Theorem pipos 26407

Description: π is positive. (Contributed by Paul Chapman, 23-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 9-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
pipos	⊢ 0 < π

Proof of Theorem pipos

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2pos 12336	. 2 ⊢ 0 < 2
2		pigt2lt4 26403	. . 3 ⊢ (2 < π ∧ π < 4)
3	2	simpli 483	. 2 ⊢ 2 < π
4		0re 11230	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ
5		2re 12307	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℝ
6		pire 26405	. . 3 ⊢ π ∈ ℝ
7	4, 5, 6	lttri 11354	. 2 ⊢ ((0 < 2 ∧ 2 < π) → 0 < π)
8	1, 3, 7	mp2an 692	1 ⊢ 0 < π

Syntax hints:   class class class wbr 5117  0cc0 11122   < clt 11262  2c2 12288  4c4 12290  πcpi 16071

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-rep 5247  ax-sep 5264  ax-nul 5274  ax-pow 5333  ax-pr 5400  ax-un 7724  ax-inf2 9648  ax-cnex 11178  ax-resscn 11179  ax-1cn 11180  ax-icn 11181  ax-addcl 11182  ax-addrcl 11183  ax-mulcl 11184  ax-mulrcl 11185  ax-mulcom 11186  ax-addass 11187  ax-mulass 11188  ax-distr 11189  ax-i2m1 11190  ax-1ne0 11191  ax-1rid 11192  ax-rnegex 11193  ax-rrecex 11194  ax-cnre 11195  ax-pre-lttri 11196  ax-pre-lttrn 11197  ax-pre-ltadd 11198  ax-pre-mulgt0 11199  ax-pre-sup 11200  ax-addf 11201

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3357  df-reu 3358  df-rab 3414  df-v 3459  df-sbc 3764  df-csb 3873  df-dif 3927  df-un 3929  df-in 3931  df-ss 3941  df-pss 3944  df-nul 4307  df-if 4499  df-pw 4575  df-sn 4600  df-pr 4602  df-tp 4604  df-op 4606  df-uni 4882  df-int 4921  df-iun 4967  df-iin 4968  df-br 5118  df-opab 5180  df-mpt 5200  df-tr 5228  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6288  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6530  df-fn 6531  df-f 6532  df-f1 6533  df-fo 6534  df-f1o 6535  df-fv 6536  df-isom 6537  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-of 7666  df-om 7857  df-1st 7983  df-2nd 7984  df-supp 8155  df-frecs 8275  df-wrecs 8306  df-recs 8380  df-rdg 8419  df-1o 8475  df-2o 8476  df-er 8714  df-map 8837  df-pm 8838  df-ixp 8907  df-en 8955  df-dom 8956  df-sdom 8957  df-fin 8958  df-fsupp 9369  df-fi 9418  df-sup 9449  df-inf 9450  df-oi 9517  df-card 9946  df-pnf 11264  df-mnf 11265  df-xr 11266  df-ltxr 11267  df-le 11268  df-sub 11461  df-neg 11462  df-div 11888  df-nn 12234  df-2 12296  df-3 12297  df-4 12298  df-5 12299  df-6 12300  df-7 12301  df-8 12302  df-9 12303  df-n0 12495  df-z 12582  df-dec 12702  df-uz 12846  df-q 12958  df-rp 13002  df-xneg 13121  df-xadd 13122  df-xmul 13123  df-ioo 13358  df-ioc 13359  df-ico 13360  df-icc 13361  df-fz 13515  df-fzo 13662  df-fl 13799  df-seq 14010  df-exp 14070  df-fac 14282  df-bc 14311  df-hash 14339  df-shft 15075  df-cj 15107  df-re 15108  df-im 15109  df-sqrt 15243  df-abs 15244  df-limsup 15476  df-clim 15493  df-rlim 15494  df-sum 15692  df-ef 16072  df-sin 16074  df-cos 16075  df-pi 16077  df-struct 17153  df-sets 17170  df-slot 17188  df-ndx 17200  df-base 17216  df-ress 17239  df-plusg 17271  df-mulr 17272  df-starv 17273  df-sca 17274  df-vsca 17275  df-ip 17276  df-tset 17277  df-ple 17278  df-ds 17280  df-unif 17281  df-hom 17282  df-cco 17283  df-rest 17423  df-topn 17424  df-0g 17442  df-gsum 17443  df-topgen 17444  df-pt 17445  df-prds 17448  df-xrs 17503  df-qtop 17508  df-imas 17509  df-xps 17511  df-mre 17585  df-mrc 17586  df-acs 17588  df-mgm 18605  df-sgrp 18684  df-mnd 18700  df-submnd 18749  df-mulg 19038  df-cntz 19287  df-cmn 19750  df-psmet 21294  df-xmet 21295  df-met 21296  df-bl 21297  df-mopn 21298  df-fbas 21299  df-fg 21300  df-cnfld 21303  df-top 22819  df-topon 22836  df-topsp 22858  df-bases 22871  df-cld 22944  df-ntr 22945  df-cls 22946  df-nei 23023  df-lp 23061  df-perf 23062  df-cn 23152  df-cnp 23153  df-haus 23240  df-tx 23487  df-hmeo 23680  df-fil 23771  df-fm 23863  df-flim 23864  df-flf 23865  df-xms 24246  df-ms 24247  df-tms 24248  df-cncf 24809  df-limc 25806  df-dv 25807

This theorem is referenced by:  pirp  26408  sinhalfpilem  26410  sincos4thpi  26460  sincos6thpi  26463  pigt3  26465  sineq0  26471  coseq1  26472  cosq34lt1  26474  efeq1  26475  cosne0  26476  cos0pilt1  26479  recosf1o  26482  tanord1  26484  efif1olem2  26490  efif1olem4  26492  relogrn  26508  logi  26534  logneg  26535  eflogeq  26549  logneg2  26562  logf1o2  26597  root1eq1  26703  logbrec  26730  ang180lem1  26757  ang180lem2  26758  ang180lem3  26759  asin1  26842  basellem4  27032  itgexpif  34567  bj-pinftyccb  37168  bj-minftyccb  37172  bj-pinftynminfty  37174  tan2h  37565  pine0  42293  asin1half  42332  acos1half  42333  proot1ex  43152  isosctrlem1ALT  44892  sineq0ALT  44895  negpilt0  45243  coseq0  45829  sinaover2ne0  45833  itgsin0pilem1  45915  itgsinexplem1  45919  wallispilem2  46031  wallispi  46035  stirlinglem15  46053  stirlingr  46055  dirker2re  46057  dirkerdenne0  46058  dirkerval2  46059  dirkerre  46060  dirkertrigeqlem1  46063  dirkertrigeqlem2  46064  dirkertrigeqlem3  46065  dirkertrigeq  46066  dirkeritg  46067  dirkercncflem1  46068  dirkercncflem2  46069  dirkercncflem4  46071  fourierdlem16  46088  fourierdlem21  46093  fourierdlem22  46094  fourierdlem24  46096  fourierdlem62  46133  fourierdlem66  46137  fourierdlem83  46154  fourierdlem94  46165  fourierdlem95  46166  fourierdlem102  46173  fourierdlem103  46174  fourierdlem104  46175  fourierdlem111  46182  fourierdlem112  46183  fourierdlem113  46184  fourierdlem114  46185  sqwvfoura  46193  sqwvfourb  46194  fourierswlem  46195  fouriersw  46196