MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  reasinsin Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem reasinsin 25989
Description: The arcsine function composed with sin is equal to the identity. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
reasinsin (𝐴 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) → (arcsin‘(sin‘𝐴)) = 𝐴)

Proof of Theorem reasinsin
StepHypRef Expression
1 neghalfpire 25565 . . . . . 6 -(π / 2) ∈ ℝ
21rexri 10980 . . . . 5 -(π / 2) ∈ ℝ*
3 halfpire 25564 . . . . . 6 (π / 2) ∈ ℝ
43rexri 10980 . . . . 5 (π / 2) ∈ ℝ*
5 pirp 25561 . . . . . . . . . 10 π ∈ ℝ+
6 rphalfcl 12702 . . . . . . . . . 10 (π ∈ ℝ+ → (π / 2) ∈ ℝ+)
75, 6ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (π / 2) ∈ ℝ+
8 rpgt0 12687 . . . . . . . . 9 ((π / 2) ∈ ℝ+ → 0 < (π / 2))
97, 8ax-mp 5 . . . . . . . 8 0 < (π / 2)
10 lt0neg2 11428 . . . . . . . . 9 ((π / 2) ∈ ℝ → (0 < (π / 2) ↔ -(π / 2) < 0))
113, 10ax-mp 5 . . . . . . . 8 (0 < (π / 2) ↔ -(π / 2) < 0)
129, 11mpbi 229 . . . . . . 7 -(π / 2) < 0
13 0re 10924 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ
141, 13, 3lttri 11047 . . . . . . 7 ((-(π / 2) < 0 ∧ 0 < (π / 2)) → -(π / 2) < (π / 2))
1512, 9, 14mp2an 688 . . . . . 6 -(π / 2) < (π / 2)
161, 3, 15ltleii 11044 . . . . 5 -(π / 2) ≤ (π / 2)
17 prunioo 13158 . . . . 5 ((-(π / 2) ∈ ℝ* ∧ (π / 2) ∈ ℝ* ∧ -(π / 2) ≤ (π / 2)) → ((-(π / 2)(,)(π / 2)) ∪ {-(π / 2), (π / 2)}) = (-(π / 2)[,](π / 2)))
182, 4, 16, 17mp3an 1459 . . . 4 ((-(π / 2)(,)(π / 2)) ∪ {-(π / 2), (π / 2)}) = (-(π / 2)[,](π / 2))
1918eleq2i 2828 . . 3 (𝐴 ∈ ((-(π / 2)(,)(π / 2)) ∪ {-(π / 2), (π / 2)}) ↔ 𝐴 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)))
20 elun 4084 . . 3 (𝐴 ∈ ((-(π / 2)(,)(π / 2)) ∪ {-(π / 2), (π / 2)}) ↔ (𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) ∨ 𝐴 ∈ {-(π / 2), (π / 2)}))
2119, 20bitr3i 276 . 2 (𝐴 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) ↔ (𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) ∨ 𝐴 ∈ {-(π / 2), (π / 2)}))
22 elioore 13054 . . . . 5 (𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) → 𝐴 ∈ ℝ)
2322recnd 10950 . . . 4 (𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) → 𝐴 ∈ ℂ)
2422rered 14879 . . . . 5 (𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) → (ℜ‘𝐴) = 𝐴)
25 id 22 . . . . 5 (𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) → 𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)))
2624, 25eqeltrd 2837 . . . 4 (𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) → (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)))
27 asinsin 25985 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (arcsin‘(sin‘𝐴)) = 𝐴)
2823, 26, 27syl2anc 583 . . 3 (𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) → (arcsin‘(sin‘𝐴)) = 𝐴)
29 elpri 4585 . . . 4 (𝐴 ∈ {-(π / 2), (π / 2)} → (𝐴 = -(π / 2) ∨ 𝐴 = (π / 2)))
30 ax-1cn 10876 . . . . . . . 8 1 ∈ ℂ
