (𝑆𝑧))) → ((𝑁‘{𝑧}) ≠ (𝑁‘{𝑋}) ∧ (𝑁‘{𝑧}) ≠ (𝑁‘{𝑌})))
5150simpld 498 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧𝑉 ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) ∧ 𝑔𝐴 ∧ (𝑆‘(𝐹 · 𝑧)) = (𝑔 (𝑆𝑧))) → (𝑁‘{𝑧}) ≠ (𝑁‘{𝑋}))
521, 2, 3, 25, 11, 26, 4, 12, 13, 14, 27, 15, 17, 18, 19, 29, 37, 38, 39, 40, 42, 43, 45, 51hdmap14lem10 39166 . . . . . 6 (((𝜑𝑧𝑉 ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) ∧ 𝑔𝐴 ∧ (𝑆‘(𝐹 · 𝑧)) = (𝑔 (𝑆𝑧))) → 𝑔 = 𝐺)
5328, 8syl 17 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧𝑉 ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) ∧ 𝑔𝐴 ∧ (𝑆‘(𝐹 · 𝑧)) = (𝑔 (𝑆𝑧))) → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
54 hdmap14lem8.i . . . . . . . 8 (𝜑𝐼𝐴)
5528, 54syl 17 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧𝑉 ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) ∧ 𝑔𝐴 ∧ (𝑆‘(𝐹 · 𝑧)) = (𝑔 (𝑆𝑧))) → 𝐼𝐴)
56 hdmap14lem8.yy . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑆‘(𝐹 · 𝑌)) = (𝐼 (𝑆𝑌)))
5728, 56syl 17 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧𝑉 ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) ∧ 𝑔𝐴 ∧ (𝑆‘(𝐹 · 𝑧)) = (𝑔 (𝑆𝑧))) → (𝑆‘(𝐹 · 𝑌)) = (𝐼 (𝑆𝑌)))
5850simprd 499 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧𝑉 ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) ∧ 𝑔𝐴 ∧ (𝑆‘(𝐹 · 𝑧)) = (𝑔 (𝑆𝑧))) → (𝑁‘{𝑧}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
591, 2, 3, 25, 11, 26, 4, 12, 13, 14, 27, 15, 17, 18, 19, 29, 37, 53, 39, 40, 55, 43, 57, 58hdmap14lem10 39166 . . . . . 6 (((𝜑𝑧𝑉 ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) ∧ 𝑔𝐴 ∧ (𝑆‘(𝐹 · 𝑧)) = (𝑔 (𝑆𝑧))) → 𝑔 = 𝐼)
6052, 59eqtr3d 2838 . . . . 5 (((𝜑𝑧𝑉 ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) ∧ 𝑔𝐴 ∧ (𝑆‘(𝐹 · 𝑧)) = (𝑔 (𝑆𝑧))) → 𝐺 = 𝐼)
6160rexlimdv3a 3248 . . . 4 ((𝜑𝑧𝑉 ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) → (∃𝑔𝐴 (𝑆‘(𝐹 · 𝑧)) = (𝑔 (𝑆𝑧)) → 𝐺 = 𝐼))
6224, 61mpd 15 . . 3 ((𝜑𝑧𝑉 ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) → 𝐺 = 𝐼)
6362rexlimdv3a 3248 . 2 (𝜑 → (∃𝑧𝑉 ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) → 𝐺 = 𝐼))
6410, 63mpd 15 1 (𝜑𝐺 = 𝐼)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2112  wne 2990  wrex 3110  cdif 3881  {csn 4528  {cpr 4530  cfv 6328  (class class class)co 7139  Basecbs 16478  +gcplusg 16560  Scalarcsca 16563   ·𝑠 cvsca 16564  0gc0g 16708  LModclmod 19630  LSubSpclss 19699  LSpanclspn 19739  LVecclvec 19870  HLchlt 36639  LHypclh 37273  DVecHcdvh 38367  LCDualclcd 38875  HDMapchdma 39081
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607  ax-riotaBAD 36242
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-ot 4537  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-iin 4887  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-of 7393  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-tpos 7879  df-undef 7926  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-oadd 8093  df-er 8276  df-map 8395  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-fz 12890  df-struct 16480  df-ndx 16481  df-slot 16482  df-base 16484  df-sets 16485  df-ress 16486  df-plusg 16573  df-mulr 16574  df-sca 16576  df-vsca 16577  df-0g 16710  df-mre 16852  df-mrc 16853  df-acs 16855  df-proset 17533  df-poset 17551  df-plt 17563  df-lub 17579  df-glb 17580  df-join 17581  df-meet 17582  df-p0 17644  df-p1 17645  df-lat 17651  df-clat 17713  df-mgm 17847  df-sgrp 17896  df-mnd 17907  df-submnd 17952  df-grp 18101  df-minusg 18102  df-sbg 18103  df-subg 18271  df-cntz 18442  df-oppg 18469  df-lsm 18756  df-cmn 18903  df-abl 18904  df-mgp 19236  df-ur 19248  df-ring 19295  df-oppr 19372  df-dvdsr 19390  df-unit 19391  df-invr 19421  df-dvr 19432  df-drng 19500  df-lmod 19632  df-lss 19700  df-lsp 19740  df-lvec 19871  df-lsatoms 36265  df-lshyp 36266  df-lcv 36308  df-lfl 36347  df-lkr 36375  df-ldual 36413  df-oposet 36465  df-ol 36467  df-oml 36468  df-covers 36555  df-ats 36556  df-atl 36587  df-cvlat 36611  df-hlat 36640  df-llines 36787  df-lplanes 36788  df-lvols 36789  df-lines 36790  df-psubsp 36792  df-pmap 36793  df-padd 37085  df-lhyp 37277  df-laut 37278  df-ldil 37393  df-ltrn 37394  df-trl 37448  df-tgrp 38032  df-tendo 38044  df-edring 38046  df-dveca 38292  df-disoa 38318  df-dvech 38368  df-dib 38428  df-dic 38462  df-dih 38518  df-doch 38637  df-djh 38684  df-lcdual 38876  df-mapd 38914  df-hvmap 39046  df-hdmap1 39082  df-hdmap 39083
This theorem is referenced by:  hdmap14lem12  39168
  Copyright terms: Public domain W3C validator