Theorem lvecvsn0 21037

Description: A scalar product is nonzero iff both of its factors are nonzero. (Contributed by NM, 3-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lvecmul0or.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lvecmul0or.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
lvecmul0or.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lvecmul0or.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
lvecmul0or.o	⊢ 𝑂 = (0g‘𝐹)
lvecmul0or.z	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
lvecmul0or.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lvecmul0or.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐾)
lvecmul0or.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
lvecvsn0	⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝑋) ≠ 0 ↔ (𝐴 ≠ 𝑂 ∧ 𝑋 ≠ 0 )))

Proof of Theorem lvecvsn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lvecmul0or.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
2		lvecmul0or.s	. . . 4 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
3		lvecmul0or.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
4		lvecmul0or.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
5		lvecmul0or.o	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (0g‘𝐹)
6		lvecmul0or.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
7		lvecmul0or.w	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
8		lvecmul0or.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐾)
9		lvecmul0or.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	lvecvs0or 21036	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝑋) = 0 ↔ (𝐴 = 𝑂 ∨ 𝑋 = 0 )))
11	10	necon3abid 2966	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝑋) ≠ 0 ↔ ¬ (𝐴 = 𝑂 ∨ 𝑋 = 0 )))
12		neanior 3024	. 2 ⊢ ((𝐴 ≠ 𝑂 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) ↔ ¬ (𝐴 = 𝑂 ∨ 𝑋 = 0 ))
13	11, 12	bitr4di 288	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝑋) ≠ 0 ↔ (𝐴 ≠ 𝑂 ∧ 𝑋 ≠ 0 )))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∨ wo 845   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2929  ‘cfv 6553  (class class class)co 7423  Basecbs 17208  Scalarcsca 17264   ·_𝑠 cvsca 17265  0_gc0g 17449  LVecclvec 21027

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5368  ax-pr 5432  ax-un 7745  ax-cnex 11210  ax-resscn 11211  ax-1cn 11212  ax-icn 11213  ax-addcl 11214  ax-addrcl 11215  ax-mulcl 11216  ax-mulrcl 11217  ax-mulcom 11218  ax-addass 11219  ax-mulass 11220  ax-distr 11221  ax-i2m1 11222  ax-1ne0 11223  ax-1rid 11224  ax-rnegex 11225  ax-rrecex 11226  ax-cnre 11227  ax-pre-lttri 11228  ax-pre-lttrn 11229  ax-pre-ltadd 11230  ax-pre-mulgt0 11231

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3966  df-nul 4325  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5579  df-eprel 5585  df-po 5593  df-so 5594  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5687  df-rel 5688  df-cnv 5689  df-co 5690  df-dm 5691  df-rn 5692  df-res 5693  df-ima 5694  df-pred 6311  df-ord 6378  df-on 6379  df-lim 6380  df-suc 6381  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7379  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7876  df-2nd 8003  df-tpos 8240  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-er 8733  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-pnf 11296  df-mnf 11297  df-xr 11298  df-ltxr 11299  df-le 11300  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12260  df-2 12322  df-3 12323  df-sets 17161  df-slot 17179  df-ndx 17191  df-base 17209  df-ress 17238  df-plusg 17274  df-mulr 17275  df-0g 17451  df-mgm 18628  df-sgrp 18707  df-mnd 18723  df-grp 18926  df-minusg 18927  df-cmn 19775  df-abl 19776  df-mgp 20113  df-rng 20131  df-ur 20160  df-ring 20213  df-oppr 20311  df-dvdsr 20334  df-unit 20335  df-invr 20365  df-drng 20666  df-lmod 20785  df-lvec 21028

This theorem is referenced by:  lspsneq  21050  lspfixed  21056  dochkr1  41125  mapdpglem18  41336  hdmap14lem4a  41518  prjspvs  42201  lindssnlvec  47806