31 asinneg 25979 . . . . . . . 8 (1 ∈ ℂ → (arcsin‘-1) = -(arcsin‘1))
3230, 31ax-mp 5 . . . . . . 7 (arcsin‘-1) = -(arcsin‘1)
33 asin1 25987 . . . . . . . 8 (arcsin‘1) = (π / 2)
3433negeqi 11160 . . . . . . 7 -(arcsin‘1) = -(π / 2)
3532, 34eqtri 2765 . . . . . 6 (arcsin‘-1) = -(π / 2)
36 fveq2 6761 . . . . . . . 8 (𝐴 = -(π / 2) → (sin‘𝐴) = (sin‘-(π / 2)))
373recni 10936 . . . . . . . . . 10 (π / 2) ∈ ℂ
38 sinneg 15799 . . . . . . . . . 10 ((π / 2) ∈ ℂ → (sin‘-(π / 2)) = -(sin‘(π / 2)))
3937, 38ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (sin‘-(π / 2)) = -(sin‘(π / 2))
40 sinhalfpi 25568 . . . . . . . . . 10 (sin‘(π / 2)) = 1
4140negeqi 11160 . . . . . . . . 9 -(sin‘(π / 2)) = -1
4239, 41eqtri 2765 . . . . . . . 8 (sin‘-(π / 2)) = -1
4336, 42eqtrdi 2793 . . . . . . 7 (𝐴 = -(π / 2) → (sin‘𝐴) = -1)
4443fveq2d 6765 . . . . . 6 (𝐴 = -(π / 2) → (arcsin‘(sin‘𝐴)) = (arcsin‘-1))
45 id 22 . . . . . 6 (𝐴 = -(π / 2) → 𝐴 = -(π / 2))
4635, 44, 453eqtr4a 2803 . . . . 5 (𝐴 = -(π / 2) → (arcsin‘(sin‘𝐴)) = 𝐴)
47 fveq2 6761 . . . . . . . 8 (𝐴 = (π / 2) → (sin‘𝐴) = (sin‘(π / 2)))
4847, 40eqtrdi 2793 . . . . . . 7 (𝐴 = (π / 2) → (sin‘𝐴) = 1)
4948fveq2d 6765 . . . . . 6 (𝐴 = (π / 2) → (arcsin‘(sin‘𝐴)) = (arcsin‘1))
50 id 22 . . . . . 6 (𝐴 = (π / 2) → 𝐴 = (π / 2))
5133, 49, 503eqtr4a 2803 . . . . 5 (𝐴 = (π / 2) → (arcsin‘(sin‘𝐴)) = 𝐴)
5246, 51jaoi 853 . . . 4 ((𝐴 = -(π / 2) ∨ 𝐴 = (π / 2)) → (arcsin‘(sin‘𝐴)) = 𝐴)
5329, 52syl 17 . . 3 (𝐴 ∈ {-(π / 2), (π / 2)} → (arcsin‘(sin‘𝐴)) = 𝐴)
5428, 53jaoi 853 . 2 ((𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) ∨ 𝐴 ∈ {-(π / 2), (π / 2)}) → (arcsin‘(sin‘𝐴)) = 𝐴)
5521, 54sylbi 216 1 (𝐴 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) → (arcsin‘(sin‘𝐴)) = 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wo 843   = wceq 1539  wcel 2107  cun 3886  {cpr 4565   class class class wbr 5075  cfv 6423  (class class class)co 7260  cc 10816  cr 10817  0cc0 10818  1c1 10819  *cxr 10955   < clt 10956  cle 10957  -cneg 11152   / cdiv 11578  2c2 11974  +crp 12675  (,)cioo 13024  [,]cicc 13027  cre 14752  sincsin 15717  πcpi 15720  arcsincasin 25955
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5210  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7571  ax-inf2 9345  ax-cnex 10874  ax-resscn 10875  ax-1cn 10876  ax-icn 10877  ax-addcl 10878  ax-addrcl 10879  ax-mulcl 10880  ax-mulrcl 10881  ax-mulcom 10882  ax-addass 10883  ax-mulass 10884  ax-distr 10885  ax-i2m1 10886  ax-1ne0 10887  ax-1rid 10888  ax-rnegex 10889  ax-rrecex 10890  ax-cnre 10891  ax-pre-lttri 10892  ax-pre-lttrn 10893  ax-pre-ltadd 10894  ax-pre-mulgt0 10895  ax-pre-sup 10896  ax-addf 10897  ax-mulf 10898
