Theorem mendplusgfval 41498

Description: Addition in the module endomorphism algebra. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Sep-2015.) (Proof shortened by AV, 31-Oct-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
mendplusgfval.a	⊢ 𝐴 = (MEndo‘𝑀)
mendplusgfval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
mendplusgfval.p	⊢ + = (+g‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
mendplusgfval	⊢ (+g‘𝐴) = (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 ∘f + 𝑦))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐵   𝑥,𝑀,𝑦   𝑥, + ,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem mendplusgfval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mendplusgfval.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (MEndo‘𝑀)
2		mendplusgfval.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
3	1	mendbas 41497	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 LMHom 𝑀) = (Base‘𝐴)
4	2, 3	eqtr4i 2767	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (𝑀 LMHom 𝑀)
5		mendplusgfval.p	. . . . . . . . . 10 ⊢ + = (+g‘𝑀)
6		ofeq 7620	. . . . . . . . . 10 ⊢ ( + = (+g‘𝑀) → ∘f + = ∘f (+g‘𝑀))
7	5, 6	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ ∘f + = ∘f (+g‘𝑀)
8	7	oveqi 7370	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∘f + 𝑦) = (𝑥 ∘f (+g‘𝑀)𝑦)
9	8	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∘f + 𝑦) = (𝑥 ∘f (+g‘𝑀)𝑦))
10	9	mpoeq3ia 7435	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 ∘f + 𝑦)) = (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 ∘f (+g‘𝑀)𝑦))
11		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 ∘ 𝑦)) = (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 ∘ 𝑦))
12		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (Scalar‘𝑀) = (Scalar‘𝑀)
13		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)), 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (((Base‘𝑀) × {𝑥}) ∘f ( ·𝑠 ‘𝑀)𝑦)) = (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)), 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (((Base‘𝑀) × {𝑥}) ∘f ( ·𝑠 ‘𝑀)𝑦))
14	4, 10, 11, 12, 13	mendval 41496	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ V → (MEndo‘𝑀) = ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 ∘f + 𝑦))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 ∘ 𝑦))⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), (Scalar‘𝑀)⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)), 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (((Base‘𝑀) × {𝑥}) ∘f ( ·𝑠 ‘𝑀)𝑦))⟩}))
15	1, 14	eqtrid 2788	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ V → 𝐴 = ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 ∘f + 𝑦))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 ∘ 𝑦))⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), (Scalar‘𝑀)⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)), 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (((Base‘𝑀) × {𝑥}) ∘f ( ·𝑠 ‘𝑀)𝑦))⟩}))
16	15	fveq2d 6846	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ V → (+g‘𝐴) = (+g‘({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 ∘f + 𝑦))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 ∘ 𝑦))⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), (Scalar‘𝑀)⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)), 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (((Base‘𝑀) × {𝑥}) ∘f ( ·𝑠 ‘𝑀)𝑦))⟩})))
17	2	fvexi 6856	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ V
18	17, 17	mpoex 8012	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 ∘f + 𝑦)) ∈ V
19		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 ∘f + 𝑦))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 ∘ 𝑦))⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), (Scalar‘𝑀)⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)), 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (((Base‘𝑀) × {𝑥}) ∘f ( ·𝑠 ‘𝑀)𝑦))⟩}) = ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 ∘f + 𝑦))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 ∘ 𝑦))⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), (Scalar‘𝑀)⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)), 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (((Base‘𝑀) × {𝑥}) ∘f ( ·𝑠 ‘𝑀)𝑦))⟩})
20	19	algaddg 41492	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 ∘f + 𝑦)) ∈ V → (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 ∘f + 𝑦)) = (+g‘({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 ∘f + 𝑦))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 ∘ 𝑦))⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), (Scalar‘𝑀)⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)), 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (((Base‘𝑀) × {𝑥}) ∘f ( ·𝑠 ‘𝑀)𝑦))⟩})))
21	18, 20	mp1i 13	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ V → (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 ∘f + 𝑦)) = (+g‘({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 ∘f + 𝑦))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 ∘ 𝑦))⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), (Scalar‘𝑀)⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)), 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (((Base‘𝑀) × {𝑥}) ∘f ( ·𝑠 ‘𝑀)𝑦))⟩})))
22	16, 21	eqtr4d 2779	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ V → (+g‘𝐴) = (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 ∘f + 𝑦)))
23		fvprc 6834	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ V → (MEndo‘𝑀) = ∅)
24	1, 23	eqtrid 2788	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ V → 𝐴 = ∅)
25	24	fveq2d 6846	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ V → (+g‘𝐴) = (+g‘∅))
26		plusgid 17160	. . . . 5 ⊢ +g = Slot (+g‘ndx)
27	26	str0 17061	. . . 4 ⊢ ∅ = (+g‘∅)
28	25, 27	eqtr4di 2794	. . 3 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ V → (+g‘𝐴) = ∅)
29	24	fveq2d 6846	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ V → (Base‘𝐴) = (Base‘∅))
30		base0 17088	. . . . . 6 ⊢ ∅ = (Base‘∅)
31	29, 2, 30	3eqtr4g 2801	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ V → 𝐵 = ∅)
32	31	olcd 872	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ V → (𝐵 = ∅ ∨ 𝐵 = ∅))
33		0mpo0 7440	. . . 4 ⊢ ((𝐵 = ∅ ∨ 𝐵 = ∅) → (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 ∘f + 𝑦)) = ∅)
34	32, 33	syl 17	. . 3 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ V → (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 ∘f + 𝑦)) = ∅)
35	28, 34	eqtr4d 2779	. 2 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ V → (+g‘𝐴) = (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 ∘f + 𝑦)))
36	22, 35	pm2.61i 182	1 ⊢ (+g‘𝐴) = (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 ∘f + 𝑦))

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 396   ∨ wo 845   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  Vcvv 3445   ∪ cun 3908  ∅c0 4282  {csn 4586  {cpr 4588  {ctp 4590  ⟨cop 4592   × cxp 5631   ∘ ccom 5637  ‘cfv 6496  (class class class)co 7357   ∈ cmpo 7359   ∘_f cof 7615  ndxcnx 17065  Basecbs 17083  +_gcplusg 17133  ._rcmulr 17134  Scalarcsca 17136   ·_𝑠 cvsca 17137   LMHom clmhm 20480  MEndocmend 41488

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-fz 13425  df-struct 17019  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-lmhm 20483  df-mend 41489

This theorem is referenced by:  mendplusg  41499