MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  reasinsin Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem reasinsin 26262
Description: The arcsine function composed with sin is equal to the identity. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
reasinsin (𝐴 ∈ (-(Ο€ / 2)[,](Ο€ / 2)) β†’ (arcsinβ€˜(sinβ€˜π΄)) = 𝐴)

Proof of Theorem reasinsin
StepHypRef Expression
1 neghalfpire 25838 . . . . . 6 -(Ο€ / 2) ∈ ℝ
21rexri 11220 . . . . 5 -(Ο€ / 2) ∈ ℝ*
3 halfpire 25837 . . . . . 6 (Ο€ / 2) ∈ ℝ
43rexri 11220 . . . . 5 (Ο€ / 2) ∈ ℝ*
5 pirp 25834 . . . . . . . . . 10 Ο€ ∈ ℝ+
6 rphalfcl 12949 . . . . . . . . . 10 (Ο€ ∈ ℝ+ β†’ (Ο€ / 2) ∈ ℝ+)
75, 6ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (Ο€ / 2) ∈ ℝ+
8 rpgt0 12934 . . . . . . . . 9 ((Ο€ / 2) ∈ ℝ+ β†’ 0 < (Ο€ / 2))
97, 8ax-mp 5 . . . . . . . 8 0 < (Ο€ / 2)
10 lt0neg2 11669 . . . . . . . . 9 ((Ο€ / 2) ∈ ℝ β†’ (0 < (Ο€ / 2) ↔ -(Ο€ / 2) < 0))
113, 10ax-mp 5 . . . . . . . 8 (0 < (Ο€ / 2) ↔ -(Ο€ / 2) < 0)
129, 11mpbi 229 . . . . . . 7 -(Ο€ / 2) < 0
13 0re 11164 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ
141, 13, 3lttri 11288 . . . . . . 7 ((-(Ο€ / 2) < 0 ∧ 0 < (Ο€ / 2)) β†’ -(Ο€ / 2) < (Ο€ / 2))
1512, 9, 14mp2an 691 . . . . . 6 -(Ο€ / 2) < (Ο€ / 2)
161, 3, 15ltleii 11285 . . . . 5 -(Ο€ / 2) ≀ (Ο€ / 2)
17 prunioo 13405 . . . . 5 ((-(Ο€ / 2) ∈ ℝ* ∧ (Ο€ / 2) ∈ ℝ* ∧ -(Ο€ / 2) ≀ (Ο€ / 2)) β†’ ((-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2)) βˆͺ {-(Ο€ / 2), (Ο€ / 2)}) = (-(Ο€ / 2)[,](Ο€ / 2)))
182, 4, 16, 17mp3an 1462 . . . 4 ((-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2)) βˆͺ {-(Ο€ / 2), (Ο€ / 2)}) = (-(Ο€ / 2)[,](Ο€ / 2))
1918eleq2i 2830 . . 3 (𝐴 ∈ ((-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2)) βˆͺ {-(Ο€ / 2), (Ο€ / 2)}) ↔ 𝐴 ∈ (-(Ο€ / 2)[,](Ο€ / 2)))
20 elun 4113 . . 3 (𝐴 ∈ ((-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2)) βˆͺ {-(Ο€ / 2), (Ο€ / 2)}) ↔ (𝐴 ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2)) ∨ 𝐴 ∈ {-(Ο€ / 2), (Ο€ / 2)}))
2119, 20bitr3i 277 . 2 (𝐴 ∈ (-(Ο€ / 2)[,](Ο€ / 2)) ↔ (𝐴 ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2)) ∨ 𝐴 ∈ {-(Ο€ / 2), (Ο€ / 2)}))
22 elioore 13301 . . . . 5 (𝐴 ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2)) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
2322recnd 11190 . . . 4 (𝐴 ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2)) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
2422rered 15116 . . . . 5 (𝐴 ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2)) β†’ (β„œβ€˜π΄) = 𝐴)
