Theorem pipos 26660

Description: π is positive. (Contributed by Paul Chapman, 23-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 9-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
pipos	⊢ 0 < π

Proof of Theorem pipos

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2pos 12363	. 2 ⊢ 0 < 2
2		pigt2lt4 26654	. . 3 ⊢ (2 < π ∧ π < 4)
3	2	simpli 489	. 2 ⊢ 2 < π
4		0re 11228	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ
5		2re 12333	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℝ
6		pire 26656	. . 3 ⊢ π ∈ ℝ
7	4, 5, 6	lttri 11354	. 2 ⊢ ((0 < 2 ∧ 2 < π) → 0 < π)
8	1, 3, 7	mp2an 705	1 ⊢ 0 < π

This proof depends on syntax axioms:   class class class wbr 5114  0cc0 11118   < clt 11261  2c2 12313  4c4 12315  πcpi 16145

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-inf2 9620  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195  ax-pre-sup 11196  ax-addf 11197

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4878  df-int 4918  df-iun 4963  df-iin 4964  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-se 5620  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-of 7687  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-supp 8166  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-er 8703  df-map 8835  df-pm 8836  df-ixp 8905  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-fsupp 9332  df-fi 9381  df-sup 9412  df-inf 9413  df-oi 9482  df-card 9944  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-div 11890  df-nn 12252  df-2 12321  df-3 12322  df-4 12323  df-5 12324  df-6 12325  df-7 12326  df-8 12327  df-9 12328  df-n0 12523  df-z 12610  df-dec 12730  df-uz 12881  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13155  df-xadd 13156  df-xmul 13157  df-ioo 13394  df-ioc 13395  df-ico 13396  df-icc 13397  df-fz 13554  df-fzo 13702  df-fl 13845  df-seq 14058  df-exp 14118  df-fac 14330  df-bc 14359  df-hash 14387  df-shft 15130  df-cj 15176  df-re 15177  df-im 15178  df-sqrt 15312  df-abs 15313  df-limsup 15548  df-clim 15565  df-rlim 15566  df-sum 15764  df-ef 16146  df-sin 16148  df-cos 16149  df-pi 16151  df-struct 17232  df-sets 17249  df-slot 17267  df-ndx 17279  df-base 17295  df-ress 17316  df-plusg 17348  df-mulr 17349  df-starv 17350  df-sca 17351  df-vsca 17352  df-ip 17353  df-tset 17354  df-ple 17355  df-ds 17357  df-unif 17358  df-hom 17359  df-cco 17360  df-rest 17500  df-topn 17501  df-0g 17519  df-gsum 17520  df-topgen 17521  df-pt 17522  df-prds 17525  df-xrs 17581  df-qtop 17586  df-imas 17587  df-xps 17589  df-mre 17663  df-mrc 17664  df-acs 17666  df-mgm 18723  df-sgrp 18806  df-mnd 18822  df-submnd 18873  df-mulg 19165  df-cntz 19418  df-cmn 19883  df-psmet 21551  df-xmet 21552  df-met 21553  df-bl 21554  df-mopn 21555  df-fbas 21556  df-fg 21557  df-cnfld 21560  df-top 23088  df-topon 23105  df-topsp 23127  df-bases 23140  df-cld 23213  df-ntr 23214  df-cls 23215  df-nei 23292  df-lp 23330  df-perf 23331  df-cn 23421  df-cnp 23422  df-haus 23509  df-tx 23756  df-hmeo 23949  df-fil 24040  df-fm 24132  df-flim 24133  df-flf 24134  df-xms 24514  df-ms 24515  df-tms 24516  df-cncf 25074  df-limc 26062  df-dv 26063

This theorem is used by:  pige0  26661  pine0  26662  pirp  26663  sinhalfpilem  26665  sincos4thpi  26715  sincos6thpi  26718  pigt3  26720  sineq0  26726  coseq1  26727  cosq34lt1  26729  efeq1  26730  cosne0  26731  cos0pilt1  26734  recosf1o  26737  tanord1  26739  efif1olem2  26745  efif1olem4  26747  relogrn  26763  logi  26789  logneg  26790  eflogeq  26804  logneg2  26817  logf1o2  26852  root1eq1  26957  logbrec  26984  ang180lem1  27011  ang180lem2  27012  ang180lem3  27013  asin1  27096  basellem4  27285  itgexpif  35024  bj-pinftyccb  37905  bj-minftyccb  37909  bj-pinftynminfty  37911  tan2h  38303  asin1half  43158  acos1half  43159  proot1ex  43963  isosctrlem1ALT  45682  sineq0ALT  45685  negpilt0  46040  coseq0  46618  sinaover2ne0  46622  itgsin0pilem1  46704  itgsinexplem1  46708  wallispilem2  46820  wallispi  46824  stirlingr  46844  dirker2re  46846  dirkerdenne0  46847  dirkerval2  46848  dirkerre  46849  dirkertrigeqlem1  46852  dirkertrigeqlem2  46853  dirkertrigeqlem3  46854  dirkertrigeq  46855  dirkeritg  46856  dirkercncflem1  46857  dirkercncflem2  46858  dirkercncflem4  46860  fourierdlem16  46877  fourierdlem21  46882  fourierdlem22  46883  fourierdlem24  46885  fourierdlem62  46922  fourierdlem66  46926  fourierdlem83  46943  fourierdlem94  46954  fourierdlem95  46955  fourierdlem102  46962  fourierdlem103  46963  fourierdlem104  46964  fourierdlem111  46971  fourierdlem112  46972  fourierdlem113  46973  fourierdlem114  46974  sqwvfoura  46982  sqwvfourb  46983  fourierswlem  46984  fouriersw  46985  goldrapos  47660