Theorem pipos 25607

Description: π is positive. (Contributed by Paul Chapman, 23-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 9-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
pipos	⊢ 0 < π

Proof of Theorem pipos

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2pos 12068	. 2 ⊢ 0 < 2
2		pigt2lt4 25603	. . 3 ⊢ (2 < π ∧ π < 4)
3	2	simpli 484	. 2 ⊢ 2 < π
4		0re 10970	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ
5		2re 12039	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℝ
6		pire 25605	. . 3 ⊢ π ∈ ℝ
7	4, 5, 6	lttri 11093	. 2 ⊢ ((0 < 2 ∧ 2 < π) → 0 < π)
8	1, 3, 7	mp2an 689	1 ⊢ 0 < π

Syntax hints:   class class class wbr 5079  0cc0 10864   < clt 11002  2c2 12020  4c4 12022  πcpi 15766

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-rep 5214  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7580  ax-inf2 9369  ax-cnex 10920  ax-resscn 10921  ax-1cn 10922  ax-icn 10923  ax-addcl 10924  ax-addrcl 10925  ax-mulcl 10926  ax-mulrcl 10927  ax-mulcom 10928  ax-addass 10929  ax-mulass 10930  ax-distr 10931  ax-i2m1 10932  ax-1ne0 10933  ax-1rid 10934  ax-rnegex 10935  ax-rrecex 10936  ax-cnre 10937  ax-pre-lttri 10938  ax-pre-lttrn 10939  ax-pre-ltadd 10940  ax-pre-mulgt0 10941  ax-pre-sup 10942  ax-addf 10943  ax-mulf 10944

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rmo 3074  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4846  df-int 4886  df-iun 4932  df-iin 4933  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6200  df-ord 6267  df-on 6268  df-lim 6269  df-suc 6270  df-iota 6389  df-fun 6433  df-fn 6434  df-f 6435  df-f1 6436  df-fo 6437  df-f1o 6438  df-fv 6439  df-isom 6440  df-riota 7226  df-ov 7272  df-oprab 7273  df-mpo 7274  df-of 7525  df-om 7702  df-1st 7818  df-2nd 7819  df-supp 7963  df-frecs 8082  df-wrecs 8113  df-recs 8187  df-rdg 8226  df-1o 8282  df-2o 8283  df-er 8473  df-map 8592  df-pm 8593  df-ixp 8661  df-en 8709  df-dom 8710  df-sdom 8711  df-fin 8712  df-fsupp 9099  df-fi 9140  df-sup 9171  df-inf 9172  df-oi 9239  df-card 9690  df-pnf 11004  df-mnf 11005  df-xr 11006  df-ltxr 11007  df-le 11008  df-sub 11199  df-neg 11200  df-div 11625  df-nn 11966  df-2 12028  df-3 12029  df-4 12030  df-5 12031  df-6 12032  df-7 12033  df-8 12034  df-9 12035  df-n0 12226  df-z 12312  df-dec 12429  df-uz 12574  df-q 12680  df-rp 12722  df-xneg 12839  df-xadd 12840  df-xmul 12841  df-ioo 13074  df-ioc 13075  df-ico 13076  df-icc 13077  df-fz 13231  df-fzo 13374  df-fl 13502  df-seq 13712  df-exp 13773  df-fac 13978  df-bc 14007  df-hash 14035  df-shft 14768  df-cj 14800  df-re 14801  df-im 14802  df-sqrt 14936  df-abs 14937  df-limsup 15170  df-clim 15187  df-rlim 15188  df-sum 15388  df-ef 15767  df-sin 15769  df-cos 15770  df-pi 15772  df-struct 16838  df-sets 16855  df-slot 16873  df-ndx 16885  df-base 16903  df-ress 16932  df-plusg 16965  df-mulr 16966  df-starv 16967  df-sca 16968  df-vsca 16969  df-ip 16970  df-tset 16971  df-ple 16972  df-ds 16974  df-unif 16975  df-hom 16976  df-cco 16977  df-rest 17123  df-topn 17124  df-0g 17142  df-gsum 17143  df-topgen 17144  df-pt 17145  df-prds 17148  df-xrs 17203  df-qtop 17208  df-imas 17209  df-xps 17211  df-mre 17285  df-mrc 17286  df-acs 17288  df-mgm 18316  df-sgrp 18365  df-mnd 18376  df-submnd 18421  df-mulg 18691  df-cntz 18913  df-cmn 19378  df-psmet 20579  df-xmet 20580  df-met 20581  df-bl 20582  df-mopn 20583  df-fbas 20584  df-fg 20585  df-cnfld 20588  df-top 22033  df-topon 22050  df-topsp 22072  df-bases 22086  df-cld 22160  df-ntr 22161  df-cls 22162  df-nei 22239  df-lp 22277  df-perf 22278  df-cn 22368  df-cnp 22369  df-haus 22456  df-tx 22703  df-hmeo 22896  df-fil 22987  df-fm 23079  df-flim 23080  df-flf 23081  df-xms 23463  df-ms 23464  df-tms 23465  df-cncf 24031  df-limc 25020  df-dv 25021

This theorem is referenced by:  pirp  25608  sinhalfpilem  25610  sincos4thpi  25660  sincos6thpi  25662  pigt3  25664  sineq0  25670  coseq1  25671  cosq34lt1  25673  efeq1  25674  cosne0  25675  cos0pilt1  25678  recosf1o  25681  tanord1  25683  efif1olem2  25689  efif1olem4  25691  relogrn  25707  logneg  25733  eflogeq  25747  logneg2  25760  logf1o2  25795  root1eq1  25898  logbrec  25922  ang180lem1  25949  ang180lem2  25950  ang180lem3  25951  asin1  26034  basellem4  26223  itgexpif  32574  logi  33688  bj-pinftyccb  35380  bj-minftyccb  35384  bj-pinftynminfty  35386  tan2h  35757  acos1half  40159  proot1ex  41015  isosctrlem1ALT  42516  sineq0ALT  42519  negpilt0  42781  coseq0  43368  sinaover2ne0  43372  itgsin0pilem1  43454  itgsinexplem1  43458  wallispilem2  43570  wallispi  43574  stirlinglem15  43592  stirlingr  43594  dirker2re  43596  dirkerdenne0  43597  dirkerval2  43598  dirkerre  43599  dirkertrigeqlem1  43602  dirkertrigeqlem2  43603  dirkertrigeqlem3  43604  dirkertrigeq  43605  dirkeritg  43606  dirkercncflem1  43607  dirkercncflem2  43608  dirkercncflem4  43610  fourierdlem16  43627  fourierdlem21  43632  fourierdlem22  43633  fourierdlem24  43635  fourierdlem62  43672  fourierdlem66  43676  fourierdlem83  43693  fourierdlem94  43704  fourierdlem95  43705  fourierdlem102  43712  fourierdlem103  43713  fourierdlem104  43714  fourierdlem111  43721  fourierdlem112  43722  fourierdlem113  43723  fourierdlem114  43724  sqwvfoura  43732  sqwvfourb  43733  fourierswlem  43734  fouriersw  43735