25 id 22 . . . . 5 (𝐴 ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2)) β†’ 𝐴 ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2)))
2624, 25eqeltrd 2838 . . . 4 (𝐴 ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2)) β†’ (β„œβ€˜π΄) ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2)))
27 asinsin 26258 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2))) β†’ (arcsinβ€˜(sinβ€˜π΄)) = 𝐴)
2823, 26, 27syl2anc 585 . . 3 (𝐴 ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2)) β†’ (arcsinβ€˜(sinβ€˜π΄)) = 𝐴)
29 elpri 4613 . . . 4 (𝐴 ∈ {-(Ο€ / 2), (Ο€ / 2)} β†’ (𝐴 = -(Ο€ / 2) ∨ 𝐴 = (Ο€ / 2)))
30 ax-1cn 11116 . . . . . . . 8 1 ∈ β„‚
31 asinneg 26252 . . . . . . . 8 (1 ∈ β„‚ β†’ (arcsinβ€˜-1) = -(arcsinβ€˜1))
3230, 31ax-mp 5 . . . . . . 7 (arcsinβ€˜-1) = -(arcsinβ€˜1)
33 asin1 26260 . . . . . . . 8 (arcsinβ€˜1) = (Ο€ / 2)
3433negeqi 11401 . . . . . . 7 -(arcsinβ€˜1) = -(Ο€ / 2)
3532, 34eqtri 2765 . . . . . 6 (arcsinβ€˜-1) = -(Ο€ / 2)
36 fveq2 6847 . . . . . . . 8 (𝐴 = -(Ο€ / 2) β†’ (sinβ€˜π΄) = (sinβ€˜-(Ο€ / 2)))
373recni 11176 . . . . . . . . . 10 (Ο€ / 2) ∈ β„‚
38 sinneg 16035 . . . . . . . . . 10 ((Ο€ / 2) ∈ β„‚ β†’ (sinβ€˜-(Ο€ / 2)) = -(sinβ€˜(Ο€ / 2)))
3937, 38ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (sinβ€˜-(Ο€ / 2)) = -(sinβ€˜(Ο€ / 2))
40 sinhalfpi 25841 . . . . . . . . . 10 (sinβ€˜(Ο€ / 2)) = 1
4140negeqi 11401 . . . . . . . . 9 -(sinβ€˜(Ο€ / 2)) = -1
4239, 41eqtri 2765 . . . . . . . 8 (sinβ€˜-(Ο€ / 2)) = -1
4336, 42eqtrdi 2793 . . . . . . 7 (𝐴 = -(Ο€ / 2) β†’ (sinβ€˜π΄) = -1)
4443fveq2d 6851 . . . . . 6 (𝐴 = -(Ο€ / 2) β†’ (arcsinβ€˜(sinβ€˜π΄)) = (arcsinβ€˜-1))
45 id 22 . . . . . 6 (𝐴 = -(Ο€ / 2) β†’ 𝐴 = -(Ο€ / 2))
4635, 44, 453eqtr4a 2803 . . . . 5 (𝐴 = -(Ο€ / 2) β†’ (arcsinβ€˜(sinβ€˜π΄)) = 𝐴)
47 fveq2 6847 . . . . . . . 8 (𝐴 = (Ο€ / 2) β†’ (sinβ€˜π΄) = (sinβ€˜(Ο€ / 2)))
4847, 40eqtrdi 2793 . . . . . . 7 (𝐴 = (Ο€ / 2) β†’ (sinβ€˜π΄) = 1)
4948fveq2d 6851 . . . . . 6 (𝐴 = (Ο€ / 2) β†’ (arcsinβ€˜(sinβ€˜π΄)) = (arcsinβ€˜1))
50 id 22 . . . . . 6 (𝐴 = (Ο€ / 2) β†’ 𝐴 = (Ο€ / 2))
5133, 49, 503eqtr4a 2803 . . . . 5 (𝐴 = (Ο€ / 2) β†’ (arcsinβ€˜(sinβ€˜π΄)) = 𝐴)
5246, 51jaoi 856 . . . 4 ((𝐴 = -(Ο€ / 2) ∨ 𝐴 = (Ο€ / 2)) β†’ (arcsinβ€˜(sinβ€˜π΄)) = 𝐴)
5329, 52syl 17 . . 3 (𝐴 ∈ {-(Ο€ / 2), (Ο€ / 2)} β†’ (arcsinβ€˜(sinβ€˜π΄)) = 𝐴)
5428, 53jaoi 856 . 2 ((𝐴 ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2)) ∨ 𝐴 ∈ {-(Ο€ / 2), (Ο€ / 2)}) β†’ (arcsinβ€˜(sinβ€˜π΄)) = 𝐴)
