Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mendplusgfval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mendplusgfval 40566
Description: Addition in the module endomorphism algebra. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Sep-2015.) (Proof shortened by AV, 3-Mar-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
mendplusgfval.a 𝐴 = (MEndo‘𝑀)
mendplusgfval.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
mendplusgfval.p + = (+g𝑀)
Assertion
Ref Expression
mendplusgfval (+g𝐴) = (𝑥𝐵, 𝑦𝐵 ↦ (𝑥f + 𝑦))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐵   𝑥,𝑀,𝑦   𝑥, + ,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem mendplusgfval
StepHypRef Expression
1 mendplusgfval.a . . . . 5 𝐴 = (MEndo‘𝑀)
2 mendplusgfval.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝐴)
31mendbas 40565 . . . . . . 7 (𝑀 LMHom 𝑀) = (Base‘𝐴)
42, 3eqtr4i 2764 . . . . . 6 𝐵 = (𝑀 LMHom 𝑀)
5 mendplusgfval.p . . . . . . . . . 10 + = (+g𝑀)
6 ofeq 7421 . . . . . . . . . 10 ( + = (+g𝑀) → ∘f + = ∘f (+g𝑀))
75, 6ax-mp 5 . . . . . . . . 9 f + = ∘f (+g𝑀)
87oveqi 7177 . . . . . . . 8 (𝑥f + 𝑦) = (𝑥f (+g𝑀)𝑦)
98a1i 11 . . . . . . 7 ((𝑥𝐵𝑦𝐵) → (𝑥f + 𝑦) = (𝑥f (+g𝑀)𝑦))
109mpoeq3ia 7240 . . . . . 6 (𝑥𝐵, 𝑦𝐵 ↦ (𝑥f + 𝑦)) = (𝑥𝐵, 𝑦𝐵 ↦ (𝑥f (+g𝑀)𝑦))
11 eqid 2738 . . . . . 6 (𝑥𝐵, 𝑦𝐵 ↦ (𝑥𝑦)) = (𝑥𝐵, 𝑦𝐵 ↦ (𝑥𝑦))
12 eqid 2738 . . . . . 6 (Scalar‘𝑀) = (Scalar‘𝑀)
13 eqid 2738 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)), 𝑦𝐵 ↦ (((Base‘𝑀) × {𝑥}) ∘f ( ·𝑠𝑀)𝑦)) = (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)), 𝑦𝐵 ↦ (((Base‘𝑀) × {𝑥}) ∘f ( ·𝑠𝑀)𝑦))
144, 10, 11, 12, 13mendval 40564 . . . . 5 (𝑀 ∈ V → (MEndo‘𝑀) = ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑥𝐵, 𝑦𝐵 ↦ (𝑥f + 𝑦))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑥𝐵, 𝑦𝐵 ↦ (𝑥𝑦))⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), (Scalar‘𝑀)⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)), 𝑦𝐵 ↦ (((Base‘𝑀) × {𝑥}) ∘f ( ·𝑠𝑀)𝑦))⟩}))
151, 14syl5eq 2785 . . . 4 (𝑀 ∈ V → 𝐴 = ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑥𝐵, 𝑦𝐵 ↦ (𝑥f + 𝑦))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑥𝐵, 𝑦𝐵 ↦ (𝑥𝑦))⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), (Scalar‘𝑀)⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)), 𝑦𝐵 ↦ (((Base‘𝑀) × {𝑥}) ∘f ( ·𝑠𝑀)𝑦))⟩}))
1615fveq2d 6672 . . 3 (𝑀 ∈ V → (+g𝐴) = (+g‘({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑥𝐵, 𝑦𝐵 ↦ (𝑥f + 𝑦))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑥𝐵, 𝑦𝐵 ↦ (𝑥𝑦))⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), (Scalar‘𝑀)⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)), 𝑦𝐵 ↦ (((Base‘𝑀) × {𝑥}) ∘f ( ·𝑠𝑀)𝑦))⟩})))
172fvexi 6682 . . . . 5 𝐵 ∈ V
1817, 17mpoex 7796 . . . 4 (𝑥𝐵, 𝑦𝐵 ↦ (𝑥f + 𝑦)) ∈ V
19 eqid 2738 . . . . 5 ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑥𝐵, 𝑦𝐵 ↦ (𝑥f + 𝑦))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑥𝐵, 𝑦𝐵 ↦ (𝑥𝑦))⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), (Scalar‘𝑀)⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)), 𝑦𝐵 ↦ (((Base‘𝑀) × {𝑥}) ∘f ( ·𝑠𝑀)𝑦))⟩}) = ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑥𝐵, 𝑦𝐵 ↦ (𝑥f + 𝑦))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑥𝐵, 𝑦𝐵 ↦ (𝑥𝑦))⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), (Scalar‘𝑀)⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)), 𝑦𝐵 ↦ (((Base‘𝑀) × {𝑥}) ∘f ( ·𝑠𝑀)𝑦))⟩})
