Theorem pipos 26601

Description: π is positive. (Contributed by Paul Chapman, 23-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 9-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
pipos	⊢ 0 < π

Proof of Theorem pipos

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2pos 12346	. 2 ⊢ 0 < 2
2		pigt2lt4 26595	. . 3 ⊢ (2 < π ∧ π < 4)
3	2	simpli 488	. 2 ⊢ 2 < π
4		0re 11211	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ
5		2re 12316	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℝ
6		pire 26597	. . 3 ⊢ π ∈ ℝ
7	4, 5, 6	lttri 11337	. 2 ⊢ ((0 < 2 ∧ 2 < π) → 0 < π)
8	1, 3, 7	mp2an 704	1 ⊢ 0 < π

Syntax hints:   class class class wbr 5110  0cc0 11101   < clt 11244  2c2 12296  4c4 12298  πcpi 16121

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-inf2 9611  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178  ax-pre-sup 11179  ax-addf 11180

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-iin 4960  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7676  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8158  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-1o 8454  df-2o 8455  df-er 8695  df-map 8827  df-pm 8828  df-ixp 8897  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-fin 8948  df-fsupp 9323  df-fi 9372  df-sup 9403  df-inf 9404  df-oi 9473  df-card 9926  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-div 11873  df-nn 12235  df-2 12304  df-3 12305  df-4 12306  df-5 12307  df-6 12308  df-7 12309  df-8 12310  df-9 12311  df-n0 12506  df-z 12593  df-dec 12713  df-uz 12864  df-q 12974  df-rp 13018  df-xneg 13138  df-xadd 13139  df-xmul 13140  df-ioo 13377  df-ioc 13378  df-ico 13379  df-icc 13380  df-fz 13537  df-fzo 13685  df-fl 13827  df-seq 14040  df-exp 14100  df-fac 14312  df-bc 14341  df-hash 14369  df-shft 15106  df-cj 15152  df-re 15153  df-im 15154  df-sqrt 15288  df-abs 15289  df-limsup 15524  df-clim 15541  df-rlim 15542  df-sum 15740  df-ef 16122  df-sin 16124  df-cos 16125  df-pi 16127  df-struct 17208  df-sets 17225  df-slot 17243  df-ndx 17255  df-base 17271  df-ress 17292  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-starv 17326  df-sca 17327  df-vsca 17328  df-ip 17329  df-tset 17330  df-ple 17331  df-ds 17333  df-unif 17334  df-hom 17335  df-cco 17336  df-rest 17476  df-topn 17477  df-0g 17495  df-gsum 17496  df-topgen 17497  df-pt 17498  df-prds 17501  df-xrs 17557  df-qtop 17562  df-imas 17563  df-xps 17565  df-mre 17639  df-mrc 17640  df-acs 17642  df-mgm 18699  df-sgrp 18778  df-mnd 18794  df-submnd 18843  df-mulg 19135  df-cntz 19388  df-cmn 19853  df-psmet 21495  df-xmet 21496  df-met 21497  df-bl 21498  df-mopn 21499  df-fbas 21500  df-fg 21501  df-cnfld 21504  df-top 23032  df-topon 23049  df-topsp 23071  df-bases 23084  df-cld 23157  df-ntr 23158  df-cls 23159  df-nei 23236  df-lp 23274  df-perf 23275  df-cn 23365  df-cnp 23366  df-haus 23453  df-tx 23700  df-hmeo 23893  df-fil 23984  df-fm 24076  df-flim 24077  df-flf 24078  df-xms 24458  df-ms 24459  df-tms 24460  df-cncf 25018  df-limc 26006  df-dv 26007

This theorem is referenced by:  pige0  26602  pine0  26603  pirp  26604  sinhalfpilem  26606  sincos4thpi  26656  sincos6thpi  26659  pigt3  26661  sineq0  26667  coseq1  26668  cosq34lt1  26670  efeq1  26671  cosne0  26672  cos0pilt1  26675  recosf1o  26678  tanord1  26680  efif1olem2  26686  efif1olem4  26688  relogrn  26704  logi  26730  logneg  26731  eflogeq  26745  logneg2  26758  logf1o2  26793  root1eq1  26898  logbrec  26925  ang180lem1  26952  ang180lem2  26953  ang180lem3  26954  asin1  27037  basellem4  27226  itgexpif  34971  bj-pinftyccb  37843  bj-minftyccb  37847  bj-pinftynminfty  37849  tan2h  38241  asin1half  43096  acos1half  43097  proot1ex  43903  isosctrlem1ALT  45622  sineq0ALT  45625  negpilt0  45980  coseq0  46558  sinaover2ne0  46562  itgsin0pilem1  46644  itgsinexplem1  46648  wallispilem2  46760  wallispi  46764  stirlingr  46784  dirker2re  46786  dirkerdenne0  46787  dirkerval2  46788  dirkerre  46789  dirkertrigeqlem1  46792  dirkertrigeqlem2  46793  dirkertrigeqlem3  46794  dirkertrigeq  46795  dirkeritg  46796  dirkercncflem1  46797  dirkercncflem2  46798  dirkercncflem4  46800  fourierdlem16  46817  fourierdlem21  46822  fourierdlem22  46823  fourierdlem24  46825  fourierdlem62  46862  fourierdlem66  46866  fourierdlem83  46883  fourierdlem94  46894  fourierdlem95  46895  fourierdlem102  46902  fourierdlem103  46903  fourierdlem104  46904  fourierdlem111  46911  fourierdlem112  46912  fourierdlem113  46913  fourierdlem114  46914  sqwvfoura  46922  sqwvfourb  46923  fourierswlem  46924  fouriersw  46925  goldrapos  47597