Theorem reasinsin 27224

Description: The arcsine function composed with sin is equal to the identity. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
reasinsin	⊢ (𝐴 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) → (arcsin‘(sin‘𝐴)) = 𝐴)

Proof of Theorem reasinsin

Step	Hyp	Ref	Expression
1		neghalfpire 26794	. . . . . 6 ⊢ -(π / 2) ∈ ℝ
2	1	rexri 11367	. . . . 5 ⊢ -(π / 2) ∈ ℝ*
3		halfpire 26793	. . . . . 6 ⊢ (π / 2) ∈ ℝ
4	3	rexri 11367	. . . . 5 ⊢ (π / 2) ∈ ℝ*
5		pirp 26790	. . . . . . . . . 10 ⊢ π ∈ ℝ+
6		rphalfcl 13149	. . . . . . . . . 10 ⊢ (π ∈ ℝ+ → (π / 2) ∈ ℝ+)
7	5, 6	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (π / 2) ∈ ℝ+
8		rpgt0 13133	. . . . . . . . 9 ⊢ ((π / 2) ∈ ℝ+ → 0 < (π / 2))
9	7, 8	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < (π / 2)
10		lt0neg2 11823	. . . . . . . . 9 ⊢ ((π / 2) ∈ ℝ → (0 < (π / 2) ↔ -(π / 2) < 0))
11	3, 10	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (0 < (π / 2) ↔ -(π / 2) < 0)
12	9, 11	mpbi 233	. . . . . . 7 ⊢ -(π / 2) < 0
13		0re 11310	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ
14	1, 13, 3	lttri 11436	. . . . . . 7 ⊢ ((-(π / 2) < 0 ∧ 0 < (π / 2)) → -(π / 2) < (π / 2))
15	12, 9, 14	mp2an 705	. . . . . 6 ⊢ -(π / 2) < (π / 2)
16	1, 3, 15	ltleii 11433	. . . . 5 ⊢ -(π / 2) ≤ (π / 2)
17		prunioo 13612	. . . . 5 ⊢ ((-(π / 2) ∈ ℝ* ∧ (π / 2) ∈ ℝ* ∧ -(π / 2) ≤ (π / 2)) → ((-(π / 2)(,)(π / 2)) ∪ {-(π / 2), (π / 2)}) = (-(π / 2)[,](π / 2)))
18	2, 4, 16, 17	mp3an 1490	. . . 4 ⊢ ((-(π / 2)(,)(π / 2)) ∪ {-(π / 2), (π / 2)}) = (-(π / 2)[,](π / 2))
19	18	eleq2i 2853	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ((-(π / 2)(,)(π / 2)) ∪ {-(π / 2), (π / 2)}) ↔ 𝐴 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)))
20		elun 4100	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ((-(π / 2)(,)(π / 2)) ∪ {-(π / 2), (π / 2)}) ↔ (𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) ∨ 𝐴 ∈ {-(π / 2), (π / 2)}))
21	19, 20	bitr3i 280	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) ↔ (𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) ∨ 𝐴 ∈ {-(π / 2), (π / 2)}))
22		elioore 13506	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) → 𝐴 ∈ ℝ)
23	22	recnd 11337	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) → 𝐴 ∈ ℂ)
24	22	rered 15391	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) → (ℜ‘𝐴) = 𝐴)
25		id 23	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) → 𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)))
26	24, 25	eqeltrd 2861	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) → (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)))
27		asinsin 27220	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (arcsin‘(sin‘𝐴)) = 𝐴)
28	23, 26, 27	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) → (arcsin‘(sin‘𝐴)) = 𝐴)
29		elpri 4608	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ {-(π / 2), (π / 2)} → (𝐴 = -(π / 2) ∨ 𝐴 = (π / 2)))
30		ax-1cn 11258	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℂ
31		asinneg 27214	. . . . . . . 8 ⊢ (1 ∈ ℂ → (arcsin‘-1) = -(arcsin‘1))
32	30, 31	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (arcsin‘-1) = -(arcsin‘1)
33		asin1 27222	. . . . . . . 8 ⊢ (arcsin‘1) = (π / 2)
34	33	negeqi 11550	. . . . . . 7 ⊢ -(arcsin‘1) = -(π / 2)
35	32, 34	eqtri 2784	. . . . . 6 ⊢ (arcsin‘-1) = -(π / 2)
36		fveq2 6885	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = -(π / 2) → (sin‘𝐴) = (sin‘-(π / 2)))
37	3	recni 11323	. . . . . . . . . 10 ⊢ (π / 2) ∈ ℂ
38		sinneg 16314	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((π / 2) ∈ ℂ → (sin‘-(π / 2)) = -(sin‘(π / 2)))
39	37, 38	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (sin‘-(π / 2)) = -(sin‘(π / 2))
40		sinhalfpi 26797	. . . . . . . . . 10 ⊢ (sin‘(π / 2)) = 1
41	40	negeqi 11550	. . . . . . . . 9 ⊢ -(sin‘(π / 2)) = -1
42	39, 41	eqtri 2784	. . . . . . . 8 ⊢ (sin‘-(π / 2)) = -1
43	36, 42	eqtrdi 2812	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = -(π / 2) → (sin‘𝐴) = -1)
44	43	fveq2d 6889	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = -(π / 2) → (arcsin‘(sin‘𝐴)) = (arcsin‘-1))
45		id 23	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = -(π / 2) → 𝐴 = -(π / 2))
46	35, 44, 45	3eqtr4a 2822	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = -(π / 2) → (arcsin‘(sin‘𝐴)) = 𝐴)
47		fveq2 6885	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = (π / 2) → (sin‘𝐴) = (sin‘(π / 2)))
48	47, 40	eqtrdi 2812	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = (π / 2) → (sin‘𝐴) = 1)
49	48	fveq2d 6889	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = (π / 2) → (arcsin‘(sin‘𝐴)) = (arcsin‘1))
50		id 23	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = (π / 2) → 𝐴 = (π / 2))
51	33, 49, 50	3eqtr4a 2822	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = (π / 2) → (arcsin‘(sin‘𝐴)) = 𝐴)
52	46, 51	jaoi 871	. . . 4 ⊢ ((𝐴 = -(π / 2) ∨ 𝐴 = (π / 2)) → (arcsin‘(sin‘𝐴)) = 𝐴)
53	29, 52	syl 18	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ {-(π / 2), (π / 2)} → (arcsin‘(sin‘𝐴)) = 𝐴)
54	28, 53	jaoi 871	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) ∨ 𝐴 ∈ {-(π / 2), (π / 2)}) → (arcsin‘(sin‘𝐴)) = 𝐴)
55	21, 54	sylbi 220	1 ⊢ (𝐴 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) → (arcsin‘(sin‘𝐴)) = 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ∪ cun 3897  {cpr 4586   class class class wbr 5103  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  ℂcc 11198  ℝcr 11199  0cc0 11200  1c1 11201  ℝ^*cxr 11342   < clt 11343   ≤ cle 11344  -cneg 11542   / cdiv 11973  2c2 12397  ℝ⁺crp 13120  (,)cioo 13476  [,]cicc 13479  ℜcre 15264  sincsin 16229  πcpi 16232  arcsincasin 27190