5521, 54sylbi 216 1 (𝐴 ∈ (-(Ο€ / 2)[,](Ο€ / 2)) β†’ (arcsinβ€˜(sinβ€˜π΄)) = 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∨ wo 846   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   βˆͺ cun 3913  {cpr 4593   class class class wbr 5110  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  β„‚cc 11056  β„cr 11057  0cc0 11058  1c1 11059  β„*cxr 11195   < clt 11196   ≀ cle 11197  -cneg 11393   / cdiv 11819  2c2 12215  β„+crp 12922  (,)cioo 13271  [,]cicc 13274  β„œcre 14989  sincsin 15953  Ο€cpi 15956  arcsincasin 26228
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136  ax-addf 11137  ax-mulf 11138
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-iin 4962  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7622  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-supp 8098  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-er 8655  df-map 8774  df-pm 8775  df-ixp 8843  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9313  df-fi 9354  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9453  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-9 12230  df-n0 12421  df-z 12507  df-dec 12626  df-uz 12771  df-q 12881  df-rp 12923  df-xneg 13040  df-xadd 13041  df-xmul 13042  df-ioo 13275  df-ioc 13276  df-ico 13277  df-icc 13278  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-fl 13704  df-mod 13782  df-seq 13914  df-exp 13975  df-fac 14181  df-bc 14210  df-hash 14238  df-shft 14959  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-limsup 15360  df-clim 15377  df-rlim 15378  df-sum 15578  df-ef 15957  df-sin 15959  df-cos 15960  df-pi 15962  df-struct 17026  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-ress 17120  df-plusg 17153  df-mulr 17154  df-starv 17155  df-sca 17156  df-vsca 17157  df-ip 17158  df-tset 17159  df-ple 17160  df-ds 17162  df-unif 17163  df-hom 17164  df-cco 17165  df-rest 17311  df-topn 17312  df-0g 17330  df-gsum 17331  df-topgen 17332  df-pt 17333  df-prds 17336  df-xrs 17391  df-qtop 17396  df-imas 17397  df-xps 17399  df-mre 17473  df-mrc 17474  df-acs 17476  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-submnd 18609  df-mulg 18880  df-cntz 19104  df-cmn 19571  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-met 20806  df-bl 20807  df-mopn 20808  df-fbas 20809  df-fg 20810  df-cnfld 20813  df-top 22259  df-topon 22276  df-topsp 22298  df-bases 22312  df-cld 22386  df-ntr 22387  df-cls 22388  df-nei 22465  df-lp 22503  df-perf 22504  df-cn 22594  df-cnp 22595  df-haus 22682  df-tx 22929  df-hmeo 23122  df-fil 23213  df-fm 23305  df-flim 23306  df-flf 23307  df-xms 23689  df-ms 23690  df-tms 23691  df-cncf 24257  df-limc 25246  df-dv 25247  df-log 25928  df-asin 26231
This theorem is referenced by:  asinrebnd  26267
  Copyright terms: Public domain W3C validator