MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  reasinsin Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem reasinsin 26401
Description: The arcsine function composed with sin is equal to the identity. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
reasinsin (𝐴 ∈ (-(Ο€ / 2)[,](Ο€ / 2)) β†’ (arcsinβ€˜(sinβ€˜π΄)) = 𝐴)

Proof of Theorem reasinsin
StepHypRef Expression
1 neghalfpire 25975 . . . . . 6 -(Ο€ / 2) ∈ ℝ
21rexri 11272 . . . . 5 -(Ο€ / 2) ∈ ℝ*
3 halfpire 25974 . . . . . 6 (Ο€ / 2) ∈ ℝ
43rexri 11272 . . . . 5 (Ο€ / 2) ∈ ℝ*
5 pirp 25971 . . . . . . . . . 10 Ο€ ∈ ℝ+
6 rphalfcl 13001 . . . . . . . . . 10 (Ο€ ∈ ℝ+ β†’ (Ο€ / 2) ∈ ℝ+)
75, 6ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (Ο€ / 2) ∈ ℝ+
8 rpgt0 12986 . . . . . . . . 9 ((Ο€ / 2) ∈ ℝ+ β†’ 0 < (Ο€ / 2))
97, 8ax-mp 5 . . . . . . . 8 0 < (Ο€ / 2)
10 lt0neg2 11721 . . . . . . . . 9 ((Ο€ / 2) ∈ ℝ β†’ (0 < (Ο€ / 2) ↔ -(Ο€ / 2) < 0))
113, 10ax-mp 5 . . . . . . . 8 (0 < (Ο€ / 2) ↔ -(Ο€ / 2) < 0)
129, 11mpbi 229 . . . . . . 7 -(Ο€ / 2) < 0
13 0re 11216 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ
141, 13, 3lttri 11340 . . . . . . 7 ((-(Ο€ / 2) < 0 ∧ 0 < (Ο€ / 2)) β†’ -(Ο€ / 2) < (Ο€ / 2))
1512, 9, 14mp2an 691 . . . . . 6 -(Ο€ / 2) < (Ο€ / 2)
161, 3, 15ltleii 11337 . . . . 5 -(Ο€ / 2) ≀ (Ο€ / 2)
17 prunioo 13458 . . . . 5 ((-(Ο€ / 2) ∈ ℝ* ∧ (Ο€ / 2) ∈ ℝ* ∧ -(Ο€ / 2) ≀ (Ο€ / 2)) β†’ ((-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2)) βˆͺ {-(Ο€ / 2), (Ο€ / 2)}) = (-(Ο€ / 2)[,](Ο€ / 2)))
182, 4, 16, 17mp3an 1462 . . . 4 ((-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2)) βˆͺ {-(Ο€ / 2), (Ο€ / 2)}) = (-(Ο€ / 2)[,](Ο€ / 2))
1918eleq2i 2826 . . 3 (𝐴 ∈ ((-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2)) βˆͺ {-(Ο€ / 2), (Ο€ / 2)}) ↔ 𝐴 ∈ (-(Ο€ / 2)[,](Ο€ / 2)))
20 elun 4149 . . 3 (𝐴 ∈ ((-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2)) βˆͺ {-(Ο€ / 2), (Ο€ / 2)}) ↔ (𝐴 ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2)) ∨ 𝐴 ∈ {-(Ο€ / 2), (Ο€ / 2)}))
2119, 20bitr3i 277 . 2 (𝐴 ∈ (-(Ο€ / 2)[,](Ο€ / 2)) ↔ (𝐴 ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2)) ∨ 𝐴 ∈ {-(Ο€ / 2), (Ο€ / 2)}))
22 elioore 13354 . . . . 5 (𝐴 ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2)) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
2322recnd 11242 . . . 4 (𝐴 ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2)) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
2422rered 15171 . . . . 5 (𝐴 ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2)) β†’ (β„œβ€˜π΄) = 𝐴)
25 id 22 . . . . 5 (𝐴 ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2)) β†’ 𝐴 ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2)))
2624, 25eqeltrd 2834 . . . 4 (𝐴 ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2)) β†’ (β„œβ€˜π΄) ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2)))
27 asinsin 26397 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2))) β†’ (arcsinβ€˜(sinβ€˜π΄)) = 𝐴)
2823, 26, 27syl2anc 585 . . 3 (𝐴 ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2)) β†’ (arcsinβ€˜(sinβ€˜π΄)) = 𝐴)
29 elpri 4651 . . . 4 (𝐴 ∈ {-(Ο€ / 2), (Ο€ / 2)} β†’ (𝐴 = -(Ο€ / 2) ∨ 𝐴 = (Ο€ / 2)))
30 ax-1cn 11168 . . . . . . . 8 1 ∈ β„‚
31 asinneg 26391 . . . . . . . 8 (1 ∈ β„‚ β†’ (arcsinβ€˜-1) = -(arcsinβ€˜1))
3230, 31ax-mp 5 . . . . . . 7 (arcsinβ€˜-1) = -(arcsinβ€˜1)
33 asin1 26399 . . . . . . . 8 (arcsinβ€˜1) = (Ο€ / 2)
3433negeqi 11453 . . . . . . 7 -(arcsinβ€˜1) = -(Ο€ / 2)
3532, 34eqtri 2761 . . . . . 6 (arcsinβ€˜-1) = -(Ο€ / 2)
