Theorem mdetleib1 22454

Description: Full substitution of an alternative determinant definition (also known as Leibniz' Formula). (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Oct-2015.) (Revised by AV, 26-Dec-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
mdetfval1.d	⊢ 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
mdetfval1.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
mdetfval1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
mdetfval1.p	⊢ 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
mdetfval1.y	⊢ 𝑌 = (ℤRHom‘𝑅)
mdetfval1.s	⊢ 𝑆 = (pmSgn‘𝑁)
mdetfval1.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
mdetfval1.u	⊢ 𝑈 = (mulGrp‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
mdetleib1	⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → (𝐷‘𝑀) = (𝑅 Σg (𝑝 ∈ 𝑃 ↦ ((𝑌‘(𝑆‘𝑝)) · (𝑈 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑥)𝑀𝑥)))))))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑝   𝑥,𝑝,𝑁   𝑃,𝑝   𝑅,𝑝,𝑥   𝑀,𝑝,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑝)   𝐵(𝑥)   𝐷(𝑥,𝑝)   𝑃(𝑥)   𝑆(𝑥,𝑝)   · (𝑥,𝑝)   𝑈(𝑥,𝑝)   𝑌(𝑥,𝑝)

Proof of Theorem mdetleib1

Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq 7375	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → ((𝑝‘𝑥)𝑚𝑥) = ((𝑝‘𝑥)𝑀𝑥))
2	1	mpteq2dv 5196	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑥)𝑚𝑥)) = (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑥)𝑀𝑥)))
3	2	oveq2d 7385	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → (𝑈 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑥)𝑚𝑥))) = (𝑈 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑥)𝑀𝑥))))
4	3	oveq2d 7385	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → ((𝑌‘(𝑆‘𝑝)) · (𝑈 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑥)𝑚𝑥)))) = ((𝑌‘(𝑆‘𝑝)) · (𝑈 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑥)𝑀𝑥)))))
5	4	mpteq2dv 5196	. . 3 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → (𝑝 ∈ 𝑃 ↦ ((𝑌‘(𝑆‘𝑝)) · (𝑈 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑥)𝑚𝑥))))) = (𝑝 ∈ 𝑃 ↦ ((𝑌‘(𝑆‘𝑝)) · (𝑈 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑥)𝑀𝑥))))))
6	5	oveq2d 7385	. 2 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → (𝑅 Σg (𝑝 ∈ 𝑃 ↦ ((𝑌‘(𝑆‘𝑝)) · (𝑈 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑥)𝑚𝑥)))))) = (𝑅 Σg (𝑝 ∈ 𝑃 ↦ ((𝑌‘(𝑆‘𝑝)) · (𝑈 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑥)𝑀𝑥)))))))
7		mdetfval1.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
8		mdetfval1.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
9		mdetfval1.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
10		mdetfval1.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
11		mdetfval1.y	. . 3 ⊢ 𝑌 = (ℤRHom‘𝑅)
12		mdetfval1.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (pmSgn‘𝑁)
13		mdetfval1.t	. . 3 ⊢ · = (.r‘𝑅)
14		mdetfval1.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = (mulGrp‘𝑅)
15	7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14	mdetfval1 22453	. 2 ⊢ 𝐷 = (𝑚 ∈ 𝐵 ↦ (𝑅 Σg (𝑝 ∈ 𝑃 ↦ ((𝑌‘(𝑆‘𝑝)) · (𝑈 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑥)𝑚𝑥)))))))
16		ovex 7402	. 2 ⊢ (𝑅 Σg (𝑝 ∈ 𝑃 ↦ ((𝑌‘(𝑆‘𝑝)) · (𝑈 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑥)𝑀𝑥)))))) ∈ V
17	6, 15, 16	fvmpt 6950	1 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → (𝐷‘𝑀) = (𝑅 Σg (𝑝 ∈ 𝑃 ↦ ((𝑌‘(𝑆‘𝑝)) · (𝑈 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑥)𝑀𝑥)))))))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ↦ cmpt 5183  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  Basecbs 17155  ._rcmulr 17197   Σ_g cgsu 17379  SymGrpcsymg 19275  pmSgncpsgn 19395  mulGrpcmgp 20025  ℤRHomczrh 21385   Mat cmat 22270   maDet cmdat 22447

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-er 8648  df-map 8778  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-card 9868  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-4 12227  df-5 12228  df-6 12229  df-7 12230  df-8 12231  df-9 12232  df-n0 12419  df-z 12506  df-uz 12770  df-fz 13445  df-fzo 13592  df-hash 14272  df-word 14455  df-struct 17093  df-sets 17110  df-slot 17128  df-ndx 17140  df-base 17156  df-ress 17177  df-plusg 17209  df-tset 17215  df-efmnd 18772  df-symg 19276  df-psgn 19397  df-mat 22271  df-mdet 22448

This theorem is referenced by:  m2detleib  22494