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3067  df-rex 3068  df-reu 3069  df-rmo 3070  df-rab 3071  df-v 3429  df-sbc 3717  df-csb 3834  df-dif 3891  df-un 3893  df-in 3895  df-ss 3905  df-pss 3907  df-nul 4259  df-if 4462  df-pw 4537  df-sn 4564  df-pr 4566  df-tp 4568  df-op 4570  df-uni 4842  df-int 4882  df-iun 4928  df-iin 4929  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5159  df-tr 5193  df-id 5485  df-eprel 5491  df-po 5499  df-so 5500  df-fr 5540  df-se 5541  df-we 5542  df-xp 5591  df-rel 5592  df-cnv 5593  df-co 5594  df-dm 5595  df-rn 5596  df-res 5597  df-ima 5598  df-pred 6196  df-ord 6259  df-on 6260  df-lim 6261  df-suc 6262  df-iota 6381  df-fun 6425  df-fn 6426  df-f 6427  df-f1 6428  df-fo 6429  df-f1o 6430  df-fv 6431  df-isom 6432  df-riota 7217  df-ov 7263  df-oprab 7264  df-mpo 7265  df-of 7516  df-om 7693  df-1st 7809  df-2nd 7810  df-supp 7954  df-frecs 8073  df-wrecs 8104  df-recs 8178  df-rdg 8217  df-1o 8272  df-2o 8273  df-er 8461  df-map 8580  df-pm 8581  df-ixp 8649  df-en 8697  df-dom 8698  df-sdom 8699  df-fin 8700  df-fsupp 9075  df-fi 9116  df-sup 9147  df-inf 9148  df-oi 9215  df-card 9644  df-pnf 10958  df-mnf 10959  df-xr 10960  df-ltxr 10961  df-le 10962  df-sub 11153  df-neg 11154  df-div 11579  df-nn 11920  df-2 11982  df-3 11983  df-4 11984  df-5 11985  df-6 11986  df-7 11987  df-8 11988  df-9 11989  df-n0 12180  df-z 12266  df-dec 12383  df-uz 12528  df-q 12634  df-rp 12676  df-xneg 12793  df-xadd 12794  df-xmul 12795  df-ioo 13028  df-ioc 13029  df-ico 13030  df-icc 13031  df-fz 13185  df-fzo 13328  df-fl 13456  df-mod 13534  df-seq 13666  df-exp 13727  df-fac 13932  df-bc 13961  df-hash 13989  df-shft 14722  df-cj 14754  df-re 14755  df-im 14756  df-sqrt 14890  df-abs 14891  df-limsup 15124  df-clim 15141  df-rlim 15142  df-sum 15342  df-ef 15721  df-sin 15723  df-cos 15724  df-pi 15726  df-struct 16792  df-sets 16809  df-slot 16827  df-ndx 16839  df-base 16857  df-ress 16886  df-plusg 16919  df-mulr 16920  df-starv 16921  df-sca 16922  df-vsca 16923  df-ip 16924  df-tset 16925  df-ple 16926  df-ds 16928  df-unif 16929  df-hom 16930  df-cco 16931  df-rest 17077  df-topn 17078  df-0g 17096  df-gsum 17097  df-topgen 17098  df-pt 17099  df-prds 17102  df-xrs 17157  df-qtop 17162  df-imas 17163  df-xps 17165  df-mre 17239  df-mrc 17240  df-acs 17242  df-mgm 18270  df-sgrp 18319  df-mnd 18330  df-submnd 18375  df-mulg 18645  df-cntz 18867  df-cmn 19332  df-psmet 20533  df-xmet 20534  df-met 20535  df-bl 20536  df-mopn 20537  df-fbas 20538  df-fg 20539  df-cnfld 20542  df-top 21987  df-topon 22004  df-topsp 22026  df-bases 22040  df-cld 22114  df-ntr 22115  df-cls 22116  df-nei 22193  df-lp 22231  df-perf 22232  df-cn 22322  df-cnp 22323  df-haus 22410  df-tx 22657  df-hmeo 22850  df-fil 22941  df-fm 23033  df-flim 23034  df-flf 23035  df-xms 23417  df-ms 23418  df-tms 23419  df-cncf 23985  df-limc 24973  df-dv 24974  df-log 25655  df-asin 25958
This theorem is referenced by:  asinrebnd  25994
  Copyright terms: Public domain W3C validator