36 fveq2 6892 . . . . . . . 8 (𝐴 = -(Ο€ / 2) β†’ (sinβ€˜π΄) = (sinβ€˜-(Ο€ / 2)))
373recni 11228 . . . . . . . . . 10 (Ο€ / 2) ∈ β„‚
38 sinneg 16089 . . . . . . . . . 10 ((Ο€ / 2) ∈ β„‚ β†’ (sinβ€˜-(Ο€ / 2)) = -(sinβ€˜(Ο€ / 2)))
3937, 38ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (sinβ€˜-(Ο€ / 2)) = -(sinβ€˜(Ο€ / 2))
40 sinhalfpi 25978 . . . . . . . . . 10 (sinβ€˜(Ο€ / 2)) = 1
4140negeqi 11453 . . . . . . . . 9 -(sinβ€˜(Ο€ / 2)) = -1
4239, 41eqtri 2761 . . . . . . . 8 (sinβ€˜-(Ο€ / 2)) = -1
4336, 42eqtrdi 2789 . . . . . . 7 (𝐴 = -(Ο€ / 2) β†’ (sinβ€˜π΄) = -1)
4443fveq2d 6896 . . . . . 6 (𝐴 = -(Ο€ / 2) β†’ (arcsinβ€˜(sinβ€˜π΄)) = (arcsinβ€˜-1))
45 id 22 . . . . . 6 (𝐴 = -(Ο€ / 2) β†’ 𝐴 = -(Ο€ / 2))
4635, 44, 453eqtr4a 2799 . . . . 5 (𝐴 = -(Ο€ / 2) β†’ (arcsinβ€˜(sinβ€˜π΄)) = 𝐴)
47 fveq2 6892 . . . . . . . 8 (𝐴 = (Ο€ / 2) β†’ (sinβ€˜π΄) = (sinβ€˜(Ο€ / 2)))
4847, 40eqtrdi 2789 . . . . . . 7 (𝐴 = (Ο€ / 2) β†’ (sinβ€˜π΄) = 1)
4948fveq2d 6896 . . . . . 6 (𝐴 = (Ο€ / 2) β†’ (arcsinβ€˜(sinβ€˜π΄)) = (arcsinβ€˜1))
50 id 22 . . . . . 6 (𝐴 = (Ο€ / 2) β†’ 𝐴 = (Ο€ / 2))
5133, 49, 503eqtr4a 2799 . . . . 5 (𝐴 = (Ο€ / 2) β†’ (arcsinβ€˜(sinβ€˜π΄)) = 𝐴)
5246, 51jaoi 856 . . . 4 ((𝐴 = -(Ο€ / 2) ∨ 𝐴 = (Ο€ / 2)) β†’ (arcsinβ€˜(sinβ€˜π΄)) = 𝐴)
5329, 52syl 17 . . 3 (𝐴 ∈ {-(Ο€ / 2), (Ο€ / 2)} β†’ (arcsinβ€˜(sinβ€˜π΄)) = 𝐴)
5428, 53jaoi 856 . 2 ((𝐴 ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2)) ∨ 𝐴 ∈ {-(Ο€ / 2), (Ο€ / 2)}) β†’ (arcsinβ€˜(sinβ€˜π΄)) = 𝐴)
5521, 54sylbi 216 1 (𝐴 ∈ (-(Ο€ / 2)[,](Ο€ / 2)) β†’ (arcsinβ€˜(sinβ€˜π΄)) = 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∨ wo 846   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   βˆͺ cun 3947  {cpr 4631   class class class wbr 5149  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  β„‚cc 11108  β„cr 11109  0cc0 11110  1c1 11111  β„*cxr 11247   < clt 11248   ≀ cle 11249  -cneg 11445   / cdiv 11871  2c2 12267  β„+crp 12974  (,)cioo 13324  [,]cicc 13327  β„œcre 15044  sincsin 16007  Ο€cpi 16010  arcsincasin 26367
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-addf 11189  ax-mulf 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-ioo 13328  df-ioc 13329  df-ico 13330  df-icc 13331  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-mod 13835  df-seq 13967  df-exp 14028  df-fac 14234  df-bc 14263  df-hash 14291  df-shft 15014  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-limsup 15415  df-clim 15432  df-rlim 15433  df-sum 15633  df-ef 16011  df-sin 16013  df-cos 16014  df-pi 16016  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-hom 17221  df-cco 17222  df-rest 17368  df-topn 17369  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-topgen 17389  df-pt 17390  df-prds 17393  df-xrs 17448  df-qtop 17453  df-imas 17454  df-xps 17456  df-mre 17530  df-mrc 17531  df-acs 17533  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-submnd 18672  df-mulg 18951  df-cntz 19181  df-cmn 19650  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-fbas 20941  df-fg 20942  df-cnfld 20945  df-top 22396  df-topon 22413  df-topsp 22435  df-bases 22449  df-cld 22523  df-ntr 22524  df-cls 22525  df-nei 22602  df-lp 22640  df-perf 22641  df-cn 22731  df-cnp 22732  df-haus 22819  df-tx 23066  df-hmeo 23259  df-fil 23350  df-fm 23442  df-flim 23443  df-flf 23444  df-xms 23826  df-ms 23827  df-tms 23828  df-cncf 24394  df-limc 25383  df-dv 25384  df-log 26065  df-asin 26370
This theorem is referenced by:  asinrebnd  26406
  Copyright terms: Public domain W3C validator