Theorem reasinsin 26637

Description: The arcsine function composed with sin is equal to the identity. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
reasinsin	⊢ (𝐴 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) → (arcsin‘(sin‘𝐴)) = 𝐴)

Proof of Theorem reasinsin

Step	Hyp	Ref	Expression
1		neghalfpire 26211	. . . . . 6 ⊢ -(π / 2) ∈ ℝ
2	1	rexri 11276	. . . . 5 ⊢ -(π / 2) ∈ ℝ*
3		halfpire 26210	. . . . . 6 ⊢ (π / 2) ∈ ℝ
4	3	rexri 11276	. . . . 5 ⊢ (π / 2) ∈ ℝ*
5		pirp 26207	. . . . . . . . . 10 ⊢ π ∈ ℝ+
6		rphalfcl 13005	. . . . . . . . . 10 ⊢ (π ∈ ℝ+ → (π / 2) ∈ ℝ+)
7	5, 6	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (π / 2) ∈ ℝ+
8		rpgt0 12990	. . . . . . . . 9 ⊢ ((π / 2) ∈ ℝ+ → 0 < (π / 2))
9	7, 8	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < (π / 2)
10		lt0neg2 11725	. . . . . . . . 9 ⊢ ((π / 2) ∈ ℝ → (0 < (π / 2) ↔ -(π / 2) < 0))
11	3, 10	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (0 < (π / 2) ↔ -(π / 2) < 0)
12	9, 11	mpbi 229	. . . . . . 7 ⊢ -(π / 2) < 0
13		0re 11220	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ
14	1, 13, 3	lttri 11344	. . . . . . 7 ⊢ ((-(π / 2) < 0 ∧ 0 < (π / 2)) → -(π / 2) < (π / 2))
15	12, 9, 14	mp2an 688	. . . . . 6 ⊢ -(π / 2) < (π / 2)
16	1, 3, 15	ltleii 11341	. . . . 5 ⊢ -(π / 2) ≤ (π / 2)
17		prunioo 13462	. . . . 5 ⊢ ((-(π / 2) ∈ ℝ* ∧ (π / 2) ∈ ℝ* ∧ -(π / 2) ≤ (π / 2)) → ((-(π / 2)(,)(π / 2)) ∪ {-(π / 2), (π / 2)}) = (-(π / 2)[,](π / 2)))
18	2, 4, 16, 17	mp3an 1459	. . . 4 ⊢ ((-(π / 2)(,)(π / 2)) ∪ {-(π / 2), (π / 2)}) = (-(π / 2)[,](π / 2))
19	18	eleq2i 2823	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ((-(π / 2)(,)(π / 2)) ∪ {-(π / 2), (π / 2)}) ↔ 𝐴 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)))
20		elun 4147	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ((-(π / 2)(,)(π / 2)) ∪ {-(π / 2), (π / 2)}) ↔ (𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) ∨ 𝐴 ∈ {-(π / 2), (π / 2)}))
21	19, 20	bitr3i 276	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) ↔ (𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) ∨ 𝐴 ∈ {-(π / 2), (π / 2)}))
22		elioore 13358	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) → 𝐴 ∈ ℝ)
23	22	recnd 11246	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) → 𝐴 ∈ ℂ)
24	22	rered 15175	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) → (ℜ‘𝐴) = 𝐴)
25		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) → 𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)))
26	24, 25	eqeltrd 2831	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) → (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)))
27		asinsin 26633	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (arcsin‘(sin‘𝐴)) = 𝐴)
28	23, 26, 27	syl2anc 582	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) → (arcsin‘(sin‘𝐴)) = 𝐴)
29		elpri 4649	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ {-(π / 2), (π / 2)} → (𝐴 = -(π / 2) ∨ 𝐴 = (π / 2)))
30		ax-1cn 11170	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℂ
31		asinneg 26627	. . . . . . . 8 ⊢ (1 ∈ ℂ → (arcsin‘-1) = -(arcsin‘1))
32	30, 31	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (arcsin‘-1) = -(arcsin‘1)
33		asin1 26635	. . . . . . . 8 ⊢ (arcsin‘1) = (π / 2)
34	33	negeqi 11457	. . . . . . 7 ⊢ -(arcsin‘1) = -(π / 2)
35	32, 34	eqtri 2758	. . . . . 6 ⊢ (arcsin‘-1) = -(π / 2)
36		fveq2 6890	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = -(π / 2) → (sin‘𝐴) = (sin‘-(π / 2)))
37	3	recni 11232	. . . . . . . . . 10 ⊢ (π / 2) ∈ ℂ
38		sinneg 16093	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((π / 2) ∈ ℂ → (sin‘-(π / 2)) = -(sin‘(π / 2)))
39	37, 38	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (sin‘-(π / 2)) = -(sin‘(π / 2))
40		sinhalfpi 26214	. . . . . . . . . 10 ⊢ (sin‘(π / 2)) = 1
41	40	negeqi 11457	. . . . . . . . 9 ⊢ -(sin‘(π / 2)) = -1
42	39, 41	eqtri 2758	. . . . . . . 8 ⊢ (sin‘-(π / 2)) = -1
43	36, 42	eqtrdi 2786	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = -(π / 2) → (sin‘𝐴) = -1)
44	43	fveq2d 6894	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = -(π / 2) → (arcsin‘(sin‘𝐴)) = (arcsin‘-1))
45		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = -(π / 2) → 𝐴 = -(π / 2))
46	35, 44, 45	3eqtr4a 2796	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = -(π / 2) → (arcsin‘(sin‘𝐴)) = 𝐴)
47		fveq2 6890	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = (π / 2) → (sin‘𝐴) = (sin‘(π / 2)))
48	47, 40	eqtrdi 2786	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = (π / 2) → (sin‘𝐴) = 1)
49	48	fveq2d 6894	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = (π / 2) → (arcsin‘(sin‘𝐴)) = (arcsin‘1))
50		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = (π / 2) → 𝐴 = (π / 2))
51	33, 49, 50	3eqtr4a 2796	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = (π / 2) → (arcsin‘(sin‘𝐴)) = 𝐴)
52	46, 51	jaoi 853	. . . 4 ⊢ ((𝐴 = -(π / 2) ∨ 𝐴 = (π / 2)) → (arcsin‘(sin‘𝐴)) = 𝐴)
53	29, 52	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ {-(π / 2), (π / 2)} → (arcsin‘(sin‘𝐴)) = 𝐴)
54	28, 53	jaoi 853	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) ∨ 𝐴 ∈ {-(π / 2), (π / 2)}) → (arcsin‘(sin‘𝐴)) = 𝐴)
55	21, 54	sylbi 216	1 ⊢ (𝐴 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) → (arcsin‘(sin‘𝐴)) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∨ wo 843   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   ∪ cun 3945  {cpr 4629   class class class wbr 5147  ‘cfv 6542  (class class class)co 7411  ℂcc 11110  ℝcr 11111  0cc0 11112  1c1 11113  ℝ^*cxr 11251   < clt 11252   ≤ cle 11253  -cneg 11449   / cdiv 11875  2c2 12271  ℝ⁺crp 12978  (,)cioo 13328  [,]cicc 13331  ℜcre 15048  sincsin 16011  πcpi 16014  arcsincasin 26603