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-inf2 9642  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277  ax-pre-sup 11278  ax-addf 11279

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7693  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-supp 8178  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-2o 8477  df-er 8717  df-map 8849  df-pm 8850  df-ixp 8926  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-fsupp 9354  df-fi 9403  df-sup 9434  df-inf 9435  df-oi 9504  df-card 10020  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-div 11974  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-4 12407  df-5 12408  df-6 12409  df-7 12410  df-8 12411  df-9 12412  df-n0 12607  df-z 12694  df-dec 12815  df-uz 12966  df-q 13076  df-rp 13121  df-xneg 13241  df-xadd 13242  df-xmul 13243  df-ioo 13480  df-ioc 13481  df-ico 13482  df-icc 13483  df-fz 13640  df-fzo 13789  df-fl 13932  df-mod 14010  df-seq 14145  df-exp 14205  df-fac 14418  df-bc 14447  df-hash 14475  df-shft 15220  df-cj 15266  df-re 15267  df-im 15268  df-sqrt 15402  df-abs 15403  df-limsup 15638  df-clim 15655  df-rlim 15656  df-sum 15854  df-ef 16233  df-sin 16235  df-cos 16236  df-pi 16238  df-struct 17325  df-sets 17342  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-ress 17409  df-plusg 17441  df-mulr 17442  df-starv 17443  df-sca 17444  df-vsca 17445  df-ip 17446  df-tset 17447  df-ple 17448  df-ds 17450  df-unif 17451  df-hom 17452  df-cco 17453  df-rest 17593  df-topn 17594  df-0g 17612  df-gsum 17613  df-topgen 17614  df-pt 17615  df-prds 17618  df-xrs 17674  df-qtop 17679  df-imas 17680  df-xps 17682  df-mre 17756  df-mrc 17757  df-acs 17759  df-mgm 18816  df-sgrp 18908  df-mnd 18924  df-submnd 18979  df-mulg 19278  df-cntz 19531  df-cmn 19996  df-psmet 21670  df-xmet 21671  df-met 21672  df-bl 21673  df-mopn 21674  df-fbas 21675  df-fg 21676  df-cnfld 21679  df-top 23212  df-topon 23229  df-topsp 23251  df-bases 23264  df-cld 23337  df-ntr 23338  df-cls 23339  df-nei 23416  df-lp 23454  df-perf 23455  df-cn 23545  df-cnp 23546  df-haus 23633  df-tx 23881  df-hmeo 24074  df-fil 24165  df-fm 24257  df-flim 24258  df-flf 24259  df-xms 24639  df-ms 24640  df-tms 24641  df-cncf 25199  df-limc 26186  df-dv 26187  df-log 26884  df-asin 27193

This theorem is used by:  asinrebnd  27229  asin1half  43408