2019algaddg 40560 . . . 4 ((𝑥𝐵, 𝑦𝐵 ↦ (𝑥f + 𝑦)) ∈ V → (𝑥𝐵, 𝑦𝐵 ↦ (𝑥f + 𝑦)) = (+g‘({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑥𝐵, 𝑦𝐵 ↦ (𝑥f + 𝑦))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑥𝐵, 𝑦𝐵 ↦ (𝑥𝑦))⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), (Scalar‘𝑀)⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)), 𝑦𝐵 ↦ (((Base‘𝑀) × {𝑥}) ∘f ( ·𝑠𝑀)𝑦))⟩})))
2118, 20mp1i 13 . . 3 (𝑀 ∈ V → (𝑥𝐵, 𝑦𝐵 ↦ (𝑥f + 𝑦)) = (+g‘({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑥𝐵, 𝑦𝐵 ↦ (𝑥f + 𝑦))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑥𝐵, 𝑦𝐵 ↦ (𝑥𝑦))⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), (Scalar‘𝑀)⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)), 𝑦𝐵 ↦ (((Base‘𝑀) × {𝑥}) ∘f ( ·𝑠𝑀)𝑦))⟩})))
2216, 21eqtr4d 2776 . 2 (𝑀 ∈ V → (+g𝐴) = (𝑥𝐵, 𝑦𝐵 ↦ (𝑥f + 𝑦)))
23 fvprc 6660 . . . . . 6 𝑀 ∈ V → (MEndo‘𝑀) = ∅)
241, 23syl5eq 2785 . . . . 5 𝑀 ∈ V → 𝐴 = ∅)
2524fveq2d 6672 . . . 4 𝑀 ∈ V → (+g𝐴) = (+g‘∅))
26 df-plusg 16674 . . . . 5 +g = Slot 2
2726str0 16631 . . . 4 ∅ = (+g‘∅)
2825, 27eqtr4di 2791 . . 3 𝑀 ∈ V → (+g𝐴) = ∅)
2924fveq2d 6672 . . . . . 6 𝑀 ∈ V → (Base‘𝐴) = (Base‘∅))
30 base0 16632 . . . . . 6 ∅ = (Base‘∅)
3129, 2, 303eqtr4g 2798 . . . . 5 𝑀 ∈ V → 𝐵 = ∅)
3231olcd 873 . . . 4 𝑀 ∈ V → (𝐵 = ∅ ∨ 𝐵 = ∅))
33 0mpo0 7245 . . . 4 ((𝐵 = ∅ ∨ 𝐵 = ∅) → (𝑥𝐵, 𝑦𝐵 ↦ (𝑥f + 𝑦)) = ∅)
3432, 33syl 17 . . 3 𝑀 ∈ V → (𝑥𝐵, 𝑦𝐵 ↦ (𝑥f + 𝑦)) = ∅)
3528, 34eqtr4d 2776 . 2 𝑀 ∈ V → (+g𝐴) = (𝑥𝐵, 𝑦𝐵 ↦ (𝑥f + 𝑦)))
3622, 35pm2.61i 185 1 (+g𝐴) = (𝑥𝐵, 𝑦𝐵 ↦ (𝑥f + 𝑦))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wa 399  wo 846   = wceq 1542  wcel 2113  Vcvv 3397  cun 3839  c0 4209  {csn 4513  {cpr 4515  {ctp 4517  cop 4519   × cxp 5517  ccom 5523  cfv 6333  (class class class)co 7164  cmpo 7166  f cof 7417  2c2 11764  ndxcnx 16576  Basecbs 16579  +gcplusg 16661  .rcmulr 16662  Scalarcsca 16664   ·𝑠 cvsca 16665   LMHom clmhm 19903  MEndocmend 40556
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2019  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2710  ax-rep 5151  ax-sep 5164  ax-nul 5171  ax-pow 5229  ax-pr 5293  ax-un 7473  ax-cnex 10664  ax-resscn 10665  ax-1cn 10666  ax-icn 10667  ax-addcl 10668  ax-addrcl 10669  ax-mulcl 10670  ax-mulrcl 10671  ax-mulcom 10672  ax-addass 10673  ax-mulass 10674  ax-distr 10675  ax-i2m1 10676  ax-1ne0 10677  ax-1rid 10678  ax-rnegex 10679  ax-rrecex 10680  ax-cnre 10681  ax-pre-lttri 10682  ax-pre-lttrn 10683  ax-pre-ltadd 10684  ax-pre-mulgt0 10685
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rab 3062  df-v 3399  df-sbc 3680  df-csb 3789  df-dif 3844  df-un 3846  df-in 3848  df-ss 3858  df-pss 3860  df-nul 4210  df-if 4412  df-pw 4487  df-sn 4514  df-pr 4516  df-tp 4518  df-op 4520  df-uni 4794  df-iun 4880  df-br 5028  df-opab 5090  df-mpt 5108  df-tr 5134  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6123  df-ord 6169  df-on 6170  df-lim 6171  df-suc 6172  df-iota 6291  df-fun 6335  df-fn 6336  df-f 6337  df-f1 6338  df-fo 6339  df-f1o 6340  df-fv 6341  df-riota 7121  df-ov 7167  df-oprab 7168  df-mpo 7169  df-of 7419  df-om 7594  df-1st 7707  df-2nd 7708  df-wrecs 7969  df-recs 8030  df-rdg 8068  df-1o 8124  df-er 8313  df-en 8549  df-dom 8550  df-sdom 8551  df-fin 8552  df-pnf 10748  df-mnf 10749  df-xr 10750  df-ltxr 10751  df-le 10752  df-sub 10943  df-neg 10944  df-nn 11710  df-2 11772  df-3 11773  df-4 11774  df-5 11775  df-6 11776  df-n0 11970  df-z 12056  df-uz 12318  df-fz 12975  df-struct 16581  df-ndx 16582  df-slot 16583  df-base 16585  df-plusg 16674  df-mulr 16675  df-sca 16677  df-vsca 16678  df-lmhm 19906  df-mend 40557
This theorem is referenced by:  mendplusg  40567
  Copyright terms: Public domain W3C validator