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12979  df-xneg 13096  df-xadd 13097  df-xmul 13098  df-ioo 13332  df-ioc 13333  df-ico 13334  df-icc 13335  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-fl 13761  df-mod 13839  df-seq 13971  df-exp 14032  df-fac 14238  df-bc 14267  df-hash 14295  df-shft 15018  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-limsup 15419  df-clim 15436  df-rlim 15437  df-sum 15637  df-ef 16015  df-sin 16017  df-cos 16018  df-pi 16020  df-struct 17084  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-starv 17216  df-sca 17217  df-vsca 17218  df-ip 17219  df-tset 17220  df-ple 17221  df-ds 17223  df-unif 17224  df-hom 17225  df-cco 17226  df-rest 17372  df-topn 17373  df-0g 17391  df-gsum 17392  df-topgen 17393  df-pt 17394  df-prds 17397  df-xrs 17452  df-qtop 17457  df-imas 17458  df-xps 17460  df-mre 17534  df-mrc 17535  df-acs 17537  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18706  df-mulg 18987  df-cntz 19222  df-cmn 19691  df-psmet 21136  df-xmet 21137  df-met 21138  df-bl 21139  df-mopn 21140  df-fbas 21141  df-fg 21142  df-cnfld 21145  df-top 22616  df-topon 22633  df-topsp 22655  df-bases 22669  df-cld 22743  df-ntr 22744  df-cls 22745  df-nei 22822  df-lp 22860  df-perf 22861  df-cn 22951  df-cnp 22952  df-haus 23039  df-tx 23286  df-hmeo 23479  df-fil 23570  df-fm 23662  df-flim 23663  df-flf 23664  df-xms 24046  df-ms 24047  df-tms 24048  df-cncf 24618  df-limc 25615  df-dv 25616  df-log 26301  df-asin 26606

This theorem is referenced by:  asinrebnd  26642