Theorem pipos 26588

Description: π is positive. (Contributed by Paul Chapman, 23-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 9-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
pipos	⊢ 0 < π

Proof of Theorem pipos

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2pos 12344	. 2 ⊢ 0 < 2
2		pigt2lt4 26582	. . 3 ⊢ (2 < π ∧ π < 4)
3	2	simpli 488	. 2 ⊢ 2 < π
4		0re 11209	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ
5		2re 12314	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℝ
6		pire 26584	. . 3 ⊢ π ∈ ℝ
7	4, 5, 6	lttri 11335	. 2 ⊢ ((0 < 2 ∧ 2 < π) → 0 < π)
8	1, 3, 7	mp2an 704	1 ⊢ 0 < π

Syntax hints:   class class class wbr 5113  0cc0 11099   < clt 11242  2c2 12294  4c4 12296  πcpi 16119

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-inf2 9609  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176  ax-pre-sup 11177  ax-addf 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-iin 4963  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-se 5616  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7675  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-supp 8156  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8452  df-2o 8453  df-er 8693  df-map 8825  df-pm 8826  df-ixp 8895  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-fsupp 9321  df-fi 9370  df-sup 9401  df-inf 9402  df-oi 9471  df-card 9924  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11871  df-nn 12233  df-2 12302  df-3 12303  df-4 12304  df-5 12305  df-6 12306  df-7 12307  df-8 12308  df-9 12309  df-n0 12504  df-z 12591  df-dec 12711  df-uz 12862  df-q 12972  df-rp 13016  df-xneg 13136  df-xadd 13137  df-xmul 13138  df-ioo 13375  df-ioc 13376  df-ico 13377  df-icc 13378  df-fz 13535  df-fzo 13682  df-fl 13824  df-seq 14037  df-exp 14097  df-fac 14309  df-bc 14338  df-hash 14366  df-shft 15103  df-cj 15149  df-re 15150  df-im 15151  df-sqrt 15285  df-abs 15286  df-limsup 15521  df-clim 15538  df-rlim 15539  df-sum 15737  df-ef 16120  df-sin 16122  df-cos 16123  df-pi 16125  df-struct 17206  df-sets 17223  df-slot 17241  df-ndx 17253  df-base 17269  df-ress 17290  df-plusg 17322  df-mulr 17323  df-starv 17324  df-sca 17325  df-vsca 17326  df-ip 17327  df-tset 17328  df-ple 17329  df-ds 17331  df-unif 17332  df-hom 17333  df-cco 17334  df-rest 17474  df-topn 17475  df-0g 17493  df-gsum 17494  df-topgen 17495  df-pt 17496  df-prds 17499  df-xrs 17555  df-qtop 17560  df-imas 17561  df-xps 17563  df-mre 17637  df-mrc 17638  df-acs 17640  df-mgm 18697  df-sgrp 18776  df-mnd 18792  df-submnd 18841  df-mulg 19133  df-cntz 19386  df-cmn 19851  df-psmet 21482  df-xmet 21483  df-met 21484  df-bl 21485  df-mopn 21486  df-fbas 21487  df-fg 21488  df-cnfld 21491  df-top 23019  df-topon 23036  df-topsp 23058  df-bases 23071  df-cld 23144  df-ntr 23145  df-cls 23146  df-nei 23223  df-lp 23261  df-perf 23262  df-cn 23352  df-cnp 23353  df-haus 23440  df-tx 23687  df-hmeo 23880  df-fil 23971  df-fm 24063  df-flim 24064  df-flf 24065  df-xms 24445  df-ms 24446  df-tms 24447  df-cncf 25005  df-limc 25993  df-dv 25994

This theorem is referenced by:  pige0  26589  pine0  26590  pirp  26591  sinhalfpilem  26593  sincos4thpi  26643  sincos6thpi  26646  pigt3  26648  sineq0  26654  coseq1  26655  cosq34lt1  26657  efeq1  26658  cosne0  26659  cos0pilt1  26662  recosf1o  26665  tanord1  26667  efif1olem2  26673  efif1olem4  26675  relogrn  26691  logi  26717  logneg  26718  eflogeq  26732  logneg2  26745  logf1o2  26780  root1eq1  26885  logbrec  26912  ang180lem1  26939  ang180lem2  26940  ang180lem3  26941  asin1  27024  basellem4  27213  itgexpif  34937  bj-pinftyccb  37752  bj-minftyccb  37756  bj-pinftynminfty  37758  tan2h  38150  asin1half  43007  acos1half  43008  proot1ex  43814  isosctrlem1ALT  45533  sineq0ALT  45536  negpilt0  45891  coseq0  46469  sinaover2ne0  46473  itgsin0pilem1  46555  itgsinexplem1  46559  wallispilem2  46671  wallispi  46675  stirlingr  46695  dirker2re  46697  dirkerdenne0  46698  dirkerval2  46699  dirkerre  46700  dirkertrigeqlem1  46703  dirkertrigeqlem2  46704  dirkertrigeqlem3  46705  dirkertrigeq  46706  dirkeritg  46707  dirkercncflem1  46708  dirkercncflem2  46709  dirkercncflem4  46711  fourierdlem16  46728  fourierdlem21  46733  fourierdlem22  46734  fourierdlem24  46736  fourierdlem62  46773  fourierdlem66  46777  fourierdlem83  46794  fourierdlem94  46805  fourierdlem95  46806  fourierdlem102  46813  fourierdlem103  46814  fourierdlem104  46815  fourierdlem111  46822  fourierdlem112  46823  fourierdlem113  46824  fourierdlem114  46825  sqwvfoura  46833  sqwvfourb  46834  fourierswlem  46835  fouriersw  46836  goldrapos  47508