MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lvecvsn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lvecvsn0 20960
Description: A scalar product is nonzero iff both of its factors are nonzero. (Contributed by NM, 3-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lvecmul0or.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
lvecmul0or.s Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
lvecmul0or.f 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
lvecmul0or.k 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
lvecmul0or.o 𝑂 = (0gβ€˜πΉ)
lvecmul0or.z 0 = (0gβ€˜π‘Š)
lvecmul0or.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
lvecmul0or.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝐾)
lvecmul0or.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
Assertion
Ref Expression
lvecvsn0 (πœ‘ β†’ ((𝐴 Β· 𝑋) β‰  0 ↔ (𝐴 β‰  𝑂 ∧ 𝑋 β‰  0 )))

Proof of Theorem lvecvsn0
StepHypRef Expression
1 lvecmul0or.v . . . 4 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
2 lvecmul0or.s . . . 4 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
3 lvecmul0or.f . . . 4 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
4 lvecmul0or.k . . . 4 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
5 lvecmul0or.o . . . 4 𝑂 = (0gβ€˜πΉ)
6 lvecmul0or.z . . . 4 0 = (0gβ€˜π‘Š)
7 lvecmul0or.w . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
8 lvecmul0or.a . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝐾)
9 lvecmul0or.x . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9lvecvs0or 20959 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝐴 Β· 𝑋) = 0 ↔ (𝐴 = 𝑂 ∨ 𝑋 = 0 )))
1110necon3abid 2971 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐴 Β· 𝑋) β‰  0 ↔ Β¬ (𝐴 = 𝑂 ∨ 𝑋 = 0 )))
12 neanior 3029 . 2 ((𝐴 β‰  𝑂 ∧ 𝑋 β‰  0 ) ↔ Β¬ (𝐴 = 𝑂 ∨ 𝑋 = 0 ))
1311, 12bitr4di 289 1 (πœ‘ β†’ ((𝐴 Β· 𝑋) β‰  0 ↔ (𝐴 β‰  𝑂 ∧ 𝑋 β‰  0 )))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 844   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  Basecbs 17153  Scalarcsca 17209   ·𝑠 cvsca 17210  0gc0g 17394  LVecclvec 20950
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-2nd 7975  df-tpos 8212  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-0g 17396  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-cmn 19702  df-abl 19703  df-mgp 20040  df-rng 20058  df-ur 20087  df-ring 20140  df-oppr 20236  df-dvdsr 20259  df-unit 20260  df-invr 20290  df-drng 20589  df-lmod 20708  df-lvec 20951
This theorem is referenced by:  lspsneq  20973  lspfixed  20979  dochkr1  40862  mapdpglem18  41073  hdmap14lem4a  41255  prjspvs  41927  lindssnlvec  47439
  Copyright terms: Public domain W3C validator